2.6分段低次插值

定理2.13
x [a, b] ， 存在k使 x [ xk , xk 1 ]
1 22 2 2 max f ( 4 ) ( x ) ((x x ) ( x x ) x x ) kk ) ( x x kk 1 1 4! xk x xk 1
I h ( xk ) f ( xk ),(k 0,1,, n 1)， （2）满足插值条件：
（3）I h ( x) 在每一个小区间 k [ xk , xk 1 ] 上为线性多项式 I k ( x )；
即当 x k [ xk , xk 1 ] 时,
x xk 1 x xk f ( xk ) f ( xk 1 ) (k 0,1,, n 1) xk xk 1 xk 1 xk (2.36) 称 I h ( x)为数据 xi , f ( xi ), (i 0,1,, n)的分段线性插值函数。
30 x 45 45 x 60 60 x 90
3 . 分段线性插值函数的余项
分段线性插值函数的余项可以通过线性插值多项式的 余项来估计.
定理2.3 如果 f ( x )
C [a, b],
( x) h
2
记
M
h
2
max f ( x ) ,
a xb
则对任意 x [a, b], 分段线性 插值函数
因此，在整个区间 [a, b] 上有
h2 f ( x) I h ( x) M2, 8 h max | xk 1 xk |
该定理也说明分段线性插值函数I h( x)具有一致收敛性。 该定理也说明，可以加密插值节点，缩小插值区间使h 减小，从 而减小插值误差．
综合以上的讨论，分段线性插值有以下优、缺点 优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。 缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。
（2） I h ( x) 为 [a , b]上 f ( x )的分段3次Hermite插值函数，则有误 差估计：
h4 f ( x) Ih ( x) max f ( 4 ) ( x ) , x [a , b] 384 a x b （ f ( x) I h ( x) O（h4））
: a x0 x1 •划分：
xn b
并在每个子段 [ xi , xi 1 ]上构造插值多项式 •将每个子段上的插值多项式组合在一起，作为整 个区间 [ a, b] 上的插值函数。这样构造的插值多 项式就是分段插值多项式。
（x i，f ( xi ) ） , i 0， 1， , n, x i 互异 , hk xk 1 xk 0, h max hk , 已知： k
2.6.3. 分段三次Hermite插值
分段线性插值函数具有良好的一致收敛性，但它不是 光滑的，它在节点处的左右导数不相等。如果交通工具用 这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，为了克服 这个缺陷，一个自然的想法是添加一阶导数的插值条件。 因此用Hermite分段插值更好。
C 1[a, b] ，且有 已知 f（x） x x0 x1 xn f ( x ) y0 y1 yn f ( x ) m0 m1 mn
f ( x)
I
2
( x) 有余项估计
I
h
8
M2
（2.39）
证明 上有
根据（2.13），在每个小区间
f ( x) I h( x)
[ xk , xk 1](k 0,1,, n 1)
1 | f ( ) || ( x xk )( x xk 1 ) | 2! 1 ( xk 1 xk ) 2 max f ( x ) . x 8 xk x k 1
2.6 分段低次插值
2.6.1 高次多项式插值的问题
为何要进行分段低次插值
引例
2.6.2 分段线性插值
1、分段插值 2、基本方法 3 . 分段线性插值函数的余项 2.6.3 分段三次Hermite插值 综合举例 例2.13
2.6.1 高次多项式插值的问题
一、为何要进行分段低次插值 n 次Lagrange插值多项式的误差：
且 lim I h ( x ) f ( x ),（对 x [a , b]一致收敛）
h 0
hk . 其中 a x0 x1 xn b, hk xk 1 xk , h max k
证明:
f ( 4 ) ( ) f ( x) I h ( x) f ( x) I k ( x) ( x xk )2 ( x xk 1 )2 4!
f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)! ( x xn ).
插值多项式与被插函数的逼近程度同分点的数目 和位置有关。一般地，分点越多，逼近程度越好， 但也有例外。
引例 在[5, 5]上考察 f ( x )
Ih ( x) Ik ( x)
若用插值基函数表示,则在整个区间[a, b]上, I h ( x) f j l j ( x),
j 0 n
(2.37)
其中l j ( xk ) jk , ( j , k 0,1,
, n), 表示为
x x j 1 , x j 1 x x j (j 0略去), x j x j 1 x x j 1 l j ( x) , x j x x j 1 (j n略去), (2.38) x j x j 1 0, x [ x j , x j 1 ]. 其中,当 i=0时, 没有第一式; 当 i=n时,没有第二式. 显然,分 段线性插值基函数 li(x)只在xi 的附近不为零, 在其他地方均 为零,这种性质称为局部非零性.
Ih(x)在区间60,90上的线性插值为
x x3 x x2 2 3 3 3 I 2 ( x) f ( x2 ) f ( x3 ) x 2 x2 x3 x3 x2 60 2
将各小区间的线性插值函数连接在一起，得
2 1 3 x 2 2 30 3 3 2 I h ( x) x2 2 3 2 30 2 3 3 3 x 2 2 60
(2.40)
(a x0 x1 xn b, 记 hk xk 1 xk , h max hk ),
k
f ( xi ) mi（ . i 0， 1 ， ，n）
定义
(分段3次Hermite插值) 如果 I h ( x) 满足：
(1) I h ( x) C 1[a, b] ； (2)在每个小区间[ xk , xk 1 ](k 0,1,, n 1)，I h ( x)为3次多项式I k ( x)； （3）满足插值条件： I h ( x i ) yi ( xi ) mi , ( i 0,1,, n) Ih 称 I h ( x) 为 f ( x ) 的分段3次Hermite插值函数。 公式： 由定理2.4知,当 x k ( xk , x k 1)时，I h ( x) 为3次Hermite插值多项
x [ xk , xk 1 ]
即得下式： x xk x x k 1 2 x x k 1 x xk 2 I h ( x ) I k ( x ) (1 2 )( ) yk (1 2 )( ) y k 1 x k 1 x k x k x k 1 x k x k 1 x k 1 x k x x k 1 2 x xk 2 ( x xk )( ) mk ( x xk 1 )( ) mk 1， x k x k 1 x k 1 x k
x x0 x x1 2 1 3 I0 ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) x 2 x0 x1 x1 x0 30 2
Ih(x)在区间45,60上的线性插值为
x x2 x x1 3 2 3 I1 ( x) f ( x1 ) f ( x2 ) x2 2 3 x1 x2 x2 x1 30 2
2.5
1 1 x2
的Ln(x)。取 xi 5 10 i (i 0, ... , n)
n
2
Ln(x) f ( x)
1.5
1
0.5
0
n 越大， 端点附近抖动 越大，称为龙格 （Runge） 现象
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.5 -5
事实上， 已被证明只有当 x 3.63 时， 才有Ln ( x ) f ( x ).
同时，插值误差除来自截断误差外，还来自初
始数据的误差和计算过程中的舍入误差。插值次数
越高，计算工作量越大，积累误差也可能越大。
因此，在实际操作过程中，常常用分段低次 插值进行计算，即把整个插值区间分成若干个小
区间，在每个小区间上进行低次插值。
2.6.2 分段线性插值
1、分段插值
就是将被插值函数逐段多项式化。 2、基本方法
分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起来逼近f(x).
I 0 ( x), x0 x x1 I ( x), x x x 1 1 2 I h ( x) x1 x2 I n 1 ( x), xn 1 x xn a x0
xn1 xn b
或函数表：
x
x0
x1

xn
f ( x)
f ( x0 )
f ( x1 )
f ( xn )
k
且
a x0 x1 xn b, hk xk 1 xk 0, h max hk。
定义 (分段线性插值) (1) I h ( x) C[a，b] ； 如果 I h ( x) 满足
I h ( x) 在节 注：由图象可知， 几何意义：相邻两节点间的 点处的光滑性较差，为了提高 函数为一次线性函数, 图象为线段。 光滑性，讨论分段三次埃尔米 在整个区间[a，b]上为折线。 特插值。