高三理科数学 数列

1 2 1 1 于是(a2－ ) －a2(a2－ )－a2＝0，解得 a1＝ ． 2 2 6 2 (2)由题设(Sn－1) －an(Sn－1)－an＝0， 2 即 Sn －2Sn＋1－anSn＝0． 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得 Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ① 1 1 1 2 由(1)知 S1＝a1＝ ，S2＝a1＋a2＝ ＋ ＝ ． 2 2 6 3 3 由①可得 S3＝ ． 4 由此猜想 Sn＝
1 ． 3
故数列 {an } 的通项式为 an
1 ． 3n
（2） bn log3 a1 2 ... n)
故
n(n 1) 2
1 2 1 1 2( ) bn n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2n ... 2((1 ) ( ) ... ( )) b1 b2 bn 2 2 3 n n 1 n 1
18. 等 比 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 Sn ， 已 知 对 任 意 的 n N ， 点 (n ,Sn ) ， 均 在 函 数

y b x r (b 0 且 b 1, b, r 均为常数)的图像上.
（1）求 r 的值； （ 2 ）当 b=2 时，记 bn 2(log2 an 1)(n N ) ，证明：对任意的 n N
（3）∵ cn
an an 1 n(n 1)2 n1
n 2n (n 1) 2n 1 n2 n 1 2n 1 1 1 1 2 1 2 n ( n 1 n 2 ) 1 n 1 n2 n(n 1) 2 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1
n 1 14.已知数列 an 的前 n 项和 S n an ( ) 2 （ n 为正整数）.
1 2
（1）令 bn 2n an ，求证：数列 bn 是等差数列，并求数列 an 的通项公式； （2）令 cn
n 1 an ， Tn c1 c2 ........ cn 试比较 Tn 与 3 的大小，并予以证明。 n
1 2a n an 1 ( ) n 1 , 即2n an 2n 1 an 1 1 . 2
bn 2n an ,bn bn1 1,即当n 2时，bn bn1 1 .
又 b1 2a1 1,数列 bn 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn 1 ( n 1) 1 n 2 an , an
1 1 1 , , ，成等比数列. a1 a 2 a 4
（1）求数列 {an } 的通项公式及 Sn . （2）记 An
1 1 1 1 1 1 1 1 ， Bn ，当 n 2 时，试比 S1 S2 S3 Sn a1 a2 a2 2 a2n
较 An 与 Bn 的大小．
n
.

n . 2n
(2)由（1）得 cn
n 1 1 an (n 1)( ) n ，所以 n 2
1 1 1 1 Tn 2 3 ( ) 2 4 ( )3 K ( n 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn 2 ( ) 2 3 ( )3 4 ( ) 4 K (n 1)( ) n 1 2 2 2 2 2
15.数列 {an } 中， a1 1,3an an1 an an1 0(n 2) ． （1）求数列 {an } 的通项； （2）若 an
1 对任意 n 2 的整数恒成立，求实数 的取值范围； an 1
2 an ， {bn } 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn ( 3n 1 1) ． 3
1 1 1 1 1 1 2n1 ( n 3 ) ( n 2 ) n 2 0， 2 5 2 1 2 5 2 1 (2 1)(2n3 1)
∴ Tn Tn1 ， 故数列{ Tn }是单调递增数列，
∴ Tn T1
1 1 1 2 ( ) . 2 5 9 45

，不等式
b 1 b1 1 b2 1 · · · · · · ·n n 1 成立. b1 b2 bn
参考答案
一、选择题 1.C 2.A 3.A 二、填空题 6. n 4.B 5.B
7. an
n 1 5, 2n 1, n 2
8. 2
n 1
1
9.-2
10.3
n 2 7n A． 4 4
n 2 5n B． 3 3
n 2 3n C． 2 4
D． n n
2
4.数列 an 的首项为 3， {bn } 为等差数列且 bn an1 an (n N *) ．若则 b3 2, b10 12 ， 则 a8 （ ）
A．0 B．3 C．8 D．11 5.一个正整数数表如右（表中下一行中的数 的个数是上一行中数的个数的 2 倍）则第 8 行的第 5 个数是 A.68 B.132 C.133 D.260 二、填空题 6.已知数列{ an }中， a1 1 ，若 an 1 an
2
13.在数列 {an } 中，已知 a1 （1）求 b1 , c1 的值；
an an 1 2(n 1)an 2 n . , an1 , bn 2 ， cn n(n 1)2n1 5 2an n an
（2）求证数列 {bn } 是等比数列，并求数列 {an } 的通项公式； （3）求数列 {cn } 前 n 项和 Tn ，并求 Tn 的最小值.
n
n＋1
，n＝1，2，3，„．
下面用数学归纳法证明这个结论． (i)n＝1 时已知结论成立． (ii)假设 n＝k 时结论成立，即 Sk＝
k ， k＋ 1
1 k＋1 当 n＝k＋1 时，由①得 Sk＋1＝ ，即 Sk＋1＝ ， 2－Sk k＋2 故 n＝k＋1 时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知 Sn＝ 对所有正整数 n 都成立． n＋1 n n－1 1 于是当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝ ， n＋1 n n(n＋1) 1 1 又 n＝1 时，a1＝ ＝ ，所以 2 1×2 1 （n N *) ． ｛an｝的通项公式 an＝ ， n(n＋1)
n
13．解： （1） b1
1 5 1 2 2 ， a1 2 2
2 4 4a1 5 8， ∵ a2 2a1 1 2 2 1 9 5
2 8 a1 a2 5 9 2 ∴ c1 2 22 8 45
（2）证明：由 an 1
2(n 1)an n 1 2an n ， 2an n an1 2an
（3）设数列 bn
16.设数列 {an } 满足 a1 0 且
1 1 1． 1 an1 1 an
（1）求 {an } 的通项公式； （2）设 bn
1 an1 n
，记 S n
b
k 1
n
k
，证明： Sn 1 .
17. 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 为 a(a R) , 设数列的前 n 项和为 Sn ，且
高三理科数学
数列
一、选择题 1.已知等差数列{an}满足 a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前 10 项的和 S10＝ A．138 B．135 C．95 D．23 2.若 {an } 为等比数列，且 a1a100=64，则 log2a1+log2a2+log2a3+„+log2a100= A.200 B.300 C.400 D.500 3.设 an 是公差不为 0 的等差数列， a1 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列，则 an 的前 n 项和 Sn =
5 n (当n为偶数） 2 Sn 5 n 1 （当n为奇数） 2 2
1 ． 9
三、解答题 11.解： （1）设数列 {an } 的公比为 q，由 a32 9a2 a6 得 a3 9a4 q
3 2 2
由条件可知 q 0 ，故 q
1 ． 3
由 2a1 3a2 1得 2a1 3a1q 1 ，所以 a1
∴ Tn 的最小值是
2 . 45
1 2
14 解： （1）在 S n an ( )
1 2
n 1
2 中，令 n=1，可得 S1 an 1 2 a1 ，即 a1
1 2 1 2
n2 an Sn Sn 1 an an 1 ( ) n 1 ， 当 n 2 时， Sn 1 an 1 ( ) 2，
由①-②得 Tn 1 ( ) ( ) K ( ) ( n 1)( )
2 3 n
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
n 1
1 1 [1 ( ) n 1 ] 1 3 n3 2 1 4 (n 1)( ) n 1 n 1 1 2 2 2 1 2 n3 Tn 3 n 2
∴ Tn c1 c2 c3 cn
1 1 1 1 1 1 1 [( 2 3 )( 3 4 ) ( n 1 n 2 )] 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 ( n2 ) . 2 5 2 1

∵ Tn1 Tn
2
（1）求数列 {an } 的通项公式； （2）设 bn log3 a1 log3 a2 log3 an ，求数列 {
1 } 的前 n 项和． bn
12．设数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，且方程 x －anx－an＝0 有一根为 Sn－1，n＝1，2，3，„． （1）求 a1，a2； （2） ｛an｝的通项公式．