《3.2 复数的四则运算》教学案二

《3.2复数的四则运算》教学案(二)
教学目标
1、理解复数代数形式的四则运算法则。

2、能运用运算律进行复数的四则运算。

教学重难点
复数的除法运算
教学过程：
一、复习巩固：
1、复数加减法的运算法则：
(1)运算法则：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，那么：z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i ；z 1-z 2=(a -c )+(b -d )i 。

(2)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。

2、复数的乘法：
(1)复数乘法的法则：(a +bi )(c +di )=ac +bci +adi +bdi 2=(ac -bd )+(bc +ad )i 。

(2)复数乘法的运算律：
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。

即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。

3、共轭复数的概念、性质：
定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。

复数z =a +bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即
设z =a +bi (a ，b ∈R )，那么2-2z z a z z bi +==；。

12121212,z z z z z z z z +=+-=- 4、i 的指数变化规律：
4n i =1，41n i +=i ，42n i +=1-，43
n i
+=i - 44142430,()n n n n i i i i n N ++++++=∈
【巩固练习】
1．计算:( 1+2 i )2 _____=i 34-+ 2．计算i 3(1)+_____=-2+2i
3．若z C ∈且z i (3)1+=，则z _____=.-3-i
4．已知m R ∈且m i R 3()+∈，则m _____.=±
5
．已知z i 122
=-+，求z z z 322339+++的值. 8
6．计算: i +2i 2+3i 3+…+2008i 2008；
解:原式=(i -2-3i +4) +(5i -6-7i +8)+…+(2005i -2006-2007i +2008)=502(2-2i ) =1004-1004i . 7.已知复数222(32)(R)x x x x i x +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值。

解:因为420i -的共轭复数是420i +，根据复数相等的定义，可得22
24,
3220.
x x x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得32
36
x x x x =-=⎧⎨
=-=⎩或或，所以3x =-。

二、问题引入： 2(1)i ±=2i ±
1i =2i
i i
=-； 11i i +=-2(1)2(1)(1)2
i i
i i i +==+-； 11i i -=+2(1)2(1)(1)2
i i
i i i --==--+。

三、知识新授：
1、复数除法定义：满足(c +di )(x +yi )=(a +bi )的复数x +yi (x ，y ∈R )叫复数a +bi 除以复数c +d i 的商，记为： ()().a bi
a bi c di c di
++÷++或
2.除法运算规则：
①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )， 即(a +bi )÷
(c +di )=x +yi ∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy ) i . ∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .
由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-=++=.
,2222d c ad bc y d
c b
d ac x 于是有:(a +bi )÷
(c +di )=2
222d
c ad
bc d c bd ac +-+++ i .
②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2
.于是将
di
c bi
a ++的分母有理化得：
原式=
22
()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i
c di c di c di c
d ++-+⋅-+-==++-+ 222222
()()ac bd bc ad i ac bd bc ad
i c d c d c d
++-+-=
=++++. ∴(a +bi )÷
(c +di )=i d c ad
bc d c bd ac 2
222+-+++
点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的
23+的对偶式23-，
它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
四、例题讲解：
例1.计算(12)(34)i i +÷-
解：(12)(34)i i +÷-1234i i +=-(12)(34)(34)(34)i i i i ++=-+22236485103425
i i i i
+++-+==+ 1255
i =-
+ 解法提炼：先写成分式形式，然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)。

化简成代数形式就得结果。

例2、复数z 满足(12)43i z i +⋅=+，求z 。

解：43(43)(12)1052,12(12)(12)5
i i i i
z i i i i ++--====-++- ∴z =2+i . 五、课堂练习： 1、计算:
⑴(7)(34)i i +÷+ ⑵21(
)1i i +- ⑶11
3232i i
-
-+ 答案：(1)1-i (2)-1(3)
413
i 注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、化简等。

2.若12x =
，则2
1x x =-_____.-1 (整体代入法妙)
又如计算32221x x x x -+-
=122
i --
3.已知复数2(1)3(1)
2i i z i
++-=+，且21z az b i ++=+(a b R ∈、
)，则a +b =_____. 1 六、拓展研究:
例3、下列命题中正确的是( 2 )
1212(1)(2)(3)(4)Z Z Z Z Z Z +-如果是实数，则、互为共轭复数纯虚数的共轭复数是。

两个纯虚数的差还是纯虚数两个虚数的差还是虚数。

例4、下列命题中的真命题为( D )
1212121212121212()0,()0,()0,()0,A Z Z Z Z B Z Z Z Z C Z Z Z Z D Z Z Z Z +=+=-=-=若则与互为共轭复数。

若则与互为共轭复数。

若则与互为共轭复数。

若则与互为共轭复数。

例
5: 10050,1z z z =++已知求的值。

解：2
2
42(1),()12
i z i z i -==-=-=-
42541222512()()1(1)(1)()111z z z i i i =+⋅+=-+--+=--+=-原式
例6. ⑴、已知复数z 的平方根为 3 + 4i ，求复数 z ； ⑵、求复数 z =3 + 4i 的平方根.
解：2(1)(34)724z i i =+=-+由题意，知：； (2)()a b i a R
b R
+∈∈设所求复数为，， 2()34a bi i +=+则， 22324a b ab ⎧-=∴⎨=⎩， 2-2.1-1a a b b ==⎧⎧⎨
⎨==⎩⎩
解得：，或 例7、设关于x 的方程2(tan )(2)0()x i x i R αα-+-+=∈，若方程有实数根，求锐角α的值，并求出方程的所有根。

解：x t =设方程的实数根为，
22
(t a n 2)(1)0t a n 2010
t t t i t t t αα--+--=∴--=--=则：，，且，
1t a n 145.
o
t αα∴=-=∴=，，
1212.x x i =-=+，
八、课堂小结：
1、定义: 把满足(c +di )(x +yi ) =a +bi (c +di ≠0) 的复数x +yi 叫做复数a +bi 除以复数c +di 的商， 其中a ，b ，c ，d ，x ，y 都是实数， 记为()().a bi
a bi c di c di
++÷++或
2、
222222
()()
()()
()()()a bi c di c di c di a bi a bi c di c di ac bd bc ad i ac bd bc ad
i
c d c d c d ++÷+=
=
+++-+-=
=++--++++
3、转化思想：
4、整体代换思想：。