广东省珠海市高二年级第一学期期中数学(理科)试题

2015－2016学年度第一学期期中考试高二年级数学（理科）试题考试时间120分钟，总分150分注意事项：1．本试卷共4页,22小题,答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题 ，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1, ，的一个通项公式是A ．n a =B ．n a =C ．n a =D ．n a =2.下列命题中成立的是A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则22a b>C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11>a b [来3．设ABC ∆的内角C B A ，，所对边的长分别为c b a ，，，若B b A a cos cos =， 则ABC ∆的形状为A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 4.数列 11111111111111,,,,,,,,,,,,,,,,223334444nn n n n，则它的前130项的和等于 A . 8115B. 8515C. 16315D. 161115 5.已知点()3,1和()4,6-在直线 320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是 A ．724a a <->或 B ．247a a <->或 C ．724a -<< D ．247a -<<6.若正实数,a b 满足1a b +=，则1a +4b的最小值是 A ．4 B ．6 C ．8 D ．9 7．在ABC ∆中，60A ∠=，a =3b =，则ABC ∆解的情况为A ．有两解B ．有一解C ．无解D ．不能确定 8.已知数列{}n a 满足111,2n n n a a a +=⋅=，则20162015a a = A ．2 B ．20152016 C ．20162015 D ．129.设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=， 则a 的取值范围为 A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞10.已知数列{}n a 的其前n 项和26n S n n =-，则数列{}n a 前10项和为 A ．58 B ．56 C ．50 D ．4511.已知a b c >>，0a b c ++=，当01x <<时，代数式2ax bx c ++的值是A ．正数B ．负数C ．0D ．介于1-与0之间12.关于x 的方程22(3)2140mx m x m ++++=有两个不同的实根 ,且一个大于4,另一个小于4 ,则m 的取值范围为A ．∅B ．），（1-∞-C ．），（∞+23D ．19(,0)13-第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大共4小题 ，每小题5分,满分20分．13.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos 5A =，3AB AC ⋅=．则ABC ∆的面积_________.14. 已知,,,x y a b 为均实数，且满足22224,9x y a b +=+=，则ax by +的最大值m 与最小值n 的乘积mn = .15．数列23n a n n λ=-+*()n N ∈为单调递减数列，则λ的取值范围是__________． 16. 不等式13x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .DCBA三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (Ⅰ)求cos A 的值； (Ⅱ)求sin C 的值.18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 是递增数列，且满足352616,10.a a a a ⋅=+= (Ⅰ)若{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (Ⅱ)若{}n a是等比数列，若n b ={}n b 的前7项的积．7T .19.(本小题满分12分)某家具厂有方木料 90米，五合板 600米，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1米，五合板 2米，生产一个书橱需要方木料 0.2米，五合板 1米，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元．如何安排生产可使所得利润最大？20．（本小题满分12分）已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2122sin=π-）（C ，且222c b a <+． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求cba +的取值范围．21.(本小题满分12分)已知4)2(2)2()(2--+-=x a x a x f ，(Ⅰ)当R x ∈时，恒有0)(<x f ，求a 的取值范围； (Ⅱ)当)3,1[∈x 时，恒有0)(<x f ，求a 的取值范围； (Ⅲ)当(1,3)a ∈时，恒有0)(<x f ，求x 的取值范围．22.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足：13a =,112(2,)n n n a a n n N -*-=+≥∈. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项；(Ⅱ) 若(1)()n n b n a n N *=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ； (Ⅲ)设+11n n n c a a =∙,212222()n n n T c c c n N *=+++∈ ,求证:13n T <(*n ∈N ).2015－2016学年度第一学期期中考试高二年级数学数学试题（理科）参考答案和评分标准DCBA说明：解答题仅给出一种解法过程，其他正确解法过程请参照给分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．13．2 14．36- 15．1λ< 16．(][),24,-∞-+∞ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，BD =. (Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)求sin C 的值.【解】(Ⅰ)在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分 ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.………………………7分由222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，解得BC =……………8分由正弦定理得：1sin sin AB AC BC⋅===……………10分18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 是递增数列，且满足352616,10.a a a a ⋅=+=(Ⅰ)若{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (Ⅱ)若{}n a是等比数列，若n b ={}n b 的前7项的积．7T . 【解】(Ⅰ) 由题设知：26353510,16a a a a a a +==+⋅=…………………1分∴35,a a 是方程210160x x -+=的两根，且35a a < ，解得352,8a a ==，…………3分∴公差为5332a a d -==，37n a n =-；…………5分 21()(437)311222n n n a a n n n n S +-+--===…………7分(Ⅱ) 由题设知：352616a a a a ⋅==⋅，2460a a a <<<………………9分∴44a ==，………………10分∴7712345672128T b b b b b b b =====…………………12分19.(本小题满分12分)某家具厂有方木料 90米，五合板 600米，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1米，五合板 2米，生产一个书橱需要方木料 0.2米，五合板 1米，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元．如何安排生产可使所得利润最大？ 【解】设生产书桌x 张，生产书橱y 个，可获总利润z 元，则 80120z x y =+.…………2分由题设知： 0.10.29026000,0,x y x y x x N y y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩290026000,0,x y x y x x N y y N+≤⎧⎪+≤⎪⇒⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩…………6分 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域， 即可行域，如右图示. …………7分作直线:801200l x y +=，即直线230x y +=. 把直线l 向右上方平移到1l 的位置，直线1l 经过可行域上的点M ，此时80120z x y =+ 取得最大值．…………9分由29002600x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得点M 的坐标为(100,400)．…………10分 ∴当100,400x y == 时， max 8010012040056000z =⨯+⨯=(元)．…………11分 因此安排生产 400 个书橱，100 张书桌，可获利润最大为56 000 元．…………12分20．（本小题满分12分）已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2122sin=π-）（C ，且222c b a <+． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求cb a +的取值范围．【解】(Ⅰ)由题设及余弦定理知：02cos 222<-+=ab c b a C ，即C ∠为钝角，………………2分 得π<<π22C ，又21)22sin(2cos -=π--=C C ，………………4分所以342π=C ，32π=∠C ．………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)及余弦定理知：ab b a ab b a c ++=π-+=2222232cos 2 ………………7分 即 222223()()()24a b c a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭．………………9分所以，342≤⎪⎭⎫⎝⎛+c b a ，332≤+c b a ． ……………………………………10分 又c b a >+，1>+cba ．……………………………………11分 所以cb a +的取值范围为]332,1(． ……………………………………………………12分21.(本小题满分12分)已知4)2(2)2()(2--+-=x a x a x f ，(Ⅰ)当R x ∈时，恒有0)(<x f ，求a 的取值范围； (Ⅱ)当)3,1[∈x 时，恒有0)(<x f ，求a 的取值范围； (Ⅲ)当(1,3)a ∈时，恒有0)(<x f ，求x 的取值范围．【解】(Ⅰ) 2=a ………1分 或 ()()2202162422<<-⇒⎩⎨⎧<-+-=∆<a a a a ，…………3分 ∴(]2,2-∈a …………………4分(Ⅱ) 由题设知：当2a ≤时，恒有0)(<x f 成立 , …………………5分 当2a >时，()f x 在区间[1,3)为增函数，由题设得(3)0f ≤34215a ⇒<≤………………7分 ]1534,(-∞∈∴a …………………8分 (Ⅲ)设()()22()2244f x x x a x x g a =+---=，由题设知：当(1,3)a ∈时，恒有()0g a <…………………9分又()22124(1)30g x x x =---=---<…………………10分∴()23240g x x =+-≤…………………11分∴11x ≤≤…………………12分 22.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足：13a =,112(2,)n n n a a n n N -*-=+≥∈. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项；(Ⅱ) 若(1)()n n b n a n N *=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ； (Ⅲ)设+11n n n c a a =∙,212222()n n n T c c c n N *=+++∈ ,求证:13n T <(*n ∈N ).【解】(Ⅰ) ∵112(2,)n n n a a n n N -*-=+≥∈∴当2n ≥时, 12132121()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-++-+-112212(21)3222232121n n n n ----=+++++=+=+- ；……………………2分又11321a ==+，……………………………………3分 故21()n n a n N *=+∈ ……………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)及题设知：2n n b n =⨯……………………………………5分∴1231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ∴ 23412122232(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅∴ 12312(2222)(1)22n n n n S n n ++=⋅-++++=-⋅+ ………………………7分 (Ⅲ) 由(Ⅰ)及题设知：11(21)(21)n n n c +=++∴11112(21)(21)112()(21)(21)(21)(21)2121n n n nn n n n n n n c n N +*++++-+===-∈++++++………9分 ∴ 12231111111111()()()()2121212121212121n n n n n T -+=-+-++-+-++++++++ 即 11111112121321n n n T ++=-=-+++……………………………………11分 ∴ 13n T <……………………………………12分。