定积分-3
定积分变换上下限
定积分变换上下限摘要：1.引言2.定积分的定义和性质3.定积分变换上下限的方法4.举例说明5.总结正文：1.引言在数学分析中，定积分是一种重要的概念和工具，广泛应用于各种实际问题中。
在求解定积分时，常常需要对积分区间进行变换，以便于计算。
本文将介绍如何通过变换上下限来计算定积分。
2.定积分的定义和性质定积分是指将一个函数在某一区间上的值与区间长度相乘后求和，其结果表示该函数在该区间上的平均值。
定积分的定义为：∫[a, b] f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1 to n] f(xi)Δx，其中a 和b 是积分区间的上下限，f(x) 是被积函数，Δx 是区间长度的分割数，n 是分割点数量。
根据定积分的性质，我们可以将积分区间的上下限进行变换，而不改变积分的结果。
3.定积分变换上下限的方法为了方便计算，我们可以通过变换上下限来改变积分区间。
假设我们需要计算积分∫[a, b] f(x)dx，我们可以将其变换为∫[b, a] f(x)dx。
具体操作如下：(1) 将被积函数f(x) 取相反数，即-f(x)；(2) 交换积分区间的上下限，即变为∫[b, a] -f(x)dx；(3) 对被积函数进行积分，得到新的积分式子：-∫[a, b] f(x)dx。
通过这种方法，我们可以将原来的积分区间[a, b] 变为[b, a]，从而简化计算过程。
4.举例说明假设我们需要计算积分∫[0, π] sin(x)dx，根据上述方法，我们可以进行如下变换：(1) 将被积函数sin(x) 取相反数，即-sin(x)；(2) 交换积分区间的上下限，即变为∫[π, 0] -sin(x)dx；(3) 对被积函数进行积分，得到新的积分式子：-∫[0, π] sin(x)dx。
然后我们可以利用定积分的性质，即∫[a, b] f(x)dx = -∫[b, a] f(x)dx，得到：-∫[0, π] sin(x)dx = ∫[π, 0] sin(x)dx。
新高二数学人教A版选修2-2试题：第1章1.5.3 定积分的概念
一、选择题1．关于定积分m ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎫－13d x ，下列说法正确的是( ) A ．被积函数为y ＝－13xB ．被积函数为y ＝－13C ．被积函数为y ＝－13x ＋CD ．被积函数为y ＝－13x 3【解析】 被积函数为y ＝－13.【答案】 B2．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛-66f (x )d x )＝( )A ．0B ．16C ．12D ．8【解析】 偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.故选B.【答案】 B3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛-11f (x )d x 的值是( )A. ⎠⎛-11x 2d xB. ⎠⎛-112x d xC. ⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD. ⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛01x 2d x【解析】 被积函数f (x )是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由定积分的性质知选D.【答案】 D4．变速直线运动的物体的速度为v (t )≥0，初始t ＝0时所在位置为s 0，则当t 1秒末它所在的位置为( )A ．⎠⎛0t 1∫t 10v (t )d tB ．s 0＋⎠⎛0t 1v (t )d tC ．⎠⎛0t 1v (t )d t －s 0D ．s 0－⎠⎛0t 1v (t )d t【解析】 由位移是速度的定积分，同时不可忽视t ＝0时物体所在的位置，故当t 1秒末它所在的位置为s 0＋⎠⎛0t 1v (t )d t .【答案】 B5．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )，积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关【解析】 定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi 的取法无关． 【答案】 A 二、填空题6．定积分⎠⎛13(－3)d x ＝__________.【解析】 由定积分的几何意义知，定积分 ⎠⎛13(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3与y ＝－3，y ＝0 所围成图形面积的相反数．所以⎠⎛13(－3)d x ＝－(2×3)＝－6.【答案】 －67．定积分⎠⎛-12|x |d x ＝__________.【解析】 如图，⎠⎛-12|x |d x ＝12＋2＝52.【答案】 528．曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x .【答案】 ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x 三、解答题9．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .【解】 (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝⎛⎭⎫14＋154＝12. (2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12 (3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.10．利用定积分的几何意义，求⎠⎛-111－x 2d x 的值．【解】 y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知⎠⎛-111－x 2d x 表示由曲线y ＝1－x 2与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积，所以⎠⎛-111－x 2d x ＝S 半圆＝12π.[能力提升]1．设曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【解析】 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ，选B.【答案】 B2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图1-5-4所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )图1-5-4A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面【解析】 根据定积分的概念以及几何意义等有关知识可知，由题图可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0,0～t 1与x 轴所围成图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面，故选A.【答案】 A3．定积分⎠⎛2 0162 0172 017 d x ＝________________.【解析】 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x ＝2 016，x ＝2 017与y ＝2 017，y ＝0所围成矩形的面积，所以⎠⎛2 0162 0172 017d x ＝(2 017－2 016)×2 017＝2 017.【答案】 2 0174．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[－2，2)，2x ，[2，π)，cos x ，[π，2π]，求f (x )在区间[－2,2π]上的积分．【解】 由定积分的几何意义知⎠⎛-22x 3d x ＝0，⎠⎛2π2x d x ＝(2π＋4)(π－2)2＝π2－4， ⎠⎛π2π∫2ππcos x d x ＝0. 由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛-22x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念
1．5.3 定积分的概念预习课本P45～47，思考并完成下列问题 (1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？(2)定积分的计算有哪些性质？[新知初探]1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξ i )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξ i )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝li m n →∞∑i ＝1n b －anf (ξ i )， 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)．[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 等于由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与曲线y ＝f (x )围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算⎠⎛a bf (x )d x 时，先明确积分区间[a ，b ]，从而确定曲边梯形的三条直边x ＝a ，x ＝b ，y ＝0，再明确被积函数f (x )，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S 而得到定积分的值：当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝S ；当f (x )<0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝－S .2．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛02x 2d x ＝1.( )(2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛a b(x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a bx 2d x ＋⎠⎛a b2x d x . ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2.⎠⎛02x d x 的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D ．－2答案：C3．已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则( ) A.⎠⎛01f (x )d x ＝4 B.⎠⎛02f (x )d x ＝4C.⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝8 D ．以上答案都不对 答案：C4．已知⎠⎛0tx d x ＝2，则⎠⎛－t 0x d x ＝________. 答案：－2[典例] 利用定义求定积分⎠⎛03x 2d x . [解] 令f (x )＝x 2，(1)分割：在区间[0,3]上等间隔地插入n －1个点，把区间[0,3]分成n 等份，其分点为x i＝3i n (i ＝1,2，…，n －1)，这样每个小区间[x i －1，x i ]的长度Δx ＝3n(i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替、求和：令ξi ＝x i ＝3in (i ＝1,2，…，n )，于是有和式：∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫3i n 2·3n ＝27n 3∑i ＝1n i 2＝27n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＝92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n . (3)取极限：根据定积分的定义，有⎠⎛03x 2d x ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx＝⎣⎡⎦⎤92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝9.用定义求定积分的一般步骤(1)分割：n 等分区间[a ，b ]；(2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，可取ξi ＝x i －1或ξi ＝x i ；(3)求和：∑i ＝1n f (ξi )·b －an；(4)取极限：⎠⎛a bf (x )＝li m n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an . [活学活用]利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值． 解：令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫1＋in ·Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫1＋i n 2＋2⎝⎛⎭⎫1＋i n ·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝⎛⎭⎫2＋1n ⎝⎛⎭⎫4＋1n ＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋3＋1n . (3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝S n ＝－13⎝⎛⎭⎫2＋1n ⎝⎛⎭⎫4＋1n ＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23.[典例] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d x B.⎠⎛022x 2d xC.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛012x d x ＋⎠⎛12(x ＋1)d x(2)已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e33，求下列定积分的值： ①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ； ②⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x .[解析] (1)由定积分的几何性质得：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .答案：C(2)解：①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ＝2⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0ex 2d x ＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.②⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝⎠⎛0e2x 2d x －⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0e1d x ， 因为已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e 33， 又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算．(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算．[活学活用]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1.且⎠⎛0－1(2x －1)d x ＝－2，⎠⎛01e －x d x ＝1－e －1，求⎠⎛1－1f (x )d x .解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛0－1(2x －1)d x ＋⎠⎛01e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1).[典例] 求定积分：⎠⎛02(4－(x －2)2－x )d x .[解] ⎠⎛024－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即⎠⎛024－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.⎠⎛02x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积，即⎠⎛02x d x ＝12×22＝2.∴原式＝⎠⎛024－(x －2)2d x －⎠⎛02x d x ＝π－2.当被积函数的几何意义明显时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要注意定积分的符号．[活学活用]计算⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 解：如图所示，由定积分的几何意义得⎠⎛3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，⎠⎛3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得 ⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x ＝⎠⎛3－39－x 2d x －⎠⎛3－3x 3d x ＝9π2.层级一 学业水平达标1．定积分⎠⎛2－2f (x )d x (f (x )>0)的积分区间是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．不确定解析：选A 由定积分的概念得定积分⎠⎛2－2f (x )d x 的积分区间是[－2,2]．2．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A 由定积分的几何意义知，⎠⎛13(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3，y ＝0及y ＝－3所围成的矩形面积的相反数，故⎠⎛13(－3)d x ＝－6.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0af (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a bf (x )d x ＞0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a bf (x )d x ＞0，则f (x )在[a ，b ]上恒正解析：选D A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )＞0的曲线围成的面积比f (x )＜0的曲线围成的面积大．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1 x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛1－1x 2d x ＋⎠⎛1－12xd x D.⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x 解析：选D 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 求出的是( )解析：选D 定积分S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，D 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方．故选D.6．若⎠⎛a b f (x )d x ＝3，⎠⎛a b g (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝__________. 解析：⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝3＋2＝5. 答案：57．若⎠⎛a b f (x )d x ＝1，⎠⎛a b g (x )d x ＝－3，则⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝_______. 解析：⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝2×1－3＝－1. 答案：－18．计算：⎠⎛0416－x 2d x ＝____________.解析：⎠⎛0416－x 2d x 表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14π·42＝4π.答案：4π9．化简下列各式，并画出各题所表示的图形的面积． (1)⎠⎛－3－2x 2d x ＋⎠⎛1－2x 2d x ； (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x .解：(1)原式＝⎠⎛1－3x 2d x ，如图(1)所示． (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎠⎛02|1－x |d x ，如图(2)所示．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5，x ∈[－1，1]，x ，x ∈[1，π)，sin x ，x ∈[π，3π]，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分． 解：由定积分的几何意义知：∵f (x )＝x 5是奇函数，故⎠⎛1－1x 5d x ＝0； ⎠⎛π3πsin x d x ＝0(如图(1)所示)；⎠⎛1πx d x ＝12(1＋π)(π－1)＝12(π2－1)(如图(2)所示)．∴⎠⎛－13πf (x )d x ＝⎠⎛－11x 5d x ＋⎠⎛1πx d x ＋⎠⎛－π3πsin x d x ＝⎠⎛1πx d x ＝12(π2－1)．层级二 应试能力达标1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则⎠⎛a bf (x )d x －⎠⎛a bf (t )d t 的值( ) A ．小于零 B ．等于零 C ．大于零D ．不能确定解析：选B ⎠⎛a bf (x )d x 和⎠⎛a bf (t )d t 都表示曲线y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 及y ＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.2．(陕西高考)如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛01(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x解析：选C 由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.3．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＞a ＞b B ．a ＞b ＞c C ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b解析：选B 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x ＜⎠⎛01x 2d x ＜⎠⎛01x 13d x ，即a ＞b ＞c ，故选B.4．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：选D 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D. 5．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝________.解析：原式＝⎠⎛012d x ＋⎠⎛011－x 2d x .因为⎠⎛012d x ＝2，⎠⎛011－x 2d x ＝π4，所以⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4.答案：2＋π46．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为______．解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝a ⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25. 答案：f (x )＝65x ＋25 7．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，用定积分法求汽车在这一分钟内行驶的路程． 解：依题意，汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t ，0≤t <20，50－t ，20≤t <40，10，40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 s ＝∫600v (t )d t ＝∫20032t d t ＋⎠⎛2040(50－t )d t ＋⎠⎛406010d t ＝300＋400＋200＝900(米)．8．求证：12＜⎠⎛01x d x ＜1.证明：如图，⎠⎛01x d x 表示阴影部分面积，△OAB 的面积是12，正方形OABC 的面积是1，显然，△OAB 的面积＜阴影部分面积＜正方形OABC 的面积，即12＜⎠⎛01x d x ＜1.。
高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.5.3 定积分的概念
课时提升作业(十)定积分的概念一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014·广州高二检测)关于定积分m=dx，下列说法正确的是( )A.被积函数为y=-xB.被积函数为y=-C.被积函数为y=-x+C，D.被积函数为y=-x3【解析】选B.由定积分的定义知，被积函数为y=-.2.定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( )A.[-2，2]B.[0，2]C.[-2，0]D.不确定【解析】选A.由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[-2，2].3.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.4.(2014·南昌高二检测)下列等式不成立的是( )A.[mf(x)+ng(x)]dx=m f(x)dx+n g(x)dxB.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx=sinxdx+sinxdx【解析】选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2014·长春高二检测)定积分(-3)dx=__________.【解析】3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，(-3)dx=-3dx=-6.答案：-66.计算：(1-cosx)dx=________.【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.【解析】根据定积分的几何意义，得1dx=2π，cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.答案：2π【一题多解】在公共积分区间[0，2π]上，(1-cosx)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cosx在[0，2π]上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx在[0，π]上关于点中心对称，在上关于点中心对称，所以区域①与②的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为1，2π的矩形的面积，其值为2π.所以(1-cosx)dx=2π.答案：2π三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2014·济南高二检测)已知x3dx=，x3dx=，x2dx=，x2dx=，求：(1)3x3dx.(2)6x2dx.(3)(3x2-2x3)dx.【解析】(1)3x3dx=3x3dx=3=3=12.(2)6x2dx=6x2dx=6(x2dx+x2dx)=6=126.(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.8.求定积分(-x)dx的值.【解析】(-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式=×π×12-×1×1=-.【拓展延伸】1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S=f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=-f(x)dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·黄冈高二检测)设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy【解析】选B.将曲线方程y=x2与直线方程y=x联立方程组，解得x=0或x=1，结合图形可得B正确.2.如图所示，图中曲线方程为y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.B.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(x2-1)dx【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx，故选C.【举一反三】将本题中的函数改为f(x)=x-1，则(x-1)dx=__________.【解析】直线y=x-1，与x=0，x=1.y=0围成的图形为三角形，面积为S=×1×1=.由定积分的几何意义得(x-1)dx=-.答案：-3.(2013·天津高二检测)曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积用定积分可表示为( )A.dxB.dxC.dxD.dx【解析】选A.如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·深圳高二检测)定积分2014dx=__________.【解析】根据定积分的几何意义2014dx表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014围成的图形的面积，故2014dx=2014×(2015-2014)=2014.答案：20145.定积分(2+)dx=________.【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出2dx，dx.再由性质求和.【解析】原式=2dx+dx.因为2dx=2，dx=，所以(2+)dx=2+.答案：2+三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014·青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx.(2)cosxdx.(3)|x|dx.【解析】(1)如图(1)，xdx=-A1+A1=0.(2)如图(2)，cosxdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3)，因为A1=A2，所以|x|dx=2A1=2×=1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.(2)正确利用相关的几何知识求面积.(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.【解析】依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s=v(t)dt=tdt+(50-t)dt+10dt=300+400+200=900(米).关闭Word文档返回原板块。
负数的定积分
负数的定积分摘要：一、负数定积分的概念1.定积分的定义2.负数定积分的含义二、负数定积分的性质1.负数定积分的几何意义2.负数定积分与相关函数的关系3.负数定积分的运算性质三、负数定积分的计算方法1.基本定理2.分部积分法3.替换变量法四、负数定积分在实际问题中的应用1.物理问题中的应用2.经济问题中的应用3.数学问题中的应用正文：负数定积分是定积分的一种特殊形式，它表示在某一区间内，函数值小于零的部分的累积值。
负数定积分在数学、物理、经济等领域具有广泛的应用。
一、负数定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某一区间内的累积值。
当函数值为负数时，所求的定积分即为负数定积分。
二、负数定积分的性质1.负数定积分的几何意义：负数定积分表示曲线与x轴之间的面积，其值为负数，表示曲线在x轴下方。
2.负数定积分与相关函数的关系：若f(x)在区间[a, b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)在[a, b]上的负数定积分等于F(b) - F(a)。
3.负数定积分的运算性质：负数定积分满足交换律、结合律和分配律。
三、负数定积分的计算方法1.基本定理：若f(x)在区间[a, b]上可积，F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)在[a, b]上的负数定积分等于F(b) - F(a)。
2.分部积分法：将负数定积分转化为正数定积分，通过分部积分法简化计算。
3.替换变量法：将复杂函数的积分问题转化为简单函数的积分问题，利用替换变量法求解。
四、负数定积分在实际问题中的应用1.物理问题中的应用：在物理学中，负数定积分常用于求解速度、加速度、位移等物理量。
2.经济问题中的应用：在经济学中，负数定积分常用于求解成本、收益、利润等经济量。
3.数学问题中的应用：在数学中，负数定积分是研究函数性质、求解极限、求解微分方程等问题的重要工具。
总之，负数定积分作为定积分的一种特殊形式，具有丰富的性质和广泛的应用。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个一、定积分的定义。
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分。
在数学上，定积分可以表示为∫abf(x)dx，其中a和b是积分的区间，f(x)是被积函数。
下面我们将介绍一些常见的定积分公式。
二、基本定积分公式。
1. 基本积分公式。
∫xndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数。
2. 基本三角函数积分公式。
∫sinxdx = -cosx + C。
∫cosxdx = sinx + C。
∫sec^2xdx = tanx + C。
∫csc^2xdx = -cotx + C。
3. 基本指数函数积分公式。
∫e^xdx = e^x + C。
∫a^xdx = a^x/lna + C，其中a>0且a≠1。
4. 基本对数函数积分公式。
∫(1/x)dx = lnx + C。
5. 基本反三角函数积分公式。
∫(1/√(1-x^2))dx = arcsinx + C。
∫(1/√(1+x^2))dx = arctanx + C。
6. 基本双曲函数积分公式。
∫coshxdx = sinhx + C。
∫sinhxdx = coshx + C。
∫sech^2xdx = -tanhx + C。
∫csch^2xdx = -cothx + C。
三、定积分的性质。
1. 定积分的线性性质。
∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
2. 定积分的区间可加性。
若f(x)在区间[a, b]上可积，则∫abf(x)dx = ∫acf(x)dx + ∫cbf(x)dx。
3. 定积分的保号性。
若f(x)在区间[a, b]上连续且f(x)≥0，则∫abf(x)dx ≥ 0。
四、定积分的常用公式。
1. 定积分的换元积分法。
若∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫g(x)dx，则∫f(u)du = ∫g(x)dx，其中u=φ(x)。
1.5.3 定积分的概念
到曲边梯形的曲边,然后通过求曲边梯形的面积得到相应的定积分
的值,但要注意,当f(x)≥0时,
������ ������
f(x)dx=S;当
f(x)<0
时,
������ ������
f(x)dx=-S.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练 2 利用定积分的几何意义计算:
(1)
2 0
(1)
1 0
2dx;(2)
2 1
xdx;(3)
1 -1
1-������2dx.
分析:画出被积函数的图象以及相应的区间,根据定积分的几何 意义,通过平面图形的面积得到相应的积分值.
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解:(1)
1 0
2dx
表示的是图①中阴影所示长方形的面积,由于这个
长方形的面积为
f(x)dx
的几何意义.
名师点拨
������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx,|
������ ������
f(x)dx|几何意义的区别:
������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx,|
������ ������
f(x)dx|的几何意义是不同的,绝不能等同
(2)
������ ������
������1(������) ±
������2(������)
dx=
������ ������
f1(x)dx±
������ ������
3.1.1-3 定积分的定义、性质和几何意义ppt课件
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
二、定积分的定义 1、定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，任取一组分点
a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成 n 个小区间[xi1, xi ] (i 1,2, , n) ，
在各小区间上任取 一点i [ xi1, xi ] ，
4、规定：当 a b时，
b
f ( x)dx
a f ( x)dx ；
a
b
当 a b 时， a f ( x)dx 0 。 a
14
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
3．三类可积函数 （即定积分的存在性）
（1） 若 f ( x)C[a,b]，则 f ( x) R[a,b]。反之未必。 （2）若 f ( x) 在[a,b]上有界，且在[a,b]上除去有限个点
max{x1 , x2 , xn } 趋近于零( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
以上四个步骤可以概括为一句话：
“分割取近似，求和取极限。”
7
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
2、实例2 （求变速直线运动的路程） 设一物体作变速直线运动，已知速度 v v(t) 是 时间 t 的连续函数，且 v(t) 0 ，求在时间间隔[a,b]
此性质可推广到有限多个连续函数代数和的定积分，
b
a [ f1( x) f2 ( x) fn ( x)]dx
b
b
b
a f1( x)dx a f2 ( x)dx a fn ( x)dx 20
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
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0
于是
m− I m− L 2 I2m = 22m1 ⋅ 22m−3 ⋅ I2m⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ I0 2 −4 m−2 4 2
2 I2m+1 = 22m1 ⋅ 2m−1 ⋅ I2m⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ I1 I2m−1 L −4 m+ 2m−
而
I0 =
∫0
π
5 3
π
2
dx = 2 ,
π
I1 = ∫ 2 sin x dx =1
π 4
1 = x tan x 2
8 2
π
0
1 π 4 4− ∫0 tan xdx 2
π π 1 = − ln sec x 4
0
π ln 2 . = − 8 4
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主讲人： 王秀玲
例11. 证明
n−1 ⋅ n−3 ⋅L 3 ⋅ 1 ⋅ π , ⋅ 4 2 2 n 为偶数 n n−2
∫
cos t dt
2
y
y = a2 − x2
a = 2
2
∫0 (1+ cos 2t)dt
2
a 1 = (t + sin 2t ) 2 2
π
2 0
o
a x
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ϕ(t) ϕ′(t)
例 3 计算 2 cos5 xsin xdx . ∫0 解
π
π π
∫
π
2 0
xdx cos5 xsin xdx =−∫02 cos5 xd cosx −∫
(π − x ) sin x = ∫0 dx π −x
π
= ∫0 sin xd x
π
= 2.
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练习 设f ′( x ) = e
解
(1− x ) 2
, f (0) = 0, 求 ∫ f ( x )dx.
0
1
∫
1
0
f ( x )dx = xf ( x) − ∫ xf ′( x )dx = f (1) − ∫ xe
3 2 sin 2 0
π
3 π 2 π sin xd sin x 2
2 sin 5 x]π −[2 sin 5 x]π = 2 −(− 2)= 4 . 提示： =[ 2 2 2 π 3 0 5 5 5 5 2 5 sin3 x−sin5 x = sin3 x(1−sin2 x) =sin 2 x|cosx| .
π +[ 1−x2 ]1 π 2 = = + 3 −1. 0
12 12 2
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π 4
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例10 解
xdx 计算 ∫0 1 + cos 2 x .
Q 1 + cos 2 x = 2 cos 2 x ,
π 4 xdx xdx = π xd (tan x ) 4 ∴∫ =∫ ∫0 2 0 1 + cos 2 x 0 2 cos 2 x
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ϕ(t) ϕ′(t)
练习 计算∫π sin3 x−sin5 xdx . 0 解
π π
3 sin 2
∫0
sin3 x−sin5 xdx=∫0
3 2 sin 2 0
x|cosx|dx
=∫ =∫
π
xcosxdx−∫ xd sin x−∫
3 π 2 π sin xcosxdx 2
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b b = u(x)v(x) − ∫ u′(x) v(x) dx a a
例9. 计算
解
∫
1 2 arcsinxdx 0
= x arcsin x − ∫
0
1 2
1 2
x 1− x
2
0
dx
1 ⋅π − 1 x dx= π + 1 1 1 d(1− x2) 2 2 = 2 6 ∫0 1− x2 12 2 ∫0 1− x2
π π 在[0, ] 上|cos x|=cos x, 在[ , π] 上|cos x|=−cos x. 2 2
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ϕ(t) ϕ′(t)
例4. 计算
2 解: 令 x = tant , 则 dx = sec t dt , 且
, 当x = 0时 t = 0; x =1时 t = 0时 ,
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第三节
定积分的计算
一、定积分的凑微分积分法 二、定积分的换元积分法 三、定积分的分部积分法
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一、定积分的凑微分 法 例1 计算
练习 计算
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二、定积分的换元法 [ . 定理3.1 定理3.1 设函数f ( x)在区间 a, b]上连续作变量替换 x = ϕ(t),满足条件: (1) 当 = α时 x = a,当 = β时 x = b;当 从 变 β时 t , t , t α 到 , x = ϕ(t)在 间 a, b]上 化 区 [ 变 ; (2) ϕ' (t)在 区间α, β ](或 β,α])上 [ [ 连续 ,
2
0
xf (sin x)dx= π
2 ∫0
π
f (sin x)dx . 由此计算
∫
π
0
x sin x dx. 2 1 + cos x
π −t)]dt = π f (cosx)dx . =∫02 f [sin( ∫02
2
易证: 例11
π
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例8 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
1 0 0 0
1 1 0 0
1
1
(1− x ) 2
dx ,
dx ,
由于 f (0) = 0, f (1) = f (1) − f (0) = ∫ f ′( x )dx = ∫ e
(1− x ) 2
故
∫
1
0
f ( x )dx = ∫ (1 − x )e
0
1
(1− x ) 2
1 (1− x ) 2 1 1 dx = − e = (e − 1) 0 2 2
(1) ∫ 2 f (sin x)dx=∫ 2 f (cosx)dx ; 0 0 (2) ∫
π
π
π
证明 (2)令 x = π − t. 因为
0
xf (sin x)dx= π
π
2 ∫0
π
f (sin x)dx . 由此计算
0
∫
π
0
x sin x dx. 2 1 + cos x
∫0 xf (sin x)dx=−∫π (π −t) f [sin(π −t)]dt
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作业： 习题5.3 作业：p-229 习题
2 (3), (7), (9), (11); 3 (2), (5), (6); 6 (3), (7), (12);
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ϕ(t) ϕ′(t)
练习. 练习 计算 解: 令
x =t,
n 为奇数 证: 令 t = π − x , 则 2
π
∫0
令
2
sin x dx = −∫
n
n π sin ( 2 − t) dt π
2
0
2 = ∫ 2 cosn t dt x dx
π
则 u′ = (n −1)sin
π
2 0
0 n−2
xcos x,
x cos x dx
2
v = −cos x
∴ In = [−cos x ⋅ sin
0 5 1 5 1 t6]1 = 1 t dt = 0t dt =[ . 0 6 1 6
令cos x =t
∫
或
∫
2 0
5 cos5 xsin xdx=−∫02 cos xd cosx
π
1 cos6 x]π 2 =− 1 cos6 π + 1 cos6 0= 1 . =− [ 0 6 6 2 6 6
注： 提示： 换元一定要换积分限, 不换元积分限不变. 换元一定要换积分限, π 时 t=0. 当 x=0 时 t=1, 当x= 不换元积分限不变. 2
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例8 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
(1) ∫ 2 f (sin x)dx=∫ 2 f (cosx)dx ; 0 0 (2) ∫
π
0
π
π
π
xf (sin x)dx= π
2 ∫0
π
f (sin x)dx . 由此计算
∫
π
0
x sin x dx. 2 1 + cos x
∫0
x sin x π π sin x dx = ∫ dx 2 2 1 + cos x 2 0 1 + cos x
1 π π π π =− ∫ d (cos x ) = − [arctan(cos x )]0 2 2 0 1 + cos 2 x
π π π π2 = − (− − ) = . 4 2 4 4
ϕ(t) ϕ′(t)
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例2. 计算