2014届高考数学一轮复习精品学案：第5讲函数的图像

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[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第十一篇第5讲几何概型

第5讲几何概型A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，则含有麦锈病种子的概率是( )．A ．1B ．0.1C ．0.01D ．0.001解析设事件A 为“10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝101 000＝0.01，所以10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子的概率是0.01. 答案 C2. (2013·哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( )．A.165B.215C.235D.195解析由几何概型的概率公式，得S 10＝138300，所以阴影部分面积约为235，故选C. 答案 C3．(2011·福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )．A.14 B.13 C.12D.23解析 S △ABE ＝12|AB |·|AD |，S 矩形ABCD ＝|AB ||AD |. 故所求概率P ＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12.答案 C4．(2012·辽宁)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为 ( )．A.16B.13C.23D.45解析设出AC 的长度，先利用矩形面积小于32 cm 2求出AC 长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm ，0＜x ＜12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )＜32⇒0＜x ＜4或8＜x ＜12，故所求概率为812＝23. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·长沙模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0至12之间的概率为________．解析根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.答案 136．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．解析设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P (D )＝1－(12)2π－(14)2ππ＝1316. 答案 1316 三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 8．(13分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件．设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35.(2)m ，n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示，要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1. 分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )．A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22. 答案 B2．(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx 有不等实数根的概率为( )．A.14B.12C.34D.25解析方程x ＝22a －2bx ，即x 2－22ax ＋2b ＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a )2－4×2b >0，即a >b .在如图所示的平面直角坐标系内，(a ，b )的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A “方程x ＝22a －2bx 有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P (A )＝12×1×11×1＝12.故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为________．解析确定点P 到点O 1，O 2的距离小于等于1的点的集合为，以点O 1，O 2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V ＝2×12×43π×13＝43π，圆柱的体积为V ＝Sh ＝3π，所以点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为V ＝1－4π33π＝59. 答案 594．(2012·烟台二模)已知正三棱锥S －ABC 的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC <12V S －ABC 的概率是________．解析三棱锥P －ABC 与三棱锥S －ABC 的底面相同，V P －ABC <12V S －ABC 就是三棱锥P －ABC 的高小于三棱锥S －ABC 的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC 的面积为S ，三棱锥S －ABC 的高为h ，则所求概率为：P ＝13Sh －13×14S ×12h 13Sh＝78.答案 78三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·深圳调研)设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中b ，c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “f (1)≤5且f (0)≤3”发生的概率． (1)若随机数b ，c ∈{1,2,3,4}；(2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x |0≤x ≤1}，b ，c 是算法语句b ＝4*Rand( )和c=4*Rand( )的执行结果.（注：符号“*”表示“乘号”）解由f (x )＝x 2＋bx ＋c 知，事件A “f (1)≤5且f (0)≤3”，即⎩⎨⎧b ＋c ≤4，c ≤3.(1)因为随机数b ，c ∈{1,2,3,4}，所以共等可能地产生16个数对(b ，c )，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．事件A ：⎩⎨⎧b ＋c ≤4，c ≤3包含了其中6个数对(b ，c )，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．所以P (A )＝616＝38，即事件A 发生的概率为38. (2)由题意，b ，c 均是区间[0,4]中的随机数，点(b ，c )均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中(如图)，其面积S (Ω)＝16.事件A ：⎩⎨⎧b ＋c ≤4，c ≤3所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，其面积为S (A )＝12×(1＋4)×3＝152. 所以P (A )＝S (A )S (Ω)＝15216＝1532，即事件A 发生的概率为1532.6．(13分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．解甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以y 和x 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x －y ≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A “有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式，得P (A )＝242－12×222－12×202242＝67288. 故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是67288.。

第05讲函数的图象(教师版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第05讲函数的图象（3类核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5分【备考策略】1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题2.能熟练运用函数的基本性质判断对应函数图象3.能运用函数的图象理解和研究函数的性质【命题预测】本节内容通常考查给定函数解析式来判断所对应的图象，是新高考复习的重要内容1.图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想）①646.27,45.26,236.25,732.13,414.12=====②65.1,39.7,71828.2212====e e e e ③21ln ,1ln ,1.13ln ,69.02ln ,01ln =====e e ④42.02cos ,91.02sin ,54.01cos ,84.01sin -====特别地：当0→x 时xx =sin 例如：1.0099.01.0sin ≈=，3.0296.03.0sin ,2.0199.02.0sin ≈=≈=当0→x 时1cos =x 1980.0)2.0cos(,1995.01.0cos ≈=-≈=2.函数的图象将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f (x 0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }，所有这些点组成的图形就是函数的图象．3.描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．4．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f(x)；②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的w1倍得()y f x w =(0<w <1)②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w1倍得()y f x w =(w >1)③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得()y f x w =(w >1)④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得()y f x w =(0<w <1)(4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．1．（2024·全国·高考真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f æöæö=-+->-+-=-->->ç÷ç÷èøèø，故可排除D.故选：B.2．（2022·全国·高考真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22éù-êúëû的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x p p -éù=-Î-êúëû，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x p æöÎç÷èø时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.1．（2024·河北保定·二模）函数1e ()cos 21e xxf x x -=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设()1e 1e xx g x -=+，则()()1e e 11e 1e x x x x g x g x -----===-++，所以()g x 为奇函数，设()h x =cos2x ，可知()h x 为偶函数，所以()1e cos21e xx f x x -=+为奇函数，则B ，C 错误，易知()00f =，所以A 正确，D 错误．故选：A.2．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数()()2e cos 2e e 1x xx f x =-（e 为自然函数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数的奇偶性可排除B ，C ；再由x 趋近0+，()0f x >，排除D ，即可得出答案.【详解】()()2e cos 2e e 1x xx f x =-的定义域为{}0x x ¹，()()()()2222e cos 2e e e cos2e 1e e 1e x x x x x xx x f x f x --éù-×ëû-===---×，所以()f x 为奇函数，故排除B ，C ；当x 趋近0+，2e 1x >，所以2e 10x ->，()e >1,cos 2e 0xx >，所以()0f x >，故排除D.故选：A.3．（2023·福建福州·模拟预测）函数()f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案．【详解】因为函数()f x =的定义域为R ，排除CD ，又()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ．故选：A ．4．（2024·山东·模拟预测）函数()2e e 1x xf x x --=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】求出函数()f x 的定义域及奇偶性，再由奇偶性在(0,1)内函数值的正负判断即可.【详解】依题意，函数2|e e ()|1x xf x x --=-的定义域为{R |1}x x Î¹±，22)|e e e e ()(|1()|1|x x x xf x f x x x -----==-=----，则()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，B 不满足；当(0,1)x Î时，20,|0e e |1x x x -->>-，则()0f x >，AD 不满足，C 满足.故选：C5．（2024·四川德阳·二模）函数()()π21sin 3221xx x f x æö++ç÷èø=-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据诱导公式化简()f x ，再利用函数奇偶性的定义判断()f x 的奇偶性，从而得解.【详解】因为()()121c s π21sin 3o 22321xxx x x x f x ÷+=×-æö++çèø=-，定义域为()(),00,¥-+¥U ，又()()2121()cos 3cos32121x x x x f x x x f x --++-=×-=-×=---，所以()f x 是奇函数，从而ACD 错误，B 正确.故选：B.1．（2023·天津·高考真题）已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．25e 5e 2x xx --+B ．25sin 1x x +C ．25e 5e 2x x x -++D ．25cos 1x x +【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A 、C 中函数在(0,)+¥上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0f f -=<，由225sin()5sin ()11x xx x -=--++且定义域为R ，即B 中函数为奇函数，排除；当0x >时25(e e )02x x x -->+、25(e e )02x x x -+>+，即A 、C 中(0,)+¥上函数值为正，排除；故选：D2．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x æöÎç÷èø时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<£++，故排除C;设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A.3．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x æö==+ç÷èø，则212sin cos 4y x x x x æö¢=++ç÷èø，当4x p =时，2102164y pp æö¢=+>ç÷èø，与图象不符，排除C.故选：D.1．（2024·湖北·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）A ．e e x xx y -=+B ．cos y x x=C ．()e e x xy x -=-D ．()cos e e x xy x -=+【答案】A【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.【详解】设题设函数为()f x ，由选项可知：ABCD 中的函数定义域均为R ，对于选项D ：若()()cos e e x xf x x -=+，但此时()02f =，矛盾，故可排除D ；对于选项C ：若()()e e x xf x x -=-，但此时()11e e 0f --=->，矛盾，故可排除C ；对于选项B ：若()cos f x x x =，但此时π02f æö=ç÷èø，矛盾，故可排除B.故选：A.2．（2024·湖南·二模）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()221x f x x =--B ．()221x f x x =-+C ．()21x f x x =--D ．()221x f x x =--【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.【详解】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C ；由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B ；由图可知，当x →+¥时，y →-¥，而对于D 选项，当x →+¥时，0y →，故排除D.故选：A.3．（2024·广东广州·一模）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()sin(tan )f x x =B ．()tan(sin )f x x =C ．()cos(tan )f x x =D ．()tan(cos )f x x =【答案】D【分析】利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可.【详解】观察图象可知函数为偶函数，对于A ，()()()()()()sin tan sin tan sin tan f x x x x f x -=-=-=-=-，为奇函数，排除；对于B ，()()()()()()tan sin tan sin tan sin f x x x x f x -=-=-=-=-，为奇函数，排除；同理，C 、D 选项为偶函数，而对于C 项，其定义域为πππ,π22k k æö-++ç÷èø，不是R ，舍去，故D 正确.故选：D4．（2024·陕西安康·模拟预测）函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．2sin ()||1x x x f x x +=+B ．sin ()||1x x f x x =+C ．sin ()||1x x x f x x +=+D ．2sin ()1x x f x x =+【答案】A【分析】由图象分析出函数的奇偶性、函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】由图象可得函数()f x 为偶函数，且x ÎR ，()0f x ³，当且仅当0x =时，()0f x =，对于A ，因为()()()()22sin sin 11x x x x x x f x f x x x --+-+-===-++，x ÎR ，所以函数()f x 是偶函数，又sin y x x =+，0x >，则cos 10y x ¢=+³，所以函数sin y x x =+在()0,¥+上单调递增，所以sin 0y x x =+>，故解析式可能为A ，故A 正确；对于B ，由3π3π3πsin 3π22203π3π21122f -æö==<ç÷èø++，不合题意，故B 错误；对于C ，因为()()()sin sin 11x x x x x xf x x x --+---==-++，所以()()f x f x -¹且()()f x f x -¹-，所以函数()f x 是非奇非偶函数，故C 错误；对于D ，由()2πsin ππ0π1f ==+，不合题意，故D 错误.故选：A.5．（2024·陕西汉中·二模）已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()e e x x x x f x ---=+B ．cos ()e e x x x x f x --=+C ．sin ()e e x xx x f x -+=+D ．cos ()e e x xx x f x -+=+【答案】C【分析】依题意可得()f x 为奇函数，即可排除B 、D ，由函数在π02x <<上的函数值的特征排除A.【详解】由图可知()f x 的图象关于原点对称，则()f x 为奇函数，对于A ：sin ()e e x xx xf x ---=+定义域为R ，当π02x <<时sin 0x x --<，e e 0x x -+>，所以()0f x <，不符合题意，故A 错误；对于B ：cos ()e e x xx xf x--=+定义域为R ，()()cos cos ()e e e e x x x x x x x xf x f x --------==¹-++且()()f x f x -¹，所以cos ()e e x xx xf x --=+为非奇非偶函数，不符合题意，故B 错误；对于D ：cos ()e e x xx xf x -+=+定义域为R ，()()cos cos ()e e e e x xx x x x x xf x f x ---+--+-==¹-++且()()f x f x -¹，所以cos ()e e x xx xf x -+=+为非奇非偶函数，不符合题意，故D 错误；对于C ：sin ()e e x x x x f x -+=+定义域为R ，()sin sin ()()e e e ex xx x x x x xf x f x ---+-+-==-=-++，所以sin ()e e x xx xf x -+=+为奇函数，且当π02x <<时sin 0x x +>，e e 0x x -+>，所以()0f x >，符合题意，故C 正确；故选：C1．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线l 在初始位置与等边ABC V 的底边重合，之后l 开始在平面上按逆时针方向绕点A 匀速转动（转动角度不超过60°），它扫过的三角形内阴影部分的面积S 是时间t 的函数．这个函数的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】取BC 的中点E ，连接AE ，设等边ABC V 的边长为2，求得3tan(30)2ABD S a =-o V ，令()3tan(30)2S x x =-o ，其中060x ££o o ，结合导数，即可求解.【详解】如图所示，取BC 的中点E ，连接AE ，因为ABC V 为等边三角形，可得30EAB Ð=o ，设等边ABC V 的边长为2，且DAB a Ð=，其中060a ££o o ，可得tan(30))DE AE a a =-=-o o，又由ABC V 的面积为ABC S =V ABE S =V ，且13)tan(30)22ADE S a a =-=-o oV ，则ABD △的面积为33tan(30)tan(30)22ABE ADE S S S a a =-=-=-o o V V ，令()3tan(30)2S x x =-o ，其中060x ££o o ，可得()23102cos (30)S x x =´>-¢o ，所以()S x 为单调递增函数，又由余弦函数的性质得，当30x =o 时，函数()S x 取得最小值，所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，结合选项，可得选项C 符合题意.故选：C.2．（2024·四川绵阳·模拟预测）设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点()00,x y ，集合()(){}0,k k x x yf x x D Î-+³"ÎR 只有一个元素，则称函数()f x 具有性质0x F .则下列函数中具有性质1F 的函数是（）A ．()1f x x =--B ．()lg f x x =-C ．()3f x x=D ．()πsin2x f x =【答案】D【分析】根据性质1F 的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.【详解】根据题意，01x =，具有性质1F 的函数()f x ，其图象不能在过点()()1,1f 的直线的上方，且这样的直线斜率k 存在，只有一条；对于A ，作出函数()1f x x =--与()1y k x =-的图象，知满足条件的k 有无数多个；对于B ，作出函数()lg f x x =-与()1y k x =-的图象，这样的k 不存在；对于C ，作出函数()3f x x =与()11y k x =-+的图象，这样的k 不存在；对于D ，作出函数()πsin2xf x =与()11y k x =-+的图象，这样的k 只有一个即0k =.故选：D.3．（2024·山东日照·三模）（多选）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则（）A ．方程()2f x =在[]3,9-上有三个根B ．()()f x f x -=-C ．()f x 在[]6,8上单调递增D ．对任意x ÎR ，都有()()14f x f x +=-【答案】AC【分析】根据正方形的运动，得到点B 的轨迹，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可.【详解】分析正方形顶点B 的运动状态可知，当42x -££-时，B 的轨迹是以A 为圆心，半径为2的14圆；当22x -££时，B 的轨迹是以D 为圆心，半径为的14圆；当24x ££时，B 的轨迹是以C 为圆心，半径为2的14圆；当46x ££时，B 的轨迹是以A 为圆心，半径为2的14圆，作出函数的图象如下图所示：由图知：函数()y f x =的图象与直线2y =在[]3,9-上有三个交点，即方程()20f x -=在[]3,9-上有三个根，A 正确；函数()y f x =的图象关于y 轴对称，所以函数()y f x =是偶函数，B 错误；函数()f x 在[]6,8上单调递增，C 正确；由图象知：()22f =，()22f -=，()()122f f ¹--，D 错误.故选：AC.4．（2024·浙江丽水·二模）已知正实数123,,x x x 满足12111212x x x x ++=，22222313xx x x ++=，33323414x x x x ++=，则123,,x x x 的大小关系是（）A ．321x x x <<B ．123x x x <<C ．132x x x <<D ．213x x x <<【答案】A【分析】依题意可得111122x x x +-=，222313x x x +-=，333144x x x +-=，令()1f x x x=+，()0,x ¥Î+，则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断.【详解】因为1x ，2x ，3x 为正实数，且满足12111212x x x x ++=，22222313x x x x ++=，33323414x x x x ++=，则12111122x x x x +-=，22222133x x x x +-=，33323144x x x x -+=，所以1211122x x x +=-，2222313x x x +=-，3323144x x x +=-，则111122x x x +-=，222313x x x +-=，333144x x x +-=，令()1f x x x=+，()0,x ¥Î+，由对勾函数的性质可得()1f x x x=+在()0,1上单调递减，在()1,¥+上单调递增，且()12f =，满足111122x x x +-=的1x 即为()y f x =与22x y =-的交点的横坐标，满足222313x x x +-=的2x 即为()y f x =与33x y =-的交点的横坐标，满足333144x x x +-=的3x 即为()y f x =与44x y =-的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出()y f x =、22x y =-、33x y =-、44x y =-的图象如下所示：由图可知321x x x <<.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数()y f x =与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小关系问题，准确画出函数图象是关键.1．（2024·河南·模拟预测）在棱长为1的正四面体ABCD 中，P 为棱AB （不包含端点）上一动点，过点P 作平面a ，使AB a ^，a 与此正四面体的其他棱分别交于E ，F 两点，设()01AP x x =<<，则PEF !的面积S 随x 变化的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】取线段AB 的中点O ，连接OC 、OD ，证明出AB ^平面OCD ，分析可知平面a 与平面OCD 平行或重合，分102x <<、12x =、112x <<三种情况讨论，计算出OCD V 的面积，利用三角形相似可得出()f x 的表达式，即可得出合适的选项.【详解】取线段AB 的中点O ，连接OC 、OD ，因为ABC V 、ABD △为等边三角形，O 为AB 的中点，则OC AB ^，OD AB ^，OC OD O Ç=Q ，OC 、OD Ì平面OCD ，AB \^平面OCD ，因为AB ^平面a ，所以，平面a 与平面OCD 平行或重合，且OD OC ===取CD 的中点M ，连接OM ，则OM CD ^，且OM ==12OCD S CD OM =×=△.①当102x <<时，平面//a 平面OCD ，平面a I 平面ABC PE =，平面OCD I 平面ABC OC =，//PE OC \，同理可知，//PF OD ，//EF CD ，所以，PE AE EF AF PFOC AC CD AD OD====，故PEF OCD △∽△，如下图所示：则224OCD S AP x S AO æö==ç÷èø△，则()2S f x ==；②当12x =时，12S f æö==ç÷èø；③当112x <<时，平面//a 平面OCD ，平面a I 平面ABC PE =，平面OCD I 平面ABC OC =，//PE OC \，同理可知，//PF OD ，//EF CD ，所以，PE BE EF BF PFOC BC CD BD OD====，故PEF OCD △∽△，如下图所示：则()2241OCD S BP x S BO æö==-ç÷èø△，则())21S f x x ==-.综上所述，())221,0211,12x S f x x x <£==-<<，故函数()f x 的图象如C 选项中的图象.故选：C.【点睛】关键点点睛：解题的关键对x 分类讨论，求出函数()f x 的解析式，进而辨别出函数()f x 的图象.2．（23-24高二下·四川成都·期中）“肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若,A B 两点关于点()1,1P 成中心对称，则称(),A B 为一对“然诺点”，同时把(),A B 和(),B A 视为同一对“然诺点”．已知()()2e ,1,2,1x x x a f x ax x -ì-<Î=í->îZ 的图象上有两对“然诺点”，则a 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】当1x >时，()2f x ax =-，其关于点(1,1)P 对称的函数为24(1)y ax a x =-+<，问题转化为24y ax a =-+与()2e x y x -=-在(),1x ¥Î-上有两个交点，联立方程得到4e 2x a x -+=-，构造函数4(),()e 2x h x a g x x -=+=-，利用函数图象即可求出结果.【详解】当x ＞1时，()2f x ax =-关于点(1,1)P 对称的函数为24(1)y ax a x =-+<，由题知24y ax a =-+与(2)e x y x -=-在(,1)x ¥Î-上有两个交点，由24(2)e x y ax a y x -=-+ìí=-î，消y 得到24(2)e x ax a x --+=-，又1x <，得到4e 2x a x -+=-，令4(),()e 2x h x a g x x -=+=-，则4()2h x a x =+-和()e x g x -=在(,1)-¥上有两个交点，在同一坐标系中，作出()e x g x -=和42y x =-的图象，如图所示，因为4()2h x a x =+-的图象可由42y x =-上下平移得到，由图知14e 12412a a -ì+<ïï-íï+>ï-î，得到134e 5a -<<+<，又Z a Î，所以4a =．故选：C ．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题（1）先求函数()2f x ax =-关于点()1,1P 对称的函数24(1)y ax a x =-+<；（2）将问题转化为函数24(1)y ax a x =-+<与()2e xy x -=-在(),1x ¥Î-上有两个交点；（3）最后利用构造函数()()4,e 2x h x a g x x -=+=-，通过图象即可求解.3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数221,0()ln ,0x x x f x x x ì++£ï=í>ïî，若方程()f x a =有四个根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则下列说法错误的是（）A ．122x x +=-B ．342x x +>C ．124x x >D ．01a <£【答案】C【分析】分析函数()f x 的性质，作出函数图象，再逐项判断即可.【详解】函数221y xx =++的图象开口向上，对称轴为直线=1x -，当0x £时，2(1)2f x x x =++在(,1]-¥-上递减，函数值集合为[0,)+¥，在[1,0]-上递增，函数值集合为[0,1]，当0x >时，()|ln |f x x =在(0,1]上递减，函数值集合为[0,)+¥，在[1,)+¥上递增，函数值集合为[0,)+¥，方程()f x a =的根是直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，方程()f x a =有四个根1234,,,x x x x ，即直线y a =与函数()y f x =图象有4个交点，在同一坐标系内作出直线y a =与函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，122x x +=-，01a <£，AD 正确；显然34|ln ||ln |x x =，而341x x <<，则34ln ln x x -=，即34ln 0x x =，341x x =，342x x +>=，B 正确；显然210x -<£，212222(2)(1)1[0,1)x x x x x =--=-++Î，C 错误.故选：C一、单选题1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数cos y x =与lg y x =的图象的交点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.【详解】函数cos y x =与lg y x =都是偶函数，其中cos 2πcos 4π1==，lg 4πlg101lg 2π>=>，在同一坐标系中，作出函数cos y x =与lg y x =的图象，如下图，由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D2．（2024·安徽淮北·二模）函数()sin cos xf x x=的大致图像为（）A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用函数的奇偶性排除B,D 两项，再根据图象取特殊值3π4x =，排除A 项即得.【详解】由()sin cos x f x x =可知，cos 0x ¹，即ππ,Z 2x k k ¹+Î，显然该函数定义域关于原点对称，由()sin()sin =()cos()cos x x f x f x x x --==---可知，函数为奇函数，排除B, D 两项，又3πsin3π4(103π4|cos |4f ==>，排除A 项，故C 项正确.故选：C.3．（2024·山东泰安·模拟预测）函数()1cos f x x x x æö=-ç÷èø的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先利用奇函数定义判断函数()f x 为奇函数，排除A ；再利用y 轴右侧有两个零点排除B ；在根据函数值的符号排除C ，即可判断.【详解】函数()f x 的定义域为{}0x x ¹，因为()()()11cos cos f x x x x x f x x x æöæö-=-+-=--=-ç÷ç÷èøèø，所以()f x 为奇函数，排除A ；易知()π102f f æö==ç÷èø，排除B ；当0x >且无限趋近于0时，10,cos 0x x x->>，即()0f x >，排除C .故选：D4．（2024·安徽合肥·三模）函数()24x f x x-=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数奇偶性、在()2,¥+上的单调性、函数值()1f 的正负情况依次判断和排除ABC ，即可得解.【详解】由题()f x 定义域为()(),00,¥¥-È+关于原点对称，且()()()2244x x f x f x xx----==-=--，故()f x 是奇函数，故A 错；当2x >时，()22444x x f x x xx x--===-，又y x =是增函数，4y x =-在()2,¥+上是增函数，故()4f x x x=-在()2,¥+上是增函数，故BC 错；故选：D.5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）函数()221sin 2e e x xx x f x --+=-的部分图象大致为（）.A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由()f x 的定义域排除B ；由()f x 是奇函数排除C ；由π04f æö>ç÷èø排除D ，从而得出答案.【详解】由e e 0x x --¹，得0x ¹，则()f x 的定义域是{}0x x ¹∣，排除B ；由()221sin 2e e x xx xf x -+-=-，得()()222211()sin )sin 22e e (e ex x x xx x x xf x f x ---+-+---==-=---，所以函数()f x 是奇函数，排除C ；222πππ442π1ππsin π42440e e 41e f -æöæö+-ç÷ç÷æöèøèø==>ç÷èø--，排除D.故选：A ．6．（2024·福建南平·模拟预测）函数()22cos 22x xx xf x -=+的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除CD ，计算()πf 即可排除B.【详解】因为()()()22cos 22x xx x f x ----==+()22cos 22xxx xf x -=+，所以()f x 为偶函数，故C ，D 项错误；又()22ππππ2πcosπ2ππ02222f --==-<++，故B 项错误．故选：A ．7．（2024·山西晋中·模拟预测）函数()23cos 33x xf x x x+=-的部分图象大致为（）A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】先判断函数的奇偶性，再分别判断01x <<，1x >时的函数值的正负，运用排除法可得结论.【详解】因为()2233()cos()cos ()3()3()33x x x xf x x f x x x x -+-+==-=------，所以函数为奇函数，可排除D 选项；当01x <<时，2cos 0x x +>，3330x x -<，23cos 033x xx x+<-可排除B ；当1x >时，2cos 0x x +>，3330x x ->，23cos 033x xx x+>-，可排除A ；故选：C.8．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则()y f x =的解析式可能为（）A ．3()91xxx f x ×=-B ．3()91xxx f x ×=+C ．()2ln 1()1x f x x +=+D ．()()2()1ln 2xf x x x -=++【答案】D【分析】利用排除法，取特值，求(1)f 即可判断结果.【详解】对于选项A ：因为3(1)08f =>，与图象不符，故A 错误；对于选项B ：因为3(1)010f =>，与图象不符，故B 错误；对于选项C ：因为ln 2(1)02f =>，与图象不符，故C 错误；故选：D.9．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）函数()f x 的部分图象大致如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()sin e e x xx f x -=+B ．()e e sin x xf x x-=--C ．()e e sin x xf x x -+=D ．()e e sin x xf x x-=-+【答案】A【分析】结合图象可知()f x 为奇函数且(0)0f =，在(0,)+¥上先增后减.根据函数的奇偶性和(0)0f =，结合导数判断函数的单调性依次判断选项即可.【详解】由图可知，()f x 的图象关于原点对称，则()f x 为奇函数，且(0)0f =，在(0,)+¥上先增后减.A ：sin ()e e xx x f x -=+，函数的定义域为R ，sin ()(),(0)0e e x xxf x f x f ---==-=+，故A 符合题意；B ：()e e sin x x f x x -=--，函数的定义域为R ，()e +e cos x x f x x -¢=-，由0x >，得e 1,1cos 1xx >-££，则()e +e cos 210x x f x x -¢=->->，()f x 在(0,)+¥上单调递增，故B 不符合题意；C ：e e ()sin x xf x x-+=，当0x =时，sin 0x =，函数显然没有意义，故C 不符合题意；D ：()e e sin x x f x x -=-+，函数的定义域为R ，()e +e cos x x f x x -¢=+，由0x >，得e 1,1cos 1xx >-££，则()e +e cos 210x x f x x -¢=+>->，()f x 在(0,)+¥上单调递增，故D 不符合题意.故选：A10．（2024·上海奉贤·二模）已知函数()y f x =，其中21y x =+，()y g x =，其中()4sin g x x =，则图象如图所示的函数可能是（）．A ．()()g x y f x =B ．()()f x yg x =C ．()()1y f x g x =+-D ．()()1y f x g x =--【答案】A【分析】根据函数图象和()(),f x g x 的奇偶性判断.【详解】易知()21f x x =+是偶函数， ()4sin g x x =是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，A. ()()()24sin 1g x xy h x f x x ==+=，定义域为R ，又()()()()224si 11n 4sin x xh x h x x x =+--+-=-=-，所以()h x 是奇函数，符合题意，故正确； B. ()()24n 1si f x y g x x x+==，π,Z x k k ¹Î，不符合图象，故错误；C. ()()()2214sin 14si 1n y h x f x g x x x x x ++==+-=-=+ ，定义域为R ，但()()()(),h x h x h x h x -¹-¹-，故函数是非奇非偶函数，故错误；D. ()()()2214sin 14si 1n y h x f x g x x x x x +-==--=-=- ，定义域为R ，但()()()(),h x h x h x h x -¹-¹-，故函数是非奇非偶函数，故错误，故选：A1．（2024·全国·模拟预测）函数()34sin 2xf x x =-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性可判定A ，C ；当0x <<()0f x <，可判定B ，D.【详解】()f x Q 的定义域为{x x ¹，()()34sin 2xf x f x x --==--，\函数()f x 是奇函数，()f x \的图象关于原点对称，排除A ，C ；当0x <<3sin 0x >，（提示：0π<<，故当0x <<sin 0x >，得3sin 0x >）420x -<，()34sin 02xf x x \=<-，排除B ．故选:D ．2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）函数()f x =）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由0x <，()0f x <排除BC ；利用导数探讨函数ln (),1tg t t t=>的性质排除D 即可.【详解】依题意，R x "Î||0x x x >+³恒成立，即函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，01x <=<，则)0x +<，即()0f x <，BC 不满足；当0x >时，令1t x =>ln t t=，令ln (),1tg t t t =>，求导得21ln ()t g t t-¢=，当1e t <<时，()0g t ¢>，当t e >时，()0g t ¢<，即函数()g t 在(1,e)上单调递增，在(e,)+¥上单调递减，max 1()(e)1eg t g ==<，0()1<<f x ，D 不满足，A 满足.故选：A3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()e e 32x xf x x --=-B ．()e e 23x xf x x --=-C ．()e e 32x xf x x -+=-D ．()21x f x x =-【答案】A【分析】利用()f x 在2,3¥æö+ç÷èø上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用()f x 在()1,¥+上的单调性排除D ，从而判断选项.【详解】对于B ，当23x >时，()e e 23x xf x x--=-，e e 0x x -->，230x -<，则()0f x <，不满足图象，故B 错误;对于C ，()e e 32x x f x x -+=-，定义域为2222,,,3333¥¥æöæöæö--È-È+ç÷ç÷ç÷èøèøèø，而()()e e 32x x f x f x x -+-==-，关于y 轴对称，故C 错误;对于D,当1x >时，()22211x f x x x ==+--，由反比例函数的性质可知()f x 在()1,¥+单调递减，故D 错误;利用排除法可以得到，()e e 32x xf x x --=-在满足题意，A 正确.故选：A4．（2024·广西·模拟预测）已知函数()221212xx f x -=+，()2log g x x =，如图为函数()h x 的图象，则()h x 可能为（）A ．()()()h x f x g x =+B ．()()()h x f x g x =-C ．()()()h x f x g x =D ．()()()f x h xg x =【答案】C【分析】由函数的奇偶性结合函数的定义域和图象逐项分析即可；【详解】依题意可知，函数()f x 的定义域为R ，()()222222222212111221222112211122xxxx x xx x x x f x f x --æö--ç÷--èø-=====-+++æö+ç÷èø，所以函数()f x 为奇函数．函数()g x 的定义域为{}0x x ¹，()()2log g x x g x -=-=，所以函数()g x 为偶函数．对于A ，()()()h x f x g x =+的定义域为{|0}x x ¹，()h x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误；对于B ，函数()()()h x f x g x =-的定义域为{|0}x x ¹，()h x 既不是奇函数也不是偶函数，故B 错误；对于C ，函数()()()h x f x g x =的定义域为{|0}x x ¹，()()h x h x -=-，所以()h x 为()f x 奇函数，故C 正确；对于D ，函数()()()f x h xg x =的定义域为{|0x x ¹且1}x ¹±，故D 错误；故选：C ．5．（2024·天津滨海新·三模）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()e e x xf x x --=B ．()221sin 2ln x f x x x+=×C ．()e e x xf x x -+=D ．()221cos 2ln x f x x x+=×【答案】B【分析】根据图象得到该函数的定义域、奇偶性、零点等性质，据此逐项判断即可.【详解】根据题意，由函数的图象，()f x 的定义域为{}0x x ¹∣，其图象关于原点对称，为奇函数；在()0,¥+上，函数图象与x 轴存在交点.由此分析选项：对于A ，()e e x x f x x--=，其定义域为{}0xx ¹，有()()e e e e x x x xf x f x x x -----===-，()f x 为偶函数，不符合题意；对于B ，()221sin2ln x f x x x+=×，其定义域为{}0xx ¹∣，有()()()222211sin 2ln sin 2ln x x f x x x f x x x ++-=-×=-×=-，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称；当()ππ2x k k =+ÎZ 时，()sin20,0x f x ==，函数图象与x 轴存在交点，符合题意；对于C ，()e e x xf x x -+=，当0x >时，e e 0,0x x x -+>>，故()0f x >恒成立，所以该函数图象在()0,¥+上与x 轴不存在交点，不符合题意；对于D ，()221cos2ln x f x x x+=×，其定义域为{}0xx ¹∣，有()()()()222211cos 2ln cos2ln x x f x x x f x f x x x ++-=-×=×=，为偶函数，不符合题意.综上所述，只有选项B 的函数满足，故选：B ．6．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，当点P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM △的面积y 的函数()y f x =的图象的形状大致是（）A ．B ．C ．D ．E ．均不是【答案】A【分析】求出点P 在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.【详解】当点P 在AB 上时，122xy AP BC =´´=，当点P 在BC 上时，111222y AB BC AB BP AD DM MC CP=´-´´-´-´()()1111131122222244xx x =---´-´-=-，当点P 在CM 上时，1155122242y AD PM x x æö=´´=-=-ç÷èø，其中A 选项符合要求，B 、C 、D 都不符合要求，故A 正确.故选：A.7．（2024·浙江·模拟预测）如图①，在矩形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A B C →→的方向运动，当点M 到达点C 时停止运动．过点M 作MN AM ^交CD 于点N ，设点M 的运动路程为,x CN y =，图②表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，则矩形ABCD 的面积是（）A ．20B ．18C ．10D ．9【答案】A 【分析】设AB m =，则9BC m =-，由正切值tan tan BM CNMAB NMC AB CMÐ=ÐÞ=，代入数值后得出二次函数关系，再结合图象和对称轴，顶点坐标求出m ，最后求出面积即可.【详解】由图②可知，9AB BC +=，设AB m =，则9BC m =-，如图，当点M 在BC 上时，则,,9,AB m BM x m MC x NC y ==-=-=，因为MN AM MAB NMC ^ÞÐ=Ð，所以tan tan BM CNMAB NMC AB CMÐ=ÐÞ=，即9x m y m x-=-，化简为2199my x m x m +=-+-，当92m x +=时，代入上式并结合图②可得294945m m y m +æöç÷èø=-+=，解得5m =或815m =（舍去），所以5,4AM BC ==，所以矩形ABCD 的面积是20，故选：A.8．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O 、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由点P 在第二条边上运动时，y 的单调性可排除A ，由图象的对称性可排除B ，由一开始y 与x 是线性的可排除C ，对于D ，当图形是正方形时，可以验证它满足题意.【详解】对于A ，点P 在第一条边上时，y x =，但点P 在第二条边上运动时，y 是随x 的增大先减小（减到最小时y 即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大，对比图象可知，A 错误；对于B ，y 与x 的函数图形一定不是对称的，B 错误；对于C ，一开始y 与x 的关系不是线性的，C 错误；对于D ，因为函数图象对称，所以D 选项应为正方形，不妨设边长为a ，点P 在第一条边上时（即0x a ££时），y x =，点P 在第二条边上运动时（即2a x a ££时），y =点P 在第三条边上运动时（即23a x a ££时），y =，单调递减，点P 在第四条边上运动时（即34a x a ££时），4y a x =-，单调递减，且已知y 与x 的图象关于22lx a ==（其中4l a =）对称，D 正确.故选：D.9．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()3xf x =B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x æö=ç÷èøD ．cos 1()3xf x æö=ç÷èø【答案】A【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.【详解】由函数图象可知，()y f x =的图象不关y 轴对称,而()()cos cos ()33x xf x f x --===，()()cos cos 11()33x xf x f x -æöæö-===ç÷ç÷èøèø，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy =为单调递增函数，13xy æö=ç÷èø为单调递减函数，由sin y x =的图象可知存在一个极小的值00x >，使得sin y x =在区间()00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x =在区间()00,x 上单调递增，sin 1()3xf x æö=ç÷èø在区间()00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x =符合题意，故选：A .10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ì-<ï=--£<íï-³î的图象在区间(),(0)t t t ->内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】令()()11,022,2x x g x g x x ì--£<ï=í-³ïî，()lg m x x =，根据对称性，问题可以转化为()m x 与()g x 的图象在()0,(0)t t >内有5个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.【详解】令()()11,022,2x x g x g x x ì--£<ï=í-³ïî，()lg m x x =，因为()lg m x x =与()lg y x =-的图象关于y 轴对称，因为函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ì-<ï=--£<íï-³î的图象在区间(),(0)t t t ->内恰好有5对关于y 轴对称的点，所以问题转化为()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ì--£<ï=í-³ïî的图象在()0,(0)t t >内有5个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ì--£<ï=í-³ïî的图象如下所示：因为()10lg101m ==，当10x >时()1m x >，()()()()()()13579111g g g g g g ======，结合图象及选项可得t 的值可以是6，其他值均不符合要求,.故选：C。

2014届高三数学一轮复习精讲精练：2.5函数的图像-最新教学文档

第5 课函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）2xy = 12x y -= 123x y -=+；2）2log y x =2log ()y x =-2log (3)y x =-．2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31xy =-；（2）2log (2)y x =-；（3）21xy x -=-．解：（1）将3xy =的图像向下平移1个单位，可得31xy =-的图像．图略；（2）将2log y x =的图像向右平移2个单位，可得2log (2)y x =-的图像．图略；（3）由21111x y x x -==---，将1y x =的图像先向右平移1个单位，得11y x =-的图像，再向下平移1个单位，可得21x y x -=-的图像．如下图所示： 3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）12log ()y x =-；（2）1()2x y =-；（3）12log y x =；（4）21y x =-．解：（1）作12log y x =的图像关于y 轴的对称图像，如图1所示；（2）作1()2x y =的图像关于x 轴的对称图像，如图2所示；（3）作12log y x =的图像及它关于y 轴的对称图像，如图3所示；（4）作21y x =-的图像，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，如图4所示．4. 函数()|1|f x x =-的图象是（ B ）【范例解析】例 1.作出函数2()223f x x x =-++及()f x -，()f x -，(2)f x +，()f x ，()f x 的图O y x1 －1 A 1 x y O B 1 x y O C 1 x y O D 1x y O -1 -1 -1 -1 1 1 1 1－1 O y x 图1 －1Oyx图2－1 O yx 图31 向右平移1个单位向上平移3个单位作关于y 轴对称的图形向右平移3个单位－1 O yx图4像．分析：根据图像变换得到相应函数的图像．解：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；将()y f x =的图像向左平移2个单位得到(2)y f x =+的图像；保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．图略．点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；()y f x =--与()y f x =的图像关于原点对称；()y f x =保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；()y f x =将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．例2.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到)(x f 的图像，第（3）问实质是恒成立问题．解：（1）别是4,0,142-和（2）方程5)(=x f 的解分142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A .由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.【反馈演练】1．函数111--=x y 的图象是（ B ）2. 为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象向右平移1个单位长度得到．3．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k =14-． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y =f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函数的简图：（1）2(1)y x x =-+；（2）21x y =-；（3）2log 21y x =-．O y x －1 1C ． O y －1 1D ．x Oyx1 1 A ． O y11 B ． x。

2014届高考江苏专用(理)一轮复习第十章第5讲直线与圆锥曲线

2
1 (2)当 1－4k ＝0，即 k＝± 时，显然方程①只有一解． 2
2
5 当 Δ＝0 时，即 k＝± 时，方程①只有一解． 2 1 5 故当 k＝± 或 k＝± 时，l 与 C 有唯一公共点． 2 2 5 5 1 (3)当 1－4k ≠0，且 Δ>0 时，即－ <k< 且 k≠± 时，方 2 2 2 程有两解，l 与 C 有两个公共点．
解
x2 y2 (1)根据题意可设椭圆方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)， b a
c 2 2 其中 c 为半焦距，c＝ a2－b2，e＝＝，c＝2 2， a 3 y2 ∴a＝3，b＝1，∴椭圆方程为 x2＋＝1. 9 π (2)由题意知，直线的倾斜角不可能为 0 和， 2 ∴设直线方程为 y＝kx＋m(k≠0)． y＝kx＋m， 2 y2 x ＋ 9 ＝1，
判别式Δ是否为正数．
考点自测
x2 y2 1．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆＋＝1 的位置关系为________． 9 4
解析答案
直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点相交
(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
x2 2．若直线 y＝kx＋1 与椭圆＋y2＝1 只有一个公共点，则 k＝ 16 ________.
解
(1)将(1，－2)代入 y2＝2px，得(－2)2＝2p· 1，
所以 p＝2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y＝－2x＋t，
y＝－2x＋t，由 2 y ＝4x，
得 y2＋2y－2t＝0.
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 Δ＝4＋8t≥0， 1 5 解得 t≥－ .另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d＝， 2 5 |t| 1 可得＝，解得 t＝± 1. 5 5 1 1 因为－1∉－，＋∞，1∈－，＋∞， 2 2 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x＋y－1＝0.

高考数学(一轮复习)学案：《函数的图像》

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习第12课时函数的图像学案【学习目标】1．掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换法．2．了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用函数的图像研究函数的性质，以达到识图、作图、用图的目的．【课本导读】1．函数图像的三种变换 (1)平移变换y ＝f (x )的图像向左平移a (a >0)个单位，得到的图像；y ＝f (x －b )(b >0)的图像可由y ＝f (x )的图像而得到；y ＝f (x )的图像向下平移b (b >0)个单位，得到的图像；y ＝f (x )＋b (b >0)的图像可由y ＝f (x )的图像而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．(2)对称变换y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图像关于对称； y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图像关于对称； y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图像关于对称；y ＝|f (x )|的图像可将y ＝f (x )的图像在x 轴下方的部分，其余部分不变而得到； y ＝f (|x |)的图像可先作出y ＝f (x )当x ≥0时的图像，再作关于y 轴的对称． (3)伸缩变换y ＝f (ax )(a >0)的图像，可将y ＝f (x )的图像上所有点的坐标变为原来的倍，坐标而得到．y ＝af (x )的图像，可将y ＝f (x )的图像上所有点的坐标不变，坐标伸长为原来的．2．几个重要结论(1)若f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，则y ＝f (x )的图像关于直线对称．(2)设函数y ＝f (x )定义在实数集上，则函数y ＝f (x －m )与y ＝f (m －x )(m >0)的图像关于直线对称．(3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，对任意x ∈R 恒成立，则y ＝f (x )的图像关于x ＝a ＋b2对称．(4)函数y ＝f (a ＋x )与函数y ＝f (b －x )的图像关于x ＝b －a2对称．【教材回归】1．函数y ＝lg|x －1|的图像大致为（）2．函数y ＝1－1x －1的图像是( )3．当0<a <1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图像是 ( )4．要得到函数y ＝8·2－x的图像，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像( )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位5．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图像关于直线x ＝1对称，则a 的值为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．－1题型一利用变换作图例1 作出下列函数的图像．(1)f (x )＝x1＋|x |； (2)f (x )＝|lg|x －1||．探究1 (1)一些函数的图像可由基本初等函数的图像通过变换而得，常见图像变换有平移变换，对称变换，伸缩变换，用x ＋m 替换x ，图像发生左、右平移．用y ＋n 替换y ，图像发生上、下平移，用kx 替换x ，图像发生伸缩变化，用－x 、－y 替换x 、y 图像分别关于y 轴、x 轴对称．(2)作函数图像时应结合函数的性质，如f (x )＝x1＋|x |为奇函数，f (x )＝lg|x |为偶函数等．(3)多步变换时，应确定好变换顺序．思考题1 作出下列函数的图像．(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝(12)|x | ； (4)y ＝|log 2x－1|．题型二知式选图或知图选式问题例2 函数f (x )的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式是A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)探究2 对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．思考题2 (1)函数y ＝x2－2sin x 的图像大致是 ( )(2)(2013·衡水调研卷)函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈[－π，π]的大致图像是 ( )题型三函数图像的对称性例3 (1)已知f (x )＝ln(1－x )，函数g (x )的图像与f (x )的图像关于点(1,0)对称，则g (x )的解析式为______．(2)设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图像关于 ( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称探究3 (1)求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程．一般运用相关点求轨迹的方法． (2)下列结论需记住：①f (x ，y )＝0与f (－x ，y )＝0的图像关于y 轴对称； ②f (x ，y )＝0与f (x ，－y )＝0的图像关于x 轴对称； ③f (x ，y )＝0与f (－x ，－y )＝0的图像关于原点对称； ④f (x ，y )＝0与f (y ，x )＝0的图像关于y ＝x 对称；⑤f (x ，y )＝0与f (2m －x ，y )＝0的图像关于直线x ＝m 对称．思考题3 (1)已知函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数y ＝f (2x )的图像关于下列哪个点成中心对称 ( )A ．(1, 0)B ．(－1,0)C ．(12，0)D ．(－12，0) （）(2)求证：函数f (x )满足对任意x ，都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．题型四函数图像的应用例4 (1)函数f (x )＝|4x －x 2|－a 恰有三个零点，则a ＝________． (2)不等式log 2(－x )＜x ＋1的解集为__________．探究4 函数、方程、不等式三者之间有着密切的联系，它们之间的相互转化有时能使问题迎刃而解，本题利用函数的图像来解决方程根的个数问题及不等式求解问题．思考题 4 若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．【本课总结】1．作图的基本方法是描点法，某些函数的图像也可通过已知图像进行变换而得． 2．识图问题的关键是通过函数的性质进行排除确定．3．函数图像能直观反映函数的性质，通过图像可以解决许多问题，如不等式问题、方程问题、函数的值域等．【自助餐】1．已知定理：“若,a b 为常数，()g x 满足()()2g a x g a x b ++-=，则函数()y g x =的图像关于点(,)a b 中心对称”．设函数1()x af x a x+-=-，定义域为A ．（Ⅰ）试证明()y f x =的图像关于点(,1)a -成中心对称；（Ⅱ）当[2,1]x a a ∈--时，求证：1()[,0]2f x ∈-；（Ⅲ）对于给定的i x A ∈，设计构造过程：21()x f x =,32()x f x =，…，1()n n x f x +=．如果(2,3,)i x A i ∈=L ，构造过程将继续下去；如果i x A ∉，构造过程将停止．若对任意i x A ∈，构造过程可以无限进行下去，求a的值．。

【数学】2014年高考数学复习课件：函数的图象

y
o
2
5 x
8.如图, fi(x)(i=1, 2, 3, 4)是定义在 [0, 1] 上的四个函数, 其中满足性质: “对 [0, 1] 中任意的 x1 和 x2 及任意的 ∈[0, 1], f[x1+(1-)x2]≤f(x1)+(1-)f(x2) 恒成立” 的只有( A ) A. f1(x), f3(x) B. f2(x) C. f2(x), f3(x) D. f4(x) y y y f (x) y f (x) 3 f (x) 4
一、函数的图象
在平面直角坐标系中, 以函数 y=f(x) 中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 (x, y) 的集合, 叫做函数 y=f(x) 的图象.
注: 图象上每一点的坐标 (x, y) 均满足函数关系 y=f(x), 反过来, 满足 y=f(x) 的每一组对应值 x, y 为坐标的点 (x, y), 均在其图象上.
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(x 不变)
y=Af(x).
(3)对称变换: ① y=f(x) 与 y=f(-x) 关于 y 轴对称 ② y=f(x) 与 y= -f(x) 关于 x 轴对称 ③ y=f(x) 与 y= -f(-x) 关于原点对称关于直线 y=x 对称 ④ y=f(x) 与 y=f -1(x) ⑤ y=f(x) 与 y= -f -1(-x) 关于直线 y=-x 对称保留 y 轴右边图象, 去掉左边图象, ⑥ y=f(x) 与 y=f(|x|) 再作关于 y 轴的对称图象. ⑦ y=f(x) 与 y=|f(x)| 保留 x 轴上方图象, 将 x 轴下方图象翻折上) x
o
1
2
x
o

2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)---函数概念与表示

2014年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）――函数概念与表示一．【课标要求】1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质二．【命题走向】函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。

从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。

高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大预测2014年高考对本节的考察是：1．题型是1个选择和一个填空；2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。

三．【要点精讲】1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)---函数基本性质

2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）---函数基本性质一．【课标要求】1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；二．【命题走向】从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索预测2010年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点三．【要点精讲】1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

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2014年普通高考数学科一轮复习精品学案第5讲函数的图像一．课标要求：1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。

如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等； 3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。

甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图像，了解它们的变化情况。

二．命题走向函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。

其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。

知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。

从历年高考形势来看：（1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；（2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；（3）与幂函数有关的问题主要以21132,,,,x y x y x y x y x y =====-为主，利用它们的图象及性质解决实际问题；预测2013年高考函数图象：（1）题型为1到2个填空选择题；（2）题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题；函数综合问题：（1）题型为1个大题；（2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用；幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决；三．要点精讲1．函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。

而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。

（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；①平移变换：Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。

②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x )Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x )Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x )Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x )x y =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。

③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。

f (x ) y =f (x )a x ⨯→y =f (ax )（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。

2．幂函数y x =≠αα(,)01在第一象限的图象，可分为如图中的三类：在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数y x=α中α限于在集合---⎧⎨⎩⎫⎬⎭21121312123，，，，，，，中取值。

幂函数有如下性质：⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；⑵定义域为R 或（，）（，）-∞+∞00 的幂函数都具有奇偶性，定义域为[]R ++∞或，0的幂函数都不具有奇偶性；⑶幂函数y x =≠αα()0都是无界函数；在第一象限中，当α<0时为减函数，当α>0时为增函数； ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；四．典例解析题型1：作图例1．（2012沈阳二中阶段考试）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是（）解析：显然当2π=x 时，阴影部分的面积等于41圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，222)214(2)2(ππππ<-=-=f ，即点)22,2(-ππ在直线x y =的下方，故应在C 、D 中选择。

而当当2π=x 时，阴影部分的面积等于41圆的面积加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，23223)22(2)23(πππππ>+=--=f ，即点)223,23(+ππ在直线x y =的上方，故应选择D 。

点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。

要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；A BC D例2．在下列图象中，二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =（ab ）x的图象只可能是（）解析一：由指数函数图象可以看出0<a b <1。

抛物线方程是y =a （x +a b 2）2－224a b ，其顶点坐标为（－a b 2，－ab 42），又由0<a b <1，可得－21<－a b 2<0.观察选择支，可选A 。

解析二：求y =ax 2+bx 与x 轴的交点，令ax 2+bx =0，解得x =0或x =－a b ，而－1<－ab<0。

故选A 。

点评：本题主要考查二次函数、指数函数的图象及性质，源于课本，考查基本知识，难度不大。

本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。

题型2：识图例3．某地一年内的气温()Q t (单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令()C t 表示时间段[]0,t 的平均气温，()C t 与t 之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（）解析：平均气温10℃与函数图像有两个交点，观察图像可知两交点的两侧都低于平均气温，而中间高于平均气温。

时间段内的平均气温，应该从开始持续到平均气温左交点向右一段距离才开始达到平均气温，持续上升一段时间，最后回落到平均气温。

答案A 。

点评：联系生活，体会变量间的相互关系，重视观察图像的变化趋势，结合导数的知识处理实际问题。

例4．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（）A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高。

因此A 项错误。

同理可判断出B 项错误。

由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C 项正确。

点评：该题考查对图表表达的函数的识别和理解能力，要从题目解说入手，结合图像和实际解决问题。

题型3：函数的图象变换例5．函数y =1－11-x 的图象是（）解析一：该题考查对f （x ）=x 1图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y =x1的图形变形到y =11-x ，即向右平移一个单位，再变形到y =－11-x 即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y =－11-x +1，从而得到答案B 。

解析二：可利用特殊值法，取x =0，此时y =1，取x =2，此时y =0。

因此选B 。

点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。

例6．在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称。

现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的表达式为（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x x x x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x fD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x x x x x f解析：原函数的图像仍然是由两条折线段组成，折线段的端点（－2，0）、（0，1）、（1，3）向下平移1个单位是端点（－2，－1）、（0，0）、（1，2），再向右平移2个单位端点为（0，－1）、（2，0）、（3，2），关于直线x y =对称后折线段端点为（－1，0）、（0，2）、（2，3）。