4.2 矩阵的特征值与特征向量

2 当A可逆时, 由 12 n A，知 0，
再由Ax x可得
1 1 A Ax A x A x 1
A 1 x 1 x
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1 的特征向量.
（二）特征值与特征向量的基本性质
n阶矩阵A可逆的充要条件是A的任一特征值不为零。
例4
设是A的特征值，则 2是A2的特征值； 若矩阵A满足A2 =A （这时称A为幂等矩阵）， 则A的特征值只能是0或者1
证明：P129
补例 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则 (1) m是Am的特征值m是任意正整数.
5. 设 n 阶方阵 A aij 的特征值为1 , 2 ,

,
矩阵A的迹 n , 则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
1 1 0 例1 求矩阵A 4 3 0 的特征值和特征向量 . 1 0 2
E Ax 0 有非零解的 值 , 即满足方程E A 0
的都是矩阵A的特征值.
3. E 1 a12 an2 a1n a 2n 0
a 22
a nn
称以为未知数的一元 n次方程 E A 0 为A的 特征方程 .
T
4. 设Ax x , 且A可逆，则 A 1 1 (1) A x x; ( 2) A x x .
证（2）：当A可逆时, 即 A 0时,
由 12 n A，知 0， 再由Ax x可得
A x A Ix A Ax A x A x
A x

A

x
5.
n阶矩阵A互不相同的特征值 1 , 2 , 对应的特征向量 x1 , x2 ,
定理4.4
, m
, xm 线性无关 .
证明：数学归纳法 P128
注意 １. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的． ２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量． ３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值． 因为, 如果设x同时是A的属于特征值1 , 2的
3. 对于特征值i , 求齐次方程组
i E A x 0
的非零解, 就是对应于i的特征向量.
作业

P137
A
7 8
(4)
k p1 ( k 0).
2 1 1 A 0 2 0 4 1 3
当2 3 2时, 解方程 2E A
2 1 1 A 0 2 0 4 1 3 x 0. 由
4 1 1 4 1 1 2E A 0 0 0 0 0 0 , 4 1 1 0 0 0
§4.2 矩阵的特征值与特征向量
（一）矩阵的特征值
定义1 设A是n阶矩阵, 如果数和n维非零列向量x 使关系式 Ax x 成立, 那末, 这样的数称为方阵A的特征值, 非零向 量x称为A的对应于特征值 的特征向量.
x 0, 特征值问题是对方阵而 言的. 说明 1. 特征向量
2. n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
解
2 E A
0 4
2
1
1 0 3
2
2
1
令 ( 1) 2 0 得A的特征值为1 1, 2 3 2.
( 1) 2 ,
当1 1时, 解方程 E A x 0. 由
1 1 1 1 0 1 E A 0 3 0 0 1 0 , 4 1 4 0 0 0 1 得基础解系 p1 0 , 1 故对应于1 1的全体特征向量为
得基础解系为： 0 1 p2 1 , p3 0 , 1 4 所以对应于 2 3 2的全部特征向量为:
k 2 p2 k 3 p3
( k 2 , k 3 不同时为 0).
补例 求n阶数值矩阵
a a A a
1 1 0 A 4 3 0 1 0 2
得基础解系
0 p1 0 , 1
所以kp1 (k 0)是对应于 1 2的全部特征向量 .
当2 3 1时, 解方程( E A) x 0. 由
2 1 0 1 0 1 E A 4 2 0 0 1 2 , 1 0 1 0 0 0
1. 设 n 阶方阵 A aij 的特征值为1 , 2 ,,
n , 则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann
即 i tr ( A)
i 1 n i 1
n
( 2) 12 n i A .
2. 设A的特征值对应的特征向量为x, 则A的 多项式 ( A) a0 I a1 A am Am m 有特征值 ( ) a0 a1 am , 对应的特征 向量仍为 x .
1 2 的特征向量,即有
Ax 1 x ,
1 x 2 x 1 2 x 0, 由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
Ax 2 x
补例：
小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 E A ;
2. 求特征方程 E A 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
记
f E A , 它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
是一个特征值，又称特征根
4. 设 i 为 方阵 A 的一 个 特 征 值 , 则 由 方 程
(i E A) x 0 可求得非零解 x pi ,那么 pi 就是 A 的对
应于特征值 i 的特征向量.
1 1 0 A 4 3 0 1 0 2
得基础解系
1 p2 2 , 1
所以kp 2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征向量 .
2 1 1 例2 设 A 0 2 0 ,求A的特征值与特征向量． 4 1 3
解
A的特征多项式为
1 E A 4
1
1
0 0 ( 2)( 1) 2 ,
3
0
2
所以A的特征值为 1 2, 2 3 1.
当1 2时, 解方程(2E A) x 0. 由
3 1 0 1 0 0 2 E A 4 1 0 0 1 0 , 1 0 0 0 0 0
定理4.3
3. 方阵A与AT的特征值相同，但特征 向量却 未必一样. 证： 由 AT I ( A I )T A I 0
0 1 即知A与A 的特征值相同； 但若取A , 0 0 T 不过， 则明显A与A 的特征值均为1， 2 0， 1 A的特征向量为 x c , (c 0) 0 0 T 而A 的特征向量却为 x c , (c 0) 1
(2) 当A可逆时, 1是A1的特征值.
证明
1 Ax x 2 2 A x x A Ax Ax Ax x
m m A x x m 2 再继续施行上述步骤 次，就得
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
的特征值与特征向量．
1 2 n a
c1 1 c 2 2 c n n (c1 , c 2 , , c n 不 全 为 0)
例3 试证：n阶矩阵A是奇异矩阵的充要条件是 A有一个特征值为零。 必要性：|A|=0 |0E-A|=0
充分性：设A有一个特征值为0，对应特征向量 为y，则 Ay=0y=0 （y不为0） 所以，齐次线性方程组Ax=0有非零解y。由此 可知，|A|=0