河南省信阳市高中高三第二次调研考试(数学理)word版
河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测试题 数学含答案
2023-2024学年普通高中高三第二次教学质量检测数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．．．．．．．．．。
考试结束后．．．．．，将本试卷和答题卡一并交回．．．．．．．．．．．．。
注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{13}A x x =-<∣ ，{}24B x Z x =∈<∣，则A B 等于A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,1,0,1,2--2．若2iz i =+，则复数z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4512a a =，则94S S 等于A ．15B ．1C ．1-D ．9-4．已知向量a ，b 的夹角为3π且2a = ，()1,1b = ，则a 在b 上投影向量的坐标为A．B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．22,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,15．“1x >”是“()12log 10x +<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．过直线y x =上的一点P 作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于y x =对称时，线段PA 的长为A ．4B．CD ．27．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点P 是C 上一点，且5PF =，以PF 为直径的圆截x 轴所得的弦长为1，则p 等于A ．2B ．2或4C ．4D ．4或68．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是A ．1237B ．1537C ．35D ．47二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，M ，N 是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且29MN π=，则下列选项正确的是A ．ω的值为3B ．ω的值为2C ．ϕ的值可以为43πD ．ϕ的值可以为3π10．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位：C ）的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8，则肯定进入夏季的地区有A ．一个都没有B ．甲地C ．乙地D ．丙地11．定义在R 上的函数()f x 满足()()40f x f x ++=，()22f x +是偶函数，()11f =，则A ．()f x 是奇函数B ．()20231f =-C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．1001(21)100k k f k =-=-∑12．如图，双曲线222:C x y a -=的左右顶点为A ，B ，P 为C 右支上一点（不包含顶点），PAB α∠=，PBA β∠=，APB γ∠=，直线l 与双曲线C 的渐近线交于F 、G ，M 为线段FG 的中点，则A ．双曲线C的离心率为e =B ．P 到两条渐近线的距离之积为2a C ．tan tan 2tan 0αβγ++=D ．若直线l 与OM 的斜率分别为1k ，2k ，则121k k =第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13．若5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数为15，则a =_________．14．已知直线210x y -+=的倾斜角为α，则tan2α的值是_________．15．已知函数()22,0,,0,x x x f x e x ⎧=⎨>⎩ 若方程()2[]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x ，则12x x +的最大值是_________．16．已知数列{}n a 通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n nn n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，若()*4n c c n N ∈ ，则实数t 的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河南省信阳市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检测数学(理科)试题
河南省信阳市2020-2021学年普通高中高三第二次教学质量检测数学(理科)一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2650A x x x =-+≤，{}3B x y x ==-，A B 等于（ ）A. [1,)+∞B. []1,3C. (3,5]D. []3,5D先求出集合,A B ，再求交集运算.由{}{}2650|15A x x x x x =-+≤=≤≤，{}{}33B x y x x x ==-=≥所以[]3,5A B =故选;D2. 已知复数2020z i i =+.则||z =( ) A. 2 B. 1C. 0D. 2A易得20201i =，所以1z i =+，进而根据模长公式计算即可..因为2101010102020()(1)1i i ==-=，所以1z i =+，所以|2|z =.故选：A .本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 100，40B. 100，20C. 200，40D. 200，20D首先根据扇形统计图中的数据求出学生总数，接下来结合已知求出样本容量，根据上述所求进一步求出抽取的高中学生人数，然后结合图乙进行解答即可.由图甲可知，学生总数45003500200010000++=（人），故抽取的样本容量为100002%200⨯=（人）， 其中抽取的高中学生有20002004010000⨯=（人）； 由图乙可知，高中生近视率为50%，∴抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=（人）.故选：D ..本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用，解答本题的关键是能从图中获取关键信息，接下来结合已知中的数据进行解答即可，属于常考题.4. 已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--=，{}n a 的前n 项和为n S ，则53S a =（ ） A. 314B.312C.154D.152A由221120n n n n a a a a ++--=,得()()1120n n n n a a a a +++-=，由{}n a 为正项数列，可得12n n a a +=，得出数列{}n a 是等比数列，且公比2q ，设首项为1a ，由等比数列的通项公式和前n 项和公式，代入可得选项.由221120n n n n a a a a ++--=,得()()1120n n n n a a a a +++-=，又{}n a 为正项数列，所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列，且公比2q，设首项为1a ，则()5151123112a S a -==-，231124a a a =⨯=，则53314S a =.故选：A. 本题考查等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，关键在于由已知的递推式，分解因式得出数列是等比数列，属于基础题.5. 如图是函数()f x 的图像，()f x 的解析式可能是（ ）A. 1()ln 1+=-x f x x B. 1()ln 1-=+x f x x C. 11()11=++-f x x x D. 11()11=-+-f x x x C利用赋值法代入0x =，2x =，12x =-，用排除法即可得到答案. 由图象可知(0)0f =，若11()11=-+-f x x x ，11(0)20101f =-=+-，故可排除D ； 当2x =时，(2)0f >，若1()ln1-=+x f x x ，211(2)lnln 0213f -==<+，故可排除B ； 当12x =-时，1()02f ->，若1()ln 1+=-x f x x ，11112()ln ln 012312f -+-==<-，故可排除A ；故选：C.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6. “ln ln x y >”是“1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件A利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332xyy⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，反之1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >.故选：A .本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7. 执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的结果是（ ）A. 11114135717P ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭ B. 11114135719P ⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭ C. 11114135721P ⎛⎫=-+-+⋯+ ⎪⎝⎭D. 11114135721P ⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭B按照程序框图运行程序，寻找规律，直到i n >输出结果即可. 按照程序框图运行程序，输入10n =，0S =，1i =，则1S =，2i =，不满足i n >，循环；113S =-，3i =，不满足i n >，循环；11135S =-+，4i =，不满足i n >，循环；以此类推，1111135719S =-+--⋅⋅⋅-，11=i ，满足i n >，则4P S =，11114135719P ⎛⎫∴=-+--⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭.故选：B .本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于常考题型.8. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A. 30种 B. 50种 C. 60种 D. 90种B先分情况甲选牛共有1121020C C ⋅=，甲选马有1131030C C ⋅=，得出结果.若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1121020C C ⋅=若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1131030C C ⋅=所以共有203050+=种故选B本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.9. 定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则方程()()f x g x =的解的个数是（ ） A. 9 B. 10C. 11D. 12C由题意可得()f x 为周期为2的偶函数，且当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，画出()y f x =的图象，作出()y g x =的图象，通过图象可得两函数的交点个数，可得所求方程解得个数.(1)(1)f x f x -=+，即为(2)()f x f x +=，可得()f x 为周期为2的偶函数，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，即[1,1]x ∈-时，2()f x x =， 画出()y f x =的图象，函数()g x 是定义在R 上的奇函数， 当0x >时，()lg g x x = 可得0x =时，(0)0g =，0x <时，()lg()g x x =--， 作出()y g x =的图象，由lg101=，()f x 的最大值为1，可得0x >时，()y f x =和()y g x =的图象有9个交点； 当0x =时，(0)(0)0f g ==；当0x <时，()y f x =和()y g x =的图象有1个交点； 综上所述，可得()y f x =和()y g x =的图象共有11个交点， 即方程()()f x g x =共有11个解，故选：C. 函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10. 将函数()17cos 488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度，向下平移78个单位长度后，得到()h x 的图象，若对于任意的实数,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()h x ω都单调递增，则正数ω的最大值为（ ） A. 3 B.52C.73D.76B根据三角函数图象变换求得()1cos 483h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()1cos 483h x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出2433333x πωπππωπω+≤+≤+，由函数()y h x ω=单调递增可得出关于ω的不等式组，即可解得正数ω的最大值.将函数()17cos 488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度，得到函数17cos 4838y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 再将所得函数图象向下平移78个单位长度后，得到函数()1cos 483h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则()1cos 483h x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2433333x πωπππωπω+≤+≤+， 由于函数()y h x ω=在区间,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，[]2,2,23333k k πωππωππππ⎡⎤++⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以，2332233k k πωππππωππ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得()16432k k k Z ω-≤≤-∈，由16432k k -≤-，解得76k ≤，k Z ∈，当1k =时，522ω≤≤，因此，正数ω的最大值为52.故选：B. 本题考查利用余弦型函数的单调性求参数，同时也考查了利用函数图象变换求函数解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11. 如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 23y x =±B. 22y x =±C. 3y x =D. 2y x =A设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒= 因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =所以双曲线的渐近线方程为23b y x x a=±=±. 本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.12. 已知函数244()ln -⎫⎛=++ ⎪⎝⎭x f x k x k x ，[1,)∈+∞k ，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y 使曲线()y f x =在M ､N 两点处的切线互相平行，则12+x x 的取值范围为（ ） A. [4,)+∞ B. (4,)+∞C. 16,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 16,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 分析】求得()f x 的导数()f x '，由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠，化为121244()()x x k x x k+=+，因此12164x x k k+>+对[1k ∈，)+∞都成立，令4()g k k k=+，[1k ∈，)+∞，根据对勾函数的性质求出最值即可得出．解：函数244()()x f x k lnx k x-=++，导数2414()()1f x k k x x '=+--．由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠． 即有221122444411k k k k x x x x ++--=--， 化为121244()()x x k x x k+=+， 而21212()2x x x x +<， 2121244()()()2x xx x k k +∴+<+，化为12164x x k k+>+对[1k ∈，)+∞都成立， 令4()g k k k=+，[1,)∈+∞k ，则()g k 在[)1,2上单调减，在[2,)+∞上单调递增， 所以()()min 22442g k g ==+=∴6164414k k=+， 124x x ∴+>，即12x x +的取值范围是()4,+∞．故选：B ．方法点晴：本题利用导数几何意义，函数的单调性与最值问题的等价转化方法、基本不等式的性质．二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知x ，y 满足约束条件221x y y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则3-=y z x 的最大值为________．23- 作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；约束条件所表示的可行域，如图所示：目标式3-=y z x的几何意义是可行域内的点(,)x y 与点(0,3)连线的斜率， 由图可知过点（1，1）时，max 23z =-．故答案为：23-.本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用.14. 在23(23)x x --的展开式中，含2x 的项的系数是__________． -9由于涉及的为三项展开式的问题，解题中可根据组合的方法求解．()3223xx --表示三个()223x x --相乘，所以展开式中含2x 的项有两种情况：（1）从三个()223x x --选取一个然后取2x ，再从剩余的两个()223x x --中分别选取3-，所得结果为12223(3)27C x x ⋅⋅-=；（2）从三个()223x x --选取两个分别取2x -，再从剩余的一个()223x x --中选取3-，所得结果为2223(2)(3)36C x x ⋅-⋅-=-．综上可得展开式中含2x 的项为22236279x x x -+=-． 故答案为9-．本题考查三项展开式的问题，解题的方法有两个：一是转化为二项展开式的问题求解，另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基础题． 15. 已知抛物线2y =4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且FA FB 6⋅=，则|AB|=_____ 6先设直线方程联立抛物线方程得121x x =，由抛物线的焦半径公式写出FA FB ⋅列式可解出12x x +，然后由12AB 2FA FB x x =+=++可求出答案.解：由抛物线2y =4x ，得()1,0F ，当直线AB 垂直与x 轴时，2FA FB ==，不符合故可设直线AB ：y=k(x 1)-，联立抛物线得()2222x 22=0k k x k -++所以121x x =由抛物线的焦半径可知11FA x =+，21FB x =+所以()()1212121211126FA FB x x x x x x x x ⋅=++=+++=++= 所以124x x +=，12AB 26FA FB x x =+=++= 故答案为6本题考查抛物线焦点弦的性质，抛物线的焦半径，属于中档题. 16. 在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________34计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案. ()22211sin ,1cos,22ABC S AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()2222AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意. 故答案为：34.本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. (1) 3C π=.(2) .（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，2221cos 22a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===，即,a Ab B == ∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ 2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b 的取值范围为.本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （0n S ≠），满足1S ，2S ，3S -成等差数列，且123a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()1311nn n n a b a a +-=++，求数列{}n b的前n 项和n T .（1）()2nn a =-.（2）()()112221n n n T ++-+=--+ （1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意结合等差数列、等比数列的性质转化条件可得()()21121a q q a q -+=+、2211a q a q =，即可得解； （2）由题意()()1112121n nn b +=--+-+，利用裂项相消法即可得解.（1）设数列{}n a 的公比为q ，依题意得()1322S S S +-=，所以()()23122a a a a -+=+即()()21121a q q a q -+=+，因为10a ≠，所以2320q q ++=，解得1q =-或2q =-， 因为0n S ≠，所以2q =-，又因为123a a a =，所以2211a q a q =即12a q ==-，所以()2nn a =-；（2）题意可得()()()()()()()111322*********n n nn n n n n b +++-----==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1112121nn +=--+-+，则()()()()()()12231111111212121212121n n n T +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()11122112121n n n +++-+=--=--+-+. 本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了利用裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.19. 为进一步深化“平安校园”创建活动，加强校园安全教育宣传，某高中对该校学生进行了安全教育知识测试（满分100分），并从中随机抽取了200名学生的成绩，经过数据分析得到如图1所示的频数分布表，并绘制了得分在[)30,40以及[]90,100的茎叶图，分别如图2､3所示． 成绩 [)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100频数5304050452010图1（1）求这200名同学得分的平均数；（同组数据用区间中点值作代表）（2）如果变量X 满足()220.9544P X μσμσ-<<+>且()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”．经计算知样本方差为210，现在取μ和2σ分别为样本平均数和方差，以样本估计总体，将频率视为概率，如果该校学生的得分“近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”，则认为该校的校园安全教育是成功的，否则视为不成功．试判断该校的安全教育是否成功，并说明理由．（3）学校决定对90分及以上的同学进行奖励，为了体现趣味性，采用抽奖的方式进行，其中得分不低于94的同学有两次抽奖机会，低于94的同学只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为：奖金 50100概率3414现在从不低于90同学中随机选一名同学，记其获奖金额为ξ，以样本估计总体，将频率视为概率，求ξ的分布列和数学期望． 21014.5≈）（1）65；（2）是成功的，理由详见解析；（3）分布列详见解析，数学期望为87.5 （1）每组的中间成绩乘以对应的频率再求和，就是所求的平均数； （2）计算2,3μσμσ±±的概率，结合茎叶图中的数据即可进行判断；（3）ξ的可能取值为：50,100,150,200，计算每个数值对应的概率，进而得到ξ的分布列，由此计算得出期望.解（1）据频数分布表得：350.025450.15550.2650.25⨯+⨯+⨯+⨯750.225850.1950.0565+⨯+⨯+⨯=， 所以平均数为65．（2）该校的安全教育是成功的．理由如下：14.5≈，所以265214.536μσ-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=，365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，而且据茎叶图2，3知：得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个， 所以7(22)10.9650.9544200P X μσμσ-<<+=-=>， 因为学生的得分都在[]30,100之间，所以(33)10.9974P X μσμσ-<<+=>，所以学生的得分“近似满足正态分布()65,210N 的概率分布”，因此该校的安全教育是成功的．（3）设这名同学获得的奖金为ξ，则ξ的可能取值为50，100，150，200．639(50)10420P ξ==⨯=， 261433(100)1041048P ξ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭，124313(150)104420P C ξ==⨯⨯⨯=， 2411(200)10440P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 分布列为93315010015020087.52082040E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．本题考查了平均数的计算，考查了正态分布，离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了学生的审题和计算能力，属于中档题.20. 已知椭圆N ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1C，且离心率为2.（1）求椭圆N 的标准方程与焦距；（2）直线l ：13y kx =-与椭圆N 的交点为A ，B 两点，线段AB 的中点为M .是否存在常数λ，使AMC ABC λ=⋅∠∠恒成立，并说明理由.（1）2212x y +=，焦距为2；（2）存在常数2λ=，使2AMC ABC ∠=∠恒成立，详见解析.（1）根据上顶点的坐标和离心率可得,,a b c ，从而可求标准方程和焦距.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简CA CB ⋅可得0CA CB ⋅=，从而可得2λ=.（1）因为椭圆N ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1C，且离心率为2，所以1b =，c a =，又因为222a c b -=， 可解得1c =，a =22c =，所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）存在常数2λ=，使2AMC ABC ∠=∠恒成立， 证明如下：由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2291812160kxkx +--=，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则12212918k x x k +=+，12216918x x k -=+. 又因为()11,1CA x y =-，()22,1CB x y =-， 所以()()121211CA CB x x y y ⋅=+--12124433x x kx kx ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()21212416139k x x k x x =+-++()22216412161091839189k k k k k -=+⋅-⋅+=++，所以CA CB ⊥，因为线段AB 的中点为M ，所以MC MB =，所以2AMC ABC ∠=∠. 存在常数2λ=，使2AMC ABC ∠=∠恒成立.求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21. 已知函数()()2 ,xf x e ax ag x lnx =--=.(1)讨论()f x 的单调性;(2)用{},max m n 表示,m n 中的最大值，若函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>只有一个零点,求a 的取值范围.(1) ()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2) )1, [2e ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩+∞⎭(1)先求函数的导函数()'2xf x e a =-，再讨论0a ≤时, 0a >时,函数()f x 的单调性即可；(2)分别讨论函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>在当1,() x ∈+∞，当1x =时，当()0,1x ∈时,函数()h x 零点个数，然后结合函数在(0, )+∞的零点个数即可得解.解:(1)函数()f x 的定义域为R ,且()'2xf x e a =-.当0a ≤时,() 0f x >对x ∈R 恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 当0a >时,令()0f x '=,得() 2x ln a =,当(),2()x ln a ∈-∞时,()0f x '<;当()2,()x ln a ∈+∞时,()0f x '>.所以()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2)①当1,() x ∈+∞时, () 0g x ln x =>,从而()()(){}() ,0h x max f x g x g x =≥>,所以()h x 在(1, )+∞上无零点，②当1x =时, ()13f e a =-,若()()(){}(),11,1103ea h max f g g ≥===,所以1x =是()h x 的零点;若()()(){}() ,11,1103e a h maxfg f <==>,所以1x =不是()h x 的零点. ③当()0,1x ∈时, ()l 0g x n x =<,所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在()0,1上的零点个数.()f x 在()0,1上的零点个数()0f x ⇔=在()0,1上实根的个数21xe a x ⇔=+在()0,1上实根的个数.令函数()(),0,121xe x x x ϕ=∈+,则()()()22121xx e x x ϕ-'=+,所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1(,1)2上单调递增；又()01ϕ=，()31e ϕ=，22e ϕ⎛⎫⎪⎭= ⎝，当2a <或1a ≥时，()f x 在()0,1上无零点;当2a =或13e a ≤<时, ()f x 在()0,1上有唯一零点，3ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有两个零点，综上可得：当a <()h x 在(0, )+∞上有无零点,当a =()h x 在(0, )+∞上有1个零点,当12a <<时，()h x 在(0, )+∞上有2个零点, 当1a ≥时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,则()h x 在(0, )+∞上有唯一零点, a 的取值范围为)1, [e ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩+∞⎭. 本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用函数研究函数的单调性及函数的大致图像，属难度较大的题型.22. 已知直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-．（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 距离的最小值，并求出此时P 点的坐标． （1cos()14πθ，2yx ；（2）P 到直线距离的最小值为：8，此时P 点的坐标为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ （1）先将直线l 的参数方程消去参数化为普通方程，再将其转化为极坐标方程，把2sin 1sin θρθ=-化为2cos sin ρθθ=，然后两边同乘以ρ，再利用公式可转化为直角坐标方程.（2）利用点到直线的距离公式，求出P 到直线l 的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出点P 的坐标即可解：（1）由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数得10x y --=，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ--=cos()14πθ，由2sin 1sin θρθ=-，得2cos sin ρθθ=，22cos sin ρθρθ=，得 2y x ，所以曲线C 的直角坐标方程为2y x （2）设00(,)P x y ，则2000(0)y x x ，点00(,)P x y 到直线l 的距离为2013()x d -+====当012x=时，min 8d =，此时 11(,)24P所以当11(,)24P 时，点P 到直线l 的距离最小，最小值为8此题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，属于基础题.23. 设函数()22f x x x =+--.（1）解不等式()2f x ≥；（2）当x ∈R ，0<y <1时，证明：11221x x y y+--≤+-. （1）{|1}x x ≥；（2）证明见解析.（1）去绝对值将函数转化为()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，然后分2x ≥， 22x -<<两种情况讨论求解.（2）通过（1）得到224x x +--≤，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求得111y y+-的最小值即可.（1）由已知可得：()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，当2x ≥时，42＞成立；当22x -<<时，22x ≥，即1≥x ，则12x ≤＜. ∴()2f x ≥的解集为{|1}x x ≥. （2）由（1）知，224x x +--≤，∵01y ＜＜，则()1111111y y y y y y ⎛⎫⎡⎤+=++- ⎪⎣⎦--⎝⎭， 122241y y y y-=++≥+=- 当且仅当1=1y y y y --，即12y =时取等号， 则有11221x x y y+--≤+-. 本题主要考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
河南省信阳市高三数学上学期第二次调研检测(期末)试卷 理(扫描版)
河南省信阳市2015届高三数学上学期第二次调研检测（期末）试卷理（扫描版）高三数学理科参考答案 一、BCAAC DCABD CB二、13．3 14. -10 15. 2 16. 2 三、17. 解：（Ⅰ）x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=+ =2)6π2sin(2++x ， 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时，()0f x =min ， 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π|. ……………… 6分 （Ⅱ）由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －，所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, ∴函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k -. ……… 12分18.解：（Ⅰ）∵22n n S a =- ① 当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当n=1时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a . 又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-n n c n∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ③ 231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅L n n n n T n n n ④由 -④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅L n n n n T n 23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅L n n n n T n ∴62)23(1-⋅-=-+n n n T ∴62)32(2+⋅-=+n n n T∴数列{}n c 的前n 项和62)32(1+⋅-=+n n n T ……………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．∴ 0.0125x =． ..........................3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ∵12000.12144⨯=，∴1200名新生中有144名学生可以申请住宿.................... 6分 （Ⅲ）∵X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． .................. 10分 所以的分布列为：0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． ................. 12分20．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.∴椭圆C 的标准方程是12622=+y x . ……………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线P Q 的方程为x ＝my +2，将直线P Q 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3. 设M 为P Q 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm .∵TF ⊥P Q ，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=.将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入上式，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 解得3=t . ………………………………………………12分21.解.（Ⅰ）由1e )(--=ax x f x，得a x f x-='e )(.又11)0(-=-='a f ，∴2=a .∴12e )(--=x x f x ，2e )(-='xx f .由02e )(>-='xx f ，得2ln >x .∴函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增. …………4分 (Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e)2(ln )(2ln min -=--==f x f .∴4ln 1)(-≥x f ，即4ln 112e -≥--x x ，04ln 22e >-≥-x x . 令1e )(2--=x x g x，则02e )(>-='x x g x.∴)(x g 在),0(+∞上单调递增，∴0)0(1e )(2=>--=g x x g x， ∴1e 2+>x x .…………（8分） (Ⅲ)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x >. 令331e )(x x h x -=，则2e )(x x h x -='.由(Ⅱ)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增， ∴01)0()(>=>h x h ，所以331e x x >. ∴)31ln(3x x >，即x x ln 33ln >+.依次取nn x 1,,23,12+=Λ，代入上式，则 12ln 33ln 12>+，23ln 33ln 23>+，ΛΛnn n n 1ln33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312nn n n n +⨯⨯⨯>+++++ΛΛ∴()1ln 33ln )131211(+>++++++n n n n Λ，∴()n n n n--+>++++3ln 1ln 3131211Λ，即()n n n n e31ln 1312113+>++++Λ……………………………………12分22. (Ⅰ)∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角 ∴ABP ∆∽CAP ∆ …………………2分∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= ………4分 (Ⅱ)由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2 ∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分 又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分 23．解：(Ⅰ)（方法一）曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x即4)3(22=+-y x ∴曲线C 是圆心为(3,0)，半径为2的圆.∵直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x ………3分- 11 -∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α ………5分 ∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 ………6分(法二)将05cos 62=+-θρρ化成直角坐标方程为05622=+-+x y x ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-+ααsin cos 105622t y t x x y x 消去y x ,得012cos 82=+-αt t …………4分 ∵ l 与C 相切 ∴ Δ=64α2cos -48=0 解得cos α=23± ∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或…………6分 (Ⅱ)设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= ………9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. ………10分24．解：(Ⅰ)∵ab b a ab 2222≥+= 即 ab ab ≥ ∴1≤ab ………2分 又2b211≥≥+a b a 当且仅当b a =时取等号. ∴ 2m = ………5分 (Ⅱ)()f x 2|1||1|||≥+≥++-=tt t x t x ………9分 ∴ 满足条件的实数x 不存在. ………10分。
2023届河南省信阳市普通高中高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2023届河南省信阳市普通高中高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合()(){}210A x x x =+-=，{}2,1,0,1,2B =--，那么BA 等于（ ）A ．2,0,1B ．{1,0,2}-C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】B【分析】根据补集的运算，可得答案.【详解】由题意，{}2,1A =-，则{}1,0,2B A =-. 故选：B.2．下列命题中，错误的命题有（ ）A ．函数()f x x =与()2g x =不是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，201x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<” C ．设函数()22020x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则()f x 在R 上单调递增D ．设,R x y ∈，则 “x y <”是“2()0x y y -⋅<”的必要不充分条件 【答案】C【分析】对于A 选项，定义域不同，函数不同，故A 正确；对于B 选项，由存在量词命题与全称量词命题否定关系，可判断B 正确； 对于C 选项，举反例否定其是增函数，可得C 错误；对于D 选项，举反例说明不充分，并且可证明其是必要条件，故D 正确.【详解】对于A 选项，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数是不同的函数，故A 正确； 对于B 选项，因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以B 正确；对于C 选项，因为0.10-<，但是()()0.1 1.810f f -=>=，与增函数定义矛盾，所以C 错误； 对于D 选项，若x y <，当0y =时，推不出2()0x y y -⋅<，当2()0x y y -⋅<时，0y ≠且x y <，所以D 正确. 故选：C.3．已知角α的终边在直线340x y -=上，则2cos 2sin 2αα+=（ ）A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【分析】由题意可得3tan 4α=，然后化简变形2222cos 4sin cos cos 2sin 2sin cos ααααααα++=+，再给分子分母同除以2cos α，化为正切，再代值计算即可. 【详解】因为角α的终边在直线340x y -=上， 所以当0x >时，在直线上取一点(4,3)，则3tan 4α=， 当0x <时，在直线上取一点(4,3)--，则3tan 4α=， 综上3tan 4α=， 所以2222cos 4sin cos cos 2sin 2sin cos ααααααα++=+231414tan 6449tan 125116αα+⨯+===++， 故选：A.4．在等差数列{}n a 中，38a =，712a =，则12a =（ ） A ．19 B ．18C ．17D ．20【答案】C【分析】利用已知条件列方程组求出1,a d ，从而可求出12a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1128612a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得161a d =⎧⎨=⎩， 所以1211161117a a d =+=+=， 故选：C.5．如图所示的程序框图，输入3个数，0.12a =，0.23b -=，41log 2c =，则输出的a 为（ ）A ．0B ．0.12C ．0.23-D ．41log 2【答案】D【分析】根据条件结构的程序框图，依次执行，即得解 【详解】由题意，输入0.12a =，0.23b -=，41log 2c = 第一步，判定a b >是否成立，由于00.200.121,1233b a b a -==<=∴=>> 因此赋值0.23a -=，第二步，判定a c >是否成立，由于0.24130,log 02c a c a ->=<∴=> 因此赋值41log 2a = 输出41log 2a = 故选：D6．源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中,A B 两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ） A ．18种 B ．36种C ．72种D ．108种【答案】B【分析】先排,A B 两道程序有23A 种放法，再排剩余的3道程序有33A 种放法，再由分步计数原理即可得出答案.【详解】先排,A B 两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放,A B ，共有23A 种放法；再排剩余的3道程序，共有33A 种放法； 则共有2333A A =36⋅种放法. 故选：B.7．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且8AB =，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．1 B ．4 C ．3 D ．7【答案】C【分析】设出()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线焦点弦公式得到126x x +=，进而求出线段AB 的中点横坐标为1232x x +=，得到答案. 【详解】由题意得：()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ， 则1228AB x x =++=，解得：126x x +=， 则线段AB 的中点横坐标为1232x x +=， 故线段AB 的中点到y 轴的距离为3. 故选：C8．已知函数()y f x = 对任意实数x 都有(6)()2(3)f x f x f ++= 且(1)(1)0f x f x -+-= ，则(2022)f 等于（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．6【答案】B【分析】根据题意可推出(1)(1)f x f x -=--即()()f x f x -=-，可得函数()y f x =是奇函数，利用赋值法求得(0)0f =以及(3)0f =，继而根据(6)()2(3)f x f x f ++=推得函数的周期，由此利用周期求得(2022)f 的值.【详解】因为对任意实数x 都有函数满足(1)(1)0f x f x -+-=，即(1)(1)f x f x -=--，即()()f x f x -=-，所以函数()y f x =是奇函数，对于(1)(1)0f x f x -+-=，令1x =，则可得(0)0f =；由(6)()2(3)f x f x f ++=，令3x =-得，(3)(3)2(3)f f f +-=， 即(3)(3)2(3),(3)0f f f f -=∴= ，所以(6)()2(3)0f x f x f ++==，即(6)()f x f x +=-，所以()()()()126f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦ ，即12为函数()y f x =的周期， 所以()(2022)(121686(6)0)0f f f f =⨯+=== , 故选：B ．9．已知函数22π()2sin cos sin (0)24x f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间π5π,562⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】将函数()f x 用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立ω的不等量关系，即可求解.【详解】22()2sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=⋅--⎪⎝⎭2πsin [1cos()]sin sin 2x x x x ωωωω=⋅+--=，()f x 在区间π5π,562⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 250,ππ56x ωωωω>-≤≤，2ππ5π3π,052625ωωω∴-≥-≤∴<≤，. 当ππ2π2π(Z),(Z)22k x k k x k ωωω=+∈=+∈时，()f x 取得最大值， 而()f x 在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， ππ2π2ππ2ωωω⎧≤⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得1522ω≤<，综上，1325ω≤≤. 故选：D.10．某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则（ ）①()0.054=P B ②()20.03=P A B ③()10.06P B A = ④()259P A B = A ．①②④ B ．②③④C ．②③D ．①②③④【答案】B【分析】根据全概率概率公式及条件概率概率公式计算可得；【详解】依题意()10.4P A =，()20.6P A =，()1|0.06P B A =，()2|0.05P B A =，故③正确； 所以()()()()()1122||0.40.060.60.050.054P B P B A P A P B A P A =⋅+⋅=⨯+⨯=， 所以()()110.0540.946P B P B =-=-=，故①错误； 因为()()()222|P BA P B A P A =，所以()()()222|0.60.050.03P BA P B A P A ==⨯=，故②正确；所以()()()220.0350.0549P BA P A B P B ===，故④正确； 故选：B11．设直线0)30(x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是（ ）AB ．12CD【答案】A【分析】联立直线方程与双曲线的渐近线的方程可得(,)33ma bm A b a b a --，(,)33ma bmB b a b a-++，进而可得,A B 中点2222223(,)99ma mb Q b a b a --，由||||PA PB =，可得PQ AB ⊥，进而可得1PQ ABk k ⋅=-，代入得2a b =，c 即可得答案.【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为by x a=±， 由30b y x a x y m ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得33bm y b a ma x b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，不妨设(,)33ma bmA b a b a--， 同理可得(,)33ma bmB b a b a-++， 则,A B 中点2222223(,)99ma mb Q b a b a --，又因为点(,0)P m 满足||||PA PB =，所以点PQ AB ⊥， 所以1PQ AB k k ⋅=-，又因为13AB k =，所以2222223939PQmb b a k mamb a -==---，所以2a b =， 所以2252ac a b =+=， 所以52c e a ==. 故选：A.12．已知关于x 的不等式e ax x b ≥+对任意x R ∈恒成立，则ba的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2eD ．e【答案】C【分析】讨论a 的取值范围，利用函数图象，结合导数求出2ln 1b a a a +=，构造函数2ln )01(,a g a a a+=>，利用导数求出函数的最值，进而得解.【详解】设()axf x e =，()g x x b =+，若e ax x b ≥+，对任意x R ∈恒成立，则()()f x g x ≥，对任意x R ∈恒成立， 当0a ≤时，在同一坐标系中作出函数()(),f x g x 的图象，显然，由图可知e ax x b ≥+，对任意x R ∈不恒成立； 当0a >时，在同一坐标系中作出函数()(),f x g x 的图象，由图可知，临界条件是直线()g x x b =+与曲线()axf x e =的图象相切时，由()axf x e =，求导()e e x f x a '=，设()00e 1ax a f x '==，解得0e 1axa=，且()00e axf x =， ∴当()axf x e =的切线斜率为1时，切点坐标为()00,ax x e ，故001e ax ax b =+=，所以01x b a =-即111e1l 1n 1n e l a ab a b ab a a a a ab -⎛⎫- ⎪⎝⎭=⇒==-⇒+=-⇒ 两边同除以2a ，2ln 1b a a a +=，令2ln )01(,ag a a a +=> 求导24332(1ln )12(1ln )12ln ()1a a a a a g a a a a a ⋅-+-+--'===令()0g a '=，得1ln 2a =-，即12e a -=当120,e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g a '>，函数()g a 单调递增，当12e ,a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g a '<，函数()g a 单调递减，所以当12e a -=，函数()g a 取到最大值，且11222112ln ee(e )1e 2e 12g ----+===⎛⎫ ⎪⎝⎭故b a 的最大值为2e 故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.二、填空题13．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 【答案】2-【详解】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.【解析】复数的运算.14．()()24211x x +-的展开式中4x 的系数为_____________． 【答案】9【分析】利用二项式定理求指定项的系数.【详解】()2424(21)(1)441(1)x x x x x +-=++-，展开式中4x 的系数为()2344444C 4C 1C 9+⨯-+=．故答案为：915．已知D 是ABC 内部（不含边界）一点，若::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，AD x AB y AC =+，则x y +=__________. 【答案】23【分析】利用向量共线表示AM AD x AB y AC λλλ==+，以及()1AM AB AC μμ=-+，转化求得1x y +=λ，根据图形可知AMAD=λ，再逐步变形转化为面积比值，即可求解. 【详解】如图，连结AD 并延长交BC 于点M ， 设点B 到AD 的距离为B d ，点C 到AD 的距离为C d ，因为::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，所以设5,4,3ABD BCDCAD S k S k S k ==△△,设AM AD x AB y AC λλλ==+，BM BC μ=， 所以()AM AB BM AB BC AB AC AB μμ=+=+=+-()1AB AC μμ=-+，所以1x y λμλμ=-⎧⎨=⎩，即11x y μμλλλ-+=+=， ()()()B C B C AD DM d d AM AD DM AD AD AD d d λ+⨯++===⨯+ ()1112221122B C B C B C AD d AD d DM d d AD d AD d ⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯ 5343532k k k k k ++==+，所以123x y +==λ. 故答案为：2316．剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径20cm AB =，需要剪去菱形EFGH ，可以经过两次对折、沿EF 裁剪、展开后得到.若CF EF =，要使镂空的菱形EFGH 面积最大，则菱形的边长EF =______cm.【答案】203##263【分析】设圆心为O ，结合已知条件，求出OF 与OE 的关系式，然后利用导函数即可求解菱形EFGH 面积最大值，进而可得到答案.【详解】设圆心为O ，由圆的性质可知，A ，E ，O ，G ，B 共线，C ，F ，O ，H ，D 共线， 由菱形性质可知，EG FH ⊥，不妨令OF m =，OE n =，且半径为10， 则22=10EF m n CF m +==-，即2121010m n =-，010n <<， 故314221010EFGH OEFS SOE OF mn n n ==⋅==-+， 不妨令31()1010f x x x =-+，010x <<， 则23()1010f x x '=-+，从而()00f x x '>⇒<<；()010f x x '<⇒<<，故()f x 在上单调递增，在上单调递减，所以当x =()f x 在(0,10)上取最大值，从而要使镂空的菱形EFGH 面积最大，则n =， 由2121010m n =-可知，103m =，则此时20103EF m =-=. 故答案为：203.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b A c =． （1）求B 的大小；（2）若2c a b +=，求ABC 的面积．【答案】（1）6π； （2【分析】（1sin cos A A B =，求得cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为cos b A c =，由正弦定理可得sin cos sin B A A C =， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin cos A A B =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以cos B = 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，c由余弦定理可得22cosB =，整理得2233a b a -+=， 又2a b +=，解得1a b ==，所以111sin 1222ABCSac B ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的27，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.(1)完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？ (2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X 表示选出的2人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 附：22()()n ad bc K n a b c d -==+++.【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关． (2)分布列见解析，8()9E X =.【分析】（1）根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出卡方，即可判断；（2）首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意X 的所有可能取值为0，1，2，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；【详解】（1）解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为()2720020027040⨯+=人， 则女生中对冰壶运动有兴趣的有20080120-=人， 男生中对冰壶运动有兴趣的有270120150-=人， 所以男生中对冰壶运动无兴趣的有20015050-=人， 所以22⨯列联表：22400(1508050120)40010.256 6.63527013020020039K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，抽到的男生人数、女生人数分别为：15095270⨯=（人)，12094270⨯=（人)， 则X 的所有可能取值为0，1，2，所以2529C 105(0)C 3618P X ====，114529C C 205(1)C 369P X ====， 4292C 61(2)C 366P X ====， 故X 的分布列是：故5518()01218969E X =⨯+⨯+⨯=．19．在数列{an }中，1244n n a a n ++=-（n ∈N *），123a =-. (1)求n a ；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值．【答案】(1)24,21,21,2,n n n k k Za n n k k Z -=+∈⎧=⎨-=∈⎩(2)当n 为偶数时，n S 取得最小值为－242；当n 为奇数时，n S 取最小值为－243【分析】（1）根据题干条件得到()212144n n a a n +++=+-，与1244n n a a n ++=-相减后得到212n n a a ++-=，故得到a 1，a 3，a 5，…是以123a =-为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以219a =-为首项，2为公差的等差数列，进而求出通项公式；（2）分n 为偶数和n 为奇数两种情况表达出n S ，并求出最小值.【详解】（1）∵1244n n a a n ++=-（n ∈N *），①()212144n n a a n +++=+-②②－①得，22n n a a +-=. 又∵a 2＋a 1＝2－44，a 1＝－23， ∴a 2＝－19，同理得，a 3＝－21，a 4＝－17.故a 1，a 3，a 5，…是以123a =-为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以219a =-为首项，2为公差的等差数列．从而24,21,21,2,n n n k k Za n n k k Z -=+∈⎧=⎨-=∈⎩ （2）当n 为偶数时，()()()12341n n n S a a a a a a -=++++++ ()()()214423442144n =⨯-+⨯-++⨯--⎡⎤⎣⎦()2131442n n =+++--⨯⎡⎤⎣⎦2222n n =- 故当n ＝22时，Sn 取得最小值为－242. 当n 为奇数时，()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++()()2322442144n =-+⨯-++⨯--⎡⎤⎣⎦()1232241442n n -=-+++--⨯⎡⎤⎣⎦()()()11232212n n n +-=-+--232222n n =--. 故当n ＝21或n ＝23时，Sn 取得最小值－243.综上所述：当n 为偶数时，Sn 取得最小值为－242；当n 为奇数时，Sn 取最小值为－243. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP PB 分别交直线6x =-于,M N 两点，连接NA 并延长交椭圆C 于点Q .（ⅰ）求证：直线,AP AN 的斜率之积为定值； （ⅱ）判断,,M B Q 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.【分析】（1）根据长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -2,c a e a === （2）（ⅰ）设00(,)P x y ，则直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -，再由直线的交点，求得点N 的坐标，进而得到直线AN 的斜率，然后结合220014x y +=运算即可；（ⅱ）设直线AP 斜率为k ，易得M 的坐标，再由（ⅰ）得到直线AN 斜率为12k-，写出直线AN 的方程，与椭圆方程联立，求得Q 点的坐标，再判断直线BQ k 与BM k 是否相等即可. 【详解】（1）由题意得2,c a e a ===所以2221==-=c b a c ， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）（ⅰ）证明：设00(,)P x y ，因为P 在椭圆C 上，所以220014x y +=. 因为直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -，所以直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--. 所以N 点的坐标为008(6,)2y N x ---.所以直线AN 的斜率为0000822622y x y x --=-+-. 所以直线,AP AN 的斜率之积为：20200022000021422122442x y y y x x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭⋅===-+---.（ⅱ）,,M B Q 三点共线.设直线AP 斜率为k ，易得(6,4)M k --. 由（ⅰ）可知直线AN 斜率为12k -，所以直线AN 的方程为1(2)2y x k=-+. 联立22440,22,x y x ky ⎧+-=⎨=--⎩可得22(44)80k y ky ++=.解得Q 点的纵坐标为221kk -+， 所以Q 点的坐标为222222(,)11k kQ k k --++. 所以，直线BQ 的斜率为22220122221kk k k k--+=--+，直线BM 的斜率为40622k k --=--. 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率， 所以,,M B Q 三点共线.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．已知函数()e sin cos xf x x x ax =+--．(1)若函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)设函数()()()ln 1g x f x x =--，若()0g x ≥，求a 的值． 【答案】(1)2a ≤ (2)3a =【分析】（1）由题意()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，利用分离参数法得到e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立.设()e cos sin x h x x x =++，利用导数判断出函数()h x 在[)0,∞+上单调递增，求出2a ≤；（2）把题意转化为(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥恒成立.由0x =为()g x 的一个极小值点，解得3a =.代入原函数验证成立.【详解】（1）由题意知()e cos sin xf x x x a '=++-因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，即e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立设()e cos sin xh x x x =++，则()e sin cos 4x x h x x x e x π⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭当02x π≤<时，()e 1104xh x x π⎛⎫'=->-= ⎪⎝⎭当2x π≥时，()2e e 0h x π'>>>所以函数()e cos sin xh x x x =++在[)0,∞+上单调递增所以()()min 02a h x h ≤==（2）由题知()()()()()ln 1e sin cos ln 11xg x f x x x x ax x x =--=+----<所以()1e cos sin 1xg x x x a x'=++-+-，()00g = 因为()0g x ≥，所以(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥即()0g 为()g x 的最小值，0x =为()g x 的一个极小值点，所以()010e cos0sin 0010g a '=++-+=-，解得3a = 当3a =时，()()()e sin cos 3ln 11xg x x x x x x =+----<所以()11e cos sin 3e 3141xx g x x x x x x π⎛⎫'=++-+=+-+ ⎪--⎝⎭ ①当01x ≤<时，()11310g x '≥+-+=（当且仅当0x =时等号成立） 所以()g x 在[)0,1上单调递增 ②当0x <时，若02x π-≤<，()11310g x '<+-+=；若2x π<-，()22132e3302222g x πππ-'<+<+-+<++ 所以()g x 在(),0∞-上单调递减综上，()g x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,1上单调递增所以当3a =时，()()00g x g ≥=【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：3x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为π2,3⎛⎫⎪⎝⎭.(1)写出曲线C 的普通方程，并判断点P 与曲线C 的位置关系； (2)设直线l ：()π3R θρ=∈与曲线C 交于M N 、两点，求11PM PN +的值. 【答案】(1)22(3)8x y -+=，P 在曲线C 内部【分析】（1）利用消参法可得曲线C 的普通方程，求得点P 的直角坐标，代入曲线C 的普通方程中，可判断点P 与曲线C 的位置关系； （2）求出直线π3θ=的参数方程，并代入曲线方程中，得根与系数的关系式，利用参数的几何意义，求得答案.【详解】（1）由3x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩,消参得曲线C 的普通方程为：22(3)8x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得点P的直角坐标为P ,将P 代入曲线C 的普通方程的左边得：78<，故P 在曲线C 内部. （2）因为直线l ：()π3R θρ=∈的极坐标方程对应的普通方程为：y =，所以P 在直线l 上，所以可设直线l的参数方程为：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C 的普通方程22(3)8x y -+=并化简整理得：210t t +-=，50∆=> ，设它的两根为12,t t ，则121211t t t t +=-⎧⎨=-⎩，所以：121111PM PN t t +=+=23．已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a+的最小值； (2)求证：bc ac aba b c a b c++≥++. 【答案】(1)3 (2)证明见解析【分析】（1）24a a +24=22a a a++，然后利用均值不等式可得答案； （2）由2bc ac c a b +≥=， 2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥可证明. 【详解】（1）因为24a a+24=322a a a ++≥=，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.（2）因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥， 所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立。
河南省信阳市信阳高级中学2024届高三下学期4月二模数学试题
盾，故假设不成立，所以a / /b .故 D 正确. 故选：D 4．D
{ } 【分析】设数列 nan 的公差为d ，借助等差数列的性质可计算出d ，即可得10a100 ，即
可得解.
{ } 【详解】设数列
nan
的公差为d
，则 d
=
3a9 - a1 9 -1
=
80 8
= 10 ，
故10a100 = a1 + 99d = 1030 ，所以 a100 = 103 ．
A．792 种
B．1440 种
C．1728 种
D．1800 种
8．若不等式 ex-1 - mx - 2n - 3 ³ 0 对 "x Î R 恒成立，其中 m ¹ 0 ，则 n 的取值范围为（ ） m
A．
æ çè
-¥,
-
ln3e 2
ù ûú
C．
æ çè
-e,
-
ln3e 2
ù úû
B．
é êë
ln3e 2
C．若点 A(4, 4) 在抛物线 C 上，且 M , N 异于点 A ， AM ^ AN ，则点 M , N 到直线
y = -4 的距离之积为定值
D．若点 A(2, 2) 在抛物线 C 上，且 M , N 异于点 A ， kAM + kAN = 0 ，其中 kAM > 1，则
sin ÐFMN - sin ÐFNM
A．
ìí x î
|
0
£
x
<
5 2
ü ý þ
B．
ì í î
x
|
5 2
<
x
£
16 3
ü ý þ
C．
2023届河南省五市高三第二次联考(二模)理数答案
2023年河南省五市高三第二次联考数学（理科）参考答案温馨提示：解答题解题方法不唯一。
参考答案只给出了大致评分标准，阅卷老师请根据考生作答情况酌情细化给分。
一、选择题：1.A 2.D 3．C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.A二、填空题：13.214.10115.6323-16.2三、解答题：17.证明：(1)由已知1211=-++n n n a a a ，得nn a a -=+211整理为：111111n na a +-=--，11n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭为等差数列，公差1d =，首项为1131a =-；............4分所以()13121n n n a =+-=+-，整理为：()*12n n a n N n +=∈+，经检验，符合要求............6分（2）由（1）得：()*12n n a n N n +=∈+．1222n n T a a a n ==+ ，2244114(2)(2)(3)23n T n n n n n ⎛⎫∴=>=- ⎪+++++⎝⎭，............8分，114().33n S n >-+即............12分18.解：（1）因为BC ∥AD ，∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝2DE ，所以平面四边形ABCD 为直角梯形．设AB ＝BC ＝2DE ＝4a ，因为∠ABC ＝120°．所以在Rt △CDE 中，323,4,tan ,3DE CD a EC a ECD DC ==∠==所以∠ECD ＝30°，又∠ADC ＝∠BCD ＝90°．所以∠BCE ＝60°，由EC ＝BC ＝AB ＝4a ，所以△BCE 为等边三角形．又F 是EC 的中点，所以BF ⊥EC ，又BF ⊥PC ，EC ，PC ⊂平面PEC ，EC ∩PC ＝C ，所以BF ⊥平面PEC ，而BF ⊂平面ABCE ，故平面PEC ⊥平面ABCE.......................6分（2）在直角三角形PEC 中，PE ＝DE ＝PF ＝122EC a =，取EF 中点O ，所以PO ⊥EF ．由（1）可知平面PEC ⊥平面ABCE ，平面PEC ∩平面ABCE ＝EC ．∴PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OC方向为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系．...........8分则P (0，0a)，A （，-3a ，0），B （a ，a ，0），C （0，3a ，0），所以,3,),,,),(0,3,)PA a PB a PC a =-==-，设平面PAB 的法向量(,,)m x y z = ，∴00m PA m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30ay ay ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，令x ＝1得(1,0,2)m =．设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，则||sin ||||m PC m PC θ⋅==5=．所以直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为55．......................12分19.解：（1）X 可能取值为0，1，2，3，4，记甲答对某道题的概率为事件A ，则()32312121=⨯+=A P ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛32,4~B X ，()()44210,1,2,3,433k kk P X K C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则X 的分布列为：X 0123481181882781328116则()38324=⨯=X E ......................6分（2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，其中甲答对某道题的概率为111(1)222p p +=+，答错某道题的概率为111(1)(1)22p p -+=-，则1212111()(1)(1)(1)222P A C p p p =⋅+⋅-=-，22211()[(1)](1)24P A p p =+=+，()1614120=⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P ，()834143121=⋅⋅=C B P ，所以甲答对题数比乙多的概率为：221001102021()()()()P A B B B P A B P A B P A B A A =++ =()()()83141161141161121222⋅++⋅++⋅-p p p =25793,64326416p p ++≥解得151≤≤p ，P甲的亲友团助力的概率P 的最小值为51．......................12分20.解：（1）设0(4,)N y ，代入x 2＝2py ，得08y p=，所以8||MN p =，08||22p p NF y p =+=+．由题设得85824p p p+=⨯，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24x y =．......................4分（2）由题知直线l 的斜率存在，设其方程为6y kx =+，由264y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得24240x kx --=，显然Δ＝16k 2+96＞0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则1212424x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩，抛物线在点211(,4x P x 处的切线方程为2111()42x x y x x -=-，令1y =-，得21142x x x -=，可得点2114(,1)2x R x --，......................7分由Q ，F ，R 三点共线得k QF ＝k FR ，所以222121111442x x x x ---=-，即221212(4)(4)160x x x x --+=，整理得2212121212()4[()2]16160x x x x x x x x -+-++=，所以22(24)4[(4)2(24)]1616(24)0k ---⨯-++⨯-=，解得214k =，即12k =±，故所求直线l 的方程为162y x =+或162y x =-+．......................12分21.解：（1）当12a =-时，21()cos 2f x x x =+，则()sin f x x x '=-+，设()()g x f x ='，则()cos 10g x x '=-+ 在[,]22ππ-上恒成立，()g x ∴在[,]22ππ-上单调递增，又(0)0g =， (2)分∴当[,0)2x π∈-时，()0f x '<，当(0,2x π∈时，()0f x '>，()f x ∴在[,0)2x π∈-上单调递减，在(0,]2x π∈上单调递增， 2(0)1,()()228f f f πππ=-==，∴函数()f x 的值域为2[1,8π......................4分（2）22()cos()()cos ()f x x a x x ax f x -=---=-= ，()f x ∴在[,22ππ-上为偶函数，∴函数()f x 在[,22ππ-上恰有两个极小值点等价于函数()f x 在(0,)2π上恰有一个极小值点，设()()sin 2h x f x x ax ='=--，则()cos 2h x x a '=--，①当0≥a 时，()0≤'x h ，则()h x 在(0,2π上单调递减，0)0()(=≤h x h ，则0)(≤'x f ，()f x ∴在(0,)2π上单调递减，无极小值；②当21-≤a 时，()0≥'x h ，则()h x 在(0,)2π上单调递增，()()00=≥h x h ，则()0≥'x f ，()f x ∴在(0,)2π上单调递增，无极小值；......................6分③当102a -<<时，存在0(0,)2x π∈，使得0()0h x '=，且当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)2x x π∈时，()0h x '>，()h x ∴在0(0,)x x ∈上单调递减，在0(,2x x π∈上单调递增，(0)0h = ，0()0h x ∴<，又(12h a π=--π，()i 当01≤--πa ，即01<≤-a π时，02≤⎪⎭⎫⎝⎛πh ，()0≤'x f ，此时()f x 在(0,)2π上单调递减，无极小值；()ii 当10a π-->，即112a π-<<-时，(02h π>，则存在0(,)2t x π∈，使得()sin 20(*)h t t at =--=，且当(0,)x t ∈时，()0h x '<，当(,)2x t π∈时，()0h x '>，()f x ∴在(0,)t 上单调递减，在(,)2t π上单调递增，∴函数()f x 在(0,2π上恰有一个极小值点2x t =，此时0x =是函数()f x 的极大值点，∴当函数()f x 在[,]22ππ-上恰有两个极小值点时a 的取值范围为11(,)2π--；......................9分120x x += ，若221211()1()9f x x x x -=+-，则222224cos 2419x ax x -=+，由(*)知，22sin 2x ax =-，∴2222222418419a x ax x --=+，整理可得22(31)(61)0x a a ++=，又2110,(,)2x a π≠∈--，∴13a =-，∴存在13a =-，使得221211()1()9f x x x x -=+-成立．......................12分22.（1）∵曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），消去参数α可得：22(1)(1)1x y -+-=，∴曲线C 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=，......................2分又∵直线l的极坐标方程为sin cos 10ρθθ+=，且sin ,cos y x ρθρθ==，∴直线l的直角坐标方程为10,y +=综上所述：曲线C 的普通方程为222210x y x y +--+=；直线l10y --=..............................................5分（2）由（1）可知：直线l10y --=，即直线过点(0,1)P -角为π3，则可设直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入22(1)(1)1x y -+-=整理得：()2140t t -+=，设点,M N 对应的参数分别为12,t t ，判别式Δ0>恒成立，可得：121210,40t t t t +=+>⋅=>，即120,0t t >>，∴12121PM PN t t t t +=+=+=....................10分23.（1）因为为正数，且3a b c ++=.据柯西不等式2222222()(111)(111)9a b c a b c ++++⨯+⨯+⨯= ，所以2223a b c ++ ，当且仅当1a b c ===时，等号成立．...................5分（2）据柯西不等式()21119a b c a b c ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭ ，所以1113a b c ++ ，当且仅当1a b c ===时，等号成立．所以3m ≤故m 的最大值为3...................10分（注：23题亦可利用基本不等式证明.）,,a b c。
高三第二次调研考试(数学理)Word版
河南省新乡平顶山许昌高三第二次调研考试（数学理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，分别答在答题卡（I 卷）和答题卷（II 卷）上，答在试卷上的答案无效。
第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题1．已知集合I 为实数集，集合2{|20},{|M x x x N x y =-<=-，则()MN =A ．{|02}x x <<B ．{|01}x x <<C ．{|1}x x <D ．φ2．如果复数1m ii ++是纯虚数，那么实数m 等于 A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-3．已知双曲线的虚轴长为6，焦点F 到实轴的一个端点的距离等于9，则双曲线的离心率等于A ．53B ．54C ．135D ．13124．函数ln(1)y x =+的反函数的图象为5．设222220121(1)(12)(13)(1)x x x nx a a x a x +++++++⋅⋅⋅++=++，则201lim n a a →∞的值是A ．0B ．12C ．1D ．26．正方体1111ABCD A B C D -中对角线1B D 与平面11A BC 所成的角大小为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．已知3sin ()52πββπ=<<，且sin()cos αβα+=，则tan()αβ+=A ．1B ．2C ．2-D ．8258．设α、β、γ为平面，l 、m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件为 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥B ．,,n n m αβα⊥⊥⊥C ．,,m αγαγβγ=⊥⊥D ．,,m αγβγα⊥⊥⊥9．已知||2||0a b =≠，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．(,]6ππ10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA a =，OB b =，其中(3,1)a =，(1,3)b =。
河南省信阳市信阳高级中学2024届高三下学期4月二模数学试题
河南省信阳高级中学2023-2024学年高三04月二模（二）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}2|3160,{|ln(52)}A x x xB x y x =-≤==-，则A B = （）A.5|02⎧⎫⎨⎩⎭≤<x x B.516|23x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C.2|05x x ⎧⎫≤<⎨⎩⎭D.216|53x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集确定集合A ，根据对数函数的定义域确定集合B ，再根据集合的交集运算得结果.【详解】因为集合{}()2162|3160|0,{|ln 52}35A x x x x x B x y x x x ⎧⎫⎧⎫=-≤=≤≤==-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则A B = 216|53x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：D ．2.若复数z 的实部大于0，且()2013iz z +=+，则z =（）A.12i -B.12i-- C.12i-+ D.12i+【答案】D 【解析】【分析】设i,0,R z a b a b =+>∈，再根据复数的乘法和除法运算结合复数相等的定义求出,a b 即可得解.【详解】设i,0,R z a b a b =+>∈，代入()2013iz z +=+，得22i 62i a b a b ++-=-，解得：1,2a b ==，所以12z i =+.故选：D.3.设,l n 为两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若//,//l l αβ，则//αβB.若//,//l αβα，则//l βC.若//,l n n α⊂，则//l αD.若,l l αβ⊥⊥，则//αβ【答案】D 【解析】【分析】对于A ，α与β还可能相交；对于B ，还有可能l β⊂；对于C ，还有可能l ⊂α；对于D ，用反证法可证命题正确.【详解】对于A ，若//,//l l αβ，则//αβ或α与β相交.故A 不正确；对于B ，若//,//l αβα，则//l β或l β⊂.故B 不正确；对于C ，若//,l n n α⊂，则//l α或l ⊂α.故C 不正确；对于D ，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ，命题正确，证明如下：如图：假设α与β不平行，则必相交，设m αβ= ，设直线l 与α和β分别交于点,A B ，在m 上取一点M ，连AM 、BM ，因为l α⊥，AM α⊂，所以l AM ⊥，因为l β⊥，BM β⊂，所以l BM ⊥，又直线l 、直线AM 、直线BM 在同一平面内，所以//AM BM ，这与AM BM M ⋂=相矛盾，故假设不成立，所以//αβ.故D 正确.故选：D4.已知数列{}n a 满足：1940a a ==，且数列}n 为等差数列，则100a =（）A.10 B.40C.100D.103【答案】D 【解析】【分析】设数列}n 的公差为d ，借助等差数列的性质可计算出d ，即可得10010a ，即可得解.【详解】设数列}n 的公差为d ，则9138010918a a d -===-，故100110991030a a d =+=，所以100103a =．故选：D.5.1tan1902cos 701tan 370sin 40︒︒︒︒+-=-（）A.tan 20︒B.tan 70︒C.tan10︒- D.tan 40︒-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算，即可求解.【详解】由sin1011tan1902cos701tan102sin202sin20cos10sin101tan370sin401tan10sin402sin20cos201cos10+++-=-=----()222cos10sin1011sin201tan20cos 10sin 10cos20cos20cos20++=-=-=-.故选：A ．6.设平面向量(1,0),(a b ==-，若,,a c b c = ，则平面向量c 可能是（）A.b+ B.a b+ C.2a b-D.2a b+【解析】【分析】根据题意,,a c b c = 利用向量的夹角公式可推出(2)0a b c -⋅= ，确定2a b- 的坐标，求得每个选项中向量的坐标，一一计算验证(2)0a b c -⋅=是否成立，即可求得答案.【详解】由题意||1,||2a b ===,因为,,a c b c 〈〉=〈〉，所以cos ,cos ,a c b c 〈〉=〈〉 ，所以||||||||a cbc a c b c ⋅⋅=⋅⋅ ，所以||2||a c b c c c ⋅⋅=，所以2a c b c ⋅=⋅，所以(2)0a b c -⋅=，由题意2(3,a b -=，对于A,若c b =+=-，则(2)31)(60a b c -⋅=⨯-+=≠，故A 错误;对于B，若c a b =+=，则(2)30(30a b c -⋅=⨯+=-≠，故B 错误；对于C，若2(3,c a b =-=，则(2)33((120a b c -⋅=⨯+⨯=≠，故C 错误;对于D，若2c a b =+=，则(2)31(0a b c -⋅=⨯+=，故D 正确，故选：D7.2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（）A.792种B.1440种C.1728种D.1800种【答案】B【分析】分类讨论甲是否安排在初一或初二两种情况，结合平均分组分配法分别考虑两种情况的安排种数，从而利用分类加法计数原理即可得解.【详解】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有1124C C 种排法，再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有222642C C C 种排法，所以一共有1122224642C C C C C 720=种排法；当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有24A 种排法，不考虑甲两天不能连排的情况，有222642C C C 种排法，其中甲两天连排的排法有22425C C 种，故初三到初八的值班安排有2222264242C C C 5C C -种排法，所以一共有()222222464242A C C C 5C C 720-=种排法；综上可知共有7207201440+=种不同排法.故选：B.8.若不等式1e 230x mx n ----≥对x ∀∈R 恒成立，其中0m ≠，则nm的取值范围为（）A.ln3e ,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦B.ln3e,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.ln3e e,2⎛⎤--⎥⎝⎦D.ln3e,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】先讨论m 的范围，当0m >时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得2ln 3n m m ≤--，然后将二元化一元，令()3ln g m m m=--，利用导数求最值可解.【详解】令1e 230x mx n ----=，即1e 23x mx n -=++，当0m <时，由函数1e x y -=与23y mx n =++的图象可知，两函数图象有一个交点，记为()00,x y ，则当0x x <时，1e 23x mx n -<++，即1e 230x mx n ----<，不满足题意；当0m >时，令()1e23x f x mx n -=---，则()1e x f x m -='-，令()0f x '=，则ln 1x m =+，因为()1e xf x m -='-单调递增，所以当ln 1x m <+时，()0f x '<，()f x 单调递减，当ln 1x m >+时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以ln 1x m =+时，()f x 有最小值()ln 1ln 23f m m m n +=---，又1e 230x mx n ----≥对R x ∀∈恒成立，所以ln 230m m n ---≥，即2ln 3n m m ≤--，所以23ln n m m m≤--，当且仅当2ln 3n m m =--时等号成立.令()3ln g m m m =--，则()22133mg m m m m -=-+'=，当03m <<时，()0g m '>，()g m 单调递增，当3m >时，()0g m '<，()g m 单调递减，所以当3m =时，()max ln 31ln 3e g m =--=-，所以2ln 3e n m ≤-，即ln 3e2n m -≤，当且仅当3m =，3ln 3e 2n -≤时等号成立，所以n m 的取值范围为ln3e ,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.故选：A【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用,m n 的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，。
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信阳市高中毕业班第二次调研考试
数 学（理科）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和笫Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号，无误后将本人姓名、考生号、考场号和座位号填在答题卡相应位置，座位号同时填涂在答题卡背面左上角，将条形码粘贴在答题卡指定的位置，并将试题卷装订线内项目填写清楚。
2．选择题答案必须使用2B 铅笔规范填涂。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．非选择题答题时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写；作图时，可用2B 铅笔，笔迹要清晰。
4．严格按题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上作任何标记，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷
第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
共60分．在每小题给出的代号为A 、B 、C 、
D 的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U 是实数集R ，M ＝{x ｜2x >4}，N ＝{x ｜2log （x －1）
<1}，则图中阴影部分所表示的集合是
A ．{x ｜－2≤x<1}
B ．{x ｜－2≤x ≤2}
C ．{x ｜1<x ≤2}
D ．{x ｜x<2}
2．若17i i
＋＝a ＋b i （a ，b ∈R ，i 是虚数单位，满足2i ＝－1），则ab 的值是 A ．－15 B ．－7 C ．3 D ．15
3．抛物线y ＝22x 的准线方程为
A ．y ＝－18
B ．y ＝－14
C ．y ＝－12
D ．y ＝－1 4．在面积为S 的三角形ABC 内随机取一点M ，则三角形MBC 的面积MBC S ≤
12S 的概率为
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
5．已知点A （1，－2），B （m ，2），且线段AB 的垂直平分线方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．2
6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感
染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。
根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A ．甲地：总体均值为3，中位数为4
B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C ．丙地：中位数为2，众数为3
D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3
7．函数y ＝sin （ωx ＋ϕ）（x ∈R ，ω>0，0≤ϕ<2π）的部分图象如图，则
A ．ω＝
4π，ϕ＝4
π B ．ω＝3π，ϕ＝6
π C ．ω＝2π，ϕ＝4
π D ．ω＝4π，ϕ＝54π
8．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的
结果为 A ．
89 B ．910
C ．1011
D ．1112 9．某医疗研究所为了检验新研发的流感疫苗对甲
型H1N1流感的预防作用，把1000名注射了
疫苗的人与另外：1000名未注射疫苗的人的
半年的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这
种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作
用”，并计算出P （2x ≥6．635）≈0．01，
则下列说法正确的是
A ．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1％
B ．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99％的可能性得甲型H1N1
C ．有1％的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
D ．有99％的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
10．已知命题p ：“a ＝1”是“对于任意的x>0，x ＋a x
≥2”的充分必要条件，命题：q ：存在0x ∈R ，20x ＋0x －1>0．则下列结论中正确的是
A ．命题“p ∧q ”是真命题
B ．命题“p ∧ q"是真命题
C ．命题“⌝p ∧q ”是真命题
D ．命题“⌝p ∧⌝q ”是真命题
11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，AM ⊥BC 于M ，点N 是△ABC 内部或边上一
点，则AM ·AN 的最大值为
A ．14425
B ．16
C ．25
D ．9 12．定义在R 上的函数f （x ）满足三个条件：①f （－x ）＝－f （x ＋4），②x>2时f （x ）递
增，③1x ＋2x <4，且（1x －2）（2x －2）<0，则f （1x ）＋f （2x ）的值是
A ．恒为正数
B ．恒为负数
C ．等于0
D ．正、负都有可能
第Ⅱ卷
本卷共2大题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．
13．α∈{－1，12
，1，3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第___________象限． 14．设函数f （x ）＝a 2x ＋1，若1
0()f x ⎰dx ＝2，则a ＝__________．
15．以双曲线C ：2145
x 2
y －＝的右焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程是 __________________．
16．在等差数列{n a }中，20a ＝0，则有等式1a ＋2a ＋…＋n a ＝1a ＋2a +…＋39n a -（n ≤38，
n ∈N ）成立，类比这一性质，相应地在等比数列{n b }中，若10b ＝1，则有等式_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝sinx ＋cosx, f '（x ）是f （x ）导函数．
（Ⅰ）求函数F （x ）＝f （x ）f '（x ）＋2f （x ）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）若f （x ）＝2f '（x ），求221sin cos sin cos x x x x
＋－的值．
18．（本小题满分12分）
已知数列{n a }前n 项和为n S ，且n S ＝
11()2
n n a a ＋． （Ⅰ）求证{n a }为等差数列；
（Ⅱ）若1a ＝1，4a ＝52
，求数列{n a n a 4}的前n 项和n T ．
19．（本小题满分12分）
从某自动包装机包袋的食盐中，随机抽取
20袋作为样本，按各袋的质量（单位：g ）
分成四组，[490，495），[495，500），
[500，505），[505，510），相应的样本频
率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）估计样本的中位数是多少?落入
[500，505）的频数是多少?
（Ⅱ）现从这台自动包装机包袋的大批量
食盐中，随机抽取3袋，记ξ表示
食盐质量属于[500，505）的代数，
依样本估计总体的统计思想，求ξ
的分布列及其期望．
20．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝（2x －a ＋1）x e ．
（Ⅰ）当a ＝2时，求曲线y ＝f （x ）在点（1、f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f （x ）无极值点，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）已知1x ，2x 为f （x ）的两个不同极值点，1x <2x ，且｜1x ＋2x ｜≥｜1x 2x ｜－
1，若g （1x ）＝f （1x ）＋（21x －2）1x e ,证明g （1x ）≤
26e
．
21．（本小题满分12分）
已知A ，B 分别为曲线G ：2
22x a
＋y ＝1 （y ≥0，a>0）与x 轴的左、右两个交点，
直线l 过点B ，且与x 轴垂直，S 为l 上异
于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T 。
（Ⅰ）若曲线C 为半圆，点T 为圆弧AB 的
三等分点，试求出点S 的坐标；
（Ⅱ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ，使得O ，
M ，S 三点共线?若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分10分）（注意：本题共两大题，只需选其中之一，两题均做以第一道题计
分）
（1）已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＝2m －2，222
1
1
49a b c ＋＋＝1－m ． （Ⅰ）求证：2
221149a b c ＋＋≥2
()14a b c ＋＋。
（Ⅱ）求实数m 的取值范围．
（2）已知a>b>c>d ．求证：
1a b －＋1b c －＋1c d －≥9a b
－.。