通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十文
通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二文
——教学资料参考参考范本——通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二文______年______月______日____________________部门A组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.当x<0时，x＋6>3，解得－3<x<0；当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b＝( )A．1 B．2C．4 D．8解析：选C 由题知(x－a)⊗(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x －a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.3．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n 的最小值是( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选C 由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥×2＝5，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故m＋n的最小值为5.4．(20xx·合肥质检)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最大值为( )A．5 B．6C. D．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z＝x＋2y 经过直线x－y＝－1与x＋y＝4的交点，即时，z 取得最大值，zmax＝＋2×＝，故选C.5．(20xx·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是( )A．[－3,0] B．[－3,2]C．[0,2] D．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．6．(20xx·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )A．－15 B．－9C．1 D．9解析：选 A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B(－6，－3)时，z 取得最小值，zmin ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选B ∵a2＋b2＋c2＝4，∴2ab＋2bc ＋2ac≤(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)＝2(a2＋b2＋c2)＝8，∴ab＋bc ＋ac≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝时等号成立)，∴ab＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(20xx·惠州调研)已知实数x ，y 满足：若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选 B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C 时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组时，－2≤kx－y≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得即B(－2,2)，由得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C(2,0)，由得即A(－5，－1)，要使不等式－2≤kx－y≤2恒成立，则即所以－≤k≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤12，x ＋2y≤8，x≥0，y≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B(2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足＋＝1，且不等式x ＋<m2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选 B 由题可知，1＝＋≥2＝，即≥4，于是有m2－3m>x ＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(20xx·天津高考)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x 的不等式f(x)≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916C ．[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示． 当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x ＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a ＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x ＋≥＋a ，即＋≥a，又＋≥2，当且仅当＝，即x ＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a 的取值范围是.法二：关于x 的不等式f(x)≥在R 上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)，即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立，令g(x)＝－f(x)－.若x≤1，则g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3＝－2－，当x＝时，g(x)max＝－；若x>1，则g(x)＝－－＝－≤－2，当且仅当＝，且x>1，即x＝时，等号成立，故g(x)max＝－2.综上，g(x)max＝－.令h(x)＝f(x)－，若x≤1，则h(x)＝x2－x＋3－＝x2－x＋3＝2＋，当x＝时，h(x)min＝；若x>1，则h(x)＝x＋－＝＋≥2，当且仅当＝，且x>1，即x＝2时，等号成立，故h(x)min＝2.综上，h(x)min＝2.故a的取值范围为.二、填空题13．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：由x>a，知x－a>0，则2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.答案：3214．若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．解析：因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.答案：215．如果实数x，y满足条件且z＝的最小值为，则正数a的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x＝1，y＝1时，z取最小值，即＝，所以a＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0的解集为________．解析：不等式＋<0，可化为＋<0，故得－1<<－或<<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故＋<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案：(－3，－1)∪(1,2)B组——能力小题保分练1．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为( )A ．1 B. C.D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·y＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y 最小，最小值为.故选D.2．设x ，y 满足约束条件若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选 B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a>0，b>0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6，∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∵＋＝(a ＋2b)×＝＋＋≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴＋的最小值为3.故选B.3．设不等式组所表示的平面区域为Dn ，记Dn 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(n∈N*)，若m>＋＋…＋对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选 A 不等式组表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx ＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以an ＝3n ，所以＝＝，所以＋＋…＋＝＝，数列为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，趋近于，所以m≥.故选A.4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|＋|的最小值为( )A. B.55 C.D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P(x ，y)，Q(a ，－2a)，则＋＝(x ＋a ，y －2a)，则|＋|＝，设z ＝|＋|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M(－a,2a)的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝＝＝.5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 的导函数为f′(x)．若∀x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为( )A.＋2 B ．－2 C ．2＋2D ．2－2解析：选B 由题意得f′(x)＝2ax ＋b ，由f(x)≥f′(x)在R 上恒成立，得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，则≤＝，又4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.当t>0时，≤＝≤＝－2（当且仅当t＝时等号成立），当t＝0时，＝0<－2，故的最大值为－2，故选B.6．(20xx·广州模拟)满足不等式组的点(x，y)组成的图形的面积是5，则实数a的值为________．解析：不等式组等价于或画出不等式组所表示的平面区域如图中△ABC及其内部，易知A(1,2)，因为S△ABC＝×1×2＝1<5，所以a>1.画出不等式组所表示的平面区域，如图中的△ABC和△ADE所示．不等式组所对应的平面区域是△ADE及其内部，易知D(a，a＋1)，E(a,3－a)，所以S△ADE＝×(a－1)×(a＋1－3＋a)＝5－1，解得a＝3(a＝－1舍去)．答案：311 / 11。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案
解析(1)设椭圆的焦距为2c，则 ＝ ，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝ .因为4× ×b× b＝2 ，所以b＝1，a＝ ，故所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1.
所以弦长|PQ|＝2 ＝2 .
不妨设点M在直线OB：y＝－ x上方，点N在直线OB：y＝－ x下方，即 x1＋y1>0， x2＋y2<0.
所以点M(x1，y1)到直线PQ的距离为d1＝ ＝ ＝ ，点N(x2，y2)到直线PQ的距离为d2＝ ＝－ .
所以d1＋d2＝
＝ ＝2 .
所以面积S＝ |PQ|·(d1＋d2)＝ ·2 ·2 ＝2 ＝ ⇒m＝±2.
(2)设A ，B ，S(xS，yS)．
因为 － ＝ － ＝ ，所以 ＝2，所以y3－y4＝8，
因为线段AB的中点的纵坐标为8，所以y3＋y4＝16，
联立解得y3＝12，y4＝4，所以A(36,12)，B(4,4)．
设直线SA的斜率为k，则直线SA的方程为y－12＝k(x－36)，
由 消去x得 －与y轴负半轴的交点，经过F的直线l与椭圆交于点M，N，经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A，若|MN|＝ |AB|，求直线l的方程．
解析(1)设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，
依题意知，c＝1，e＝ ＝ ，所以a＝ ，b2＝a2－c2＝1，
所以所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1.
A． B．
C．2D．
D解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，所以|OF|＝1，又双曲线的渐近线方程为y＝± x，不妨设A ，B ，所以|AB|＝ ＝4|OF|＝4，所以b＝2a，所以e＝ ＝ ＝ .故选D项．
通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十七文
——教学资料参考参考范本——通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十七文______年______月______日____________________部门1．(20xx·云南调研)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|m －x|(其中m∈R)．(1)当m ＝2时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若不等式f(x)≥6对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝2时，f(x)＝|x ＋1|＋|2－x|，①当x<－1时，f(x)≥6可化为－x －1＋2－x ≥6，解得x ≤－； ②当－1≤x ≤2时，f(x)≥6可化为x ＋1＋2－x ≥6，无实数解； ③当x>2时，f(x)≥6可化为x ＋1＋x －2≥6，解得x ≥. 综上，不等式f(x)≥6的解集为或x≥)).(2)法一：因为|x ＋1|＋|m －x|≥|x＋1＋m －x|＝|m ＋1|， 由题意得|m ＋1|≥6，即m ＋1≥6或m ＋1≤－6，解得m≥5或m≤－7，即m 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．法二：①当m<－1时，f(x)＝⎩⎨⎧－2x＋m－1，x<m，－m－1，m≤x≤－1，2x＋1－m，x>－1，此时，f(x)min ＝－m －1，由题意知，－m －1≥6，解得m≤－7，所以m 的取值范围是m≤－7.②当m ＝－1时，f(x)＝|x ＋1|＋|－1－x|＝2|x ＋1|， 此时f(x)min ＝0，不满足题意．③当m>－1时，f(x)＝⎩⎨⎧－2x＋m－1，x<－1，m＋1，－1≤x≤m，2x＋1－m，x>m，此时，f(x)min ＝m ＋1，由题意知，m ＋1≥6，解得m≥5，所以m 的取值范围是m≥5.综上所述，m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．2．(20xx·郑州模拟)已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|的最小值为4.(1)求a＋b的值；(2)求a2＋b2的最小值．解：(1)因为|x＋a|＋|x－b|≥|a＋b|，所以f(x)≥|a＋b|，当且仅当(x＋a)(x－b)<0时，等号成立，又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b，所以a＋b＝4.(2)由(1)知a＋b＝4，b＝4－a，a2＋b2＝a2＋(4－a)2＝a2－a＋＝2＋，故当且仅当a＝，b＝时，a2＋b2取最小值为.3．(20xx届高三·湖南五市十校联考)设函数f(x)＝|x－1|－2|x＋a|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立，求a的取值范围．解：(1)a＝1，f(x)>1⇔|x－1|－2|x＋1|>1⇔或或⇔－2<x≤－1或－1<x<－或x∈∅⇔－2<x<－，故不等式f(x)>1的解集为.(2)f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立⇔|x－1|－2|x＋a|>0在x∈[2,3]上恒成立⇔|2x＋2a|<x－1⇔1－x<2x＋2a<x－1⇔1－3x<2a<－x－1在x∈[2,3]上恒成立⇔(1－3x)max<2a<(－x－1)min⇔－5<2a<－4⇔－<a<－2.故a的取值范围为.4．(20xx·宝鸡质检)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.(1)解不等式|g(x)|<5；(2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．解：(1)由||x－1|＋2|<5得－5<|x－1|＋2<5，所以－7<|x－1|<3，解得－2<x<4，则不等式|g(x)|<5的解集为{x|－2<x<4}．(2)因为对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x －a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为{a|a≥－1或a≤－5}．5．(20xx届高三·湘中名校联考)已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥5；(2)若存在x0满足f(x0)＋|x0－2|<3，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|.由f(x)≥5得|x－2|＋|2x＋1|≥5.当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥5，解得x≥2，所以x≥2；当－<x<2时，不等式等价于2－x＋2x＋1≥5，即x≥2，所以解集为空集；当x≤－时，不等式等价于2－x－2x－1≥5，解得x≤－，所以x≤－.故原不等式的解集为.(2)f(x)＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a|＝|2x －4|＋|2x ＋a|≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|，∵原命题等价于(f(x)＋|x －2|)min<3，即|a ＋4|<3，∴－7<a<－1.即实数a 的取值范围为(－7，－1)．6．已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a ＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x，x＜12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0＜x ＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈都成立．故－≥a－2，即a≤.从而a 的取值范围是.7．(20xx·贵阳检测)已知|x ＋2|＋|6－x|≥k 恒成立． (1)求实数k 的最大值；(2)若实数k 的最大值为n ，正数a ，b 满足＋＝n.求7a ＋4b 的最小值．解：(1)因为|x ＋2|＋|6－x|≥k 恒成立，设g(x)＝|x ＋2|＋|6－x|，则g(x)min≥k.又|x ＋2|＋|6－x|≥|(x＋2)＋(6－x)|＝8，当且仅当－2≤x≤6时，g(x)min ＝8，所以k≤8，即实数k 的最大值为8. (2)由(1)知，n ＝8，所以＋＝8， 即＋＝4，又a ，b 均为正数，所以7a ＋4b ＝(7a ＋4b)⎝ ⎛⎭⎪⎫45a＋b ＋12a＋3b＝14[]⎝⎛⎭⎪⎫45a＋b ＋12a＋3b ＝≥×(5＋4)＝，当且仅当＝，即a ＝5b ＝时，等号成立，所以7a ＋4b 的最小值是. 8．设a ，b ，c∈R＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)2ab ＋bc ＋ca ＋≤； (2)＋＋≥2.证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab ＋2bc ＋2ca≥4ab＋2bc ＋2ca ＋c2，当且仅当a ＝b 时等号成立．所以2ab ＋bc ＋ca ＋＝(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c2)≤. (2)因为≥，≥，≥， 所以＋＋c2＋b2a≥＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋bc a＝a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a≥2a＋2b ＋2c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c ＝时等号成立.。
2020通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测十八文2
课时跟踪检测（十八）1．(2017·石家庄质检)设M ，N ，T 是椭圆x 216＋y 212＝1上的三个点，M ，N 在直线x ＝8上的射影分别为M 1，N 1.(1)若直线MN 过原点O ，直线MT ，NT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)若M ，N 不是椭圆长轴的端点，点L 的坐标为(3,0)，△M 1N 1L 与△MNL 的面积之比为5∶1，求MN 中点K 的轨迹方程．解：(1)证明：设M (p ，q )，N (－p ，－q )，T (x 0，y 0)，则k 1k 2＝y 0－qy 0＋q x 0－p x 0＋p ＝y 20－q2x 20－p2，又⎩⎪⎨⎪⎧p 216＋q 212＝1，x 216＋y 2012＝1，故x 20－p 216＋y 20－q212＝0，即y 20－q2x 20－p 2＝－34，所以k 1k 2＝－34，为定值． (2)设直线MN 与x 轴相交于点R (r,0)，S △MNL ＝12|r －3|·|y M －y N |，S △M 1N 1L ＝12·5·|yM 1－yN 1|.因为S △M 1N 1L ＝5S △MNL ，所以12·5·|yM 1－yN 1|＝5·12|r －3|·|y M －y N |，又|yM 1－yN 1|＝|y M －y N |，解得r ＝4(舍去)，或r ＝2，即直线MN 经过点F (2,0)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，K (x 0，y 0)，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的中点K 即为F (2,0)；②当MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y ＝k (x －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝k x －2消去y 得，(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0.x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2.x 0＝8k 23＋4k 2，y 0＝－6k3＋4k2.消去k ，整理得(x 0－1)2＋4y 23＝1(y 1≠0)．经检验，(2,0)也满足(x 0－1)2＋4y 23＝1.综上所述，点K 的轨迹方程为(x －1)2＋4y23＝1(x >0)．2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．3．(2017·宁波模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点P (－2,0)与点(1,1)．(1)求椭圆的方程；(2)过P 点作两条互相垂直的直线PA ，PB ，交椭圆于A ，B ，求证：直线AB 经过定点．解：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，1a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝43，椭圆的方程为x 24＋3y24＝1.(2)证明：由对称性知，若存在定点，则必在x 轴上， 当k PA ＝1时，l PA ：y ＝x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＋3y 2＝4，∴x 2＋3(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x ＝－1. 以下验证：定点为(－1,0)，由题意知，直线PA ，PB 的斜率均存在，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )． 则x 2＋3k 2(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x A ＝2－6k 21＋3k2，y A ＝4k1＋3k2， 同理x B ＝2k 2－6k 2＋3，y B ＝－4kk 2＋3，则y Ax A ＋1＝4k 3－3k 2＝y B x B ＋1，得证． 4．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为F (1,0)，则c ＝1.由e ＝c a ＝22得a ＝2，∴b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知A (0,1)，当直线BC 的斜率不存在时， 设BC ：x ＝x 0，设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)，k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 20x 20＝12x 20x 20＝12≠14，不合题意．故直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为：y ＝kx ＋m (m ≠1)，并代入椭圆方程，得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0，①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0， 得2k 2－m 2＋1>0.②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－11＋2k 2， 由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得： 4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0， 整理得(m －1)(m －3)＝0， 又因为m ≠1，所以m ＝3， 此时直线BC 的方程为y ＝kx ＋3. 所以直线BC 恒过一定点(0,3)．5．(2017·台州模拟)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点P (1,0)作斜率为k 的直线l ，且直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .(1)设点A (0,2)，k ＝1，求△AMN 的面积；(2)设点B (t,0)，记直线BM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2.问是否存在实数t ，使得对于任意非零实数k ，(k 1＋k 2)·k 为定值？若存在，求出实数t 的值及该定值；若不存在，请说明理由．解：(1)当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x －1，得x ＝0或x ＝85，当x ＝0时，y ＝－1， 当x ＝85时，y ＝35，不妨设N (0，－1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，35.所以|AN |＝3.所以S △AMN ＝12×3×85＝125.(2)由题意知，直线MN 的方程为y ＝k (x －1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k x －1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.由k 1＝y 1x 1－t，k 2＝y 2x 2－t，得(k 1＋k 2)·k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1－t ＋x 2－1x 2－t＝k 2[x 1－tx 2－1＋x 2－t x 1－1]x 1－t x 2－t＝k 2[2x 1x 2－t ＋1x 1＋x 2＋2t ]x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝k 22t －8k 24－8t ＋4t 2＋t 2－4. 若2t －8＝0，则t ＝4，(k 1＋k 2)·k ＝0为定值． 若2t －8≠0，则当t 2－4＝0， 即t ＝±2时，(k 1＋k 2)·k ＝2t －84－8t ＋4t2为定值．所以当t ＝4时，(k 1＋k 2)·k ＝0； 当t ＝2时，(k 1＋k 2)·k ＝－1； 当t ＝－2时，(k 1＋k 2)·k ＝－13.。
通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十五文
A．－1B．－
C.D．－
解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知πr2＝π，解得r＝2.z＝＝1＋，表示可行域内的点与点P(－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝1－＝－，故选D.
通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十五文
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一、选择题
1．已知直线ax＋by＝1经过点(1,2)，则2a＋4b的最小值为( )
5．(20xx届高三·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)＝x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12(a<0)，且f(a2－4)＝f(2a－8)，则(n∈N*)的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选A 二次函数f(x)＝x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12图象的对称轴为直线x＝－，由f(a2－4)＝f(2a－8)及二次函数的图象，可以得出＝－，解得a＝－4或a＝1，又a<0，∴a＝－4，f(x)＝x2＋4x，∴＝＝＝n＋1＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当n＋1＝，即n＝－1时等号成立，又n∈N*，∴当n＝4时，＝，n＝3时，＝<，∴最小值为，故选A.
二、填空题
7．若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“λ 伴随函数”．有下列关于“λ 伴随函数”的结论：
【2019-2020】通用高考数学二轮复习课时跟踪检测十八文
②当MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y＝k(x－2)，则 消去y得，(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－48＝0.
x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
x0＝ ，y0＝ .
消去k，整理得(x0－1)2＋ ＝1(y1≠0)．
经检验，(2,0)也满足(x0－1)2＋ ＝1.
解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为F(1,0)，则c＝1.由e＝ ＝ 得a＝ ，∴b＝1，
∴椭圆C的方程为 ＋y2＝1.
(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，
设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，
kAB·kAC＝ · ＝ ＝ ＝ ≠ ，
不合题意．故直线BC的斜率存在．
解：(1)由题意得，
解得a2＝4，b2＝ ，椭圆的方程为 ＋ ＝1.
(2)证明：由对称性知，若存在定点，则必在x轴上，
当kPA＝1时，lPA：y＝x＋2，
∴
∴x2＋3(x2＋4x＋4)＝4⇒x＝－1.
以下验证：定点为(－1,0)，
由题意知，直线PA，PB的斜率均存在，
设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)．
(2)若M，N不是椭圆长轴的端点，点L的坐标为(3,0)，△M1N1L与△MNL的面积之比为5∶1，求MN中点K的轨迹方程．
解：(1)证明：设M(p，q)，N(－p，－q)，T(x0，y0)，则k1k2＝ ＝ ，
又 故 ＋ ＝0，
即 ＝－ ，所以k1k2＝－ ，为定值．
(2)设直线MN与x轴相交于点R(r,0)，
(1)设点A(0,2)，k＝1，求△AMN的面积；
(2)设点B(t,0)，记直线BM，BN的斜率分别为k1，k2.问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k，(k1＋k2)·k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．
[推荐学习]通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十理
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课时跟踪检测（二十）一、选择题1．若过点P (2,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －7＝0相交于两点A ，B ，且∠ACB ＝60°(其中C 为圆心)，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －5＝0B ．x ＝2或4x －3y －5＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．x ＝2或4x －3y ＋5＝0解析：选B 由题意可得，圆C 的圆心为C (－1,2)，半径为23，因为∠ACB ＝60°，所以△ABC 为正三角形，边长为23，所以圆心C 到直线l 的距离为3.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2，与圆相交，且圆心C 到直线l 的距离为3，满足条件；若直线l 的斜率存在，设l ：y －1＝k (x －2)，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0.2．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0 B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.3．(2017·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为( )A ．4x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＝0C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1，x 224－y222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2.又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0，故选C.4．(2017·云南统考)抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA ―→·AF ―→＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(－1,2)或(－1，－2)B ．(1,2)或(1，－2)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：选B 设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p2.曲线E 的方程可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16，由题意知圆心E 到准线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ，F (1,0)．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，所以OA ―→·AF ―→＝y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝±2，所以x 0＝1，所以点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)，故选B.5．(2017·成都模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB ―→|＝2，OC ―→＝53OA―→－23OB ―→.若M 是线段AB 的中点，则OC ―→·OM ―→的值为( ) A ．3 B ．2 3 C ．2D ．－3解析：选 A 由条件易知△OAB 为正三角形，OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OB ―→|·cos π3＝2.又由M 为AB 的中点，知OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，所以OC ―→·OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53 OA ―→－23OB ―→·12(OA ―→＋OB ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫53|OA ―→|2＋OA ―→·OB ―→－23|OB ―→|2＝3.6．(2017·武昌调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 由题可知，双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b a ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB ||OA |，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理，得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB ||OA |＝m 34m ＝43，解得b a＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5. 二、填空题7．设P ，Q 分别为圆x 2＋y 2－8x ＋15＝0和抛物线y 2＝4x 上的点，则P ，Q 两点间的最小距离是________．解析：由题意知，圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，则圆心C (4,0)，半径为1.由题意知P ，Q 间的最小距离为圆心C (4,0)到抛物线上的点的最小距离减去半径1.设以(4,0)为圆心，r 为半径的圆的方程为(x －4)2＋y 2＝r 2，与y 2＝4x 联立，消去y 整理得，x 2－4x ＋16－r 2＝0，令Δ＝16－4(16－r 2)＝0，解得r ＝23，所以|PQ |min ＝23－1.答案：23－18．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ， ∴b 2a 2＝12，故b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 9．(2017·洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA ―→＋OB ―→－3OF ―→＝0，则弦AB 中点到抛物线C 的准线的距离为________．解析：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA ―→－OF ―→)＋(OB ―→－OF ―→)＝0，即2FA ―→＋FB ―→＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，则x 1x 2＝－4；①又2FA ―→＋FB ―→＝0，因此2x 1＋x 2＝0.②由①②解得x 21＝2，x 22＝8，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[]y 1＋＋y 2＋＝12(y 1＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 22)＋1＝94.答案：94三、解答题10．(2017·合肥质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，233，离心率为33. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若A 1，A 2分别是椭圆E 的左、右顶点，过点A 2作直线l 与x 轴垂直，点P 是椭圆E 上的任意一点(不同于椭圆E 的四个顶点)，连接PA 1交直线l 于点B ，点Q 为线段A 2B 的中点，求证：直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．解：(1)依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝33，1a ＋43b ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴椭圆E 的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0≠0且x 0≠±3)，则直线PA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，令x ＝3， 得B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23y 0x 0＋3， 则线段A 2B 的中点Q ⎝⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0＋3，∴直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0－3y 0x 0＋3x 0－3＝x 0y 0x 20－3. ①∵P 是椭圆E 上的点，∴x 203＋y 202＝1，即x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 202，代入①式，得k PQ ＝－2x 03y 0，∴直线PQ 的方程为y －y 0＝－2x 03y 0(x －x 0)，将其与椭圆方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝－2x03y 0x －x 0，x 23＋y 22＝1.又2x 20＋3y 20＝6，整理得x 2－2x 0x ＋x 20＝0， ∵Δ＝0，∴直线PQ 与椭圆E 相切，即直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．11．(2018届高三·广西三市联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．解：(1)∵椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴1a 2＋94b 2＝1， ①∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点， ∴a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，②由①②得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y 23＝1消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4，∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m m 2＋，∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.当m ＝0时，k ＝0； 当m ≠0时，k ＝m4m 2＋4＝14m ＋4m， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ＝4|m |＋4|m |≥8，∴0<1⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ≤18， ∴0<|k |≤18，∴－18≤k ≤18且k ≠0.综上可知，直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.12．已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝4， ∴2a ＝4，a ＝2.∴椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入可得b 2＝3，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝712；②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，设AC 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，并化简得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k23＋4k ，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k 23＋4k2.∵直线BD 的斜率为－1k，∴|BD |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＝＋k 23k 2＋4.∴1|AC |＋1|BD |＝3＋4k2＋k 2＋3k 2＋4＋k 2＝712. 综上，2λ＝1|AC |＋1|BD |＝712，∴λ＝724.故存在常数λ＝724，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列．。
2020-2021学年高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题及答案解析
最新高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤03．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．3 B．57 C．19 D．766．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．310．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB 的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=0.050 0.025 0.010P（K2≥k0）3.841 5.024 6.635K020．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后利用对称性求解即可．解答：解：==﹣2﹣i．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的基本概念，复数的乘除运算，考查计算能力．4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．﹣C．D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知结合等差数列的通项公式和前n项和列式求得公差．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a7=8，S7=42，得，解得：．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．3 B．57 C．19 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B．C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的定义f（x）+f（﹣x）=0，x=1，特殊值求解即可．解答：解：∵函数f（x）=+a，f（x）是奇函数，∴f（1）+f（﹣1）=0，即++a=0，2a=1，a=，故选：B点评：本题考查了奇函数的定义性质，难度很小，属于容易题．8．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．z=的几何意义是区域内的点（x，y）到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知BD的斜率最大，CD的斜率最小，由，解得，即B（，），即BD的斜率k==，由，解得，即C（，），即CD的斜率k==，即≤z≤，故选：D．点评：本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与三棱锥的组合体，结合图中的数据，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为直三棱柱，上部为直三棱锥的组合体；如图所示：∴该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+V三棱锥=×2×1×1+××2×1×1=．故选：A．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．10．当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象，结合图象写出a的取值范围即可．解答：解：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象如下，结合图象可得，a的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．11．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA≤2，∴点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴﹣≤t≤，故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到在x=0处的导数值，再求出f（0），然后直接写出切线方程的斜截式．解答：解：由f（x）=e x，得f′（x）=e x，∴f′（0）=e0=1，即曲线f（x）=e x在x=0处的切线的斜率等于1，曲线经过（0，1），∴曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．14．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．15．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．三、简答题，本大题共70分，17-21题为必考题，22-24为选考题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AD，M，N分别是棱PC，AB 的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：PN=CN；（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取PD中点E，连AE，EM，证明MN⊥平面PCD，可得MN⊥PC，即可证明PN=CN；（Ⅱ）设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN，四边形ANME是平行四边形，MN∥AE．由PA=AD得AE⊥PD，故MN⊥PD．又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，则MN⊥PC，PN=CN．…（6分）（Ⅱ）解：设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3=2d1，d4=2d2，由V A﹣PBD=V C﹣PBD，得d3=d4，则d1=d2，故MF：FN=d1：d2=1：1．…（12分）点评：本题考查线面垂直的证明，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=0.050 0.025 0.010P（K2≥k0）3.841 5.024 6.635K0考点：独立性检验．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，列表确定基本事件，即可求出这2家中恰好中、小型企业各一家的概率．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，分别记为A1，A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6，把可能结果列表如下：A1 A2 B1 B2 B3 B4 B5 B6A1﹣+ + + + + +A2﹣+ + + + + +B1 + + ﹣B2 + + ﹣B3 + + ﹣B4 + + ﹣B5 + + ﹣B6 + + ﹣结果总数是56，符合条件的有24种结果．（若用树状图列式是：）从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为=．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）k AF==﹣k，所以ak=2，确定B的坐标，再求出B到n的距离．解答：解：（Ⅰ）m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0①，x2+4kx﹣4ka+4=0②，…（2分）由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，…（4分）故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1或k＞1．…（6分）（Ⅱ）F（0，1），k AF==﹣k，所以ak=2．…（8分）由△1=0得k2=ka+1=3，B（2k，k2），所以B到n的距离d===4 …（12分）点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，其中a∈R．（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：（1）g（t）=g（）；（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数，利用f（x）的极小值点为x=t．推出t=＞0，然后求解单调区间，a=﹣表示出a与t的关系．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值，就是证明g（）=g（t）．（ⅱ）求出函数的g′（t）=﹣（1+）lnt，利用单调性以及极值，判断分别存在唯一的c ∈（1，1）和d∈（1，e2），推出g（c）=g（d）=0，化简即可．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣+=．t=＞0，…（2分）当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（4分）由f′（t）=0得a=﹣t．…（6分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值为g（t）=t++（﹣t）lnt，则g（）=+t+（t﹣）ln=t++（﹣t）lnt=g（t）．…（8分）（ⅱ）g′（t）=﹣（1+）lnt，…（9分）当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．…（10分）又g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e2），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，所以y=g（t）有两个零点且互为倒数．…（12分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的应用，考查计算能力．22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC ⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
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A．y＝ex＋e－xB．y＝ln(|x|＋1)
C．y＝D．y＝x－
解析：选D 选项A，B是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．故选D.
通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十文
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A组——12＋4提速练
一、选择题
1．函数f(x)＝ 的定义域为( )
3．(20xx·合肥模拟)函数y＝4cos x－e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是( )
解析：选A 令f(x)＝4cos x－e|x|，因为f(－x)＝4cos(－x)－e|－x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项B，D.又f(0)＝4cos 0－e0＝3>0，所以选项A满足条件．故选A.
9．已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f ＝f ，则f(6)＝( )
A．－2B．－1
C．0D．2
解析：选D 由题意知当x＞时，f ＝f ，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.
6．(20xx·陕西质检)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，则f(8)＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．－2
解析：选B 由奇函数f(x)的定义域为R，可得f(0)＝0，由f(x＋2)为偶函数，可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，故f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[－(x＋2)＋2]＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以f(8)＝f(0)＝0，故选B.
4．已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x)的图象可能是( )
解析：选B 函数f(x－1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象．因为函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称，排除A，C，D，故选B.
A．(0,2)B．(0,2]
C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)
解析：选C 由题意可知x满足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根据对数函数的性质得x＞2，即函数f(x)的定义域是(2，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)是减函数
C．函数f(x)是周期函数
7．(20xx届高三·湖南五市十校联考)函数y＝的图象大致为( )
选A 当x>2时，2－x<0，ex>0，(x－1)2>0，∴y<0，此时函数的图象在x轴的下方，排除B；当x<2且x≠1时，2－x>0，ex>0，(x－1)2>0，∴y>0，此时函数的图象在x轴的上方，故选A.
8．(20xx·天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a<b<cB．c<b<a
C．b<a<cD．b<c<a
解析：选C 由f(x)为奇函数，知g(x)＝xf(x)为偶函数．因为f(x)在R上单调递增，f(0)＝0，所以当x>0时，f(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)>0.又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，20.8<2＝log24<log25.1<log28＝3，所以b<a<c.
12．(20xx·洛阳统考)已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的．[2，＋∞)
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
11．(20xx届高三·广西三市联考)已知函数f(x)＝e|x|，函数g(x)＝对任意的x∈[1，m](m>1)，都有f(x－2)≤g(x)，则m的取值范围是( )
A．(1,2＋ln 2)B.
10．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为( )
A．(－∞，1)B．(－∞，1]
C．(0,1)D．(－∞，＋∞)
解析：选A x≤0时，f(x)＝2－x－1,0<x≤1时，－1<x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.故当x>0时，f(x)是周期函数，f(x)的图象如图所示．
C．(ln 2,2]D.
解析：选D 作出函数y1＝e|x－2|和y＝g(x)的图象，如图所示，由图可知当x＝1时，y1＝g(1)，又当x＝4时，y1＝e2<g(4)＝4e，当x>4时，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1，∴1<m≤＋ln 2.
D．函数f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析：选D 由函数f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x) ∈[－1,1]．所以函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.