山东省滕州市实验中学高三数学5月模拟考试试题文

2015届山东省滕州市实验高中高三5月模拟考试文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0．5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数121iz i +=-（i 是虚数单位）对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设y x ,是两个实数，命题“y x ,中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是A ．2=+y xB ．2>+y xC ．222x y +> D ．1>xy 3．已知点()()1,1,4,3M N -，则与向量共线的单位向量为A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3434,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或，D ．4343,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或，4．把函数f （x ）的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数xy e =的反函数图像重合，则f （x ）= A ．ln 1x -B ．ln 1x +C ．ln(1)x -D ．5．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．43π-B ．83C ．4π- D．12-6．双曲线22124x y -=的顶点到其渐近线的距离为A．B．C．D．7．周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则 (2014)+(2015)f f =A ．0B ．1C ．2D ．38．已知,x y 满足约束条件224220220x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．2BC ．4D．9．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面积为，则C =A ．3πB ．32πC ．6πD ．65π 10．设()f x '为函数()f x 的导函数，已知21()()ln ,(1)2x f x xf x x f '+==，则下列结论正确的是A ．()xf x 在(0,)+∞单调递增B ．()xf x 在(1,)+∞单调递减C．()xf x在(0,)+∞上有极大值12D．()xf x在(0,)+∞上有极小值12第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：1．请用0．5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．下面的程序框图输出的S的值为_____________．12．在区间[2,4]-上随机取一个点x，若x满足2x m≤的概率为14，则m=____________．13．若点(,9)a在函数xy=的图象上，则a=_______．14．已知0,0x y>>且22x y+=，则2214x y+的最小值为______．15．函数213()|2|122f x x x x=-+-+的零点个数为___________．三、解答题:本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量)2,cos(sin),1,cos2(xxxωωω-=-=)0(>ω，函数3)(+⋅=nmxf，若函数)(xf的图象的两个相邻对称中心的距离为2π．（Ⅰ）求函数)(xf的单调增区间；（Ⅱ）将函数)(x f 的图象先向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到函数)(x g 的图象，当]2,6[ππ∈x 时，求函数)(x g 的值域． 17．（本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,某月的产量如下表（单位:辆）:按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在A ，B 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆A 类轿车的概率;（Ⅲ）用随机抽样的方法从A,B 两类轿车中各抽取4辆，进行综合指标评分，经检测它们的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较稳定．18．（本小题满分12分）已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 n S ，且n S 为n a与1n a 的等差中项．（Ⅰ）求证：数列2{}n S 为等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1),nn n b a -=求{}n b 的前100项和．19．（本小题满分12分）如图：⋂BCD 是直径为O 为圆心,C 是⋂BD 上一点， 且⋂⋂=CD BC 2．DF CD ⊥，且2DF =，BF =，E 为FD 的中点，Q 为BE 的中点，R 为FC 上一点,且3FR RC =．（Ⅰ）求证：面BCE ⊥面CDF ；（Ⅱ）求证：QR ∥平面BCD ；（Ⅲ）求三棱锥F BCE -的体积．20．（本小题满分13分）已知函数(),ln xf x ax x=+1x >． （Ⅰ）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若2a =，求函数()f x 的极小值；（Ⅲ）若方程(2)ln 0x m x x -+=在(1,]e 上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率3e =，它的一个顶点在抛物线2x =的准线上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆C 上两点，已知1122(,),(,)x y x ym n a b a b ==，且0m n ⋅=． （ⅰ）求OA OB ⋅的取值范围；（ⅱ）判断OAB ∆的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由．2015届山东省滕州市实验高中高三5月模拟考试文科数学试题参考答案一、选择题 BBCD A, B B D A D 二、填空题11．2512； 12．916； 13．4 ； 14．8； 15．2；三、解答题16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）32)cos (sin cos 23)(+--=+⋅=x x x x f ωωω2sin 22cos 1sin 2cos 2)4x x x xx ωωωωπω=-+=-=-，----------------------2分由题意知，πωπ==22T ，1=∴ω， ----------------------3分)42sin(2)(π-=∴x x f ． ----------------------4分由Zk k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解得：Z k k x k ∈+≤≤-,838ππππ, ----------------------5分∴)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],83,8[ππππ． ----------------------6分（Ⅱ）由题意，若)(x f 的图像向左平移4π个单位，得到)4y x π=+， 再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到)44sin(2)(π+=x x g ，------8分 ]2,6[ππ∈x ，]49,1211[44πππ∈+∴x ， ----------------------10分∴22)44sin(1≤+≤-πx ， ----------------------11分∴函数()g x 的值域为[． ---------------------12分17．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）由题意得,5040010400600a ⨯=++,所以1000a =--------------------3分 （Ⅱ）根据分层抽样可得,40010005m=,解得2m =-------------------4分∴样本中有A 类2辆B 类3辆，分别记作A 1,A 2,B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为（A 1, A 2） （A 1, B 1）, （A 1, B 2） , （A 1, B 3） （A 2 ,B 1）, （A 2 ,B 2）, （A 2 ,B 3）,（B 1 ,B 2）, （B 1 ,B 3） , （B 2 ,B 3）共10个,其中至少有1辆A 类轿车的基本事件有7个: （A 1, A 2） ,（A 1, B 1）, （A 1, B 2） , （A 1, B 3） （A 2 ,B 1）, （A 2 ,B 2）, （A 2 ,B 3）, ,所以从中任取2辆,至少有1辆A 类轿车的概率为710． ----------------------6分（Ⅲ）868392913528844A x +++===,859492933649144B x +++=== --------8分∴242516913.54A s +++==,23691412.54B s +++==----------------------10分 ∵12.513.5<,∴B 类轿车成绩较稳定． ----------------------12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知12n n n S a a =+，即221n n n S a a -=，① ----------------------1分当1n =时，由①式可得11S =; ----------------------2分又2n ≥时,有1n n n a S S -=-，代入①式得2112()()1n n n n n S S S S S -----= 整理得2211,(2)n n S S n --=≥． ----------------------3分 ∴2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列． ----------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得211nS n n =+-=， ----------------------5分 ∵{}n a是各项都为正数，∴n S = ----------------------6分∴1n n n a S S -=-2n ≥）， ----------------------7分 又111a S ==,∴n a = ----------------------8分（Ⅲ）(1)(1),n nnn n b a -===- ----------------------10分10011)(9910T =-+-+-++=∴{}n b 的前100项和10010T=． ----------------------12分19．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵2DF =,BF =BD =∴222BF BD DF =+,∴BD DF ⊥ ----------------------1分 又DF CD ⊥,∴DF ⊥平面BCD ----------------------2分 ∴DF ⊥BC ，又BC ⊥CD ,∴BC ⊥平面CFD , ----------------------3分 ∵BC ⊂面BCE∴面BCE ⊥面CDF ． ----------------------4分（Ⅱ）连接OQ ，在面CFD 内过R 点做RM ⊥CD ，∵O,Q 为中点，∴OQ ∥DF ,且12OQ DE =-----------------5分∵DF CD ⊥ ∴RM ∥FD , ----------------------6分又3FR RC =,∴14RM CR DF CF ==,∴14RM DF=，∵E 为FD 的中点，∴12R M D E =． ----------------------7分∴OQ ∥RM ,且OQ RM = ∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM----------------------8分 又RQ⊄平面B C D , OM ⊂平面B C D ,∴QR ∥平面B C D ． ---------------------9分（Ⅲ）∵⋂⋂=CD BC 2，∴30DBC ∠=，∴在直角三角形BCD中有CD =BC =∴11112132323F BCE F BCD E BCD v v v ---=-=⨯-⨯=---12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2ln 1()ln x f x a x -'=+,由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立；---1分∴2211111()ln ln ln 24a x x x ≤-=--， ----------------------2分 ∵()1,x ∈+∞，∴()ln 0,x ∈+∞， ----------------------3分∴110ln 2x -=时函数t =2111()ln 24x --的最小值为14-， ∴14a ≤-----------------------4分（Ⅱ）当2a =时，()2ln xf x x x =+22ln 12ln ()ln x x f x x -+'=------------------5分令()0f x '=得22ln ln 10x x +-=， 解得1ln 2x =或ln 1x =-（舍），即12x e = ----------------------7分当121x e <<时，()0f x '<，当12x e >时，()0f x '>∴()f x 的极小值为11112222()2412ef e e e =+= ----------------------8分（Ⅲ）将方程(2)ln 0x m x x -+=两边同除ln x 得(2)0ln xx m x -+=整理得2ln xx mx += ----------------------9分即函数()f x 与函数y m =在(1,]e 上有两个不同的交点； ----------------------10分由（Ⅱ）可知，()f x 在12(1,)e 上单调递减，在12(,]e e 上单调递增 1122()4,()3f e e f e e ==，当1x →时，ln x x →+∞ ∴1243e m e <≤ 实数m 的取值范围为12(4,3]e e ----------------------13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为抛物线2x =的准线y =，b ∴=分由22223a b e a a -=⇒=⇒=分∴椭圆C 的方程为22162x y +=． ----------------------3分（Ⅱ）由0m n ⋅=得12123x x y y =- ----------------------4分 设1122(,),(,)A x y B x y 所在直线为l ,当l 斜率不存在时，则1111(,),(,),A x y B x y -22113x y ∴=，又2211162x y +=，211y ∴= 21212122OA OB x x y y y ∴⋅=+== ----------------------5分当l 斜率存在时，设l 方程y kx m =+，联立2236y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(13)6360k x kmx m +++-= 2222223612(31)(2)12(62)0.........()k m k m k m a ∴∆=-+-=-+> 且2121222636,.3131km m x x x x k k --+==++ ----------------------7分由12121222121233()()(13)3()30x x y y kx m kx m k x x km x x m =-=-++⇒++++=整理得2213....()k m b +=-----------8分221212122222242442313m m OA OB x x y y x x k m m --∴⋅=+====-+由(),()a b 得2224131,04m k m =+≥∴<≤，22OA OB ∴-≤⋅<综上：22OA OB ∴-≤⋅≤． ---------------------10分（ⅱ）由（ⅰ）知，l 斜率不存在时，2111||OAB S x y ∆==，----------------11分l 斜率存在时，1221|||213OABS AB d x x m k ∆==-=+将2213m k =+带入整理得OAB S ∆ ----------------------13分所以OAB ∆的面积为定值． ----------------------14分。