史彭第5章刚体运动学
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理论力学_第五章_刚体定点运动_自由刚体运动
刚体绕定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴 转动的角速度与矢径的矢量积；该点的加速度等于绕瞬轴 的向轴加速度与绕角加速度矢的转动加速度的矢量和。
a r v
例 5－1 已知：行星锥齿轮的轴OA以匀角速度 1 ,绕铅直轴OB 转动 设 OA=l，AC=r。 求：齿轮上点M 的速度和加速度。
螺旋率可写成
ds p d
一般情况下，螺旋率为一恒值，上式积分2π p
s表示刚体转过一周沿轴前进的距离－－螺距。
（3）平移速度矢与转动角速度矢成任意角的情形
刚体以角速度 绕动轴 O z 转动， 同时又以速度 vO 平移， vO 和 之间的夹角为θ 。 刚体的运动成为以 v 2 的平移，和以 绕瞬轴CC 的转动
解： 齿轮中心点A 的速度为
vA OA sin
点A 绕定点O 在水平面内作圆周运动 vA OA 1 绕瞬轴OC 转动的角速度的大小为 1 =常量 sin 它沿着OC 指向如图所示
点M 的速度为
1 1 vM ME 2r cos 2l sin 2l1 sin sin 指向如图 它的方向垂直于平面 OMC
由于牵连运动为平移， 自由刚体内任一点的加速度合成式为
其中 ae aO
a a ae a r
ar 为刚体绕基点 O 转动的瞬时角加速度
自由刚体内任一点的加速度公式为
ar ar r r r
aM aO a1 a2 ， a1 ar r ， a2 r r
e与 r 同向的情形如图
vO2 e O1O2 a O2C
齿轮绕瞬轴转动的角速度为
O1O2 a r e a e O2C O2C 方向根据 O2 的方向确定 O1O2 O1C O2 C 当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动 为绕瞬轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对角速 度的和；瞬轴的位置内分两轴间的距离，内分比与两个角 速度成反比。 vO2
a r v
例 5－1 已知：行星锥齿轮的轴OA以匀角速度 1 ,绕铅直轴OB 转动 设 OA=l，AC=r。 求：齿轮上点M 的速度和加速度。
螺旋率可写成
ds p d
一般情况下，螺旋率为一恒值，上式积分2π p
s表示刚体转过一周沿轴前进的距离－－螺距。
（3）平移速度矢与转动角速度矢成任意角的情形
刚体以角速度 绕动轴 O z 转动， 同时又以速度 vO 平移， vO 和 之间的夹角为θ 。 刚体的运动成为以 v 2 的平移，和以 绕瞬轴CC 的转动
解： 齿轮中心点A 的速度为
vA OA sin
点A 绕定点O 在水平面内作圆周运动 vA OA 1 绕瞬轴OC 转动的角速度的大小为 1 =常量 sin 它沿着OC 指向如图所示
点M 的速度为
1 1 vM ME 2r cos 2l sin 2l1 sin sin 指向如图 它的方向垂直于平面 OMC
由于牵连运动为平移， 自由刚体内任一点的加速度合成式为
其中 ae aO
a a ae a r
ar 为刚体绕基点 O 转动的瞬时角加速度
自由刚体内任一点的加速度公式为
ar ar r r r
aM aO a1 a2 ， a1 ar r ， a2 r r
e与 r 同向的情形如图
vO2 e O1O2 a O2C
齿轮绕瞬轴转动的角速度为
O1O2 a r e a e O2C O2C 方向根据 O2 的方向确定 O1O2 O1C O2 C 当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动 为绕瞬轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对角速 度的和；瞬轴的位置内分两轴间的距离，内分比与两个角 速度成反比。 vO2
理论力学05点的运动学和刚体的基本运动
例 5.7 如图圆盘 C 以匀角速度ω 绕倾斜轴 OB 转动，盘面与 转轴垂直，圆盘的半径为 r； 设 OB 轴在 平面Oyz内，盘面与 平面Oyz的交线为 CD，点A 为圆盘边缘上一个固连点。 求： CA 与CD 为任意角φ时
A 点的速度和加速度矢量。
解：以矢量思路考虑，有
vA w OA OB方向单位矢 :
引言
5-1 运动学的基本概念
①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
②运动学研究的对象 ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
பைடு நூலகம்
④运动是相对的 ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。
arctg |a |
an
11
例 5.1 一绳AMC的一端系于固定点A，绳子穿过 滑块M上的小孔。绳的另一端系于滑块C上。滑块 M以已知等速v0运动。绳长为l，AE的距离为a且 垂直于DE。求滑块C的速度与距离AM = x之间的 关系。又当滑块M经过E点时，滑块C的速度为何 值？
vc v0
12
曲率半径与法 向加速度有关 先求速度和法 向加速度
（否则△ t 时间后，该直线将被弯曲或伸缩，这对刚体是不容许的）。
同理AB 线上各点的速度也必须是直线分布， 因为与 矢端的连线不平行于π平面，这条矢端连线一定会与π 平面相交，设交点为 C，其速度必为零，所以 OC 线上所有点 的速度为零（OC 线上所有点的速度也必须直线分布）
一.弧坐标,自然轴系
1.弧坐标的运动方程S=f (t)
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
大学物理第5章刚体
由转动定律：
l 3 mg 1 2 2 3g M 3 1 2 2 J 4l 2 ml 3
B
例2 如图，质量均为m的两物体A和B。A放在倾角 20 为a的光滑斜面上，通过绕在定滑轮上的细绳与B相 连，定滑轮是质量为m 半径为R的圆盘。求绳中张 力T1和T2以及A和B的加速度aA 、aB 。
解 受力 N , mg , 只有mg产生力矩
系统对0轴的力矩：
N
0
A
30
mg mg
L L M o M 0 A M 0 B mg mg sin 600 2 2 1 1 2 系统对O轴的J： J J A J B ml 2 ml 2 ml 2 3 3 3
F F F11
第一项的方向垂直于轴，对轴力矩为零：
10
将第二项的数值定义为力对轴的力矩，即
M轴
r F
方向平行于轴
二、刚体定轴转动定律 dL 由质点的角动量定理： M r F dt 刚体是 N 个质点组成的特殊质点系:
第 i个质点有
对 N 个质点求和
4. 线量与角量关系
ai
dvi d dri ai ri dt dt dt d ri ( ri ) dt dv d at ri ri 切向分量 dt dt v2 2 法向分量 an ri ri
注意：1.转动定律是力矩的瞬时作用规律，与牛顿第二 定律地位相当。 2.式中力矩、角加速度、转动惯量都是相对同一 转轴而言。
5.3 转动惯量的计算
一、转动惯量的定义 由 M 轴外 J 可知
13
在M相同的条件下，J 越大， 越小，转动状态越难改变。
l 3 mg 1 2 2 3g M 3 1 2 2 J 4l 2 ml 3
B
例2 如图，质量均为m的两物体A和B。A放在倾角 20 为a的光滑斜面上，通过绕在定滑轮上的细绳与B相 连，定滑轮是质量为m 半径为R的圆盘。求绳中张 力T1和T2以及A和B的加速度aA 、aB 。
解 受力 N , mg , 只有mg产生力矩
系统对0轴的力矩：
N
0
A
30
mg mg
L L M o M 0 A M 0 B mg mg sin 600 2 2 1 1 2 系统对O轴的J： J J A J B ml 2 ml 2 ml 2 3 3 3
F F F11
第一项的方向垂直于轴，对轴力矩为零：
10
将第二项的数值定义为力对轴的力矩，即
M轴
r F
方向平行于轴
二、刚体定轴转动定律 dL 由质点的角动量定理： M r F dt 刚体是 N 个质点组成的特殊质点系:
第 i个质点有
对 N 个质点求和
4. 线量与角量关系
ai
dvi d dri ai ri dt dt dt d ri ( ri ) dt dv d at ri ri 切向分量 dt dt v2 2 法向分量 an ri ri
注意：1.转动定律是力矩的瞬时作用规律，与牛顿第二 定律地位相当。 2.式中力矩、角加速度、转动惯量都是相对同一 转轴而言。
5.3 转动惯量的计算
一、转动惯量的定义 由 M 轴外 J 可知
13
在M相同的条件下，J 越大， 越小，转动状态越难改变。
刚体力学005
2
19
方法二：应用动量矩定理
z
研究整体 L O J k r O C ( m v C ) L r C
L r C J C ' x 'i' J C ' y 'j' J C ' z z 'k '
M
x' sin y' cos
o
yc
x
x' mg
LOzM
z'
y'
z'
LOzJ m2L
(JC' xx'sin )
yr o '
c y1
m xC F x
m
yC
Fy
m
zC
Fz
相对质心的动量矩定理：
x
x1
JCx'x' (JCz' JCy')y'z' JCy'y' (JCx' JCz')x'z'
MCx' MCy'
dLrC
dt
MC(Fie)
JCz'z' (JCy' JCx')x'y' MCz'
y ' J y' y' (Jx' Jz')x'z' M y'
J
z
' z
'
(J
y'
J x')x'y'
M z'
0 Jz'z' M z'
J C 'z z ' J C ' z 0
大学物理学——刚体的转动PPT课件
mg
2 3
L cos
Mg
1 2
L cos
arccos(1 3v02 ) 64gL
[思考]
上式对v0值有何限制?
例5-12
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2,转轴光滑,人的质量m,开始时，两者静止． 求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度．
解：
在走动过程中,人－盘系统 L=Const.
解：
d d(at bt 3 ct 4 )
dt
dt
a 3bt 2 4ct 3
d d (a 3bt 2 4ct 3 )
dt dt
6bt 12ct 2
Note:
角速度的矢量表示法：
大小：
方向：//转轴, 符合右手螺旋
r v Ｏr
线速度：
v
r
验证：
大小：
r 方向：
4
F1
an at
F1
4
法向：
F2
mg
sin man 5mg sin
3mg sin
2
F2
2
F
F12 F22
mg 4
99 sin 2 1 (方向?)
§5.5 转动中的功和能 (Rotational Work and Energy)
1.力矩的功
F
Ft
d
dr r
(垂直于转轴的截面)
O
mv
①这里v是质点速度在垂直于转轴的平面内的分量值.
②L有正负,取决于转动正方向的选取.
2.刚体对固定轴的角动量
ri
mi vi
3.定轴转动的角动量定理
L miviri miri2
J
⑴微分形式：
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
刚体的运动及描述
v r
P点线加速度 an r
2
dv at r dt
z
ω ,α v r θ
匀角加速转动的运动学关系：
P
参 考 方 向
0 t ( 0 ) 0 t 1 t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
刚体
r O ×
定轴
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
矢量形式
v r 2 an r at r
或： a t r e
刚体定轴转动(一维转动) 的转动方向可以用角速 度的正、负来表示。 角加速度
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
定点转动：
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固
定点的某一瞬时轴线转动.
如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
3 平面平行运动 刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的 平面运动，又称为刚体的平面平行运动。 如：车轮直线滚动 可以分解为： 刚体随质心的平动（i=2） 和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动（i=1）
·
Δ
· o
o
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
5.1.3 刚体定轴转动的运动学描述
定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动。
O
z
ω
r P’(t+dt) d P(t)
高校大学物理第五章刚体运动学课件
解 （1）转速3000r/min和1200r/min相应的角速 度分别为
2
2π 3000 60
100π
rad/s
1
2π 1200 60
40π
rad/s
19
当t = 12s时
2 1 100π 40 π 15.7rad s2
t
12
（2）飞轮 12 s 内转过的角位移
0
0t
1 t 2
设 ct
由定义, 得 d ct
dt
d ctdt
16
t
两边积分 d c td t
0
0
由题意 在t 300s时
1 ct 2
2
18000r min1
18000 2π 600πrads-1 60
所以
c
2
t2
2 600π 3002
π rad s3 75
17
任意时刻的角速度
第5章 刚体运动学
1
第5章 刚体运动学
5.1 刚体和自由度的概念 5.2 刚体的平动 5.3 刚体绕定轴转动
2
§5.1 刚体和自由度的概念
一. 特刚殊体的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型
在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数
s O
i=1
z
z
(x,y,z)
O
yO
y
x
i=2
i=3
x i = 3+2+1= 6
当刚体受到某些限制 ——自由度减少 3
§ 5.2 刚体的平动
1. 刚体的平动 刚体运动时,在刚体内所作的任一条直线都
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30
物理系：史彭
N 37.5rev 2
大学物理：刚体运动学
（2）t = 6s 时的角速度 由
0 t
6 5 6 4rad s 1 6
（3）t = 6s 时边缘上一点的
v a an
2
v r 0.8 2.5m s
-1
A
A B
B
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
物理系：史彭
(2) 刚体的平动可归结为质点运动
大学物理：刚体运动学
§5.3 刚体绕定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
z
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 角速度 角加速度
大学物理：刚体运动学
第5章 刚体运动学
刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面 内回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述? 物理系：史彭
大学物理：刚体运动学
刚体力学
刚体运动学 刚体动力学
运 动 描 述
角 线 量 关 系
力矩的 瞬时作 用规律 转动 定律
力矩的 空间累 积效应 动能 定理
0 t 1 2 ( 0 ) 0t t 2 2 2 0 2( 0 )
物理系：史彭
大学物理：刚体运动学
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,
且 ， 都相同
法向加速度 切向加速度
a
an
O
a
an a
d a dt
2 an r
r
2
a an n a
a a a
2 n
物理系：史彭
大学物理：刚体运动学
例一飞轮半径为 0.2 m，转速为 150 rev/min，制动均匀减速， 经过 30 s 停止。 求（1）角加速度、转过的圈数
（2）t = 6s 时的角速度 （3）t = 6s 时边缘上一点的
力矩的 时间累 积效应 动量矩及 守恒定理
物理系：史彭
大学物理：刚体运动学
一. 刚体
§5.1
刚体和自由度的概念
特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z s O x i=1 i=2 z
a r 0.105m s
a n r 31.6m s
2 2
负号表示什么含义？
物理系：史彭
I
f (t )
d f ' (t ) dt
P
II
M
d d 2 2 f " (t ) dt dt
物理系：史彭
大学物理：刚体运动学
匀变速直线运动
特点：加速度为常值
匀变速转动
特点：角加速度为常值
0 a t 1 2 ( x x0 ) 0 t a t 2 2 2 0 2a( x x0 )
(x,y,z)
y i=3
物理系：史彭
O
O x
y i = 3+2+1= 6
当刚体受到某些限制 ——自由度减少
大学物理：刚体运动学
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自 身平行 — 刚体平动 平动的特点 (1) 刚体中各质点的 运动情况相同
§5.2
刚体的平动
A
rA rB AB rA rB v A vB a A aB
解已知条件
150 2 r 0.2m 0 5rad s 1 60 t 30 0 0 0
30 0 rad s 2 30 6
v a an
（1）角加速度、转过的圈数 由 由
0 t
2 2 0 2( 0 ) 2 2 0 75rad 2
物理系：史彭
N 37.5rev 2
大学物理：刚体运动学
（2）t = 6s 时的角速度 由
0 t
6 5 6 4rad s 1 6
（3）t = 6s 时边缘上一点的
v a an
2
v r 0.8 2.5m s
-1
A
A B
B
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
物理系：史彭
(2) 刚体的平动可归结为质点运动
大学物理：刚体运动学
§5.3 刚体绕定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
z
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 角速度 角加速度
大学物理：刚体运动学
第5章 刚体运动学
刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面 内回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述? 物理系：史彭
大学物理：刚体运动学
刚体力学
刚体运动学 刚体动力学
运 动 描 述
角 线 量 关 系
力矩的 瞬时作 用规律 转动 定律
力矩的 空间累 积效应 动能 定理
0 t 1 2 ( 0 ) 0t t 2 2 2 0 2( 0 )
物理系：史彭
大学物理：刚体运动学
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,
且 ， 都相同
法向加速度 切向加速度
a
an
O
a
an a
d a dt
2 an r
r
2
a an n a
a a a
2 n
物理系：史彭
大学物理：刚体运动学
例一飞轮半径为 0.2 m，转速为 150 rev/min，制动均匀减速， 经过 30 s 停止。 求（1）角加速度、转过的圈数
（2）t = 6s 时的角速度 （3）t = 6s 时边缘上一点的
力矩的 时间累 积效应 动量矩及 守恒定理
物理系：史彭
大学物理：刚体运动学
一. 刚体
§5.1
刚体和自由度的概念
特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z s O x i=1 i=2 z
a r 0.105m s
a n r 31.6m s
2 2
负号表示什么含义？
物理系：史彭
I
f (t )
d f ' (t ) dt
P
II
M
d d 2 2 f " (t ) dt dt
物理系：史彭
大学物理：刚体运动学
匀变速直线运动
特点：加速度为常值
匀变速转动
特点：角加速度为常值
0 a t 1 2 ( x x0 ) 0 t a t 2 2 2 0 2a( x x0 )
(x,y,z)
y i=3
物理系：史彭
O
O x
y i = 3+2+1= 6
当刚体受到某些限制 ——自由度减少
大学物理：刚体运动学
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自 身平行 — 刚体平动 平动的特点 (1) 刚体中各质点的 运动情况相同
§5.2
刚体的平动
A
rA rB AB rA rB v A vB a A aB
解已知条件
150 2 r 0.2m 0 5rad s 1 60 t 30 0 0 0
30 0 rad s 2 30 6
v a an
（1）角加速度、转过的圈数 由 由
0 t
2 2 0 2( 0 ) 2 2 0 75rad 2