2017年中考数学复习指导例说辅助圆的作用
中考数学复习指导 例说辅助圆的作用(2021学年)
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例说辅助圆的作用有些问题乍看与圆没有什么联系,解答时添加辅助圆却能使问题方便获解．一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角例1 (2０14年河南）已知在正方形ABCD中，CD =，若点P 满足1PD =，且90BPD ∠=︒，求点A 到BP 的距离。
解 ＰD=１，90BPD ∠=︒,BP ∴是以点D 为圆心以1为半径的⊙D 的切线,点P 为切点， BP PD ∴⊥，2BD =,Rt BPD 中,BP ==作AM BP ⊥于M ,则AM 即为点A 到BP 的距离。
第一种情况:如图1,当BP 与正方形的边AD 的交点为N 时。
设AN x =，BN y =,则DN x =，PN y =.Rt ANBRt PND , AN BN AB PN DN PD∴==。
1==,解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 在Rt ABN 中, 2312AB AN x AM BN y -===，第二种情况：如图2,当BP 与正方形的边CD 的交点为N 时.设BN x =,CN y =,则PN x =,DN y =,Rt BCNRt DPN ， BN CN BC DN PN PD∴==.1==，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 容易得到Rt ABMRt BNC AM AB BC BN ∴=,x =。
AM ∴=二、已知角看作辅助圆直径所对的圆内角例 2 (201４年广州)已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -,(4,0)B ,抛物线 22y ax bx =+-(0)a ≠过点A ，B ,顶点为C ,点(,)P m n (0)n <为抛线上一点，当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围。
辅助圆来帮忙.
辅助圆来帮忙张圣官圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。
对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。
例1. 求直线的方程，使点A（1，1），B（5，3）到的距离都等于1。
解：如图1，分别以A、B为圆心，作半径为1的辅助圆，于是原问题就转化为求两圆的外公切线与内公切线方程。
因为，所以可设外公切线方程为即由A（1，1）到切线的距离为1，得：所以因为AB的中点为（3，2），所以可设内公切线方程为即由A（1，1）到切线的距离为1，得所以或故所求直线的方程为或或例2. 如图2，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A（0，a），B（0，b）（），试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。
解：设C是x轴正半轴上一点，在△ABC中，由正弦定理，有其中R是△ABC的外接圆的半径。
可见，当R取得最小值时，∠ACB取得最大值。
在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。
故切点C即为所求。
由切割线定理，得：所以即点C的坐标为时，∠ACB取得最大值。
例3. 已知，求证：证明：设，则所以，点是直线与圆的公共点。
由直线和圆有公共点的充要条件，得：解得：即例4. 实数x，y满足，设，则的值是____________。
分析：把变形为，利用圆的参数方程求解。
解：设根据题意可得：即因此即例5. 设双曲线的两支分别为（如图3），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。
若在上，Q、R在上，求顶点Q、R的坐标。
图3分析：正三角形PQR中，有则以为圆心，为半径的圆与双曲线交于R、Q两点。
根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标。
解：设以P为圆心，为半径的圆的方程为由得：（其中，可令进行换元解之）设Q、R两点的坐标分别为则即同理可得：且因为△PQR是正三角形，则即得代入方程即由方程组，得：或所以，所求Q、R的坐标分别为。
初中数学解题中辅助圆的应用探析
初中数学解题中辅助圆的应用探析【摘要】初中数学解题中辅助圆的应用探析是指在初中数学学习中，如何运用辅助圆来更好地解决数学问题。
本文从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形和圆的性质证明中的应用等方面展开探讨。
通过分析辅助圆在简化数学解题中的作用，探讨了辅助圆的重要性和如何提高学生辅助圆运用的能力。
未来, 辅助圆在数学学习中仍有广阔的发展空间，对学生提出更高要求。
深入研究和探索辅助圆的应用，对于提升学生数学解题能力和数学学习的深度和广度都具有积极的意义。
【关键词】初中数学、解题、辅助圆、探析、作用、几何问题、三角形、圆的性质证明、简化、重要性、学生能力、未来发展。
1. 引言1.1 初中数学解题中辅助圆的应用探析在初中数学学习中，辅助圆是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题，特别是在几何学和圆的性质证明中起着至关重要的作用。
本文将从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形中的应用、在圆的性质证明中的应用以及如何简化数学解题等方面进行探讨。
在数学解题中，辅助圆可以起到辅助的作用，通过构造辅助圆来简化问题。
特别是在解决几何问题中，我们经常会使用辅助圆来构造辅助线，辅助角度等，从而推导出问题的解答。
在三角形中，辅助圆可以帮助我们证明三角形的各种性质，如中线、高线等。
在圆的性质证明中，辅助圆也扮演着非常重要的角色，通过构造切线、相交角、相等弧等，来证明圆的各种性质。
通过掌握辅助圆的使用方法，我们可以更快更准确地解决数学问题，提高解题效率。
初中数学解题中辅助圆的应用至关重要，对学生的数学能力以及理解能力都有很大的提升作用。
希望学生们能够认识到辅助圆的重要性，多加练习，提高自己的辅助圆运用能力，为今后的数学学习打下良好的基础。
展望未来，辅助圆在数学学习中的应用必将更加广泛，我们应该不断探索其更多的应用领域，拓展我们的数学思维。
2. 正文2.1 辅助圆在解决初中数学问题中的作用在初中数学解题中，辅助圆是一个非常重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
最值系列之辅助圆
最值系列之辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【2017四川德阳】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O 的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC 交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF 即可．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．【2016安徽中考】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．【寻找定边】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．【寻找定边与直角】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，=-==．AE AM EM22（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．【例题】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．【2017山东威海】如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例题．【2019南京中考】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．【2019武汉中考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C 从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。
辅助圆在证题中的作用
Ｚｖ Ａ Ｄ ／ ／ Ｂ Ｃ ． Ａ
即Ａ Ｄ・ １ ＿ ＢＦ ＂ Ｄ
册 ． ＡＡ Ｐ Ｄ △脚 ． ＝ ，
（ ２ ）
由（ １ ） ＋（ ２ ） ， 得
ＡＤ・ Ｂ Ｅ＋ ＡＢ・ Ｂ Ｇ＝ ＢＦ ・ ＤＰ ＋ ＢＰ ・ ＢＦ ＝ ＢＦ（ ＤＰ ＋ Ｂ ｐ ） ＝ ＢＦ ・ ＢＤ ，
把 四边形 问题 转化 为三 角 形 ， 是 处理 四边 形 问题 的 一种 常用 策 略 ， 通 过转 化 ， 集 中条 件 ， 往往 能 形成 特殊 三 角形 ， 从 而 使 问题得 以解 决． 本 文举 例说 明几 种 常见 的转化 方法 ， 供 参考 ．
一
、
分割转 化
例１ 如图１ ， 在四 边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ａ＝ Ｃ ＝ ９ ０ 。 ，
．
证明： 连 结Ｄ Ｉ 、 砒 、 Ｄ Ｍ、 Ｄ Ｎ， 并 设 △ＡＣ Ｄ、 △Ｃ Ｂ Ｄ内切 圆 的半径 分别 为ｒ １ 、 ．
・
．
・
ＡＣ Ｂ＝ ９ ０ ￣ 。 Ｃ Ｄ 【 ＡＢ。 Ｒｔ △Ａ 一 Ｒｔ △Ｃ 肋 ，
。
．
．
ＡＣ ｒ ｌ 、 ／２ ｒ １
ＢＣ ｒ ２ ｒ
—
一
／
又‘ ． ’ Ｃ Ｄ与剧 黾ｏ 的两条 相交 弦 ，
‘
图２
．
由相 交弦 定理 ， 得Ｂ Ｄ・ Ｂ ｃ ＝ Ｅ・ Ｂ Ｅ
ＡＢ・ ＢＣ ＝６ ４ Ｅ — Ａ ） ｎ ＡＢ） ： Ｃ－ ＡＢ ） Ｃ ＋ ＡＢ） ； Ａ － ＡＢ‘
・
． ．
即Ａ Ｃ ＝ ＡＢ ＋ Ａ ・ Ｂ Ｃ．
Ｏ—一
・． ．腿源自Ｎ Ｋ ． ， １ Ｃ Ｋ・ Ｄ Ｋ ． ． ・ ． Ｍ Ｋ
浅谈辅助圆的作用
作者： 黄全福
作者机构： 怀宁江镇中学
出版物刊名： 中学数学教学
页码： 17-18页
主题词： 直线形;相交弦定理;辅助线;统编教材;角平分线;等腰梯形;切割线定理;锐角三角形;
大弦;中第
摘要：<正> 解几何题,最棘手的莫过于添辅助线了。
常用的添辅助线方法,有连结、延长、平移、或旋转,这些都是对直线形而言的。
至于利用辅助圆解几何题,较为少见。
由于圆的许多定理涉及到直线形,所以论证某些直线形习题时,借助辅助圆,往往能化难为易。
本文就几种不同类型的几何题,谈谈辅助圆在解题时的作用。
一、借助辅助圆,利用相交弦定理例1 设AD是△ABC的一条内角平分线。
试证明:AD~2=AB·AC-BD·DC。
这是统编教材几何第二册总复习题中第23题的第(2)小题。
考虑到初中学生的接受能力,教材中的题目有意把△ABC的外接。
中考必会几何模型：辅助圆
第十二章 辅助圆模型1 共端点，等线段模型图①O AC B图②BOC A图③OABC如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上． 如图③，常见结论有：∠ACB ＝12∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC .模型分析∵OA ＝OB ＝OC .∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等．∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．∵∠ACB 是AB 的圆周角，∠AOB 是AB 的圆心角， ∴∠ACB ＝12∠AOB .同理可证∠BAC ＝12∠BOC .（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AC ＝AD ，连接BD ．求证：∠1＋∠2＝90°.21BCDA证明证法一：如图①，∵AB ＝AC ＝AD ．∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上． ∴∠ABC ＝∠2. 在△BAC 中，∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②，∵AB ＝AC ＝AD ．∴∠BAC ＝2∠1．∵AB ＝AC ， ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上． 延长BA 与圆A 相交于E ，连接CE ．∴∠E ＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE ＝AC ，∴∠E ＝∠ACE .∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE ＝90°． ∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.图①21CDAB小猿热搜1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，在△ABC 的外侧作直线AP ，点B 与点 D 关于AP 轴对称，连接BD 、CD ，CD 与AP 交于点E ．求证：∠1＝∠2．12PBACE DA D21PE CB证明∵A 、D 关于AP 轴对称，∴AP 是BD 的垂直平分线． ∴AD ＝AB ，ED ＝EB ．又∵AB ＝AC .∴C 、B 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．∵ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∴∠2＝2∠EDB .又∵∠1＝2∠CDB . ∴∠1＝∠2.2．己知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a ＞b ，求BD 的长．A CBDBCEDA解答以A 为圆心，以a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ． ∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DAE ＝∠CDA . ∵AC ＝AD ， ∴∠DCA ＝∠CDA . ∴∠DAE ＝∠CAB .在△CAB 和△DAE 中．AD ACDAE CABAE AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAB≌△DAE.∴ED＝BC＝b∵BE是直径，∴∠EDB＝90°.在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，∴BD＝22BE ED-＝()222a b-＝224a b-．模型2 直角三角形共斜边模型模型分析如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，∴A、B、C、D四点共圆．（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．模型实例例1 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：（１）图中有多少组四点共圆？（２）求证：∠ADF＝∠ADE．解答（１）６组①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.∴∠ADF＝∠ADE．例2 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.解答如图，连接DB 、DF .∵四边形ABCD 是正方形，且BF 是∠CBA 的外角平分线， ∴∠CBF =45°，∠DBC =45°， ∴∠DBF =90°． 又∵∠DEF =90°，∴D 、E 、B 、F 四点共圆． ∴∠DFE =∠DBE =45°（同弧所对的圆周角相等）． ∴△DEF 是等腰直角三角形． ∴FE =DE ．1.如图，锐角△ABC 中，BC.CE 是高线，DG ⊥CE 于G ，EF ⊥BD 于F ，求证：FG BCFGEDB证明：由于Rt △BCE 与Rt △BCD 共斜边BC ， ∴B 、C 、D 、E 四点共圆． ∴∠DBC=∠DEG ，同理，Rt ∠EDF 与Rt △DGE 共斜边DE ， ∴D 、E 、F 、G 四点共圆． 于是∠DEG=∠DFG ， 因此，∠DBC=∠DFG ． 于是FG ∥BC2. 如图， BE.CF 为△ABC 的高，且交于点H,连接AH 并延长交于BC 于点D,求证：AD ⊥BC.HEFB3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.B CRQA D4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.AEHDBC补充：为大家整理的资料供大家学习参考，希望对大家能有帮助，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
中考总复习专题六辅助圆
例题解析
300 1.如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=60o,则∠BDC=_______.
思路点拨：
A
600
本题用一般的方法较难解决， 注意到已知条件AB=AC=AD ，可以点A为圆心，AB长为半 D 径作圆，则点C、D都在此圆 上，从而运用圆周角定理求解 .
练习
B
Q
20 ②当 CQ 12时，圆O与直线AB 3 有两个交点，当点 P运动到这两个交
M(P)
20 3
12
O
点时，CP Q为直角三角形 .
C
5
A
20 ③当0 CQ 时，圆O与直线AB 3 相离，点P在圆O外，CPQ小于90， CPQ不可能为直角三角形 .
20 综上所述，当 CQ 12时, CPQ 可能为直角三角形 . 3
可以点E为圆心，AO长为直径 作圆，如果圆E与直线x=b有交
O
C x=b
x
点，则存在四边形DEFB为矩
形.反之，则不存在.
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由.
解：能。以点E为圆心，AO长为直
y
径作圆，则半径为EO=4.
F B (b,t) D
(2)S=2b
O
C x=b
x
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由. 思路点拨：
y
因为四边形DEFB是平行四边 形，所以四边形DEFB要成为
F B (b,t) D
(0,8) A
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例说辅助圆的作用
有些问题乍看与圆没有什么联系，解答时添加辅助圆却能使问题方便获解. 一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角
例 1 (2014年河南)已知在正方形ABCD
中，CD =，若点P 满足1PD =，且
90BPD ∠=︒，求点A 到BP 的距离.
解 Q PD=1，90BPD ∠=︒，BP ∴是以点D 为圆心以1为半径的⊙D 的切线，点P
为切点，
BP PD ∴⊥，2BD =, Rt BPD V 中，
BP 作AM BP ⊥于M ，则AM 即为点A 到BP 的距离.
第一种情况:如图1，当BP 与正方形的边AD 的交点为N 时. 设AN x =，BN y =,
则DN x =
，PN y =.
Rt ANB Rt PND Q V :V , AN BN AB PN DN PD
∴==.
1==
解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩在Rt ABN V 中，
AB AN x AM BN y =
==
g
,
第二种情况:如图2，当BP 与正方形的边CD 的交点为N 时. 设BN x =，CN y =,
则PN x =
，DN y =,
Rt BCN Rt DPN
Q V:V,
BN CN BC
DN PN PD
∴==.
1
==
解得
2
x
y
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
,
容易得到Rt ABM Rt BNC
V:V
AM AB
BC BN
∴=
=
AM
∴=
二、已知角看作辅助圆直径所对的圆内角
例 2 (2014年广州)已知平面直角坐标系中两定点(1,0)
A-，(4,0)
B，抛物线22
y ax bx
=+-(0)
a≠过点A，B，顶点为C，点(,)
P m n(0)
n<为抛线上一点，当APB
∠为钝角时，求m的取值范围.
解把(1,0)
A-，(4,0)
B分别代入22
y ax bx
=+-，得
02
01642
a b
a b
=--
⎧
⎨
=+-
⎩
，解得
1
2
3
2
a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
∴抛物线的解析式为2
13
2
22
y x x
=--
如图3，设AB中点为M，由A、B两点坐标得点M坐标为
3
(,0)
2
∵抛物线与y轴交于点(0,2)
D-，连结DM，AD，BD
则在Rt ODM
V中
5
2
DM AM BM ====
∴点D 在AB 为直径的⊙M 上，这时90ADB ∠=︒ 根据抛物线的对称性可知，抛物线上还存在点D 关于直线3
2
x =的对称点(3,2)E -，也在以AB 为直径的⊙M 上，这时90AEB ∠=︒ ∵点(,)P m n 在抛物线上，
∴当APB ∠为钝角时，m 的取值范围是10m -<<，或34m <<.
三、辅助圆为待解直角三角形的旁切圆
例3 (2016年徐州)如图4，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AD 、
CD 上，若45EBF ∠=︒，则EDF V 的周长等于
解 如图4，以点B 为圆心以正方形的边AB 为半径画圆B ，则边AD 和CD 与圆B 分别相切于点A 和C .
作圆B 的切线'FE ，交边AD 于'E ，和圆B 相切于点'A ，连结'BE 、'BA , 则'BA BA =，'''A E AE =
又''BE BE =
'''BA E BAE ∴≅V V '''A BE ABE ∴∠=∠
同理可得'A BF CBF ∠=∠
1
''''452
A BE A BF ABE CBF ABC ∴∠+∠=∠+∠=
∠=︒ 即'45E BF ∠=︒ 而45EBF ∠=︒
'E BF EBF ∴∠=∠
∵射线'BE 和BE 在射线BF 的同侧， ∴'BE 和BE 重合 ∴点'E 和E 重合 ∴EF 与'E F 重合
∴圆B 是EDF V 的旁切圆
∴EDF V 的周长等于24CD =.
四、所求线段作为辅助回的弦或者直径
例4 (2014年南通)矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，E 为AB 上一点，1AE =，M 是AD 上一动点，直线EM 与直线CD 交于点F ，MC EM ⊥，求线段MC 的长.
解 如图5 在Rt BCE V 中
EC =
==取EC 中点O ，作OH AD ⊥，垂足为H ，
则131
2222
AE CD OH EC ++=
==< 作Rt BCE V 的外接圆O ，且与AD 交于N ，M 两点(O 与AD 距离小于半径).
而1
2
OM ON EC ===
1HM HN ∴====
∴在直角梯形OCDH 中，
1DH ==
211DM DH HM ∴=-=-= 213DN DH HN =+=+=
由于CM 和CN 都与EF 垂直，且点M ，N 都在线段AD 上，所以DM ，DN 都符
合题意.
在Rt CDM V 中，得
MC ==在Rt CDN V 中，得
NC ==
故MC 或例5 (2014年济南)如图6，抛物线233
162
y x x =-
+过x 轴上点A ，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上的动点，PMN ∠为直角，边MN 与AP 相交于点N .设OM t =，试探究:t 为何值时线段PN 的长度最小，最
小长度是多少.
解 由抛物线的解析式得，顶点B 的坐标为(4,3)，(8,0)A .
BC Q 是对称轴，C 是OA 的中点， B ∴是PA 的中点， 26OP BC ∴==. 如图6，以PN 为直径作⊙K ，当⊙K 与x 轴相切时PN 的值最小(此时点M 是切点)， 否则当⊙K 与x 相离时PMN ∠就成了锐角不合题意;当⊙K 与x 轴相交时，有PMN ∠为直角但PN 不是最小.
由8OA =，6OP =，得10AP =.
连结KM ，则KM OA ⊥，
AMK AOP ∴V :V ，KM AK
PO AP
∴=
即KM AP KM
PO AP -= 亦即10610KM KM
-=. 15
4
KM ∴=
即⊙K 的半径为15
4
1525
1044
AK ∴=-=
5AM == 3OM ∴=，即3t =时PN 的长度最小，PN 的最小值为
15
2
. 由上述分析可见，墉助圆具有整合题中信息，提高解题效率的作用，如果不作辅助圆，有些问题利用其他方法可能很难奏效，同学们必须重视这一方法的运用.。