2018中考函数应用题的类型及解题技巧
2018中考数学答题技巧
西华县皮营乡第二初级中学曹东山收集整理2018.6.21 祝：同学们中考旗开得胜，马到成功！！！2018年中考数学答题技巧分析：退步答题中考得分有捷径：分段评分，也叫踩点得分，即在一道题中，答对了多少必要的点，就会得到相应的分数。
换句话说，考生们要做到会做的题不失分，有难度的题力求多得分。
一直以来，包括很多数学学霸也会犯的错误是“会而不对，对而不全”，这个老大难问题其实只要多加留心就能避免，并不是什么学习上拦路老虎。
有些题同学们并不是不会，或者说是不全会，容易出错情况主要是因为逻辑缺陷、概念错误等原因而与这些分数擦肩而过。
因此，考生做题的时候要注意表达准确、考虑周全、书写规范，以免会做的题目被扣分。
而研究表明，对于大部分考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
其次，对于绝大多数的考生来说，更加重要的还是想办法从不太会做的题目中“捞点分”。
那么，怎样才能尽量地捞多点分呢?以下就有四种方法可供选择。
退步解答“以退求进”是一个重要的解题策略。
如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。
总之，退到一个你能够解决的问题。
为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。
这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
2018中考数学：复习需要掌握的七门武器一、重视构建知识网络——宏观把握数学框架要学会构建知识网络，数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学中考考查的重点。
因此，我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类、定义、性质和判定，并会应用这些概念去解决一些问题。
二、重视夯实数学双基——微观掌握知识技能在复习过程中夯实数学基础，要注意知识的不断深化，注意知识之间的内在联系和关系，将新知识及时纳入已有知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时，就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息，选出最佳组合信息，寻找解题途径、优化解题过程。
函数应用题的类型及解题技巧
函数应用题的类型及解题技巧函数应用题是贴进社会生产和生活实际的数学应用问题，充分体现了数学基本方法的灵活运用和基本数学思想的渗透。
下面就函数应用题的类型及解法举例分析。
一． 函数模型为反比例函数问题例1：学校请了30个木匠，要制作200把椅子和100张课桌。
已知制作一张课桌与一把椅子的工时之比为10：7，问30个木匠应当如何分组（一组制课桌另一组制椅子），能使完成全部任务最快？分析：对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程的观点去解，使应用问题化生为熟，尽快得到解决。
解：设x 个木匠制课桌，（30-x ）个木匠制椅子，一个木匠在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为函数100()7P x x=，制作200把椅子所需时间为函数100()7P x x= ，完成全部任务所需时间为函数y （x ）=max{P （x ），Q（x ）}要求的y （x ）的最小值，需满足P （x ）=Q （x ），即100200710(30)xx =- 解得x=12.5 , 考虑到人数为整数,考查P （12）与Q （13）, P （12）= 100841.19≈Q （13）=100841.18≈ 即y （12）>y （13）,所以用13个木匠制课桌,17个木匠制椅子完成全部任务最快。
二．函数模型为一次函数问题例2：某家报刊买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.80元的价格退回报社。
在一个月(30天)里,又20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份。
设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社卖劲多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元?分析：此题主要在于分析题目中的条件，建立合适的关系式，应用函数的性质去解决问题，并考虑在定义域内的局限性与实际意义。
2018年中考数学答题技巧指导-文档资料
2018中考数学答题技巧指导中考是九年义务教育的终端显示与成果展示，其竞争较为激烈。
为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在中考中取得理想的成绩，下文为大家准备了中考数学答题技巧指导的内容。
第一、我们要有分类讨论的意识。
很多知识点是分类讨论的常客，对于这些知识点，同学们在考试时要保持高度的敏感，时刻紧绷分类讨论的弦，以免掉进出题老师的陷阱。
第二、分类讨论是要有一定原则，不要东一榔头西一棒子的的试，要具备一定的条理。
分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级有序进行。
以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说，如果给定两个点A、B，需要在X 轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形，这个时候同学们可以线段来分类讨论：AB为斜边时，AC为斜边或时BC为斜边时点C的坐标。
这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性，并且效率较高。
当然也可以按照角来讨论，但是注意不要两种分类方法穿插进行。
有些时候有可能会进行二次讨论，这个时候对于同学们的条理性要求就更大了，例如探讨含有30°角的直角三角形时，要先讨论那个角是直角，在讨论哪个角是30°或60°。
第三、在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的，最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。
同样有些时候也需要注意是否有些讨论结果重复，需要进行合并。
例如直角坐标系中求能够成等腰三角形的点坐标，如果按照一定的原则分类讨论后，有可能会出现同一个点上可以构成两个等腰三角形的情况，这种情况下就要进行合并。
也就是说找到的三角形的个数和点的个数是不一样的。
以下几点是需要大家注意分类讨论的1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。
2018年中考数学重难点：函数综合应用题的基本类型与解题策略
2018年中考数学重难点：函数综合应用题的基本类型与解
题策略
2018-02-25 13:502018年中考数学重难点：函数综合应用题的基本类型与解题策略根据实际背景材料来确定函数关系式，利用函数的增减性解决问题的方法，这类问题通常与方程或不等式进行联合考查．一般先建立方程(不等式)等模型，然后建立函数关系式，最后确定自变量的取值范围，通过取值范围来确定最佳选择等知识点．其中建立方程(不等式)在这类问题中属于基础考点，确定自变量的范围是解决问题的关键．2018年中考数学重难点：函数综合应用题的基本类型与解题策略2018年中考数学重难点：函数综合应用题的基本类型与解题策略2018年中考数学重难点：函数综合应用题的基本类型与解题策略2018年中考数学重难点：函数综合应用题的基本类型与解题策略2018年中考数学重难点：函数综合应用题的基本类型与解题策略2018年中考数学重难点：函数综合应用题的基本类型与解题策略2018年中考数学重难点：函数综合应用题的基本类型与解题策略。
2018中考数学一轮考点复习：2018中考数学一轮考点复习：函数类应用题(考点解读+考题精析)
函数类应用题考点解读1、能够建立一次函数、反比例函数、二次函数模型反映实际问题中变量之间的关系；2、能充分利用函数的图像与性质，并结合实际背景，解决问题。
考题精析1．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示．有下列说法：①A、B之间的距离为1200m；②乙行走的速度是甲的 1.5倍；③b=960；④a=34．以上结论正确的有（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②④【考点】FH：一次函数的应用．【分析】①由x=0时y=1200，可得出A、B之间的距离为1200m，结论①正确；②根据速度=路程÷时间可求出乙的速度，再根据甲的速度=路程÷时间﹣乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的 1.5倍，结论②正确；③根据路程=二者速度和×运动时间，即可求出b=800，结论③错误；④根据甲走完全程所需时间=两地间的距离÷甲的速度+4，即可求出a=34，结论④正确．综上即可得出结论．【解答】解：①当x=0时，y=1200，∴A、B之间的距离为1200m，结论①正确；②乙的速度为1200÷（24﹣4）=60（m/min），甲的速度为1200÷12﹣60=40（m/min），60÷40=1.5，∴乙行走的速度是甲的 1.5倍，结论②正确；③b=（60+40）×（24﹣4﹣12）=800，结论③错误；④a=1200÷40+4=34，结论④正确．故选D．2．公式L=L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（）A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P【考点】FH：一次函数的应用．【分析】A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论．【解答】解：∵10＜80，0.5＜5，∴A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧．故选A．3．某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】GA：反比例函数的应用．【分析】易知x、y是反比例函数，再根据边长的取值范围即可解题．【解答】解：∵草坪面积为100m2，∴x、y存在关系y=，∵两边长均不小于5m，∴x≥5、y≥5，则x≤20，故选C．4．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t01234567…h08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出 1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】HE：二次函数的应用．【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故选B．5．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16米B．米C．16米D．米【考点】HE：二次函数的应用．【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，∴C（﹣10，﹣），∴桥面离水面的高度AC为m．故选B．二．填空题（共5小题）6．小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为0.3km．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】根据题意和函数图象可以求得小明从图书馆回家的速度以及对应的时间，从而可以求得他离家50分钟时离家的距离或者根据题意求出相应的函数解析式，求出当x=50时，对应的y的值即可解答本题．【解答】解：方法一：由题意可得，小明从图书馆回家用的时间是：55﹣（10+30）=15分钟，则小明回家的速度为：0.9÷15=0.06km/min，故他离家50分钟时离家的距离为：0.9﹣0.06×[50﹣（10+30）]=0.3km，故答案为：0.3；方法二：设小明从图书馆回家对应的函数解析式为y=kx+b，则该函数过点（40，0.9），（55，0），，解得，，即小明从图书馆回家对应的函数解析式为y=﹣0.06x+3.3，当x=50时，y=﹣0.06×50+3.3=0.3，故答案为：0.3．7．甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B 运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．（并写出自变量取值范围）【考点】FH：一次函数的应用．【分析】图中线段DE所表示的函数关系式，实际上表示甲乙两人相遇后的路程之和与时间的关系．【解答】解：观察图象可知，乙的速度==2cm/s，相遇时间==20，∴图中线段DE所表示的函数关系式：y=（2.5+2）（x﹣20）=4.5x﹣90（20≤x≤36）．故答案为y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．8．某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是35元/时，才能在半月内获得最大利润．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】设销售单价为x元，销售利润为y元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意，得：y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]=（x﹣20）=﹣20x2+1400x﹣20000=﹣20（x﹣35）2+4500，∵﹣20＜0，∴x=35时，y有最大值，故答案为35．9．一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．（1）小球第3次着地时，经过的总路程为 2.5m；（2）小球第n次着地时，经过的总路程为3﹣（）n﹣2m．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据题意可以求得小球第3次着地时，经过的总路程；（2）根据题意可以求得小球第n次着地时，经过的总路程．【解答】解：（1）由题意可得，小球第3次着地时，经过的总路程为：1+=2.5（m），故答案为：2.5；（2）由题意可得，小球第n次着地时，经过的总路程为：1+2[]=3﹣（）n﹣2，故答案为：3﹣（）n﹣2．10．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）（1）如图1，若BC=4m，则S=88πm2．（2）如图2，现考虑在（1）中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．【考点】HE：二次函数的应用；KM：等边三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．【分析】（1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，据此列式求解可得；（2）此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以A为圆心、x为半径的圆、以C为圆心、10﹣x为半径的圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，∴S=×π?102+?π?62+?π?42=88π，故答案为：88π；（2）如图2，设BC=x，则AB=10﹣x，∴S=?π?102+?π?x2+?π？（10﹣x）2=（x2﹣10x+250）=（x2﹣5x+250），当x=时，S取得最小值，∴BC=，故答案为：．11．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是l2（填l1或l2）；甲的速度是30km/h，乙的速度是20km/h；（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）观察图象即可知道乙的函数图象为l2，根据速度=，利用图中信息即可解决问题；（2）分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题；【解答】解：（1）由题意可知，乙的函数图象是l2，甲的速度是=30km/h，乙的速度是=20km/h．故答案为l2，30，20．（2）设甲出发x小时两人恰好相距5km．由题意30x+20（x﹣0.5）+5=60或30x+20（x﹣0.5）﹣5=60解得x=1.3或1.5，答：甲出发 1.3小时或1.5小时两人恰好相距5km．12．“五?一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x 的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．【解答】解：（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＞30x，解得x＞；∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．13．在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【考点】GA：反比例函数的应用．【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．【解答】解：（1）①由题意可得：xy=3，则y=；②当y≥3时，≥3解得：x≤1，故x的取值范围是：0＜x≤1；（2）∵一个矩形的周长为6，∴x+y=3，∴x+=3，整理得：x2﹣3x+3=0，∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，∴矩形的周长不可能是6；∵一个矩形的周长为10，∴x+y=5，∴x+=5，整理得：x2﹣5x+3=0，∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，∴矩形的周长可能是10．14．某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：年度2013201420152016投入技改资金x（万元） 2.534 4.5产品成本y（万元/件）7.26 4.54（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？②若打算在2017年把每件产品成本降低到 3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．【考点】GA：反比例函数的应用．【分析】（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；【解答】解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6，∴，解得k=﹣2.4，b=13.2∴一次函数解析式为y=﹣2.4x+13.2把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，左边≠右边．∴其不是一次函数．同理．其也不是二次函数．设其为反比例函数．解析式为y=．当x=2.5时，y=7.2，可得：7.2=，解得k=18∴反比例函数是y=．验证：当x=3时，y==6，符合反比例函数．同理可验证x=4时，y=4.5，x=4.5时，y=4成立．可用反比例函数y=表示其变化规律．（2）①当x=5万元时，y=3.6．4﹣3.6=0.4（万元），∴生产成本每件比2016年降低0.4万元．②当y=3.2万元时，3.2=，∴x=5.625，∴5.625﹣4.5=1.125≈1.13（万元）∴还约需投入 1.13万元．15．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站A B C D Ex（千米）891011.513y1（分钟）1820222528（1）求y1关于x的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=x2﹣9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．【解答】解：（1）设y1=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：，解得：，故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，∴当x=9时，y有最小值，y min==39.5，答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．16．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）每天的销售利润W=每天的销售量×每件产品的利润；（2）根据配方法，可得答案；（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）w=（x﹣30）?y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；（2）根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，∵﹣1＜0，当x=45时，w有最大值，最大值是225．（3）当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，解得x1=40，x2=50，∵50＞48，x2=50不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．17．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度的多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+h，代入（0，2）和（3，0）得出方程组，解方程组即可，（2）求出当x=1时，y=即可．【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+h，代入（0，2）和（3，0）得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+；即y=﹣x2+x+2（0≤x≤3）；（2）y=﹣x2+x+2（0≤x≤3），当x=1时，y=，即水柱的最大高度为m．真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。
浙江省2018年中考数学总复习第三章函数及其图象第16讲函数的应用讲解篇
第16讲函数的应用1．函数与方程、不等式的应用2.函数的最值的应用3.抛物线型的函数的应用4．多个函数的组合的应用5.灵活选用适当的函数模型的应用1．(2017·绍兴模拟)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是( )2．(2015·金华)图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC⊥x 轴，若OA ＝10米，则桥面离水面的高度AC 为( )A ．16940米B .174米C ．16740米D .154米【问题】人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中的司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为50km /h 时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(km /h )的反比例函数．(1)求f 、v 之间的关系式，并计算当车速为100km /h 时视野的度数． (2)当视野的度数不低于50度时，车速应控制在什么范围内．(3)通过以上两题解答，请你思考如何建立合适的函数模型，以及利用函数关系式解题时，如何理解已知数的意义．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理函数的实际问题，要认真分析，构建函数模型，从而根据函数性质解答问题；实际问题中函数解析式的求法：设x 为自变量，y 为x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x 、y 的二元方程，再用含x 的代数式表示y ，最后还要写出自变量x 的取值范围．类型一 方程(组)、不等式中的函数应用例1 (2017·安徽模拟)给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x.①如果1a >a>a 2，那么0＜a ＜1；②如果a 2>a>1a ，那么a ＞1；③如果1a>a 2>a ，那么－1＜a ＜0；④如果a 2>1a>a 时，那么a ＜－1.则( )A ．正确的命题是①④B ．错误的命题是②③④C ．正确的命题是①②D ．错误的命题只有③【解后感悟】本题是二次函数与不等式组的关系，实际上利用函数图象来比较代数式的大小，求出两交点的坐标，并准确识图．1．(1)(2017·兰州)下表是一组二次函数y ＝x 2＋3x －5的自变量x 与函数值y 的对应值：那么方程x 2＋3x －5＝0的一个近似根是( )A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3(2) 如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝k 2x 交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜k 2x＋b 的解集是．类型二 几何图形中的函数应用例2 (2017·萧山模拟)在Rt △POQ 中，OP ＝OQ ＝4，M 是PQ 的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B.(1)求证：MA ＝MB ；(2)连结AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在．请说明理由．【解后感悟】该题的第(2)题是最小值问题，主要去构建一个函数模型，然后利用性质求最小值．在构造函数模型时注意两个方面：一是揭示基本图形，寻找基本的数量关系，二是确立哪个量作为自变量来构建函数．2．(2015·潍坊)如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A .3cm 2B .323cm 2 C .923cm 2D .2723cm 2类型三 一次函数的应用例3 (2015·杭州)方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地，设乙行驶的时间为t(h )，甲乙两人之间的距离为y(km )，y 与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h ，甲出发0.5小时与乙相遇，…，请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段BC ，CD 所在直线的函数表达式； (2)当20＜y ＜30时，求t 的取值范围；(3)分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一条公路匀速前往M 地，若丙经过43h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？【解后感悟】此题是一次函数的实际应用，注意理解题意，结合图象，根据实际选择合理的方法解答．3．(2017·台州模拟)某服装厂现有A 种布料70米，B 种布料52米，现计划用这两种布料生产M 、N 两种型号的时装共80套．已知做一套M 型号的时装需用A 种布料1.1米，B 种布料0.4米，可获利50元；做一套N 型号的时装需用A 种布料0.6米，B 种布料0.9米，可获利润45元．当M 型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大( )A ．40B ．44C ．66D ．804．(2015·舟山模拟)一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y(单位：升)与时间x(单位：分)之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，时间x 的取值范围为____________________．类型四反比例函数的应用例4(2015·南平模拟)小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)当0≤x≤8时，求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式；(2)求图中t的值；(3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？【解后感悟】此题是一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．5．某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N /m 2，那么此人必须站立在面积____的木板上才不至于下陷．(木板的重量忽略不计)( )A ．至少2m 2B ．至多2m 2C ．大于2m 2D ．小于2m 2类型五 二次函数的应用例5 (2017·镇江模拟)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【解后感悟】本题是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．6．(2017·丽水模拟)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为( )A ．－20mB ．10mC ．20mD ．－10m【实际应用题】(2015·舟山)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧54x （0≤x≤5），30x ＋120（5<x≤15）.(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？(2)如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元(利润＝出厂价－成本)?(3)设(2)小题中第m 天利润达到最大值，若要使第(m ＋1)天的利润比第m 天的利润至少多48元，则第(m ＋1)天每只粽子至少应提价几元？【方法与对策】本题是二次函数在实际生活中的应用，难点在于读懂题目信息，把实际问题构建成一个函数模型，解答时需要同学们仔细分析所示情景分类讨论，利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值．该题型是中考选择题中的压轴题，出现较多，学习过程中要重视．【建立坐标系时忽视符号】如图1，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流与喷头底部A的距离为1 m处达到距地面最大高度2.25 m，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式．学生小龙在解答图1所示的问题时，具体解答如下：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝ax2；③根据题意可得B点与x轴的距离为1 m，故B点的坐标为(－1，1)；④代入y＝ax2得－1＝a·1，所以a＝－1；⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.数学老师看了小龙的解题过程后说：“小龙的解答是错误的．”(1)请指出小龙的解题从第________步开始出现错误，错误的原因是什么？(2)请你写出完整的正确解答过程．参考答案第16讲函数的应用【考题体验】1．C2.B【知识引擎】【解析】(1)f 、v 之间的关系式f ＝4000v .当v ＝100时，f ＝4000100＝40.答：当车速为100km/h 时，视野的度数为40度． (2)根据图象或函数增减性，f 随v 增大而减小，∴f ＝4000v≥50，v ≤80，∴车速不超过80km/h. (3)揭示问题中的数量关系，通过两个变量列方程，从而建立函数模型；对于问题中的数量，要寻找与变量之间的关系，以便解题．【例题精析】例1 易求x ＝1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为(1，1)．根据对称性，y ＝x 和y ＝1x 在第三象限的交点坐标为(－1，－1)．①如果1a>a>a 2，那么0＜a ＜1正确；②如果a 2>a>1a ，那么a ＞1或－1＜a ＜0，故本小题错误；③如果1a>a 2>a ，那么a 值不存在，故本小题错误；④如果a 2>1a>a 时，那么a ＜－1正确．综上所述，正确的命题是①④.故选A . 例2 (1)证明：连结OM.∵Rt △POQ 中，OP ＝OQ ＝4，M 是PQ 的中点，∴PQ ＝42，OM ＝PM ＝12PQ ＝22，∠POM ＝∠BOM＝∠P＝45°.∵∠PMA ＋∠AMO＝∠OMB＋∠AMO，∴∠PMA ＝∠OMB.∴△PMA≌△OMB(ASA)．∴MA＝MB. (2)△AOB 的周长存在最小值．理由如下：∵△PMA≌△OMB，∴PA ＝OB.∴OA＋OB ＝OA ＋PA ＝OP ＝4.设OA ＝x ，AB ＝y ，则y 2＝x 2＋(4－x)2＝2x 2－8x ＋16＝2(x －2)2＋8≥8.∴当x ＝2时y 2有最小值8，从而y 的最小值为2 2.∴△AOB 的周长存在最小值，其最小值是4＋2 2.例3 (1)直线BC 的函数表达式为：y ＝40t －60；直线CD 的函数表达式为：y ＝－20t ＋80；(2)OA 的函数表达式为：y ＝20t(0≤t≤1)，∴点A 的纵坐标为20，当20<y<30时，即20<40t－60<30或20<－20t ＋80<30，解得：2<t<94或52<t<3； (3)S 甲＝60t －60(1≤t≤73)，S 乙＝20t(0≤t≤4)，所画函数图象如图：(4) 当t ＝43时，S 乙＝803，丙距M 地的路程与时间的函数表达式为：S 丙＝－40t ＋80(0≤t≤2)，S 丙＝－40t ＋80与S 甲＝60t －60的图象交点的横坐标为75，∴丙出发75小时与甲相遇．例4 (1)当0≤x≤8时，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系为：y ＝kx ＋b ，依据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝20，8k ＋b ＝100，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝20，故此函数解析式为：y ＝10x ＋20；(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为：y ＝m x，依据题意，得：100＝m 8，即m ＝800，故y ＝800x ，当y ＝20时，20＝800t，解得：t ＝40；(3)∵45－40＝5≤8，∴当x ＝5时，y ＝10×5＋20＝70，答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃.例5 (1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y＝k 1x ＋b 1，∵y ＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42，∴解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－0.2，b 1＝60，∴这个一次函数的表达式为：y ＝－0.2x ＋60(0≤x≤90)；(3)设y 2与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，∵经过点(0，120)与(130，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝120，130k ＋b ＝42，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.6，b ＝120，∴这个一次函数的表达式为y ＝－0.6x ＋120(0≤x≤130)，设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，当0≤x≤90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2250，∴当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2250；当90≤x≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2535，∴当x ＝90时，W ＝－0.6(90－65)2＋2535＝2160，由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，W ≤2160，因此当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250元．【变式拓展】1．(1)C (2)－5＜x ＜－1或x ＞0 2.C 3.B 4.1<x<9 5.A 6.C【热点题型】【分析与解】(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n ＋120＝420，解得n ＝10.答：第10天生产的粽子数量为420只． (2)根据图象求得成本p 与x 之间的关系，然后根据利润等于出厂价减去成本价，然后整理即可得到W 与x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答：由图象得，当0≤x≤9时，p ＝4.1；当9≤x≤15时，设p ＝kx ＋b ，把点(9，4.1)，(15，4.7)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧9k ＋b ＝4.1，15k ＋b ＝4.7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.1，b ＝3.2，∴p ＝0.1x ＋3.2，①0≤x ≤5时，W ＝(6－4.1)×54x＝102.6x ，当x ＝5时，W 最大＝513(元)；②5<x≤9时，W ＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x ＋228，∵x 是整数，∴当x ＝9时，W最大＝741(元)；③9<x≤15时，W ＝(6－0.1x －3.2)×(30x＋120)＝－3x 2＋72x ＋336，∵a ＝－3<0，∴当x＝－b 2a＝12时，W 最大＝768(元)；综上，当x ＝12时，W 有最大值，最大值为768. (3)根据(2)得出m ＋1＝13，根据利润等于出厂价减去成本价得出提价a 与利润W 的关系式，再根据题意列出不等式求解即可：设第13天提价a 元，由题意得，W 13＝(6＋a －p)(30x ＋120)＝510(a ＋1.5)，∴510(a ＋1.5)－768≥48，解得a≥0.1.答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．【错误警示】(1)③ 原因：B 点的坐标写错了，应是(－1，－1)． (2)以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．设抛物线水流对应的二次函数关系式为y ＝ax 2，根据题意可得B 点与x 轴的距离为1 m ，故B 点的坐标为(－1，－1)，代入y ＝ax 2得－1＝a·1，所以a ＝－1，所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y ＝－x 2.。
2018年中考数学试卷解析分类汇编专题+求二次函数解析式的四种方法
2018年中考数学试卷解析分类汇编专题+求二次函数解析式的三种基本方法二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：● 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．● 例2、已知抛物线c bx ax y++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
● 例3、如图，已知两点A （－8，0），（2，0），以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C （0、4）。
求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式。
变式练习，创新发现1. 已知抛物线过A （－2，0）、B （1，0）、C （0，2）三点。
求这条抛物线的解析式。
2. 已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y 轴交于点)5,0(，求这条抛物线的解析式。
3. 已知二次函数y a x b x c =++2的图象的顶点为（1，-92），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。
4. 已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x 轴的一个交点是(-1，0)，求这个二次函数的解析式。
5. 已知二次函数ya xb xc =++2的图象如图所示，则这个二次函数的关系式是________。
6. 已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式7. 已知某抛物线是由抛物线y=x 2-x-2经过平移而得到的，且该抛物线经过点A （1，1），B （2，4），求其函数关系式。
2018年全国中考数学 函数及其应用 专题复习汇总
2018年全国中考数学 函数及其应用 专题复习汇总【课标要求】1．探索具体问题中的数量关系和变化规律 2．函数(1)通过简单实例，了解常量、变量的意义．(2)能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例． (3)能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．(4)能确定函数(尤其是实际问题)中自变量的取值范围，并能根据自变量与函数值的对应关系求值．(5)能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系． (6)结合对函数关系的分析，尝试对变量之间的变化规律进行初步预测． 3．一次函数(1)结合实际问题体会一次函数的意义，归纳一次函数的一般形式． (2)理解正比例函数的意义及与一次函数的隶属关系． (3)根据已知条件熟练运用待定系数法确定一次函数表达式．(4)会利用描点法画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析式y ＝kx ＋b (k ≠0)探索并理解其性质(k ＞0或k ＜0时，图象的变化情况)． (5)能利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解． (6)能运用一次函数解决实际问题． 4．反比例函数(1)结合具体情境体会反比例函数意义，归纳反比例函数的一般形式． (2)能由已知条件运用待定系数法确定反比例函数表达式． (3)能利用描点法画出反比例函数的图象，根据图象和解析式xky (k ≠0)探索并理解其性质(k ＞0或k ＜0时，图象的变化情况)． (4)能用反比例函数解决某些实际问题． 5．二次函数(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的一般表达式，并体会二次函数意义． (2)会用描点法画出二次函数的图象，能利用函数的图象认识二次函数的性质． (3)会确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴并掌握图象的变化情况．(4)能根据已知条件利用二次函数解析式的三种形式(一般式、顶点式、交点式)通过待定系数法确定函数关系式．(5)能理解并掌握二次函数与二次方程、二次不等式的关系．(6)能在实际问题中列出二次函数关系式并运用其性质解决简单的实际问题．(7)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【课时分布】函数部分在第一轮复习时大约需要9课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)．1 2(1)一次函数的函数关系式：y ＝kx ＋b (k 、b 是常数，k ≠0) (2)一次函数的图象、性质①当b ＝0时，是正比例函数y ＝kx (k 是常数，k≠0)．图象是过原点的一条直线．当k ＞0时，图象过第一、第三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象过第二、第四象限，y 随x 的增大而减小．②当b≠0时，一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是过点(0，b)的一条直线．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，y 随x 的增大而减小．图象经过的象限由k 、b 的符号决定． (3)反比例函数的解析式：xky =(k≠0) (4)反比例函数的图象、性质：反比例函数xky =(k≠0)的图象是双曲线，当k ＞0时，图象在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图象在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大． (5)二次函数的解析式① 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，其中a ，b ，c 是常数．②顶点式：y ＝a(x －h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )是抛物线的顶点坐标．③交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中(x 1，0)，(x 2，0)是抛物线与x 轴的交点坐标．(此解析式不具有一般性，通常将结果化为一般式)(6)二次函数的图象：函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线 (7)二次函数的性质：设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)①开口方向：当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下． ②对称轴：直线2b x a=-． ③顶点坐标(a b 2-，ab ac 442-)．④增减性：若a ＞0，则当x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＞ab2-时，y 随x 的增大而增大；若a ＜0，则当x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＞ab2-时，y 随x 的增大而减小．⑤二次函数最大(小)值：(注意自变量的取值范围)．若a ＞0，则当x ＝a b 2-时，y 最小值＝a b ac 442-．若a ＜0，则当x ＝a b 2-时，y 最大值＝ab ac 442-．3．能力要求例1 如图3-1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y 轴相交于负半轴．给出四个结论：(1)abc ＜0；(2) 2a ＋b ＞0；(3) a ＋c ＝1；(4) a ＞1．其中正确结论的序号是______． 【分析】利用图象的位置可判断a ，b ，c 的符号，结合图象对称轴 的位置，经过的点可推断出正确结论． 【解】由图象可知：a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴ abc ＞0.∵ 对称轴abx 2-=在(1，0)的左侧，∴ab2-<1，∴ 2a ＋b ＞0.∵ 图象经过点(－1，2)和点(1，0)， ∴⎩⎨⎧=++=+-02c b a c b a ∴ a ＋c ＝1，b ＝－1.∴ a ＝1－c ＞1．∴ 正确的序号为：(2)(3)(4)． 【说明】本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函数的解析式y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ，b ，图3-1c ，对称轴abx 2-=的位置与二次函数的图象的关系．通常能够利用函数的图象确定符号的有：a ，b ，c ，b 2－4ac ，a ＋b ＋c ，a －b ＋c ，2a ＋b 等．教师在复习时要加强这一方面的训练．例2 如图3-2，已知双曲线xky =，经过点D (6，1)，点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC ． (1)求k 的值；(2)若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； (3)判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由． 【分析】(1)把点D 的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；(2)先根据点D 的坐标求出BD 的长度，再根据三角形的面积公式求出点C 到BD 的距离，然后求出点C 的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；(3)根据题意求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，可知与直线CD 的解析式k 值相等，所以AB 、CD 平行． 【解】 (1)∵双曲线xk y =经过点D (6，1)，∴16=k，解得k =6.(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴， ∴BD=6，∴S △BCD =21×6•h =12，解得h =4.∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1， ∴点C 的纵坐标为1-4= -3，∴36=x，解得x =2. ∴点C 的坐标为(-2，-3). 设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则⎩⎨⎧=+-=+-1632b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==221b k . 所以，直线CD 的解析式为221-=x y .(3)AB ∥CD ．理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点C 的坐标为(-2，-3)，点D 的坐标为(6，1)， ∴点A 、B 的坐标分别为A (-2，0)，B (0，1).图3-2设直线AB 的解析式为y =mx +n ，则⎩⎨⎧==+-102n n m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==121n m .所以，直线AB 的解析式为121+=x y .∵AB 、CD 的解析式k 都等于21相等，∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD ． 【说明】本题有机地综合了反比例函数，一次函数及图形面积等知识，其中待定系数法是求函数解析式的常用方法，这是学生必须掌握的．本题将数和形有机地结合在一起，特别第(3)问题既可以从数上着手，也可以从形上着手，可以利用相似证明∠BAE=∠BDE=∠AE C ,从而得AB ∥CD ．亦可通过等积变形及k 的几何意义，证明S △ABC =S △AOC =21k = S △BOD =S △ABD 从而C 、D 两点到AB 的距离相等，于是AB ∥CD .例3 如图3-3-1，菱形ABCD 中，∠A =600．点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 、BC 、CD 匀速运动到D 终止；点Q 从A 与P 同时出发，沿边AD 匀速运动到D 终止，设点P 运动的时间为t s ．△APQ 的面积s (cm 2)与t (s)之间函数关系的图像由图3-3-2中的曲线段OE 与线段EF 、FG 给出．(1)求点Q 运动的速度；(2)求图2中线段FG 的函数关系式；(3)问：是否存在这样的t ，使PQ 将菱形ABCD 的面积恰好分成1:5的两部分，若存在，求出这样的t 的值；若不存在，请说明理由．（图1） As ）图3-3-1图图3-3-3 图3-3-426【说明】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．例4 为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管(1)若甲用户3月份的用气量为60m ，则应缴费 元；(2)若调价后每月支出的燃气费为y (元)，每月的用气量为x (m 3)，y 与x 之间的关系如图所示，求a 的值及y 与x 之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m 3(3月份用气量低于2月份用气量)，共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？ 【分析】 (1)根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用； (2)结合统计表的数据)根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a 值，再从0≤x ≤75，75＜x ≤125和x ＞125运用待定系数法分别表示出y 与x 的函数关系式即可；(3)设乙用户2月份用气xm 3，则3月份用气(175﹣x )m 3，分3种情况： x ＞125，175﹣x ≤75时，75＜x ≤125，175﹣x ≤75时，当75＜x ≤125， 75＜175﹣x ≤125时分别建立方程求出其解就可以． 【解】(1)由题意，得60×2.5=150(元)；图3-3-6 图3-3-5(2)由题意，得a =(325﹣75×2.5)÷(125﹣75)，a =2.75， ∴a +0.25=3，设OA 的解析式为y 1=k 1x ，则有2.5×75=75k 1， ∴k 1=2.5.∴线段OA 的解析式为y 1=2.5x (0≤x ≤75)； 设线段AB 的解析式为y 2=k 2x +b ，由图象，得22187.575,325125.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得：2 2.75,18.75.k b =⎧⎨=⎩ ∴线段AB 的解析式为：y 2=2.75x ﹣18.75(75＜x ≤125)； (385﹣325)÷3=20，故C (145，385)，设射线BC 的解析式为y 3=k 3x +b 1， 由图象，得3131325125,385145.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：313,50.k b =⎧⎨=-⎩ ∴射线BC 的解析式为y 3=3x ﹣50(x ＞125)(3)设乙用户2月份用气xm 3，则3月份用气(175﹣x )m 3， 当x ＞125，175﹣x ≤75时，3x ﹣50+2.5(175﹣x )=455，解得：x =135，175﹣135=40，符合题意；当75＜x ≤125，175﹣x ≤75时，2.75x ﹣18.75+2.5(175﹣x )=455， 解得：x =145，不符合题意，舍去；当75＜x ≤125，75＜175﹣x ≤125时，2.75x ﹣18.75+2.75(175﹣x )=455，方程无解． ∴乙用户2、3月份的用气量各是135m 3，40m 3. 【说明】本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价×数量=总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．例5 如图3-5-1，A 、B 两点的坐标分别是(8，0)、(0，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由A 出发沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ ，若设运动时间为t (0＜t ＜310)秒．解答如下问题：(1)当t 为何值时，PQ ∥BO ？ (2)设△AQP 的面积为S ，①求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②若我们规定：点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则新坐标(x 2−x 1，y 2−y 1)称为“向量PQ ”的坐标．当S 取最大值时，求“向量PQ ”的坐标． 【分析】(1)如图3-5-2所示，当PQ ∥BO 时，利用平分线分线段成比例 定理，列线段比例式AP AQAB AO=，求出t 的值； (2)①求S 关系式的要点是求得△AQP 的高，如图②所示，过点P 作过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，构造平行线PD ∥BO ，由线段比例关系AP PDAB OB=求得PD ，从而S 可求出． S 与t 之间的函数关系式是一个关于t 的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；②本问关键是求出点P 、Q 的坐标．当S 取最大值时，可推出此时PD 为△OAB 的中位线，从而可求出点P 的纵横坐标，又易求Q 点坐标，从而求得点P 、Q 的坐标；求得P 、Q 的坐标之后，代入“向量PQ ”坐标的定义(x 2﹣x 1，y 2﹣y 1)，即可求解． 【解】(1)∵A 、B 两点的坐标分别是(8，0)、(0，6)，则OB =6，OA =8，∴AB =10862222=+=+OA OB ． 如图①，当PQ ∥BO 时，AQ =2t ，BP =3t ，则AP =10﹣3t ． ∵PQ ∥BO ，∴AP AQAB AO=. 即8210310t t =-，解得t =1120.∴当t =1120秒时，PQ ∥BO ． (2)由(1)知：OA =8，OB =6，AB =10．①如图3-5-2所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，则PD ∥BO ， ∴AP PDAB OB =，即610310PD t =-，解得PD =6﹣59t ． S =21AQ •PD =21•2t •(6 -59t )=6t -59t 2= -59(t -35)2+5， ∴S 与t 之间的函数关系式为：S = -59(t -35)2+5(0＜t ＜310)，当t =35秒时，S 取得最大值，最大值为5(平方单位)．②如图3-5-3所示，当S 取最大值时，t =35，图图图∴PD =6﹣59t =3，∴PD =21BO ，又PD ∥BO ， ∴此时PD 为△OAB 的中位线，则OD =21O A=4，∴P (4，3)．又AQ =2t =310，∴OQ =OA ﹣AQ =314，∴Q (314，0)． 依题意，“向量PQ ”的坐标为(32，- 3)．∴当S 取最大值时，“向量PQ ”的坐标为(32，- 3)．【说明】本题是典型的动点型问题，代数几何综合题，综合考查了平行线分线段成比例定理(或相似三角形的判定与性质)、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第(2)②问中，给出了“向量PQ ”的坐标的新定义，为题目增添了新意．也即适当地创建初高中数学的衔接．例6 如图3-6-1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数23y ax bx =+-(a , b 是常数)的图象与x 轴交于点A (−3，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C ．动直线y = t (t 为常数)与抛物线交于不同的两点P ，Q ． (1)求a 和b 的值； (2)求t 的取值范围；(3)若∠PCQ =90°，求t 的值． 【分析】(1)将点A 、点B 的坐标代入二次函数解析式可求出a ，b 的值；(2)根据二次函数及y =t ，可得出方程，有两个交点，可得△＞0，求解t 的范围即可； (3)证明△PDC ∽△CDQ ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t 的值． 【解】(1)将点A 、点B 的坐标代入可得：30,9330.a b a b +-=⎧⎨--=⎩ 解得：1,2.a b =⎧⎨=⎩.(2)抛物线的解析式为223,y x x =+-直线y =t ，联立两解析式可得：223,x x t +-=即()2230,x x t +-+=∵动直线y=t (t 为常数)与抛物线交于不同的两点，∴△=4+4(3+t)＞0，解得：t ＞- 4；(3)∵()222314,y x x x =+-=+-∴抛物线的对称轴为直线x=1.图3-6-1图图3-6-2当x =0时，y = -3，∴C(0，- 3)．设点Q 的坐标为(m ，t )，则P (- 2 - m ，t )．如图，设PQ 与y 轴交于点D ，则CD = t +3，DQ = m ，DP = m +2．∵∠PCQ =∠PCD +∠QCD = 90°，∠DPC +∠PCD =90°，∴∠QCD =∠DPC ，又∠PDC =∠QDC =90°，∴△QCD ∽△CDP ， ∴DQ DC DC PD =，即332m t t m +=++,整理得：22692,t t m m ++=+ ∵Q (m ，t )在抛物线上，∴223,t m m =+-∴22 3.m m t +=+∴2693,t t t ++=+化简得：2560t t ++=.解得2t =-或3t =-当3t =-时，动直线y=t 经过点C ，故不合题意，舍去．∴2t =-．【说明】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解一元二次方程等知识点．第(3)问中，注意抛物线上点的坐标特征．例7 如图3-7-1，二次函数y =x 2+bx -3的图象与x 轴交于点A (-3，0)和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP 的垂线与y 轴交于点E ．(1)请直接写出点D 的坐标： ；(2)当点P 在线段AO (点P 不与A 、O 重合)上运动至何处时，线段OE 的长有最大值，求出这个最大值；(3)是否存在这样的点P ，使△PED 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标及此时△PED与正方形ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将点A 的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B 的坐标即可求得正方形ABCD 的边长，从而求得点D 的纵坐标；(2)P A =t ，OE =l ，利用△DAP ∽△POE 得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；(3)分点P 位于y 轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．【解】(1)(﹣3，4)；(2)设P A =t ，OE =l由∠DAP =∠POE =∠DPE =90°得△DAP ∽△POE ∴43t t l =- ∴2213139444216l t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭. 图3-7-1 图3-7-2∴当t =时，l 有最大值.即P 为AO 中点时，OE 的最大值为；(3)存在．①点P 点在y 轴左侧时，P 点的坐标为(- 4，0)由△P A D ≌△OEG 得OE =P A =1 ∴OP =OA +P A =4∵△ADG ∽△OEG ∴AG ：GO =AD ：OE =4：1∴AG =41255AO =. ∴重叠部分的面积==.②当P 点在y 轴右侧时，P 点的坐标为(4，0)， 此时重叠部分的面积为【说明】本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．第(3)题注意分类讨论．平时教学中要渗透数学思想方法，同时要帮助学生从“无从下手”到与数学知识的挂钩，以及知识点的灵活应用．【复习建议】1．立足教材，理清概念，夯实基础，学生通过复习，应熟练掌握函数的基本知识、基本技能和基本方法．2．用待定系数法确定函数关系式是中考重点内容，引导学生从题目给出的图象、表格、图形等信息中挖掘已知条件，针对不同的条件进行复习．3．加强函数与方程(组)，不等式(组)、相似三角形等知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平，促进学生更快、更好地构建数学知识网络．4．要充分利用函数图象的直观性，让学生结合题意解读函数图象，做到能“看图说话”，说出所能发现的结论，并能够整合各知识模块运用其进行分析推理进而解决问题．图3-7-3 图3-7-45．渗透函数建模思想，关注函数的最值问题的处理，适当归纳初中数学中的最值问题，形成体系，提高学生解决问题的能力．6．重视学生的审题，重视学科间知识、方法的渗透，重视知识点应用的归类，同时培养严谨的数学习惯，稳重的考试心态．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数应用题的类型及解题技巧函数应用题是贴进社会生产和生活实际的数学应用问题，充分体现了数学基本方法的灵活运用和基本数学思想的渗透。
下面就函数应用题的类型及解法举例分析。
一．函数模型为反比例函数问题
例1：学校请了30个木匠，要制作200把椅子和100张课桌。
已知制作一张课桌与一把椅子的工时之比为10：7，问30个木匠应当如何分组（一组制课桌另一组制椅子），能使完成全部任务最快？
分析：对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程的观点去解，使应用问题化生为熟，尽快得到解决。
解：设x个木匠制课桌，（30-x）个木匠制椅子，一个木匠在一个单位时间里可制7
张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为函数
100
()
7
P x
x
=，制作200把椅
子所需时间为函数
100
()
7
P x
x
=，完成全部任务所需时间为函数y（x）=max{P（x），Q
（x）}
要求的y（x）的最小值，需满足P（x）=Q（x），即100200
710(30)
x x
=
-
解得x=12.5 ,
考虑到人数为整数,考查P（12）与Q（13）, P（12）= 100
84
1.19
≈
Q（13）= 100
84
1.18
≈即y（12）>y（13）,
所以用13个木匠制课桌,17个木匠制椅子完成全部任务最快。
二．函数模型为一次函数问题
例2：某家报刊买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.80元的价格退回报社。
在一个月(30天)里,又20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份。
设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社卖劲多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元?
分析：此题主要在于分析题目中的条件，建立合适的关系式，应用函数的性质去解决问题，并考虑在定义域内的局限性与实际意义。
如此题每月所赚的钱=卖报所得的金
额—付给报社的金额。
而卖报所得的金额分三部分。
从而可列出函数解析式。
解：设每天应从报社买x份，可的250≦x≦400，设每月赚y元，得
y=0.5x·20+0.5×250×10+（x-250）×0.08×10-0.35·x·30
=0.3x+1050 x∈[250,400]
因为y =0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时, y
大=
120+1050=1170（元) 答：每天从报社卖进400份, 使每月所获的利润最大，每月可赚得1070元。
三．函数模型为一二次函数问题
例3：有l（m）长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等矩形组成的矩形，试问小矩形的长宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并算出窗框的最大值。
分析：应用数学知识解决应用型问题，是提高数学素质的训练内容之一，教材中也多出出现，对于此题的分析要注意观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当的构造出函数，应用函数的具体性质去解决问题。
本题中面积为两部分够成，而面积就为窗所通过的光线，从而可
列出函数解析式进一步解出题目。
解：设小矩形的长为x，宽y为，则由
图形可得：
11x+πx+9y=l∴9y=l-(11+π)x
要使窗所通过的光线最多,即要窗框的面
积最大,则
S=
2
6
2
x
xy
π
+=
2
2
x
π
+
2
3
[l x-(11+π)x2]
=-44
6
π
+
(x-2
2
)
44
l
π
+
+
2
2
3(44)
l
π
+
.
所以当x=
2
44
l
π
+
，y=
(22)
9(44)
l
π
π
-
+
即x
y
=
18
22π
-
≈1：1 此时窗框的面积s有最大值S=
2
2
3(44)
l
π
+
四．函数模型为其他函数问题
例4：有甲乙两种商品，销售这两种商品所获得的利润依次是P 和Q （万元），他们与投入资金Q （万元）的关系，有经验公式： 今有3万元资金投入销售甲乙两种商品，为获得的利润最大，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大的利润是多少？
分析：首先应根据题意，建立利润与资金之间的函数关系，求的函数解析式，然后再转化为求函数的最大值问题。
求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,换元法是求无理函数最值的常用方法,在换元过程中要注意变量的取值范围的变化。
解：设对甲种商品投资x 万元，则乙种商品投资（3-x ）万元，总利润y 万元，据题意有：
Y=15x + （ 0≦x ≦3 ）
=t 则x=3-t 2， 0≦x
所以 y=213(3)55t t -+ 21321()5220
t =--+ 0≦x 当x=32
时 y 大=1.05, 此时x=0.75 ,3-x=2.25 由此可知,为获得最大利润,对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元, 获的总利润为1.05万元
总之，函数的应用是数学思想的体现，是应用数学知识解决实际问题的有效途经。
如果我们学好了这部分，在具体的题目中会分析题目，找出关系量之间的联系，建立适当的函数关系式，把实际问题转化为数学模型，然后利用初等函数的性质，去解决问题。
使抽象问题数学化，化生为熟。