2018年中考数学：一次函数与反比例函数专题复习(含答案)

中考专题复习 一次函数与反比例函数专题真题再现：1．(2008年苏州•本题8分)如图，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O 点．训练时要求A 、B 两船始终关于O 点对称．以O 为原点．建立如图所示的坐标系，x 轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A 、B 两船可近似看成在双曲线4y x=上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A 、B 两船恰好在直线y x =上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45°方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60°，B 船也同时测得C 船的位置（假设C 船位置不再改变，A 、B 、C 三船可分别用A 、B 、C 三点表示)．(1)发现C 船时，A 、B 、C 三船所在位置的坐标分别为A ( ， )、B ( ， )和C ( ， )； (2)发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A 、O 、B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A 、B 两船 的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3：4， 问教练船是否最先赶到?请说明理由。

2．(2010年苏州•本题8分) 如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数ky x=(x ＞0)的图象经过点B ． (1)求k 的值；(2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、MA ′B C ．设线段MC ′、NA ′分别与函数ky x=(x ＞0)的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．3．（2014年•苏州•本题7分）如图，已知函数y ＝－12x ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为2．在x 轴上有一点P (a ，0)（其中a >2），过点P 作x 轴垂线，分别交函数y ＝－12x ＋b 和y ＝x 的图象于点C ，D ． (1)求点A 的坐标； (2)若OB ＝CD ，求a 的值．4．（2014年•苏州• 8分）如图，已知函数y ＝kx（x >0）的图象经过点A ，B ，点A 的坐标为(1，2)．过点A 作AC ∥y 轴，AC ＝1（点C 位于点A 的下方），过点C 作CD ∥x 轴，与函数的图象交于点D ，过点B 作BE ⊥CD ，垂足E 在线段CD 上，连接OC ，O D ． (1)求△OCD 的面积；(2)当BE ＝12AC 时，求CE 的长．5．（2015年苏州•本题满分8分）如图，已知函数ky x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y =ax +b 的图像经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（1）若AC =32OD ，求a 、b 的值； （2）若BC ∥AE ，求BC 的长．6．（2016年苏州•本题满分8分）如图一次函数6y kx =+的图像与x 轴交于点A ，与反比例函数(0)my x x=>的图像交干点B (2,n )．过点B 作BC x ⊥轴于点P (34,1)n -，P 是该反比例函数图像上的一点，且∠PBC =∠AB C ．求反比例函数和一次函数的表达式．7．（2017年苏州•本题满分8分）如图，在C ∆AB 中，C C A =B ，x AB ⊥轴，垂足为A ．反比例函数ky x=（0x >）的图像经过点C ，交AB 于点D ．已知4AB =，5C 2B =． （1）若4OA =，求k 的值；（2）连接C O ，若D C B =B ，求C O 的长．8. （2017年南京市•本题满分3分）如图，已知点A 是一次函数y =12x (x ≥0)图像上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点(B 在A 上方)，在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数ky x(k )0)的图像过点B 、C ，若△OAB 的面积为6,求△ABC 的面积.9．（2017年南京市•本题满分8分）如图，已知一次函数y =kx +b 的图像与x 轴交于点A ，与反比例函数y =mx(x <0)的图像交于点B (-2,n )，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点D (3-3n ,1)是该反比例函数图像上一点. (1)求m 的值；(2)若∠DBC =∠ABC ，求一次函数y =kx +b 的表达式.10．（2017年无锡市•本题满分12分）操作：“如图1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外），过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，点C 绕点P 逆时针旋转60°得到点Q ．”我们将此由点P 得到点Q 的操作称为点的T 变换．（1）点P （a ，b ）经过T 变换后得到的点Q 的坐标为 ；若点M 经过T 变换后得到点N （6，﹣），则点M 的坐标为 ．（2）A 是函数y =x 图象上异于原点O 的任意一点，经过T 变换后得到点B ．①求经过点O ，点B 的直线的函数表达式；②如图2，直线AB 交y 轴于点D ，求△OAB 的面积与△OAD 的面积之比．11．（2017年泰州市•本题满分12分）阅读理解：如图①，图形l 外一点P 与图形l 上各点连接的所有线段中，若线段P A 1最短，则线段P A 1的长度称为点P 到图形l 的距离．例如：图②中，线段P 1A 的长度是点P 1到线段AB 的距离；线段P 2H 的长度是点P 2到线段AB 的距离． 解决问题：如图③，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（8，4），（12，7），点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动了t 秒． （1）当t =4时，求点P 到线段AB 的距离； （2）t 为何值时，点P 到线段AB 的距离为5？（3）t 满足什么条件时，点P 到线段AB 的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）模拟训练：1．(2017年常熟市•本题满分8分)如图，点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，BC AB ⊥ (点C 和点O 在直线AB 的两侧)，点C 的坐标为(4,n ).过点C 的反比例函数(0)m y x x =>的图像交边AC 于点1(,3)3D n +.(1)求反比例函数的表达式; (2)求点B 的坐标.2．（2018年蔡老师预测•本题满分8分如图，正比例函数y =2x 的图象与反比例函数y =的图象交于点A 、B ，AB =2，（1）求k 的值；（2）若反比例函数y =的图象上存在一点C ，则当△ABC 为直角三角形，请直接写出点C 的坐标．3．( 2017年张家港•本题满分8分) 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行.轿车出发3h 后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶.设货车出发x h 后，货车、轿车分别到达离甲地1y km 和2y km 的地方，图中的线段OA 、折线BCDE 分别表示1y 、2y 与x 之间的函数关系.(1)求点D 的坐标，并解释点D 的实际意义;(2)求线段DE 所在直线的函数表达式; (3)当货车出发 h 时，两车相距50km .4．(2017年苏州市区•本题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，函数ky x=（0x >，k 是常数）的图像经过(26)A ，，(,)B m n ，其中2m >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，AC 与BD 交于点E ，连结AD ，DC ，CB ． （1）若ABD △的面积为3，求k 的值和直线AB 的解析式； （2）求证：DE BECE AE=； （第25题）（3）若AD ∥BC ，求点B 的坐标 ．5．(2017年昆山市•吴江区••本题满分7分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线,OB AC 相交于点D ，且//,//BE AC AE OB ，(1)求证:四边形AEBD 是菱形;(2)如果3,2OA OC ==，求出经过点E 的反比例函数解析式.6．(2017年高新区•本题满分8分) 如图，反比例函数y ＝m x的图象与一次函数y ＝kx +b 的图象交于A ，B两点，点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为(n ，1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝10，求点E 的坐标．7．(2017年吴中区•本题满分8分)如图，一次函数3y x =-+的图象与反比例ky x=(k 为常数，且0k ≠)的图象交于(1,)A a ，B 两点。

(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标;(2)在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，求满足条件的点P 的坐标。

8．(2017年相城区•本题满分8分)如图，在平面直角坐标系中有Rt ABC V , 90A ∠=︒, AB AC =,(2,0)A -,(0,1)B .(1)求点C 的坐标;(2)将ABC V 沿x 轴的正方向平移，在第一象限 内B 、C 两点的对应点'B 、'C 正好落在某 反比例函数图像上.请求出这个反比例函数和 此时的直线''B C 的解析式.9．（2017年立达中学总校胥江部•本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边AB 垂直于x 轴，垂足为点B ，反比例函数y =（x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ，OB =4，AD =3，（1）求反比例函数y=的解析式； （2）求cos ∠OAB 的值；（3）求经过C 、D 两点的一次函数解析式．10．（2017年太仓市•本题满分8分）如图，已知点 A (−2，m +4)，点B (6，m )在反比例函数k y x=（0k ≠）的图像上．(1) 求m ，k 的值；(2)过点M (a ，0)(0a <)作x 轴的垂线交直线AB 于点P ， 交反比例函数k y x=(0k ≠)于点Q ，若PQ =4QM ，求实数a 的值．11．（2018年蔡老师预测•本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边AB 垂直于x 轴，垂足为点B ，反比例函数y =（x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ，OB =4，AD =3。

（1）求反比例函数y =的解析式；（2）若直线y =﹣x +m 与反比例函数y =（x ＞0）的图象相交于两个不同点E 、F （点E 在点F 的左边），与y 轴相交于点M①则m的取值范围为（请直接写出结果）②求ME•MF的值．参考答案：真题再现：1．解：（1）CE⊥x轴于E，解方程组得，∴A（2，2），B（﹣2，﹣2），在等边△ABC中可求OA=2，则OC=OA=2，在Rt△OCE中，OE=CE=OC•sin45°=2，∴C（2，﹣2）；（2）作AD⊥x轴于D，连AC、BC和OC，∵A（2，2），∴∠AOD=45°，AO=2，∵C在O的东南45°方向上，∴∠AOC=45°+45°=90°，∵AO=BO，∴AC=BC，又∵∠BAC=60°，∴△ABC为正三角形，∴AC=BC=AB=2AO=4，∴OC==2，由条件设教练船的速度为3m，A、B两船的速度都为4m，则教练船所用时间为，A、B两船所用时间均为=，∵=，=，∴＞；∴教练船没有最先赶到．【点评】本题考查了直角坐标系中点的求法，根据点的坐标求两点之间距离的方法．解答本题时同学们要读懂题意，就不易出错．2．解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，∴OA=OC=2，∴点B坐标为（2，2），将x=2，y=2代入反比例解析式得：2=，∴k=2×2=4．（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，∴ON=OM=2AO=4，∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．∵点E、F在函数y=的图象上，∴当x=4时，y=1，即E（4，1），当y=4时，x=1，即F（1，4）．设直线EF解析式为y=mx+n，将E、F两点坐标代入，得，∴m=﹣1，n=5．∴直线EF的解析式为y=﹣x+5．【点评】此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y 轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．要会熟练地运用待定系数法求函数解析式，这是基本的计算能力．3．解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3，∴一次函数的解析式为y=﹣x+3，把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，∴A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，∴B点坐标为（0，3），∵CD=OB，∴CD=3，∵PC⊥x轴，∴C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a）∴a﹣（﹣a+3）=3，∴a=4．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．4．解；（1）y=（x＞0）的图象经过点A（1，2），∴k=2．∵AC∥y轴，AC=1，∴点C的坐标为（1，1）．∵CD∥x 轴，点D在函数图象上，∴点D的坐标为（2，1）．∴．（2）∵BE=，∴．∵BE⊥CD，点B的纵坐标=2﹣=，由反比例函数y=，点B的横坐标x=2÷=，∴点B的横坐标是，纵坐标是．∴CE=．【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，利用待定系数法求解析式，图象上的点满足函数解析式．5．解；（1）∵点B（2，2）在函数y=（x＞0）的图象上，∴k=4，则y=，∵BD⊥y轴，∴D点的坐标为：（0，2），OD=2，∵AC⊥x轴，AC=OD，∴AC=3，即A点的纵坐标为：3，∵点A在y=的图象上，∴A点的坐标为：（，3），∵一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，∴，解得：；（2）设A点的坐标为：（m，），则C点的坐标为：（m，0），∵BD∥CE，且BC∥DE，∴四边形BCED为平行四边形，∴CE=BD=2，∵BD∥CE，∴∠ADF=∠AEC，∴在Rt△AFD中，tan∠ADF==，在Rt△ACE中，tan∠AEC==，∴=，解得：m=1，∴C点的坐标为：（1，0），则BC=．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及锐角三角函数关系等知识，得出A，D点坐标是解题关键．6．解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴．解得：m=8，n=4．∴反比例函数的表达式为y=．∵m=8，n=4，∴点B（2，4），P（8，1）．过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．在△BDP和△BDP′中，∴△BDP≌△BDP′．∴DP′=DP=6．∴点P′（﹣4，1）．将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：，解得：．∴一次函数的表达式为y=x+3．【点评】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，根据题意列出方程组是解题的关键．7．解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，∵AC=BC，AB=4，∴AE=BE=2．在Rt△BCE中，BC=，BE=2，∴CE=，∵OA=4，∴C点的坐标为：（，2），∵点C在的图象上，∴k=5，（2）设A点的坐标为（m，0），∵BD=BC=，∴AD=，∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m﹣，2）．∵点C，D都在的图象上，∴m=2（m﹣），∴m=6，∴C点的坐标为：（，2），作CF⊥x轴，垂足为F，∴OF=，CF=2，在Rt△OFC中，OC2=OF2+CF2，∴OC=．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出C 点坐标是解题关键．8．设点A (4a ,2a ),B (4a ,2b ),则C 点的横坐标为4a +12(2b -2a ) , C 点的坐标为(3a +b , a +b )．所以4a ·2b =(3a +b )(a +b ), (3a -b )(a -b )=0,解得：a =b (舍去) 或b =3a . S △ABC =12(2b -2a )·4a =8a 2=6,k =4a ·2b =24a 2=18. 9．解：(1)把B (-2,n ),D (3-3n ,1)代入反比例函数y =mx得, 332n mn m ⎧⎨-=-=⎩解得：36m n ⎧⎨==-⎩，所以m 的值为-6. (2)由(1)知B 、D 两点坐标分别为B (-2,3),D (-6,1)，设BD 的解析式为y =px +q ,所以6312p q p q -+=⎧⎨-+=⎩，解得412p q ==⎧⎪⎨⎪⎩所以一次函数的解析式为y =12x +4,与x 轴的交点为E (-8,0) 延长BD 交x 轴于E ，∵∠DBC =∠ABC ，BC ⊥AC ，∴BC 垂直平分AC ， ∴CE =6, ∴点A (4,0),将A 、B 点坐标代入y =kx +b 得2340k b k b ⎧⎨+=-+=⎩，解得122k b ⎧⎪⎨⎪=-⎩=，所以一次函数的表达式为y =-12x +2. 10．解：（1）如图1，连接CQ ，过Q 作QD ⊥PC 于点D ，由旋转的性质可得PC =PQ ，且∠CPQ =60°，∴△PCQ 为等边三角形， ∵P （a ，b ），∴OC =a ，PC =b ，∴CD=PC=b ，DQ=PQ=b ，∴Q （a+b， b ）；设M （x ，y ），则N 点坐标为（x+y， y ），∵N （6，﹣），∴，解得，∴M （9，﹣2）；故答案为：（a+b， b ）；（9，﹣2）；（2）①∵A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点，∴可取A（2，），∴2+×=，×=，∴B（，），设直线OB的函数表达式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OB的函数表达式为y=x；②设直线AB解析式为y=k′x+b，把A、B坐标代入可得，解得，∴直线AB解析式为y=﹣x+，∴D（0，），且A（2，），B（，），∴AB==，AD==，∴===．11．解：（1）如图1，作AC⊥x轴于点C，则AC=4、OC=8，当t=4时，OP=4，∴PC=4，∴点P到线段AB的距离P A===4；（2）如图2，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，①当点P位于AC左侧时，∵AC=4、P1A=5，∴P 1C===3，∴OP1=5，即t=5；②当点P位于AC右侧时，过点A作AP2⊥AB，交x轴于点P2，∴∠CAP2+∠EAB=90°，∵BD∥x轴、AC⊥x轴，∴CE⊥BD，∴∠ACP2=∠BEA=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠P2AC，在△ACP2和△BEA中，∵，∴△ACP2≌△BEA（ASA），∴AP2=BA===5，而此时P2C=AE=3，∴OP2=11，即t=11；（3）如图3，①当点P位于AC左侧，且AP3=6时，则P3C===2，∴OP3=OC﹣P3C=8﹣2；②当点P位于AC右侧，且P3M=6时，过点P2作P2N⊥P3M于点N，则四边形AP2NM是矩形，∴∠AP2N=90°，∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5，∴△ACP2∽△P2NP3，且NP3=1，∴=，即=，∴P2P3=，∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+=，∴当8﹣2≤t≤时，点P到线段AB的距离不超过6．【点评】本题主要考查一次函数的综合问题，理解题意掌握点到线段的距离概念及分类讨论思想的运用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．模拟训练：1．2．解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，如图1所示．由题意可知点A与点B关于点O中心对称，且AB=2，∴OA=OB=．设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，∠ADO=90°，由勾股定理得：a2+（2a）2=（）2，解得：a=1，∴点A的坐标为（1，2）．把A（1，2）代入y=中得：2=，解得：k=2．（2）∵点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O中心对称，∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）．设点C的坐标为（n，），△ABC为直角三角形分三种情况：①∠ABC=90°，则有AB⊥BC，•=﹣1，即n2+5n+4，解得：n 1=﹣4，n 2=﹣1（舍去），此时点C 的坐标为（﹣4，﹣）；②∠BAC =90°，则有BA ⊥AC ，•=﹣1，即n 2﹣5n +4=0，解得：n 3=4，n 4=1（舍去），此时点C 的坐标为（4，）；③∠ACB =90°，则有AC ⊥BC ，•=﹣1，即n 2=4，解得：n 5=﹣2，n 6=2，此时点C 的坐标为（﹣2，﹣1）或（2，1）．综上所述：当△ABC 为直角三角形，点C 的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）．3．解：（1）设OA 所在直线解析式为y =mx ，将x =8、y =600代入，求得m =75， ∴OA 所在直线解析式为y =75x ，令y =300得：75x =300，解得：x =4， ∴点D 坐标为（ 4，300 ），其实际意义为：点D 是指货车出发4h 后，与轿车在距离甲地300 km 处相遇． （2）由图象知，轿车在休息前2.4小时行驶300km ，∴根据题意，行驶后300km 需2.4h ，故点E 坐标（ 6.4，0 ）． 设DE 所在直线的函数表达式为y =kx +b ， 将点D （ 4，300 ），E （ 6.4，0）代入y =kx +b 得：， 得，∴DE 所在直线的函数表达式为y =﹣125x +800．（3）设BC 段函数解析式为：y =px +q ，将点B （0，600）、C （2.4，300）代入，得：，解得：，y =﹣125x +600，①当轿车休息前与货车相距50km 时，有：﹣125x +600﹣75x =50或300﹣75x =50，解得：x =2.75（不合题意舍弃）或x =；②当轿车休息后与货车相距50km 时，有：75x ﹣（﹣125x +800）=50，解得：x =4.25； 故答案为：或5．【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法是求函数解析式的关键，注意分类讨论思想的渗透． 4．解：（1）由题意得： 12k = …………………………………………1分 ,6,12BD m AE n mn ==-= …………………………2分1(6)32m n -= ∴3m = ∴(3,4)B ……………3分 设直线AB 的解析式为y kx b =+，则2634k b k b +=⎧⎨+=⎩∴102+-=x y …………………………………………4分(2) 2,BE m CE n =-=2(6)122D E A E n n ∴⋅=-=- (2)122B E C E n m n ⋅=-=-…………5分 ∴DE AE BE CE ⋅=⋅ ∴DE BECE AE=…………………………………………6分 (3)∵DE BECE AE=又∠AEB =∠DEC =90°∴△DEC ∽△BEA ∴∠CDE =∠ABE ∴AB ∥ CD …………………………………………………………………7分∵AD ∥BC ∴四边形ADCB 是平行四边形. 又∵AC ⊥BD ，∴菱形ADCB ∴DE =BE CE =AE .∴B (4，3) ……………………………………………………………………………8分5．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】连接DE ，交AB 于F ，先证明四边形AEBD 是平行四边形，再由矩形的性质得出DA =DB ，证出四边形AEBD 是菱形，由菱形的性质得出AB 与DE 互相垂直平分，求出EF 、AF ，得出点E 的坐标；设经过点E 的反比例函数解析式为：y =，把点E 坐标代入求出k 的值即可． 【解答】解：（1）∵BE ∥AC ，AE ∥OB ，∴四边形AEBD 是平行四边形， ∵四边形OABC 是矩形，∴DA =AC ，DB =OB ，AC =OB ，AB =OC =2， ∴DA =DB ，∴四边形AEBD 是菱形； （2）连接DE ，交AB 于F ，如图所示：∵四边形AEBD 是菱形，∴AB 与DE 互相垂直平分，∵OA =3，OC =2，∴EF =DF =OA =，AF =AB =1，3+=， ∴点E 坐标为：（，1），设经过点E 的反比例函数解析式为：y =， 把点E 代入得：k =，∴经过点E 的反比例函数解析式为：y =．【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度．6．解：(1)把点A (2，6)代入y ＝m x ，得m ＝12，则y ＝12x ．----------------------1分把点B (n ，1)代入y ＝12x，得n ＝12，则点B 的坐标为(12，1)． -----------2分由直线y＝kx+b过点A(2，6)，点B(12，1)得26121k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得127kb⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则所求一次函数的表达式为y＝12-x+7．-------------------------------------4分(2)如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为(0，m)，连接AE，BE，则点P的坐标为(0，7)．∴PE＝|m－7|．∵S△A EB＝S△BEP－S△AEP＝10，∴12×|m－7|×(12－2)＝10．∴|m－7|＝2．∴m1＝5，m2＝9．∴点E的坐标为(0，5)或(0，9)．--------8分(一个答案得2分)7．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题．【分析】（1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，连接P B．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+3，得：a=﹣1+3，解得：a=2，∴点A的坐标为（1，2）．把点A（1，2）代入反比例函数y =，得：2=k，∴反比例函数的表达式y=2x，联立两个函数关系式成方程组得：32y xyx=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：12xy=⎧⎨=⎩或21xy=⎧⎨=⎩，∴点B的坐标为（2，1）．（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时P A+PB的值最小，连接PB，如图所示．∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（2，1），∴点D的坐标为（2，﹣1）．设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得：221m nm n+=⎧⎨+=-⎩，解得：35mn=-⎧⎨=⎩，∴直线AD的解析式为y=﹣3x+5．令y=﹣3x+5中y=0，则﹣3x+5=0，解得：x=53，∴点P的坐标为（53，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及轴对称中的最短线路问题，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标；（2）找出点P 的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键． 8．(1)(3,2)C -； (2)133y x =-+； 9．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）设点D 的坐标为（4，m ）（m ＞0），则点A 的坐标为（4，3+m ），由点A 的坐标表示出点C 的坐标，根据C 、D 点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、m 的二元一次方程，解方程即可得出结论；（2）由m 的值，可找出点A 的坐标，由此即可得出线段OB 、AB 的长度，通过解直角三角形即可得出结论；（3）由m 的值，可找出点C 、D 的坐标，设出过点C 、D 的一次函数的解析式为y =ax +b ，由点C 、D 的坐标利用待定系数法即可得出结论． 【解答】解：（1）设点D 的坐标为（4，m ）（m ＞0），则点A 的坐标为（4，3+m ）， ∵点C 为线段AO 的中点，∴点C 的坐标为（2，）．∵点C 、点D 均在反比例函数y =的函数图象上，∴，解得：．∴反比例函数的解析式为y =．（2）∵m =1，∴点A 的坐标为（4，4），∴OB =4，AB =4． 在Rt △ABO 中，OB =4，AB =4，∠ABO =90°， ∴OA ==4，cos ∠OAB ===．（3））∵m =1，∴点C 的坐标为（2，2），点D 的坐标为（4，1）． 设经过点C 、D 的一次函数的解析式为y =ax +b ，则有，解得：．∴经过C 、D 两点的一次函数解析式为y =﹣x +3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）由反比例函数图象上点的坐标特征找出关于k 、m 的二元一次方程组；（2）求出点A 的坐标；（2）求出点C 、D 的坐标．本题属于基础题，难度不大，但考查的知识点较多，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组，通过解方程组得出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可． 10．解：(1) ∵点 A (−2，m +4)，点B (6，m )在反比例函数ky x=的图像上． ∴426k m k m ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ······················································································ 1分∴解得：m =−1，k =−6． ·············································································· 3分 (2)设过A 、B 两点的一次函数解析式为y =ax +b ．∵A (−2,3)，B (6,−1)，∴2361k b k b -+=⎧⎨+=-⎩．解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ∴过A 、B 两点的一次函数解析式为122y x =-+． ··········································· 5分 ∵过点M (a ，0)作x 轴的垂线交AB 于点P ，∴点P 的纵坐标为：122a -+． 又∵过点M (a ，0)作x 轴的垂线交6y x -=于点Q ，∴点Q 的纵坐标为：6a-． ∴16|2|2PQ a a =-++ ，6||||QM a=-．又∵PQ =4QM 且a <0，∴162422a a a-++=-． ················································· 7分 ∴24600a a --=．∴6a =-或10a =． ∵0a <．∴实数a 的值为−6． ····································································· 8分11．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）设D 的坐标是（4，a ），则A 的坐标是（4，a +3），由点C 是OA 的中点，可用含a 的代数式表示出点C 的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可找出4a =2×=k ，解之即可得出a 、k的值，进而即可得出反比例函数的解析式；（2）①将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，整理后可得出关于x 的一元二次方程，由m ＞0以及根的判别式△＞0，即可得出关于m 的不等式组，解之即可得出结论； ②由一次函数解析式可得出∠MEG =∠MFH =45°，进而可得出ME =GE 、MF =HF ，将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，由根与系数的关系可得出x E •x F =4，进而可得出ME •MF =2x E •x F =8，此题得解． 【解答】解：（1）设D 的坐标是（4，a ），则A 的坐标是（4，a +3）． 又∵点C 是OA 的中点，∴点C 的坐标是（2，），∴4a =2×=k ，解得a =1，k =4，∴反比例函数的解析式为y =；（2）①将y =﹣x +m 代入y =中，﹣x +m =，整理，得：x 2﹣mx +4=0， ∵直线y =﹣x +m 与反比例函数y =（x ＞0）的图象相交于两个不同点E 、F ，∴，解得：m ＞4．故答案为：m ＞4．②过点E 、F 分别作y 轴的垂线，垂足分别为G 、H ． 由y =﹣x +m 可知：∠MEG =∠MFH =45°，∴ME =GE ，MF =HF ．由y =﹣x +m =，得x 2﹣mx +4=0，∴x E •x F =4，∴ME •MF =2x E •x F =8．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征找出4a=2×=k；（2）①利用根的判别式△＞0结合m＞0，找出关于m的不等式组；②利用根与系数的关系找出x E•x F=4．备选题：（2018年蔡老师预测•本题8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y1=的图象经过点B；反比例函数y2=的图象经过点C（，m）．（1）求点B的坐标；（2）△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）先求得点C的坐标，然后根据平行于x轴上点纵坐标相等，可知点B的纵坐标，然后可求得点B的横坐标；（2）连接MD、ME、MF．由点B和点C的坐标可求得AC、BC的长，依据勾股定理可求得AB的长，然后在△ABC中利用面积法可求得圆M的半径，从而可求得点M的坐标．【解答】解：（1）∵CA⊥x轴，∠ACB=90°，∴CB∥x轴．∵将C（，m）代入函数y2=得：n==，∴点C（，）．∴点B的纵坐标为．∵将y1=代入得：=，解得；x=2，∴点B的坐标为（2，）．（2）如图所示：连接ME、MD、MF．∵⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥A B．∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．∴四边形CDME为矩形．∵MD=ME，∴四边形CDME为正方形．∵在Rt△ACB中，AC=，BC=，∴AB=2．∵S△ACB=AC•BC=（AC+BC+AB）•r，∴⊙M的半径===﹣1．∴点M的坐标为（2﹣1，1）．【点评】本题主要考查的是反比例函数的综合应用，解答本题主要应用了反比例函数图象上的点与函数解析式的关系、平行与坐标轴上的点的坐标特点、三角形的内切圆、正方形的性质和判定，求得⊙M的半径是解题的关键．。