(学用)第3讲 二次函数的图像与性质
2020年中考一轮复习 二次函数的图像与性质 讲义
二次函数的图像与性质中考一轮复习教学目标1.理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a、b、c的关系；会根据图像推断a、b、c及相关式子的符号；2.能借助二次函数的图像进行推理探究；3.学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解.4.经典考题【例1】根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴( ) A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在x轴两侧C.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点x…-1 0 1 2 …y…-174--274-…【解法指导】本题要先画出啊、二次函数的图像。
根据对称性知（1，-2）是抛物线的顶点，且其开口向上。
因而二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。
本题应选B。
【变式题组】1.2x…-2 -1 0 1 2 …y…162--4122--2122-…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax+bx+c在x=3时，y= 。
2.已知二次函数2x…-1 0 1 2 3 4 …y…10 5 2 1 2 5 …(1)(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若两点A(m,y1),B(m+1,y2)都在该函数的图像上，试比较y1与y2的大小.【例2】函数y=ax+1与y=ax2+bx+c（0a≠）的图像可能是（）【解法指导】本题应用逐一排除法.解：两函数图像与y轴交于同一点（0,1），A不正确；B中直线中a>0，抛物线中a<0,不正确；D中直线的a<0，抛物线中a>0，不正确。
故应选C。
【变式题组】3.已知0a≠，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（）4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且0m≠)的图像可能是（）5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系内的图像大致为（）【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0）、（x1，0），且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方。
二次函数的图象与性质(讲)
备战2015年中考二轮讲练测第一篇 专题整合篇专题07 二次函数的图象与性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）二次函数的定义一般地，形如______________ (其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数.(1)决定抛物线的开口方向①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方．(3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2b x a=-) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0． (4)顶点坐标24()24b ac b a a--，． (5)24b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况．①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点；②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)；③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值．（7）242a b a b c a b c ±±+±+、、 的符号的判定：xb +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0；③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定；当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定；当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定；当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 简记为：表达式，请代值，对应y 值定正负； 对称轴，用处多，三种式子a 相约；y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；1的两侧判2a b +，左同右异中为0； -1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式①一般式：2y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：2()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式. ③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式.（四）二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.（五）二次函数图象的平移 方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。
九年级数学 二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解1)Word版含解析
专题2.12 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解1） 【学习目标】1．会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2．通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3．经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与2(1)(0)y a x t k a =-+≠之间的相互关系 1．顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2．一般式化成顶点式 22222()()()22b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤=++=++=++-+⎢⎥⎣⎦224()24b ac b a x a a-=++．对照2()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a-=．∴抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． 特别说明：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1．一般方法：列表、描点、连线； 2．简易画法：五点定形法． 其步骤为：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．（2）求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象与性质2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2b x a =-时，244ac b y a-=．特别说明：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当2b x a =-时，244ac b y a-=，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x2时，22y bx c ++；当x ＝x1时，211y ax bx c =++，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x1时，2max 11y ax bx c =++；当x ＝x2时，2min 22y ax bx c =++，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x1，x ＝x2，2bx a=-时y 值的情况． 特别说明： 【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠化为顶点式1．已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 举一反三： 【变式1】2．用配方法把二次函数y=12x 2–4x+5化为y=a(x+m)2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2】3．已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式；()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【变式3】4．已知二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点A （0，4）和B （1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）设抛物线的顶点为C ，试求∴CAO 的面积． 类型二、画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象5．已知：二次函数243y x x =++ （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图．举一反三： 【变式1】6．已知二次函数y =﹣x 2+4x ．（1）写出二次函数y =﹣x 2+4x 图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （3）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围． 【变式2】7．已知二次函数y ＝12x 2﹣x ﹣32． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x 时，y ＞0； ②当0＜x ＜4时，y 的取值范围为 ．【变式3】8．已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠． （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点()1,P m y ，()23,Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围． 类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质9．把抛物线21:23C y x x =++先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线2C 的函数关系式；（2）动点(),6P a -能否在拋物线2C 上？请说明理由；（3）若点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且0m n <<，比较12,y y 的大小，并说明理由． 举一反三： 【变式1】10．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围． 【变式2】11．如图，已知抛物线y=x 2-2x -3与x 轴交于A 、B 两点．（1）当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；（2）点P 为抛物线上一点，若S △PAB =10，求出此时点P 的坐标．【变式3】12．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型四、二次函数的图象及各项的系数13．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．举一反三：【变式1】14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：∴abc＞0；∴a﹣b+c＜0；∴2a+b﹣c＜0；∴4a+2b+c＞0，∴若点（﹣23，y1）和（73，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）类型五、一次函数、二次函数图象的综合判断15．如图，已知直线y=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m 的值； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是x 轴上一点，当∴ABP 为直角三角形时直接写出点P 的坐标． 举一反三： 【变式1】16．已知二次函数()2229y mx m x m =++++．()1如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；()2如图，二次函数的图象过，点()4,0A ，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．【变式2】17．如图所示，已知直线y=12-x 与抛物线y=2164x -+交于A 、B 两点，点C 是抛物线的顶点．(1)求出点A 、B 的坐标； (2)求出∴ABC 的面积；(3)在AB 段的抛物线上是否存在一点P ，使得∴ABP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++（2）（1，4）【详解】解：（1）∴抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）， ∴抛物线的解析式为；()()y x 3x 1=--+，即2y x 2x 3=-++， （2）∴抛物线的解析式为()22y x 2x 3x 14=-++=--+， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．（1）根据抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．2．抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)． 【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵y ＝12x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．3．（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可．【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1=--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0， ∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．4．（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）∴CAO 的面积为2．【分析】（1）利用待定系数法把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c 中，可以解得b ，c 的值，从而求得函数关系式即可； （2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO 的面积． 【详解】解：（1）把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c ，得：24212c b c =⎧⎨-⨯++=-⎩，解得：44b c =-⎧⎨=⎩， 所以此抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x +4； （2）∴y ＝﹣2x 2﹣4x +4 ＝﹣2（x 2+2x ）+4 ＝﹣2[（x +1）2﹣1]+4 ＝﹣2（x +1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）由（2）知：顶点C （﹣1，6）， ∴点A （0，4），∴OA ＝4， ∴S △CAO ＝12OA •|xc |＝12×4×1＝2，即△CAO 的面积为2．故答案为（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO 的面积为2．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键． 5．（1） (－2，－1)；（2）见解析【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可．【详解】（1）243y x x =++化为顶点式为2(2)1y x =+- 则该函数图象的顶点坐标为(2,1)--；（2）先求出自变量x 在4,3,2,1,0----处的函数值，再列出表格 当4x =-和0x =时，3y =当3x =-和=1x -时，2(1)4(1)30y =-+⨯-+= 当2x =-时，1y =- 列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．6．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．【详解】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．试题解析：（1）∴y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．7．（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜52．【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（2）∴利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；∴先确定x＝4时，y＝52，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．【详解】解：（1）∴y＝12（x﹣1）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；当x＝0时，y＝12x2﹣x﹣32＝﹣32，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣32）当y ＝0时，12 x 2﹣x ﹣32＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， 如图，（2）∴当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0； ∴当0＜x ＜4时，﹣2≤y ＜52；故答案为x ＜﹣1或x ＞3；﹣2≤y ＜52．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．8．（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a ＞0时，13m -<<；当a ＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q 关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到m 的取值范围．【详解】（1）∴22232y ax ax a =--+， ∴22(1)32y a x a a =---+， ∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∴抛物线顶点在x 轴上， ∴2230a a --=， 解得：32a =或1a =-， 当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+， 当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-， 综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-． （3）由（1）知，抛物线的对称轴为1x =， ∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -， 当a ＞0时，若12y y <， 则-1＜m ＜3；当a ＜0时，若12y y <， 则m ＜-1或m ＞3.【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．9．（1）2(3)3y x =--；（2）不在，见解析；（3）12y y >，见解析【分析】（1）先求出抛物线1C 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线2C 的顶点的纵坐标为3-，即可判断点()6P a -，不在拋物线2C 上； （3）根据抛物线2C 的增减性质即可解答．【详解】（1）抛物线221:23(1)2C y x x x =++=++，∴抛物线1C 的顶点坐标为(﹣1，2)，根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，﹣3)， ∴抛物线2C 的函数关系式为：2(3)3y x =--； （2）动点P 不在抛物线2C 上． 理由如下：∴抛物线2C 的顶点为()3,3-，开口向上， ∴抛物线2C 的最低点的纵坐标为3-． ∴63P y =-<-，∴动点P 不在抛物线2C 上； （3）12y y >． 理由如下：由（1）知抛物线2C 的对称轴是3x =，且开口向上， ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小． ∴点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且03m n <<<， ∴12y y >．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． 【分析】（1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∴2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩ ∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x =∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭；（3）由题意及（1）得()2222y m x my x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∴一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴()()23440m m ∆=-+-> 化简得210250m m -+> 即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解 又∴3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 11．(1) ﹣4≤y ＜0;(2) P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）【详解】分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x 的取值范围，从而得出y 的取值范围；(2)、根据题意得出AB 的长度，然后根据面积求出点P 的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P 的坐标．详解：（1）∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x ＜3时，﹣4≤y ＜0． （2）当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0， 解得：x 1=-1 x 2=3 ∴A （﹣1，0）、B （3，0）， ∴AB=4．设P （x ，y ），则S △PAB =AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． ∴当y=5时，x 2﹣2x ﹣3=5，解得：x 1=﹣2，x 2=4， 此时P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ∴当y=﹣5时，x 2﹣2x ﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．12．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号； （2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系； （3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0． 【详解】()1∵抛物线开口向下， ∴0a <， ∵对称轴12bx a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.13．（1）3；（2）x ＞1；（3）-1＜x ＜3；（4）-5≤y ≤4 【分析】根据函数的图象和性质即可求解．【详解】解：（1）将（0，3）代入y ＝﹣x 2+（m ﹣1）x +m 得，3＝m ， 故答案为3；（2）m ＝3时，抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， 函数的对称轴为直线x ＝2ba-＝1， ∴﹣1＜0，故抛物线开口向下，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小， 故答案为x ＞1；（3）令y ＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或3， 从图象看，当﹣1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方； 故答案为﹣1＜x ＜3；（4）当x ＝0时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣5， 而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是﹣5≤y ≤4， 故答案为﹣5≤y ≤4．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键． 14．∴∴∴【详解】解：∴抛物线开口向下， ∴a ＜0，∴对称轴在y 轴右边， ∴b ＞0，∴抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故∴错误；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，c ＞0， ∴2b a-=1， ∴2a +b =0，∴2a +b ＜c ，∴2a +b ﹣c ＜0，故∴正确；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，∴抛物线上x =23-时的点与当x =83时的点对称， ∴x ＞1，y 随x 的增大而减小，∴y 1＜y 2，故∴错误；故答案为∴∴∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：∴二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；∴一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）∴常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．15．（1）m ＝6；（2）y ＝﹣x 2+2x +3；（3）点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【分析】（1）将点A 坐标代入y=-2x+m ，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y=a （x -1）2+4，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（3）分∴BAP=90°、∴AP （P′）B=90°两种情况，求解即可．【详解】解：（1）将点A 坐标代入y ＝﹣2x+m 得：4＝﹣2+m ，解得：m ＝6；（2）y ＝﹣2x+6，令y ＝0，则x ＝3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y ＝a （x ﹣1）2+4，将点B 的坐标代入上式得：0＝a （3﹣1）2+4，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x+3；（3）∴当∴BAP ＝90°时，直线AB 的表达式为：y ＝﹣2x+6，则直线PB 的表达式中的k 值为12，设直线PB 的表达式为：y ＝12x+b ，将点A 的坐标代入上式得：4＝12×1+b ， 解得：b ＝72， 即直线PB 的表达式为：y ＝12x+72， 当y ＝0时，x ＝﹣7，即点P （7，0）；∴当∴AP （P′）B ＝90°时，点P′（1，0）；故点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．16．（1）45m <且0m ≠；（2）P 点坐标为()1,6． 【分析】解：（1）根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB 的解析式，再求AB 与对称轴的交点P.【详解】解：()1根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>， 所以45m <且0m ≠； ()2把()4,0A 代入()2229y mx m x m =++++得()168290m m m ++++=，解得1m =-，所以抛物线解析式为2228(1)9y x x x =-++=--+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，当0x =时，2288y x x =-++=，则()0,8B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把()4,0A ，()0,8B 代入得{408k b b +==，解得{28k b =-=，所以直线AB 的解析式为28y x =-+，当1x =时，286y x =-+=，所以P 点坐标为()1,6．【点睛】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.17．(1)点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)． 【分析】（1）由直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点，可得方程211x x 624-=-+，解方程即可求得点A 、B 的坐标；（2）首先由点C 是抛物线的顶点，即可求得点C 的坐标，又由S △ABC =S △OBC +S △OAC 即可求得答案；（3）首先过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，然后设21P a,a 64⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即可求得点D 的坐标，可得PD 的长，又由S △ABP =S △BDP +S △ADP ，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．【详解】解：(1)∴直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点， ∴211x x 624-=-+， 解得：x ＝6或x ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝﹣3，当x ＝﹣4时，y ＝2，∴点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)∴点C 是抛物线的顶点．∴点C 的坐标为(0，6)，∴S △ABC ＝S △OBC +S △OAC ＝12×6×4+12×6×6＝30；(3)存在．过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，设P(a ，﹣14a 2+6)， 则D(a ，﹣12a)， ∴PD ＝﹣14a 2+6+12a ， ∴S △ABP ＝S △BDP +S △ADP ＝12×(﹣14a 2+6+12a)×(a+4)+12×(﹣14a 2+6+12a)×(6﹣a)＝25125(a 1)44--+ (﹣4＜a ＜6)， ∴当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
初中数学中考[函数]第3讲二次函数图像性质与解析式
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初中数学中考[函数]第3讲二次函数图像性质与解析式二次函数是数学中的重要内容之一，它在初中数学中被广泛讨论和研究。
本讲将进一步学习二次函数的图像性质和解析式，以更深刻地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像性质1. 对称性：二次函数的图像关于直线x= -b/2a对称。
也就是说，二次函数f(x) = ax² + bx + c的图像在直线x= -b/2a上的对应点的函数值相等。
2.开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。
当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3. 判别式：二次函数方程ax² + bx + c=0的判别式D=b²-4ac可以决定二次函数的零点情况。
当D>0时，方程有两个不相等的实数根；当D=0时，方程有两个相等的实数根；当D<0时，方程没有实数根。
4.最值点：当a>0时，二次函数的最小值点就是函数的最值点；当a<0时，二次函数的最大值点就是函数的最值点。
二、二次函数的解析式一般情况下，二次函数的解析式为：f(x) = ax² + bx + c （a≠0）解析式中的a、b、c分别代表二次函数的系数。
系数a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，系数b和c决定了二次函数的位置。
三、二次函数的解析式与图像的关系通过二次函数的解析式可以很方便地确定二次函数的图像。
1.开口方向：根据二次函数的解析式的系数a的正负可以判断二次函数的开口方向。
2.对称轴：二次函数解析式中的-b/2a，即x=-b/2a，是二次函数的对称轴。
3. 零点：将二次函数解析式中的f(x)等于零，求解二次方程ax² + bx + c=0，可以得到二次函数的零点。
4.最值点：当a>0时，二次函数的最小值点就是函数的最值点，可以通过求解最值点的横坐标，即-b/2a，再代入解析式求解得到最值点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值点就是函数的最值点，计算方法同上。
第03+04讲 二次函数y=ax2+k的图象和性质
第03讲 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质学习目标：1．会用描点法画出y ＝ax 2＋k 的图象．2．掌握形如y ＝ax 2＋k 的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的联系．旧知识记：1、直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
2、练习：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：3、由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象关系吗？猜想：新知探究：1、在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象．列表： x ... -2 -1 0 1 2 ... y ＝x 2 ... y ＝x 2+1 ... y ＝x 2-1...在下面坐标纸中描点，并连线观察比较函数图象，归纳总结完成下表()0a k ax y 2≠+=a ＞0a ＜0草图开口方向对称轴 顶点坐标 增减性最值典例分享：探究点一：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质【类型一】y ＝ax 2＋k 的图象与性质的识别若二次函数y ＝ax ＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )A ．a ＝2B ．当x ＜0，y 随x 的增大而减小C ．顶点坐标为(2，0)D ．图象有最低点【类型二】二次函数y ＝ax 2＋k 增减性判断(2014·广西河池)已知点(1，1)，(2，y 2)均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是( )A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2【类型三】识别y ＝ax 2＋k 的图象与一次函数图象在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax＋c 与二次函数y ＝ax 2＋c 的图象大致为( )【类型四】确定y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的关系抛物线y ＝ax ＋c 与y ＝－5x 的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y ＝－5x 2怎样得到的？探究点二：二次函数y ＝ax 2＋k 的应用【类型一】y ＝ax 2＋k 的图象与几何图形的综合应用如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ＜0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是________．【类型二】二次函数y ＝ax 2＋k 的实际应用如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－15x 2＋72运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m ，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？小试牛刀第04时 二次函数y=a （x -h ）2的图象和性质学习目标：1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2的图象．2．掌握形如y ＝a (x －h )2的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2之间的联系．旧知识记：1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
二次函数讲义
二次函数【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义：形如f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝___ ax2＋bx＋c (a≠0)___ . 已知三个点的坐标时，宜用一般式.②顶点式：f(x)＝__ a(x－m)2＋n(a≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③零点式：f(x)＝___ a(x－x1)(x－x2) (a≠0)_ _.已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质11,第 1 页共12 页第 2 页 共 12 页M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |. 【知识点2】二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔ 20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞。
【知识点3】一元二次方程20ax bx c ++=实根分布的充要条件一般地对于含有字母的一元二次方程20ax bx c ++=的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令()f x =2ax bx c ++（0a >）（同理讨论0a <的结论）(1) x 1<α, x 2<α ,则0/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪-<⎨⎪>⎩; (2) x 1>α, x 2>α,则0/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪->⎨⎪>⎩(3) α<x 1<β, α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4) x 1<α, x 2>β (α<β),则()0()0f f αβ<⎧⎨<⎩(5）若f(x)=0在区间( α ,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置． 在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.【知识点4】二次函数()02≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值二次函数()02≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值一般分为三种情况讨论：第 3 页 共 12 页（1）若对称轴2bx a=-在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值） （2）若对称轴2bx a=-在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值； （3）若对称轴2b x a =-在区间内，则()2bf a-是函数的最小值（0a >）或最大值（0a <），再比较(),()f p f q 的大小决定函数的最大（小）值。
初三数学第3讲：二次函数的图象与性质进阶(教师版)
第3讲 二次函数的图象与性质进阶一、二次函数y ＝ax 2的图象[1．函数y ＝x 2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______．2．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______．3．当a ＞0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______．4．当a ＜0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______．5．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______．二、二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k 的图象1.一般地，抛物线2()y a x h k =-+与抛物线2y ax = 的 相同， 不同.把抛物线2y ax =向 向 平移，可以得到抛物线2()y a x h k =-+.即平移规律左加右减，上加下减.2.抛物线2()y a x h k =-+有如下特点：、① 当0a > 时，开口向 ；当0a <时，开口向 ；② 对称轴是直线 ； ③ 顶点坐标是 . 三、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象1．把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方成y ＝a (x －h )2＋k 形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x ______时，y 随x 增大而减小；x ______时，y 随x 增大而增大．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与纵轴交点的位置，－2ba决定对称轴． 四、用待定系数法求二次函数的解析式1．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式，关键是求出待定系数________的值．由已知条件列出关于________的方程组，并求出________，就可以写出二次函数的解析式．2．用待定系数求二次函数的解析式时：^(1)若抛物线经过任意三个点，则可设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ； (2)若给出了抛物线的顶点坐标，则可设顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ；(3)若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标(x 1，0)，(x 2，0)，则可设双根式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2）重点：会用描点法画二次函数的图象；掌握并灵活运用二次函数的图象和性质；能根据条件用适当的方法求二次函数的解析式．难点：对二次函数图象和性质的理解，能用二次函数的图象和性质解决综合性问题．（例1将二次函数y＝2x2+3x－1化成y＝a(x-h)2+k的形式为.解析：配方的关键是加上一次项系数一半的平方，除了要特别注意符号带来的错误外，还要注意运算带来的错误. y＝2x2+3x－1＝2(x2+32x)－1＝2[x2+32x+(34)2－916]－1＝2234x⎛⎫+⎪⎝⎭－178.答案：2234x⎛⎫+⎪⎝⎭－178.例2把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）.=-(x-1)2+3 =-(x+1)2+3 =-(x-1)2-3 =-(x+1)2-3解析：由抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律知，将抛物线y=-x2向左平移1个单位，就在x 后加上1，得y=-(x+1)2，再将抛物线y=-(x+1)2向上平移3个单位，就在k后加上3，得y=-(x+1)2+3.故选B.'答案：B．例3二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1），B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）. A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定"解析：由图象可知抛物线开口向下，并且所给两点A ，B 都在对称轴的右侧，故直接利用二次函数增减性“抛物线开口向下时，对称轴右侧y 随x 的增大而减小”，得21y y >．故选C ．答案：C ．例4如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为直线2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标是（ ）.{A. （2，3）B. （3，2）C. （3，3）D. （4，3） 解析：因为A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，所以A ，B 两点关于对称轴2=x 对称，又因为点A 的坐标为（0，3），所以点B 的纵坐标也是3，设点B 的坐标为（x ，3），则022x+=，解得x ＝4．所以点B 的坐标为（4，3）.故选D.*xyAx = 2B答案：D ．例5抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么( )A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0~D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0解析：因为抛物线开口方向向下，所以a ＜0；因为抛物线与y 轴正半轴相交，所以c ＞0；因为对称轴在y 轴左侧，所以－2ba＜0，又a ＜0，所以b ＜0.故选B. 答案：B ．例6 已知二次函数2y ax bx c =++中的x y ，满足下表：@x…2- 1-21 1 2|…y… 4 02- 49- 2-#… 求这个二次函数解析式．解析：方法一：设一般式，即)0(2≠++=a c bx ax y .已知任意三点，可设一般式)0(2≠++=a c bx ax y 求解.可选三个点，不妨把)2,1(),0,1(),2,0(---代入cbx ax y ++=2中得2,0,2.c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩解得1=a ，1-=b ，2-=c . 故所求二次函数关系式为22--=x x y ．*方法二：设顶点式，即)0()(2≠+-=a k h x a y .由表知当0=x 和1=x 时，函数值都为2-，由抛物线的对称性可得到抛物线的顶点为)49,21(-，可设所求二次函数顶点式为49)21(2--=x a y . 把)2,0(-代入上式，得219(0)224a --=-，解得1=a .故所求二次函数关系式为49)21(2--=x y ，即22--=x x y ．方法三：设交点式，即)0)()((21≠--=a x x x x a y .由表可知当1-=x 和2=x 时，函数值都为0，结合图象会发现抛物线与x 轴的交点为（1-，0）、（2, 0），可设所求二次函数交点式为)2)(1(-+=x x a y .把)2,0(-代入上式中解得1=a .故所求二次函数关系式为)2)(1(-+=x x y ，即22--=x x y ．~答案：22--=x x y ．例7在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0）．（1）求抛物线的解析式.（2）连接AC ．探索：在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）设抛物线的解析式为)0)()((21≠--=a x x x x a y ，则y=a(x-1)(x-5),把（0，4）代入得4=5a,解得a=45. 所以抛物线的解析式为y ＝45x 2－245x ＋4.【-1-1-2-2 1 2 3 4 ，56 1234x y}OAB CNDE F(设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A （0，4），C （5，0）代入，得4,50.b k b =⎧⎨+=⎩解得4,54.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为y ＝－45x ＋4． 设点N 的坐标为（m ，45m 2－245m ＋4），则点D 的坐标为（m ，－45m ＋4）． ∵点N 是直线AC 下方的抛物线上的点， ∴ND ＝－45m ＋4－(45m 2－245m ＋4)＝－45m 2＋4m ． ∴S △NAC ＝12ND•OC ＝12(－45m 2＋4m)•5＝－2(m －52)2＋252． ∴当m ＝52时，S △NAC 有最大值252．此时45m 2－245m ＋4＝－3． ∴在直线AC 下方的抛物线上存在一点N ，使△NAC 的面积最大，点N 的坐标是(52，－3)．…答案：（1）y ＝45x 2－245x ＋4；（2）在直线AC 下方的抛物线上存在一点N ，使△NAC 的面积最大，点N 的坐标是(52，－3)．A1．在二次函数①y ＝3x 2；②2234;32x y x y ==③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( ) A ．①＞②＞③B ．①＞③＞②C ．②＞③＞①D ．②＞①＞③^答案：C ．2．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )A ．向下，(0，4)B ．向下，(0，－4)C ．向上，(0，4)D ．向上，(0，－4)答案：B ．3．二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象必过点( )A ．(0，a )B ．(－1，－a )C ．(－1，a )D ．(0，－a )!答案：C ．4．要得到抛物线2)4(31-=x y ，可将抛物线231x y =( )A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向右平移4个单位D ．向左平移4个单位答案：C ．5．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( )>A ．2)5(31-=x yB ．5312--=x yC ．2)5(31+-=x yD ．2)5(31+=x y答案：C ．6．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．答案：向下，相同，(0，0)，y 轴．7．抛物线y ＝2x 2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x ______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝2x 2向______平移______个单位得到．答案：(0，3)，y 轴，x ≤0，0，小，3，上，3．8．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝3x 2向______平移______个单位得到．(答案：向上，(2，0)，直线x ＝2，x ≥2，2，小，0，右，2．9．抛物线y ＝2x 2－3x －5的顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大．答案：,43),849,43(-小，⋅>≤---43,43),5,0(),0,1()0,25(,849x x 、10．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______．答案：(－1，4)，(－3，0)、(1，0)，(0，3)．11． 已知一抛物线与x 轴的交点是A (－2，0)、B (1，0)，且经过点C (2，8)． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标．·答案：(1)设抛物线的解析式为y ＝a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]．依题意可知x 1＝－2，x 2＝1．∴y＝a (x 2＋x －2)．将点C 的坐标代入得8＝a (22＋2－2)．∴a ＝2．∴y ＝2(x 2＋x －2)，即y ＝2x 2＋2x －4；(2)配方得y ＝2192()22x +-，∴该抛物线的顶点坐标为(12-，92-)．12．如图，已知二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象经过点A 和点B ． (1)求该二次函数的解析式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)写出一种将它平移成抛物线y ＝x 2的方法．￥答案：(1)由图象可知抛物线经过点(－1，－1)和点(3，－9)，于是求得二次函数的表达式为y ＝x 2－4x －6．)(2)配方得y ＝(x －2)2－10，所以对称轴为2=x ；顶点坐标为(2，－10)．(3)答案不唯一，如：将抛物线y ＝x 2－4x －6向上平移10个单位再向左平移2个单位即得抛物线y ＝4x 2．B13．已知函数y ＝(m 2－3m )122--m m x的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______，对称轴方程为______，开口______．答案：y ＝4x 2；(0，0)；x ＝0；向上．14．函数y ＝x 2－4x ＋3的图象的顶点及它和x 轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．-答案：1．15．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )答案：B ．16．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A (1，b )． (1)求a ，b 的值；(2)求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)； (3)求△OBC 的面积．。
二次函数的图像与性质
执笔：吕萍香审核：吕萍香执教：第课时总课时
课题
6.2二次函数的图像与性质⑷
目标
1.会用描点法画二次函数 的图像，掌握它的性质.
2.渗透数形结合思想.
重点
会用描点法画二次函数 的图像，掌握它的性质.
难点
会用描点法画二次函数 的图像，掌握它的性质.
教法
交流讨论探索
教学过程
备注
一、导学
预习导航
1.根据 的图像和性质填表：
函数
图像
开口
对称轴
顶点
增减性
向上
当 时， 随 的
增大而减少.
当 时， 随 的
增大而.
当 时， 随 的
增大而减少.
当 时， 随
的增大而.
2.抛物线 的开口向，对称轴是；顶点坐标是，
说明当 =时，y有最值是；无论 取任何实数， 的取值范围是.
3.抛物线 的开口向，对称轴是；顶点坐标是，
⑵抛物线 是由一抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，则原抛物线的解析式是；
⑶抛物线 与抛物线关于 轴成轴对称；
抛物线 与抛物线关于 轴成轴对称.
三、精练
1.二次函数 的图像是，开口，对称轴是；顶点坐标是，说明当x=时，y有最值是.
2.将二次函数y=2x2的图像向左平移3个单位后得到函数的图像，再向上平移2个单位得到函数的图像；新函数的顶点坐标是，其对称轴是，说明当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小.
⑵观察上图:
①函数的图像与的图像的相同，相同， 不同，不同；
②函数可以看成的图
像先向平移个单位长度得到函
数的图像，再向平
移个单位长度得到.
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第3讲 二次函数的图像与性质
【考点.方法.破译】
1. 理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a 、b 、c 的关系；会根据图像推断a 、b 、c 及相关式子的符号；
2. 能借助二次函数的图像进行推理探究；
3. 学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解.
【经典.考题.赏析】
【例1】 已知a ,b 为抛物线y =(x -c )(x -c -d )-2与x 轴交点的横坐标，a <b ,则a c c b -+-的值为 .
【变式题组】
1. 抛物线y =ax 2
+bx +c 与x 轴交于A ,B 两点，与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形，则ac = .
【例2】已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示，记2,2P a b c a b q a b c a b =-+++=+++-则（ ） A . p >q B . p =q C . p <q D . p 、q 大小不能确定
例2（图） 变式2（图）
【变式题组】
2.（全国联赛）已知二次函数的图像所示，并设22M a b c a b c a b a b =++--+++--，则（ ）
A . M >0
B . M =0
C . M <0
D .不能确定M 为正、为负或为0
【例3】（全国联赛）设A 、B 是抛物线y =2x 2+4x -2上的点，原点位于线段AB 的中点处。
试求A 、B 两点的坐标。
【解法指导】解：原点是线段AB 的中点，得到点A 和点B 关于原点对称。
【变式题组】
3.（全国联赛）设a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长，二次函数 2()22
b
b y a x cx a =----，在x =1时，取最小值85
b -，则三角形ABC 是（ ）
A .等腰三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .直角三角形
4.（全国竞赛）已知二次函数y =ax 2
+bx +c （其中a 是正整数）的图像经过点A （-1,4）与点B （2,1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为 。
【例3】12. （全国联赛）(1)证明：若x 取任意整数时，二次函数y =ax 2+bx +c 总取整数值，那么2a ,a -b ,c 都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论.
【演练巩固 反馈提高】
1．如图，若抛物线与四条直线、、、所围成的正方形有公共点，则的取值范围是 ．
2．抛物线与轴的正半轴交于A ，B 两点，与轴交于C 点，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则的值为 ．
3．如图，抛物线的对称轴是直线，它与轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为(-l ，
0)、(0，)，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点P 为此抛物线上位于轴上方的一个动点，则△ABP 面积的最大值为 ．
4．已知二次函数的图象如图所示，且OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下含有、、三
个字母的式子①，②，③，④，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．
5．已知，点(，)，(，)，(，)都在函数的图象上，则( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，2ax y =1=x 2=x 1=y 2=y a c bx ax y ++=2x y b 1=x x y 2
3x c bx ax y ++=2a b c 1442
-=-a
b a
c 01=++b ac 0>abc 0>+-c b a 1-<a 1-a 1y a 2y 1+a 3y 2x y =321y y y <<231y y y <<123y y y <<312y y y <<c bx x y ++=2532+-=x x
y
则有( )
A ．，
B ．，
C ．，c ＝3
D ．，
7．二次函数的图象如图所示，则点(，)所在的直角坐标系是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．周长是4m 的矩形，它的面积S(m 2)与一边长(m)的函数图象大致是( )
9．阅读下面的文字后，回答问题：
“已知：二次函数的图象经过点A(0，)，B(1，-2) ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线．
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．
(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．
3=b 7=c 9-=b 15-=c 3=b 9-=b 21=c c bx ax y ++=2b a +ac x c bx ax y ++=2a 2=
x。