5.1数列的概念

5.1数列的概念 【考纲要求】
1、数列的概念和简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数. 【基础知识】
1、数列的定义
按照一定顺序排列的一列数，称为数列。

数列中的每一项叫做数列的项。

数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项。

一般记为数列{}n a
2、数列的分类
（1）按照数列的项数分，可以分为有穷数列和无穷数列。

（2）按照单调性分，数列可以分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

3、数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集。

所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点。

4、数列的常用表示方法 （1）数列的通项公式
如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

即()n a f n =。

不是每一个数列都有通项公式。

不是每一个数列只有一个通项公式。

（2）数列的递推公式
如果已知数列的第一项或前几项，且任意一项n a 与它的前一项1n a -的关系可以用一个式子1()n n a f a -=来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式。

5、数列的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+
6、数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系11,
1,2n n
n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩
该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分。

【例题精讲】
例1 若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)。

（1） 求此数列的通项公式；
（2） 数列{na n }中数值最小的项是第几项？
解析：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11；
n ＝1时，a n ＝S 1＝－9符合上式．
∴a n ＝2n －11. 设第n 项最小， 则⎩
⎪⎨
⎪⎧
na n ≤n ＋1a n ＋1na n ≤n －1a n －1
，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2n 2
－11n ≤n ＋1·2n －92n 2
－11n ≤n －1·2n －13，
解得94≤n ≤13
4
.又n ∈N *，∴n ＝3.
例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.
∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项a 2，a 3是负数． (2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94的对称轴方程为n ＝52.
又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值， 其最小值为a 2＝a 3＝－2.
5.1数列的概念强化训练
【基础精练】
1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5
的值是( )
A.
1516 B.158 C.34
D.3
8
2．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1
2
，则数列{a n }是( ) A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．不确定
3．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同数列
C ．数列{
n ＋1n }的第k 项为1＋1
k
D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n }
4．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
A ．a n ＝n 2
－n ＋1 B ．a n ＝n n －12
C ．a n ＝
n n ＋12
D ．a n ＝
n n ＋22
5．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )
A ．2n －1
B ．(
n ＋1n
)n －1 C ．n 2
D ．n
6．共有10项的数列{a n }的通项a n ＝2 007－10
n
2 008－10n
，则该数列中最大项、最小项的情况是
( )
A ．最大项为a 1，最小项为a 10
B ．最大项为a 10，最小项为a 1
C ．最大项为a 6，最小项为a 5
D ．最大项为a 4，最小项为a 3
7.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3
，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．729 B ．367 C ．604 D ．854
8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．数列
53，108，17a ＋b ，a －b
24
，…中，有序数对(a ，b )可以是__________． 10．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________． 【拓展提高】
1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，求数列的通项公式．
2．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1
a n －1
(n ≥2，n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n .
(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2008.
【基础精练参考答案】
2.B 【解析】∵
a n ＋1a n ＝1
2
<1.又a 1>0，则a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴{a n }是递减数列．
3.C 【解析】由数列定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1
k
，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错．
4.C 【解析】从图中可观察星星的构成规律，
n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…
∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝
n n ＋12
.
5.D 【解析】法一：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴
a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴数列{a n
n }是常数列． 且a n n ＝a 1
1＝1，∴a n ＝n . 法二：累乘法：n ≥2时，
a n a n －1＝n n －1
a n －1a n －2＝n －1
n －2
⋮
a 3a 2＝32 a 2a 1＝21
两边分别相乘得a n a 1
＝n . 又∵a 1＝1，∴a n ＝n .
6.D 【解析】a n ＝2 008－10n
－12 008－10n ＝1＋110n
－2 008
，则a n 在n ≤3且n ∈N *时为递减数列，n ≥4，n ∈N *
时也为递减数列，
∴1>a 1>a 2>a 3，a 4>a 5>a 6>…>a 10>1. 故最大项为a 4，最小项为a 3.
7.C 【解析】a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 5＝93－53＝604.
8.C 【解析】由S n ＝n 2
－9n 可得等差数列{a n }的通项公式a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<a k <8可得5<2k －10<8且k ∈Z，解得15
2
<k <9且k ∈Z，∴k ＝8.
9. (412，－112)【解析】从上面的规律可以看出⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝15
a －
b ＝26，解上式得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝41
2
b ＝－11
2
.
10. 2(1)21
(2)n n a n n =⎧=⎨
-⎩≥【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2
＋1)－[(n
－1)2
＋1]＝2n －1. 2
(1)21
(2)
n n a n n =⎧=⎨
-⎩≥
【拓展提高参考答案】
2.【解析】(1)证明：a n ＋3＝1－
1
a n ＋2
＝1－
11－
1
a n ＋1
＝1－11－
1
1－1a n
＝1－11－
1a n －1
a n
＝1－
11－a n
a n －1
＝1－
1
a n －1－a n
a n －1
＝1－
1
－1a n －1
＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n . (2)解：由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，
a 1＝1
2
，a 2＝－1，a 3＝2.
又∵a 2008＝a 3×669＋1＝a 1＝12.∴a 2008＝1
2
.。