八年级数学新版北师大版上册第7章 平行线的证明 4平行线的性质
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北师大版数学八年级上册教材最新目录第一章勾股定理
1、索勾股定理
2、一定是直角三角形吗
3、勾股定理的应用
第二章实数
1、认识无理数
2、平方根
3、立方根
4、估算
5、用计算器开方
6、实数
7、二次根式
第三章位置与坐标
1、确定位置
2、平面直角坐标系
3、轴对称与坐标变换
第四章一次函数
1、函数
2、一次函数与正比例函数
3、一次函数的图像
4、一次函数的应用
第五章二元一次方程组
1、认识二元一次方程组
2、求解二元一次方程组
3、应用二元一次方程组——鸡兔同笼
4、应用二元一次方程组——增收节支
5、应用二元一次方程组——里程碑上的数
6、二元一次方程与一次函数
7、用二元一次方程组确定一次函数表达式
8、三元一次方程组
第六章数据的分析
1、平均数
2、中位数与众数
3、从统计图分析数据的集中趋势
4、数据的离散程度
第七章平行线的证明
1、为什么要证明
2、定义与命题
3、平行线的判定
4、平行线的性质
5、三角形内角和定理。
平行线的判定++平行线的性质++知识考点梳理(课件)2024-2025学年北师大版数学八年级上册
∴EF∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
又 ∵AD∥BC，
∴EF∥AD（平行于同一条直线的两条直线平行）；
7.4 平行线的性质
重
难
题
型
突
破
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（2）由（1）知∠FCB=38°，又 CE 平分∠FCB，
∴∠BCE=
∠FCB=19°（角平分线的定义）.
在同一平面内，垂直于
同一条直线的两条直线
如图，∵b⊥a，c⊥a，
∴b∥c
平行
其他
方法
如 图 ，∵a ∥b，a ∥c，
平行于同一条直线的
两条直线平行
∴b∥c
7.3 平行线的判定
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归纳总结
考
点
要判断两条直线是否平行，首先要观察图形中与要判断
清
单 的两条直线有关的同位角、内错角、同旁内角的关系，这是
7.3 平行线的判定
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［解析］汽车行驶的方向不变，则汽车拐弯前与拐弯后
重
难
题 的行驶路线互相平行，如图所示.先右转后左转的两个角是
型 同位角，根据同位角相等，两直线平行，可知选项 D 正确
突
破 ．
［答案］ D
7.3 平行线的判定
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变式衍生 如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平
重
难
∵∠1=60°（已知），∠ABC=∠1（对顶角相等），
∴∠ABC=60°（等量代换）.
∵∠2=120°（已知），
∴∠ABC+∠2=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∵∠2+∠BCD=180°（平角的定义），
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．如图，BAC ∠的一边AB 上有一动点E ，连结CE ，在射线CE 上任取一点D ，连结DB ，分别作,DBA DCA ∠∠的角平分线，交于点F ，则下列关系式正确的是( )A ．2D A F ∠+∠=∠B ．1802()F FBA FCD ︒-∠=∠+∠C ．12∠=∠D ．D A ∠=∠ 2．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒ 3．下列命题是假命题的是（ ）A ．三角形的内角和是180°B ．两直线平行，内错角相等C ．三角形的外角大于任何一个内角D ．同旁内角互补，两直线平行4．下列命题中，假命题是（ ） A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等5．如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE 的度数是（ ）．A ．22°B ．16°C ．14°D ．23°6．若AD ∥BE ，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD 的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°7．如图，直线a ∥b ，点B 在a 上，且AB ⊥BC ，若∠1＝35°，那么∠2等于（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60° 8．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）A ．5B ．12C ．14D ．16 9．已知下列命题（1）等边三角形的三个内角都相等；（2）平行四边形相邻的两个角都相等；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等；（4）底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题和逆命题均为真命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）．A ．28B ．20C ．48D ．6811．下列说法正确的是（ ）A ．同位角相等B ．相等的角是对顶角C ．内错角相等，两直线平行D ．互补的两个角一定有一个锐角12．下列语句中，不是命题的是（ ）A ．过一点作已知直线的垂线B ．两点确定一条直线C ．钝角大于90度D ．平角都相等 二、填空题13．如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________．14．如图，一个直角三角形纸片ABC ，90BAC ∠=，D 是边BC 上一点，沿线段AD 折叠，使点B 落在点E 处（E B 、在直线AC 的两侧），当50EAC ∠=时，则CAD ∠=__________°.15．某机器零件的横截面如图所示，按要求线段AB 和DC 的延长线相交成直角才算合格.一工人测得23A ∠=︒，31D ∠=︒，143AED ∠=∠︒，请你帮他判断该零件是否合格_______（填“合格”或“不合格”）.16．如图，已知：AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1＝40°，求∠2的度数．完成下面的证明过程： 证明：∵AB ∥CD （ ），∴∠1＝∠BCD ＝40°（ ）．∵BD ⊥BC ，∴∠CBD ＝ ．∵∠2+∠CBD+∠BCD ＝ （ ），∴∠2＝ ．17．如图，已知//DE FG ，则12A ∠+∠-∠=________________18．如图，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1＋∠2＝90°，M 、N 分别是BA ，CD 延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ．下列结论：①AB ∥CD ；②∠AEB ＋∠ADC ＝180°；③DE 平分∠ADC ；其中结论正确的有______________19．如图，BD ＝BC ，BE ＝CA ，∠DBE ＝∠C ＝60°，∠BDE ＝75°，则∠AFE 的度数等于_____．20．如图，A ，B 分别是线段OC ，OD 上的点，OC ＝OD ，OA ＝OB ，若∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 的度数是_____度．三、解答题21．如图，C 是线段AB 的中点，过C 作//CE AD ，且CE AD =，连接BE ．证明：//BE CD ．22．已知，如图，ADE B ∠=∠，12∠=∠，GF AB ⊥．求证：CD AB ⊥；下面是证明过，请你将它补充完整证明：∵ADE B ∠=∠∴ // （ ）∴13∠=∠又∵12∠=∠∴23∠∠=∴ // （ ）∴FGB ∠=∵FG AB ⊥∴FGB ∠=∴CDB ∠=∴CD AB ⊥23．如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，62A ∠=︒，35ACD ∠=︒，20ABE ∠=︒．求：（1）BDC ∠的度数；（2）BFD ∠的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学公式）解：（1）∵BDC A ACD ∠=∠+∠（ ）∴623597BDC ∠=︒+︒=︒（等量代换）（2）∵BFD BDC ABE ∠+∠+∠=______（ ）∴180BFD BDC ABE ∠=︒-∠-∠（等式的性质）1809720=︒-︒-︒（等量代换）63=︒24．已知：如图，∠AGD =∠ACB ，∠1=∠2，CD 与EF 平行吗？为什么？25．如图所示，已知，A F ∠=∠，C D ∠=∠．（1）求证： //BD CE ；（2）已知:2:3ABD DEC ∠∠=，求DEC ∠的度数．26．如图，D 是BC 上一点，DE//AB ．交AC 于点E ．DF//AC 交AB 点F ．（1）直接写出图中与BAC ∠构成的同旁内角．（2）找出图中与BAC ∠相等的角，并说明理由．（3）若234BDE CDF ∠+∠=︒，求BAC ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】判断选项C 、选项D ，需假设选项D 正确，即A D ∠=∠，再根据角平分线的性质，即可证明得出12∠=∠，此时选项C 也正确，故选项C 、选项D 都不对．对于选项A 、选项B ，令CF 与AB 交点为G ，根据三角形内角和为180︒即可证明选项A 正确，选项B 错误．【详解】当A D ∠=∠时，AEC DEB ∠=∠，则DBE ACE ∠=∠，∵BF 、CF 平分DBA ∠、DCA ∠，则12∠=∠，故选项C 、选项D 不对．令CF 与AB 交点为G ，在AGC 中，()1802AGC FGB A ∠=∠=︒-∠+∠，在GFB 中，()18011801802121F FGB A A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠-∠=∠+∠-∠，在EAC 中，()18022AEC DEB A ∠=∠=︒-∠+∠，在DEB 中，()1802118018022212221D DEB A A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠-∠=∠+∠-∠， 故222212D A A F ∠+∠=∠+∠-∠=∠，则选项A 正确，选项B 错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，以及三角形内角和为180︒，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．2．D解析：D【分析】先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=28°，又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，∵∠EAB=20°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理、外角性质、平行线的性质与判定进行判断即可．【详解】解：A选项，三角形的内角和是180°，是真命题，不符合题意；B选项，两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意；C选项，三角形的外角大于任何一个内角，是假命题，符合题意；D选项，同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，平行的性质与判定，解题关键是熟练准确掌握基础知识．4．D解析：D【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；D、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．C解析：C【分析】根据∠DAE=∠DAC-∠CAE ，只要求出∠DAC ，∠CAE 即可．【详解】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C ，∠B=45°，∠C=73°，∴∠BAC=62°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC=12∠BAC=31°， ∵AE ⊥BC ，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-73°=17°，∴∠DAE=31°-17°=14°，故选：C ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 6．D解析：D【解析】延长AC 交BE 于F.90,306060ACB CBE AFB AD BECAD AFB ∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=︒故选D.7．C解析：C【分析】先根据直线平行的性质得到∠BAC=∠1＝35°，再由三角形内角和定理求出55BCA ∠=︒，再根据对顶角的性质即可得到答案．【详解】解：∵直线a ∥b ，∴∠BAC=∠1＝35°（两直线平行，内错角相等），又∵AB ⊥BC ，∴∠ABC=90°，∴180903555BCA ∠=︒-︒-︒=︒ （三角形内角和定理），∴255BCA ∠=∠=︒（对顶角相等），故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线平行的性质、三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握对顶角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．8．C解析：C【详解】∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故A 错误；∵12是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故B 错误；∵14是偶数但不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C 正确；∵16是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故D 错误.故选C.9．B解析：B【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据等边三角形的判定和直线定理、平行四边形的判定和性质定理、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质定理判断即可．【详解】解：（1）等边三角形的三个内角都相等，是真命题，逆命题为：三个角相等的三角形是等边三角形，是真命题；（2）平行四边形相邻的两个角互补，但不一定相等，本说法是假命题，逆命题为：相邻的两个角都相等的四边形是平行四边形，是真命题；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等，是真命题，逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；（4）底角相等的两个等腰三角形不一定全等，本说法是假命题，逆命题为：两个全等的等腰三角形的底角相等，是真命题；故选：B ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．11．C解析：C【分析】直接利用平行线的性质、判定以及对顶角的定义、补角的特征分别判断得出答案．【详解】A 、两直线平行，同位才能角相等，此项错误；B 、相等的角不一定是对顶角，此项错误；C 、内错角相等，两直线平行，此项正确；D 、互补的两个角不一定有一个锐角，有可能是两个直角，此项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、判定以及对顶角的定义等，掌握平行线与相交线的相关知识是解题关键．12．A解析：A【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句叫命题，进行选择．【详解】解：A 、没判断一件事情，只是叙述一件事情，故不是命题；B 、两点确定一条直线，判断一件事情，故是命题；C、钝角大于90°，判断一件事情，故是命题；D、平角都相等，判断一件事情，故是命题；故选：A．【点睛】本题考查命题的概念，解题关键是熟练掌握并灵活运用概念．二、填空题13．125°【分析】求出O为△ABC的三条角平分线的交点求出∠OBC=∠ABC∠OCB=∠ACB根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB求出∠OBC+∠OCB再根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即解析：125°【分析】求出O为△ABC的三条角平分线的交点，求出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，再根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可；【详解】∵在△ ABC中，点O是△ABC内的一点，且点O到△ ABC三边距离相等，∴ O为△ABC的三条角平分线的交点，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∴∠OBC+∠OCB=55°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=125°，故答案为：125°．【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键；14．20【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD再根据∠CAB=90°即可求出答案【详解】解：由翻折可得∠EAD=∠BAD又∠CAB=90°∠EAC=50°∴∠EAC+∠CAD=90°-∠解析：20【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD，再根据∠CAB=90°即可求出答案．【详解】解：由翻折可得，∠EAD=∠BAD，又∠CAB=90°，∠EAC=50°，∴∠EAC+∠CAD=90°-∠CAD,∴50°+∠CAD=90°-∠CAD,∴∠CAD=20°.故答案为：20．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及四边形内角和定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．15．不合格【解析】试题分析：延长ABDC相交F连接FE并延长至G根据三角形的外角的性质可得（∠A+∠AFG）+（∠D+∠DFG）=∠AEG+∠DEG再根据∠AFD=∠AFG+∠DFG=∠AED-∠A-∠解析：不合格【解析】试题分析：延长AB、DC相交F，连接F、E并延长至G．根据三角形的外角的性质可得（∠A+∠AFG）+（∠D+∠DFG）=∠AEG+∠DEG，再根据∠AFD=∠AFG+∠DFG=∠AED-∠A-∠D即可作出判断.延长AB、DC相交F，连接F、E并延长至G．则有（∠A+∠AFG）+（∠D+∠DFG）=∠AEG+∠DEG=∠AED=143°；∵∠A=23°，∠D=31°，∴∠AFD=∠AFG+∠DFG=∠AED-∠A-∠D=143°-23°-31°=89°≠90°．所以零件不合格．考点：三角形的外角的性质点评：解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质：三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.16．已知；两直线平行同位角相等；90°；180°；三角形内角和定理；50°【分析】由平行线的性质和垂线的定义可得∠1＝∠BCD＝40°∠CBD＝90°由三角形内角和定理可求∠2的度数【详解】∵AB∥CD解析：已知；两直线平行，同位角相等；90°；180°；三角形内角和定理；50°【分析】由平行线的性质和垂线的定义可得∠1＝∠BCD＝40°，∠CBD＝90°，由三角形内角和定理可求∠2的度数．【详解】∵AB ∥CD （已知），∴∠1＝∠BCD ＝40°（两直线平行，同位角相等）．∵BD ⊥BC ，∴∠CBD ＝90°．∵∠2+∠CBD+∠BCD ＝180°（三角形内角和定理），∴∠2＝50°．故答案为：已知，两直线平行，同位角相等，90°，180°，三角形内角和定理，50°．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．17．180【分析】根据平行线的性质得到根据平角的性质得到然后根据三角形内角和定理即可求解【详解】∵∴∵又∵∴∴故答案为180【点睛】本题考查了平行线的性质—两直线平行同位角相等三角形的内角和解题过程中注解析：180【分析】根据平行线的性质，得到2AHF ∠=∠，根据平角的性质得到180AHF AHC ∠+∠=︒，1180ACH ∠+∠=︒，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】∵//DE FG∴2AHF ∠=∠∵180AHF AHC ∠+∠=︒，1180ACH ∠+∠=︒又∵180AHC ACH A ∠+∠+∠=︒∴180********A ︒-∠+︒-∠+∠=︒∴12180A ∠+∠-∠=︒故答案为180．【点睛】本题考查了平行线的性质—两直线平行同位角相等，三角形的内角和，解题过程中注意等量代换是本题的关键．18．①③【分析】先根据AB ⊥BCAE 平分∠BAD 交BC 于点EAE ⊥DE ∠1+∠2=90°∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F 由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论【详解】解：∵AB ⊥BCAE ⊥DE解析：①③【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确，故答案为：①③．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解题的关键．19．150°【分析】由三角形内角和定理可得∠E＝45°由SAS可证△ABC≌△EDB 可得∠A＝∠E＝45°由三角形的外角性质可求∠AFD＝30°即可求解【详解】解：∵∠DBE＝60°∠BDE＝75°∴∠解析：150°【分析】由三角形内角和定理可得∠E＝45°，由“SAS”可证△ABC≌△EDB，可得∠A＝∠E＝45°，由三角形的外角性质可求∠AFD＝30°，即可求解．【详解】解：∵∠DBE＝60°，∠BDE＝75°，∴∠E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝60°，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠E＝45°，∵∠BDE＝∠A+∠AFD＝75°，∴∠AFD ＝30°，∴∠AFE ＝150°，故答案为：150°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，证明△ABC ≌△EDB 是解题关键．20．【分析】先根据SAS 证明△ODA ≌△OCB 可得∠D ＝∠C 然后根据三角形的外角性质可求出∠DBE 的度数再利用三角形的内角和定理即可求出∠BED 【详解】解：在△ODA 和△OCB 中∴△ODA ≌△OCB （S解析：【分析】先根据SAS 证明△ODA ≌△OCB ，可得∠D ＝∠C ，然后根据三角形的外角性质可求出∠DBE 的度数，再利用三角形的内角和定理即可求出∠BED ．【详解】解：在△ODA 和△OCB 中，OD OC O O OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODA ≌△OCB （SAS ），∴∠D ＝∠C ＝25°，∵∠O ＝60°，∠C ＝25°，∴∠DBE ＝60°+25°＝85°，∴∠BED ＝180°﹣85°﹣25°＝70°．故答案为：70．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，属于常考题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键．三、解答题21．见解析【分析】由全等三角形的判定定理，先证明DAC ECB ≌△△，得到DCA EBC ∠=∠，即可得到结论成立．【详解】证明：C 是线段AB 的中点，AC BC ∴=．//CE AD ，DAC ECB ∴∠=∠．在DAC △和ECB 中，DA EC DAC ECB AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAC ECB ∴≌△△．DCA EBC ∴∠=∠，//BE CD ∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是正确得到DAC ECB ≌△△．22．DE ，BC ，同位角相等，两直线平行 ；GF ，CD ，同位角相等，两直线平行；CDB ∠，90，90【分析】根据平行线、垂线的性质分析，即可将证明过程补充完整．【详解】证明：∵ADE B ∠=∠∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）∴13∠=∠（两直线平行 ，内错角相等）又∵12∠=∠∴23∠∠=∴//GF CD （同位角相等，两直线平行）∴FGB CDB ∠=∠∵FG AB ⊥∴ 90FGB ∠=∴90CDB =∠∴CD AB ⊥故答案为：DE ，BC ，同位角相等，两直线平行 ；GF ，CD ，同位角相等，两直线平行；CDB ∠，90，90．【点睛】本题考查了平行线、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理，从而完成求解．23．（1）三角形的外角性质；（2）180，三角形内角和定理【分析】（1）在△ACD 中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；（2）在△BFD 中，利用三角形的内角和定理计算即可．【详解】（1）∵∠BDC=∠A+∠ACD （三角形的外角性质），∴∠BDC=62°+35°=97°（等量代换），故答案为：三角形的外角性质；（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE=180°（三角形内角和定理），∴∠BFD=180°-∠BDC-∠ABE（等式的性质），=180°-97°-20°（等量代换）=63°；故答案为：180°，三角形内角和定理．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．24．平行，见解析．【分析】先判定GD//CB,然后根据平行的性质得到∠1=∠BCD,然后利用同位角相等、两直线平行即可证明．【详解】解：平行. 理由如下：∵∠AGD =∠ACB，（已知）∴ GD∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠BCD（两直线平行,内错角相等）∵∠1=∠2，（已知）∴∠2=∠BCD（等量代换）∴ CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，灵活运用同位角相等、两直线平行是解答本题的关键．25．（1）见解析；（2）∠D EC =108°【分析】（1）由AC//DE可得∠D=∠ABD，根据等量代换得到∠C=∠ABD，从而可证BD//C E；（2）设∠ABD=2x，∠D EC=3x，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．【详解】（1）证明∵∠A=∠F，∴AC//DE，∴∠D=∠ABD，∵∠D=∠C，∴∠C=∠ABD，∴BD//C E；（2）∵BD//C E，DF//BC，∴∠ABD =∠C，∠D EC+∠C=180°，∵∠ABD ：∠DEC=2:3，∴设∠ABD=2x，∠D EC=3x，则2x+3x=180°，∴x=36°，∴∠D EC =3x=108°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．26．（1）∠AFD，∠AED，∠C，∠B；（2）∠BFD，∠DEC，∠FDE；（3）54°【分析】（1）根据同旁内角的概念解答即可；（2）根据平行线的性质解答即可；（3）根据平行线的性质和角的关系解答即可．【详解】解：（1）∠BAC的同旁内角有：∠AFD，∠AED，∠C，∠B；（2）∠BAC相等的角有：∠BFD，∠DEC，∠FDE，∵DE∥AB，∴∠BAC=∠DEC，∠BFD=∠FDE，∵DF∥AC，∴∠BAC=∠BFD，∴∠BAC=∠DEC=∠BFD=∠FDE．（3）∵∠BDE+∠CDF=234°，∴∠BDE+∠EDC+∠EDF=234°，即180°+∠EDF=234°，∴∠EDF=54°，∴∠BAC=54°．【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．。
新教材北师大版八年级数学上册第7章《平行线的证明》回顾与思考
（新教材）北师大版精品数学资料第六章平行线的证明回顾与思考一、学生情况分析学生的技能基础：学生在已经接触了几何学的许多基本概念，有了一些基本的逻辑思维判断能力，在几何证明的推理上也有了长足的进步，不过对于较难的几何证明题则不能站在更高的逻辑思维层面上思考．学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、动手操作、说理、推理论证等几何活动，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析在本章的学习中，学生已经掌握了几何的推理论证的基本理念，对于简单的几何证明有了一定的认识，但不能从更深层次进行思考，对于如何分析命题中的条件与结论则存在一定的困难，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是：知识与技能：（1）了解命题的概念与命题的构成；（2）使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念；（3）进一步体会证明的必要性；数学能力：（1）培养学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力；（2）掌握证明的步骤与格式．三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：知识回顾——做一做——想一想——试一试——反馈练习．第一环节 知识回顾 活动内容：1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？3.三角形内角和定理是什么？4.与三角形的外角相关有哪些性质？5.证明题的基本步骤是什么？活动目的：通过学生的回顾与思考，使学生对平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质有一个更深层次的认识，为下一步的简易的逻辑推理作好知识准备． 注意事项：由于学生对于上述概念都有较长时间的学习，但知识点是零散的，因此有必要在学生头脑中形成一个清晰的知识网络，如：}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒⇒⇒⇒⇒⇒结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）（第二环节 做一做 活动内容：1.下列语句是命题的有（ ）（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形；2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例.（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a |=|b |，则a =b .3. 如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________.4. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明单元教学设计
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在探索、发现、总结平行线性质的过程中，培养观察、分析、归纳的能力。
2.引导学生运用演绎推理方法，从特殊到一般，逐步掌握平行线的判定方法，提高学生的逻辑思维能力。
二、学情分析
八年级学生在经过之前的学习，已经具备了一定的几何基础，对几何图形有一定的认识和理解。在此基础上，学生对平行线的概念及性质已有初步的了解，但在判定方法、性质应用等方面仍需加强。此外，学生在演绎推理、问题解决等方面的能力有待提高。因此，在教学过程中，应关注以下学情：
1.学生对平行线性质的理解程度，注重引导学生从直观到抽象，逐步提高对平行线性质的认识。
c.解决实际问题，运用平行线性质求解。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，对学生的解答进行点评，及时纠正错误，巩固所学知识。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结平行线的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
2.教师强调本节课的重点知识，提醒学生注意平行线性质及判定方法的灵活运用。
2.教师提出问题：我们已经学过直线、线段、射线等基本概念，那么如何判断两条直线是否平行？这节课我们就来探讨这个问题。
（二）讲授新知
1.教师引导学生回顾同位角、内错角、同旁内角等概念，为后续学习平行线的判定方法打下基础。
2.教师通过几何画板演示，引导学生观察并总结出平行线的性质，如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
通过生活中的实例，如铁轨、教室墙壁等，引出平行线的概念，激发学生对平行线性质探究的兴趣。
新版北师大版初中数学目录
七年级上第1章第一章丰富的图形世界第1讲生活中的立体图形第2讲展开与折叠第3讲截一个几何体第4讲从三个方向看物体的形状第2章第二章有理数及其运算第1讲有理数第2讲数轴第3讲绝对值第4讲有理数的加减法第5讲有理数的加减混合运算第6讲有理数的乘除法第7讲有理数的乘方与科学记数法第8讲有理数的混合运算第9讲用计算器进行运算第3章第三章整式及其加减第1讲代数式第2讲整式第3讲整式的加减第4讲探索与表达规律第4章第四章基本平面图形第1讲线段、射线、直线第2讲比较线段的长短第3讲角第4讲角的比较第5讲多边形和圆的初步认识第5章第五章一元一次方程第1讲认识一元一次方程第2讲求解一元一次方程第3讲应用一元一次方程第6章第六章数据的收集与整理第1讲数据的收集第2讲普查和抽样调查第3讲数据的表示和统计图的选择七年级下第1章第一章整式的乘除第1讲同底数幂乘法第2讲幂的乘方与积的乘方第3讲同底数幂除法第4讲整式的乘法第5讲平方差公式第6讲完全平方公式第7讲整式的除法第2章第二章相交线与平行线第1讲两条直线的位置关系第2讲探索直线平行的条件第3讲平行线的性质第4讲尺规作角第3章第三章变量之间的关系第1讲用表格表示变量之间的关系第2讲用关系式表示变量之间的关系第3讲用图象表示变量之间的关系第4章第四章三角形第1讲认识三角形第2讲图形的全等第3讲探索三角形全等的条件第4讲用尺规作三角形第5章第五章生活中的轴对称第1讲轴对称现象第2讲探索轴对称的性质第3讲简单的轴对称图形第4讲利用轴对称进行设计第6章第六章概率初步第1讲感受可能性第2讲频率的稳定性第3讲等可能事件的概率八年级上第1章第一章勾股定理第1讲探索勾股定理第2讲一定是直角三角形吗第3讲勾股定理的应用第2章第二章实数第1讲认识无理数第2讲平方根第3讲立方根第4讲估算第5讲用计算器开方第6讲实数第7讲二次根式第3章第三章位置与坐标第1讲确定位置第2讲平面直角坐标系第3讲轴对称与坐标变化第4章第四章一次函数第1讲函数第2讲一次函数与正比例函数第3讲一次函数的图象第4讲一次函数的应用第5章第五章二元一次方程组第1讲认识二元一次方程组第2讲求解二元一次方程组第3讲应用二元一次方程组第4讲二元一次方程与一次函数第5讲三元一次方程组第6章第六章数据分析第1讲平均数第2讲中位数与众数第3讲极差、方差和标准差第7章第七章平行线的证明第1讲为什么要证明第2讲定义与命题第3讲平行线的判定第4讲平行线的性质第5讲三角形内角和定理八年级下第1章第一章三角形的证明第1讲等腰三角形第2讲直角三角形第3讲线段的垂直平分线第4讲角平分线第2章第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第1讲不等关系第2讲不等式的基本性质及其解集第3讲一元一次不等式第4讲一元一次不等式与一次函数第5讲一元一次不等式组第3章第三章图形的平移与旋转第1讲图形的平移第2讲图形的旋转第3讲中心对称第4讲简单的图案设计第4章第四章因式分解第1讲因式分解第2讲提公因式法第3讲公式法第5章第五章分式与分式方程第1讲认识分式第2讲分式的乘除法第3讲分式的加减法第4讲分式方程第6章第六章平行四边形第1讲平行四边形的性质第2讲平行四边形的判定第3讲三角形的中位线第4讲多边形的内角和与外角和九年级上第1章第一章特殊平行四边形第1讲菱形的性质与判定第2讲矩形的性质与判定第3讲正方形的性质与判定第2章第二章一元二次方程第1讲认识一元二次方程第2讲用配方法求解一元二次方程第3讲用公式法求解一元二次方程第4讲用因式分解法求解一元二次方程第5讲一元二次方程的根与系数的关系第6讲实际问题与一元二次方程第3章第三章概率的进一步认识第1讲概率初步第4章第四章图形的相似第1讲成比例线段第2讲平行线分线段成比例第3讲相似多边形第4讲相似三角形判定第5讲相似三角形的性质第6讲图形的位似第5章第五章投影与视图第1讲投影第2讲视图第6章第六章反比例函数第1讲反比例函数第2讲反比例函数的图象与性质第3讲反比例函数的应用九年级下第1章第一章直角三角形的边角关系第1讲锐角三角函数第2讲三角函数的应用第3讲利用三角函数测高第2章第二章二次函数第1讲二次函数第2讲二次函数的图象与性质第3讲确定二次函数的表达式第4讲二次函数的应用第5讲二次函数与一元二次方程第3章第三章圆第1讲圆第2讲垂径定理第3讲圆周角与圆心角的关系第4讲直线与圆的位置关系第5讲切线长定理第6讲圆内接正多边形第7讲弧长及扇形的面积。
平行线的性质(优质课)获奖课件
3, 1
不是原方程组的解；
(3)把,
②,发现能使方程
x 4,
y
1. 2
①, ②左右两边相等，所以
是原方程组的解.
【跟踪训练】
把下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来：
x=1，
y=3-x，
y=2. x=3， y=-2. x=2， y=1.
y3=x2+x2，y=8. x+y=3. y=1-x， 3x+2y=5.
4 5
5.已知2x+3y=4，当x=y 时，x，y的值为_____，当x+y=0时,
-4
4
1
x=_____x，=-y3=______.
2
y=-2
6.已知-1
8
是方3 程2x-4y+2a=3的一个解，则a=______.
8.已知二元一次方程3x-2y=5,若y=0,则x=
.
5
答案： 3
9.下列4组数值中,哪些是二元一次方程2x+y=10的解?
你还累?这么大的 个，才比我多驮 了2个.
哼，我从你背上拿来 1个，我的包裹数就 是你的2倍！
真的?！
我从你背上拿来 1个，我的包裹数 就是你的 2 倍！
你还累?这么大 的个，才比我 多驮了2个.
它们各驮了多少包裹呢?
【解析】设老牛驮了 x 个包裹 , 小马驮了 y个包裹. 老牛的包裹数比小马的多2个,
∵a∥b，∴∠1=∠2，
同理∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥c.
【跟踪训练】
根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证
(不写证明过程)：两条平行线的一对内错角的平分线互相
平行.
已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG、
北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明素养拓展课件
1
2
∴∠P=90°+ (∠B+∠D).
Hale Waihona Puke 图3一、选择题1.对于命题“若a2>b2,则a>b.”下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题的是 (
A.a=3,b=2
B.a=-3,b=2
C.a=3,b=-1
D.a=-1,b=3
)
答案
1.B 【解析】
反例要满足题设成立,但是结论不成立.当a=-3,b=2时,a2=(-3)2=9,b2=22=4,满足a2>b2,但是a<b,故
∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°.∵∠ADB=60°,∴∠A=180°-30°-60°=90°,∴△ABD是直角三角形.故选C.
4.如图,将对边平行的纸带按如图所示的方式进行折叠,若∠1=65°,则∠2的大小为 (
A.115°
B.65°
C.55°
)
D.50°
答案
4.D 【解析】
如图,延长DC.∵AB∥DC,∴∠3=∠1=65°,∴∠ACF=∠3=65°,∴∠2=180°-2×65°=50°.故选D.
)
6.[202X海南中考]将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置,如果∠CDE=40°,那么
∠BAF的大小为 (
A.10°
)
B.15°
C.20°
D.25°
答案
6.A 【解析】
由题意知DE∥AF,∴∠AFD=∠CDE=40°.∵∠B=30°,∴∠BAF=∠AFD-∠B=40°-30°=10°.故选A.
△OAB的外角∠OBD的平分线所在的直线交于点C.试猜想:随着点A,B的移动,∠ACB的大小是否变化?并说明理由.
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证明：∵DE∥BC(已知)，∴∠ADE＝∠ABC(两直线平行，同位角相等)， 1 1 ∵DF平分∠ADE，BE平分∠ABC(已知)，∴∠ADF＝ ∠ADE，∠ABE＝ 2 2 ∠ABC(角平分线的定义)．∴∠ADF＝∠ABE(等量代换)．∴DF∥BE(同位 角相等，两直线平行)．∴∠FDE＝∠DEB(两直线平行，内错角相等) .
B．80° D．100°
1．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50° ， 则∠2的度数为( B ) A．50° C．30° B．40° D．25°
2．如图，直线l1、l2、l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝124° ，∠2＝88° ， 则∠3的度数为( B A．26° C．46° ) B．36° D．56°
15．已知：如图所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D. 求证：∠A＝∠F.
证明：∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DB∥EC，∴∠C＝∠ DBA，∵∠C＝∠D，∴∠DBA＝∠D，∴DF∥AC，∴∠A＝∠F.
16．如图所示，已知DE∥BC，DF、BE分别平分 ∠ADE、∠ABC. 求证：∠FDE＝∠DEB.
6．已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2.求证：∠A＝∠E.
证明：∵∠1＝∠2，∴AC∥DE，∴∠E＝∠EBC，∵AD∥BE，∴∠EBC ＝∠A，∴∠A＝∠E.
7．如图所示，CD⊥AB，垂足为D，F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足 为E，且∠1＝∠2，∠3＝80° ，求∠BCA的度数．
解：因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥EF，所以∠DCB＝∠2(两直线平 行，同位角相等)．因为∠1＝∠2(已知)，所以∠DCB＝∠1(等量代换)，所 以DG∥BC(内错角相等，两直线平行)，所以∠BCA＝∠3＝80° (两直线平 行，同位角相等)．
10．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50° ，则∠ACD等于( C A．120° C．140° B．130° D．150°
)
11．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系是( C ) A．α＋β＋γ＝360° C．α＋β－γ＝180° B．α－β＋γ＝180° D．β＋γ－α＝180°
数学 八年级 上册 • B
2018秋季
第七章 平行线的证明
4 平行线的性质
相等
相等
互补
B
A．150° C．100° B．130° D．50°
平行线的判定和性质的综合应用 自我诊断2. 2．如图，直线a、b与直线c、d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110° ，则∠4等 于( A )
A．70° C．110°
12．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1＝∠F，那么与∠FCD相等的角有
∠A、∠ABG.
∠4
两直线平行，内错角相等
∠4
两直线平行，同位角相等 等量代换
14．已知，直线AB∥CD∥EF，且∠ABE＝50° ，∠ECD＝150° .求∠BEC 的度数．
解：∵AB∥EF，∠B＝50° ，∴∠BEF＝∠B＝50° ，∵CD∥EF，∴∠CEF ＋∠ECD＝180° ，∵∠ECD＝150° ，∴∠CEF＝30° ，∴∠BEC＝∠BEF－ ∠CEF＝50° －30° ＝20° .
3．如图， 数为( C ) A．35° C．70°
AB∥CD，EF平分∠AEG，若∠FGE＝40° ，那么∠EFG的度
B．40° D．140°
4．如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1＝70° ，则∠2等于( A ) A．70° C．110° B．90° D．80°
5．如图，∠1＝∠2，∠A＝60° ，则∠ADC＝ 120 度．
8．(宿迁中考)如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝80° ，∠2＝100° ， ∠3＝85° ，则∠4的度数是( B ) A．80° C．95° B．85° D．100°
9．(恩施中考)如图，若∠A＋∠ABC＝180° ，则下列结论正确的是( D ) A．∠1＝∠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ C．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 D．∠2＝∠4