勾股定理与折叠问题(经典题型)精编版
专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题(五大题型)(原卷版)
专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型）【题型1 与长方形有关的最短路径问题】【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【题型4将军饮马与最短路径问题】【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下：几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【题型1 与长方体有关的最短路径问题】【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）cm．A．10B．50C．10D．70【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）A．5B．25C．D．35【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（ ）A．B．5cm C．4cm D．【变式1-4】（2022秋•莲湖区期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（ ）A．B．C．D．【变式1-5】（2022秋•汝阳县期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（ ）A．B．C．D．【变式1-7】（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（ ）A．12B．15C．18D．21【变式1-8】（2023•陇县三模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．A．8B．10C．12D．13【变式1-10】（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）A．cm B．4cm C．cm D．5cm【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】【典例2】（2023春•防城区期中）如图，一圆柱高BC＝12πcm，底面周长是16πcm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点P处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A．12πcm B．11πcm C．10πcm D．9πcm【变式2-1】（2023春•德州期中）如图，圆柱形玻璃容器高18cm，底面圆的周长为48cm，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（ ）A．52cm B．30cm C．D．60cm【变式2-2】（2023春•夏津县期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m 时，这段葛藤的长是（ ）m．A．3B．2.6C．2.8D．2.5【变式2-3】（2023春•东港区校级月考）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）A．26B．13+C．13D．2【变式2-4】（2023春•富顺县校级月考）如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为（ ）A．cm B．15cm C．14cm D．13cm【变式3-5】（2022秋•蒲城县期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为20cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）A．20πcm B．40πcm C．D．【变式2-6】（2023春•宣化区期中）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm【变式2-7】（2023春•随县期末）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要 m．【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【典例3】（2023春•连山区期末）如图是楼梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）A．B．3C．D．2【变式3-1】（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）cm．A．10B．50C．120D．130【变式3-2】（2023春•西塞山区期中）如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是 m．【变式3-3】（2022秋•叙州区期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A 点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米．【题型4将军饮马与最短路径问题】【典例4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．A．15B．C．12D．18【变式4-1】（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）A．13cm B．3cm C．cm D．2cm【变式4-2】（2023春•临潼区期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是 厘米．【变式4-3】（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）（π取3）m．A．30B．28C．25D．22【变式4-4】（2022秋•雁峰区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm【变式4-5】（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）．【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【典例5】（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）A．3B．4C．5D．6【变式5-1】（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为 ．【变式5-2】（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．【变式5-3】（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【变式5-4】（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD 于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于 ．【变式5-5】（2020•浙江自主招生）将一直径为25cm的圆形纸片（如图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体形状的纸盒（如图③），则这样的纸盒体积最大为 cm3．【变式5-6】（2022秋•和平区期中）一长方体容器（如图1），长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD ＝ ．【变式5-7】（2022春•温州期末）图1是一款平衡荡板器材，示意图如图2，A，D为支架顶点，支撑点B，C，E，F在水平地面同一直线上，G，H为荡板上固定的点，GH∥BF，测量得AG＝GH＝DH，Q为DF上一点且离地面1m，旋转过程中，AG始终与DH保持平行．如图3，当旋转至A，Q，H在同一直线上时，连结G′Q，测得G′Q＝1.6m，∠DQG′＝90°，此时荡板G′H′距离地面0.6m，则点D离地面的距离为 m．【变式5-8】（2022•公安县模拟）某厂家设计一种双层长方体垃圾桶，AB＝84cm，BC＝30cm，CP＝36cm，侧面如图1所示，EF为隔板，等分上下两层．下方内桶BCFG绕底部轴（CP）旋转打开，如图2，将其打开后点G卡在隔板上，此时可完全放入下方内桶的球体的最大直径为25.2cm，求BG的长度为 cm．。
八年级数学勾股定理的应用——折叠问题(专题)(含答案)
勾股定理的应用——折叠问题（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=5，折叠纸片使AD边与线段BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：由题意得，BD=13；由折叠知D=AD=5，G=AG，∠DA′G=∠A=90°．∴B=8．设AG=x，则，BG=12-x．在Rt△BG中，∠BA′G=90°，由勾股定理得，，即，解得，．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EF=( )A.4cmB.3cmC.5cmD.6cm答案：C解题思路：如图，AF=AD=BC=10，在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=6，所以FC=4，设EF=DE=x，则CE=8-x，在Rt△ECF中，∠C=90°，由勾股定理得，，解得，x=5．故选C．试题难度：三颗星知识点：略3.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则AE的长为____，△ABE的周长为____．( )A.，7B.，7C.，D.，答案：A解题思路：解：由题意知，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5由勾股定理得，BC=4由折叠知，AE=EC设AE=EC=x，则BE=4-x在Rt△ABE中，∠B=90°由勾股定理得，解得，则AE=，BE=∴△ABE的周长为3+x+(4-x) =3+4=7综上，AE的长为，△ABE的周长为7故选A试题难度：三颗星知识点：略4.如图，将一长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为( )A.6B.12C.10D.20答案：A解题思路：解：由题意知，将长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为EF，∴AF=CF，∵在长方形ABCD中，AB=4，BC=8∴设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，∠B=90°，AB=4，BF=x，AF=8-x，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，42+x2=(8-x)2，解得，x=3，即BF=3，∴△ABF的面积为故选A．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，长方形纸片ABCD中，AD=4，CD=3，折叠纸片使AB边与线段AC重合，折痕为AE，记与点B重合的点为F，则△CEF的面积与纸片ABCD的面积的比为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=AF=3，AD=BC=4，在Rt△ABC中，∠B=90°由勾股定理得，∴∴AC=5由折叠知，EF=BE，∠AFE=∠B=90°，设BE=x，则EF=BE=x在Rt△EFC中，∠CFE=90°，CF=AC-AF=2，EC=4-x，根据勾股定理得，∴解得，x=1.5∴∵∴故选B．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，将边长为16cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F 处，折痕为MN，则CN=_____cm，AM=_____cm．( )A.6，2B.8，3C.10，2D.12，3答案：A解题思路：∵点E是BC边的中点，∴EC BC=8，设CN=x，则EN=DN=16-x，在Rt△ECN中，∠C=90°，由勾股定理得，EC2+CN2=EN2解得，x=6如图，连接DM，EM，则DM=EM，设AM=y，则BM=16-y，在Rt△ADM中，∠A=90°，由勾股定理得，在Rt△BEM中，∠B=90°，由勾股定理得，，∵DM=ME，∴解得，y=2故选A．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的点E处，折痕为MN．若CE的长为8cm，则AM=_____cm，BN=_____cm．( )A.，1B.，C.，D.，1答案：C解题思路：如图，设AM=x，在Rt△MED中，∠D=90°，由勾股定理，得解得，x=，即AM=，MD=，连接AN，NE，则AN=NE，设BN=y，则CN=12-y，在Rt△ABN中，∠B=90°，由勾股定理，在Rt△CEN中，∠C=90°，由勾股定理，，∵AN=NE，∴解得，故选C．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，把长方形ABCD沿AC折叠，AD落在处，交BC于点E，已知AB=2cm，BC=4cm，则EC的长为( )A.2cmB.cmC.5cmD.cm答案：D解题思路：如图，由折叠知，∠DAC=∠EAC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC设EC=x，则AE=EC=x∵BC=4，∴BE=4-x在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=2，BE=4-x，AE=x，由勾股定理得，解得，即EC的长为cm故选D．试题难度：三颗星知识点：略9.把长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．若BC=5cm，CD=3cm，则DE=( )cm．A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，由折叠知，∠BFE=∠DFE，BF=DF，∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF，∴∠DFE=∠DEF，∴DE=DF设DF=x，则BF=DF=x∵BC=5，∴CF=5-x在Rt△CDF中，∠C=90°，CD=3，CF=5-x，DF=x，由勾股定理得，解得，∴DE=DF=故选B．试题难度：三颗星知识点：略10.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是CD边上一点，连接BE，把∠C沿BE折叠，使点C落在点F处．当△DEF为直角三角形时，DE的长为( )A.1B.1或C. D.3或答案：B解题思路：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=4，AD=BC=3，分两种情况讨论：①当∠FED=90°时，如图所示，则∠CEF=90°，由折叠的性质得：CE=FE=BC=3，∴DE=CD-CE=1；②当∠DFE=90°时，如图所示，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=4，AD=3，∴BD=5，由折叠的性质得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，EF=EC，∴∠DFE=∠BFE=90°，即点B，F，D三点共线，点F在BD上，∴DF=BD-BF=5-3=2，设DE=x，则EF=CE=4-x在Rt△DEF中，∠EFD=90°，DE=x，EF=4-x，DF=2，由勾股定理得，解得，综上所述，DE的长为1或；故选B．试题难度：三颗星知识点：略第11页共11页。
勾股定理中的折叠问题(分类整理版)
勾股定理中的折叠问题
1、如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求
线段BN的长．
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A 和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）
的面积．
变式：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在
斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。
4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。
6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落
在CD边上的点G处，求BE的长.
7、如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．。
专题 勾股定理与折叠问题
专题：勾股定理在折叠问题中应用〔1〕折叠的规律是，折叠局部的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等. 〔2〕利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进展计算.〔一〕三角形的折叠1.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D 为BC 上一点，将AC 沿AD 折叠，使点C 落在AB 上，求CD 的长2.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°， D 为AB 上一点，将⊿ABC 沿DE 折叠，使点B 与点A 重合， ①假设AC=4，BC=8，求CE 的长②假设AC=24，BC=32，求折痕DE 的长ACBDC ´CBEC BEABDFEC GA ´ •DABC〔二〕矩形的折叠1.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕〔对角线〕BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上， 得折痕DG ，假设AB = 2，BC = 1，求AG2.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，AB=8cm ，BC=10cm ， 求EC 的长.变式：如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上， 边0C 在y 轴上，点B 的坐标为〔1，3〕，将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的 坐标为3.如图，矩形纸片ABCD ，AB=4cm ，BC=8cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ①求DF 的长；②求重叠局部△AEF 的面积； ③求折痕EF 的长.〔三〕正方形的折叠ＡＢＣＤＥＦＤ´1.将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ①求线段CN 的长；②求AM ；③求折痕MN 的长变式：如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，那么AM 的长是___________.EA ´DA BC NM。
勾股定理中的折叠问题
勾股定理中的折叠问题姓名：例1：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E BCA D 对应练习：1、如图,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C ／处,BC ／交AD 于E,AD=8,求BC ＇的长2、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长． AB C DE C ／3、如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ，若AB=1，BC=2，（1）请找出图中的等腰三角形（2）求△ABE 和△BC ′F 的周长之和BAC D E4、如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）5、如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．（3）请找出图中的等腰三角形6、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD 交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）求证：点E在线段AC的垂直平分线上；（3）若AB=8，AD=3，求图中阴影部分的周长．7、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，BM=，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：。
勾股定理与折叠问题(经典题型)
与直角有关的折叠问题（一）1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是( )A. 12厘米B. 15厘米C. 20厘米D. 21厘米2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为( )A. 6B. 5C.D.3.如图1，四边形ABCD是一矩形纸片，AB=8cm，AD=10cm，E是AD上一点，且AE=8cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图2；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图3．则△GFC的面积是( )A. B. C. D.4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )A. B.C. D.5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( )A. 2cmB.C. 4cmD.6. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，直角边，现将△BCD沿CD折叠，点B 恰好落在AB的中点E处，则图中阴影部分的面积为( )A. 2B.C.D.7.如图，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在处，AD与BC′交于点E，连接AC′，则AC′：BD为( )A. B. C. D.8.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且，将矩形沿直线EF 折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，有下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①④9.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点上．若AB=16，BC=32，则BF的长为( )A. 15B.C. 16D. 1710. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．若，则( )A. B. C. D.11.如图，折叠直角三角形纸片ABC的直角∠C，使点C落在斜边AB上的点E处，已知，∠B=30°，则DE的长为( )A. B. C. D.12. 如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为( )A. B. C. D. 613. 如图，在矩形ABCD中，，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在AD边的中点P处．若∠DPE=60°，则矩形的周长为( )cm．A. B. C. D.14.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在处，若，DE=2，则的长为( )A. B. C.D.15.如图1是一个直角三角形纸片，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图2，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图3，则折痕DE的长为( )∙∙∙ A. 3cm B. C. 2cm D.16. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为( )A. 6B.C. 3D.。
勾股定理中的折叠问题(分类整理版)
勾股定理中的折叠问题
1、如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，
折痕为MN，求线段BN的长．
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重
叠部分（阴影部分）的面积．
变式：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，
使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。
4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。
6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.
7、如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．。
勾股定理经典例题(含答案)
勾股定理经典例题类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=6, c=10，求b ， (2）已知a=40,b=9，求c; (3）已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。
举一反三【变式】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13，CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC 的长。
1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元 B 、225a 元C 、150a 元D 、300a 元举一反三【变式1】如图,已知：，，于P 。
求证:.150°20m30m【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD的面积。
类型三：勾股定理的实际应用（一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2。
5米，宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？（二)用勾股定理求最短问题4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．类型四:利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段.作法：如图所示举一反三【变式】在数轴上表示的点。
解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1.作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为.类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．（正确)2．原命题：对顶角相等(正确）3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）4．原命题:角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．(正确)7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
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与直角有关的折叠问题（一）
1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，
若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是( )
A. 12厘米
B. 15厘米
C. 20厘米
D. 21厘米
2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF
A. 6
折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为( )
B. 5
C.
D.
3.如图1，四边形ABCD是一矩形纸片，AB=8cm，AD=10cm，E是AD上一点，且AE=8cm．操
作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图2；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图3．则△GFC的面积是( )
A. B. C. D.
4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着
EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则
CE的长是( )A. B.
C. D.
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E在BC上，将纸片
沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( )
A. 2cm
B.
C. 4cm
D.
6. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，直角边，现将△BCD沿CD折叠，点B 恰好落在AB的中点E处，则图中阴影部分的面积为
A. 2 ( )
B. C. D.
7.如图，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿对角线BD翻折，点C
落在处，AD与BC′交于点E，连接AC′，则AC′：BD为
( )
A. B. C. D.
8.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且，将矩形沿直线EF 折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，有下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①④
9.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点上．若AB=16，BC=32，则BF的长为( )
A. 15
B.
C. 16
D. 17
10. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE
折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．若，则( )
A. B. C. D.
11.如图，折叠直角三角形纸片ABC的直角∠C，使点C落在斜边AB上的点E处，已知
，∠B=30°，则DE的长为( ) A. B.
C. D.
12. 如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为
( )
A. B. C. D. 6
13. 如图，在矩形ABCD中，，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在AD边的
中点P处．若∠DPE=60°，则矩形的周长为( )cm．
A. B. C. D.
14.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在处，若，DE=2，
则的长为( )A. B. C.
D.
15.如图1是一个直角三角形纸片，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，将其折叠，使点C落在
斜边上的点C′处，折痕为BD，如图2，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图3，则折痕DE的长为( )
∙
∙
∙ A. 3cm B. C. 2cm D.
16. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张
纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为( )
A. 6
B.
C. 3
D.。