河北省衡水市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学四模试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B ．C ．73D 【答案】D 【解析】 【分析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又1222AF F AOF S S ab ∆===V a 的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得2b =，12AF F S ab ∆==a ∴=3e ∴==. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.2．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n nn a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根, 所以1αβ+=,1αβ=-,因为n nn a αβ=+,所以111n n n a αβ+++=+()()n n n n n n αβααβββααβ=+++-- ()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+ ()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和, 又11a αβ=+=,()222223a αβαβαβ=+=+-=, 所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=, 以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确; 若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由11a =,23a =,依次计算可知,数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力. 3．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B . 【详解】依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-. 【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.4．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y ++-==.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．5．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差【答案】C【解析】【分析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲 4 5 4 5 4 5乙 3 4 3 3 5 4由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A．438π+B．238π+C．434π+D．834π+【答案】A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为21311434234238323Vππ=⨯⨯⨯⨯=+故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7．已知数列{}n a的通项公式为22na n=+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记nb为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【详解】由题意，设每一行的和为i c 故111()...(21)2i n i i i i n i a a nc a a a n n i +-++-+=+++==++因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021故选：D 【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-r r ，且a b ⊥r r，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】因为(1,2),(2,2)a b λ==-r r ，且a b ⊥r r ，·22(2)0a b λ=+-=rr ，本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 9．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 1C ．2D 1【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 11）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨==，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 1）p ，2c ＝p ，∴离心率eca ===1， 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3C x y +-='交于M,N 两点,若||MN =,则MNF V 的面积为( )A B ．38C D由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，3p =， ∴3(,0)F ，11333228FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．11．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．12．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断： ①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数； ②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数； ④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数 ⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x …． 那么正确论断的编号是（ ） A ．③④ B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数()g x 的奇偶性并证明. 【详解】当()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 是奇函数时，则()()f x f x -=-，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 为非奇非偶函数时，例如：()5f x x =+， 则()27f-=，()23f -=，此时(2)0g ->，故⑥错误；故③④正确. 故选：A 【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(四)文科数学试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（四）数学（文科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数12,z z 在复平面内对应点的坐标分别为(2,1)，(0,1)-，则12z z ⋅=（ ）A. 2i +B. 12i -C. 12i --D. i - 【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义可得122,z i z i =+=-，再利用复数相乘，即可得到答案； 【详解】122,z i z i =+=-，∴12())122(z i i z i ⋅=⋅-=-+，故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的乘法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知集合{}2|0,{|1}A x x B y y =>=>，则AB =（ ） A. RB. (0,)+∞C. [0,)+∞D. (,0)(0,)-∞+∞ 【答案】D【解析】【分析】直接根据集合的并集运算，即可得到答案； 【详解】{}{}2|0|0,{|1}A x x x x B x x =>=≠=>，∴A B =(,0)(0,)-∞+∞，故选：D.【点睛】本题考查集合的描述法及并集运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误．．的是（ ）A. 8月份的利润最低B. 7至9月份的平均收入为50万元C. 2至5月份的利润连续下降D. 1至2月份支出的变化率与10至11月份支出的变化率相同【答案】C【解析】【分析】根据收入和支出图中的数据，可得利润变化情况，即可得到答案；【详解】对A ，8月份利润为10万元最低，故A 正确；对B ，7-9月份的收入分别为40，50，60万元，∴平均收入为50万元，故B 正确；对C ，3月份利润相对2月份是增加了10万元，故C 不正确；对D ，1至2月份和10至11月份的支出都是增加30万元，∴变化率相同，故D 正确；故选：C.【点睛】本题考查统计中图的信息读取，考查数据处理能力，属于基础题.4.某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A. 输出1352019+++⋯+的值B. 输出1352021++++的值C. 输出1232019+++⋯+的值D. 输出1232020+++⋯+的值【答案】A【解析】【分析】 由程序框图的循环结构，可得程序功能为数列求和；【详解】1,1i S ==，3,13i S ==+，2019,1352019i S ==+++⋯+，2021i =，输出S 的值，故选：A.【点睛】本题考查利用程序框图进行数列求和，考查阅读程序框图的能力，属于基础题.5.射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001）A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.116 【答案】C【解析】【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.6.在ABC 中，点D 满足12BD CD =，则AD =（ ） A. 2AB AC -B. 2AB AC -+C. 1122AB AC +D. 2133AB AC + 【答案】A【解析】【分析】根据共线向量定理可得B 为CD 的中点，再根据向量的加法和减法法则，即可得答案；【详解】12BD CD =，∴B 为CD 的中点， ()2AD AB BD AB CB AB AB AC AB AC =+=+=+-=-，故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，求解时注意回路的选择.7.已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数x b y a +=的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的最大值为0.5，可得0,b <再根据周期2T π>，可得01a <<，即可得答案； 【详解】sin 10.5y ax b b =+≤+=，∴0.5b =-， 又2T π>，∴01a <<， x b y a +=是由函数x y a =向右平移0.5个单位得到，且x y a =单调递减，故选：D.【点睛】本题考查三角函数最值、周期、指数函数的单调性和平移问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8.双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在渐近线上，O 为坐标原点，且||||OP OF =，则OPF △外接圆的面积是（ ）A. πB. 43πC. 2πD. 163π 【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线，结合||||OP OF =可得三角形为正三角形，再利用正弦定理可得外接圆的半径，最后利用圆的面积公式，即可得答案；【详解】双曲线的渐近线为y =，∴60POF ∠=，||||OP OF =，∴OPF △的边长为2c =的等边三角形， ∴22sin 60r r =⇒= ∴243S r ππ==， 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、正弦定理求外接圆的面积，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9.已知0a >，0b >，则“4a b +≥”是“4ab ≥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别作出条件4a b +≥和4ab ≥所表示的平面区域，再根据集合的关系，即可得答案；【详解】作出条件4a b +≥和4ab ≥所表示的平面区域，如图所示：设直线条件4a b +≥所表示的区域为集合A ，条件4ab ≥所表示的区域为集合B ，∴B 是A 的真子集，∴4a b +≥推不出4ab ≥，而4ab ≥可推出4a b +≥，∴“4a b +≥”是“4ab ≥”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查条件所表示的区域问题及利用集合间的关系判断必要不充分条件，考查数形结合思想的应用.10.函数2()2sin sin 21f x x x ωω=+-的图象向左平移4π个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则正实数ω的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 6 【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数()2)4f x x πω=-，再根据平移后的图象与原图象有相同的对称轴，可得*,24T k k N π⋅=∈，再利用周期公式，即可得答案； 【详解】21cos 2()2sin sin 212sin 212)24x f x x x x x ωπωωωω-=+-=+-=-，图象向左平移4π个单位长度后，与原图象有相同的对称轴， ∴*,24T k k N π⋅=∈，∴*2,k k N ω=∈， ∴ω的最小值为2，故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换、辅助角公式、三角函数的平移变换和图象性质，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时对平移变后图象的理解是解题的关键.11.如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D ．把ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C ．翻折过程中，有下列三个结论：①1DE A C ⊥；②存在某个位置，使1A E BE ⊥；③若12CF FA =，则BF 的长是定值．其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③ 【答案】B【解析】【分析】根据翻折前后垂直的不变量，及排除法和反证法，即可得答案；【详解】对①，ED AC ⊥于D ，∴11,,DE A D DE CD A D CD D ⊥⊥⋂=，∴DE ⊥平面1A CD ， ∴1DE A C ⊥，故①正确；对②，假设存在某个位置，使1A E BE ⊥，CE BE ⊥，1CE A E E ⋂=，∴BE ⊥平面1A CE ，1A C BE ⊥，又由①知1DE A C ⊥，∴1A C ⊥平面ABC ，∴12ACD π∠=，∴1A D CD >，这显然是不可能的，故假设错误，故②错误；利用排除法，可得B 正确；故选：B.【点睛】本题考查立体几何中图形的翻折问题、线面、面面的垂直关系问题，考查空间想象能力，求解时注意翻折前后的不变量.12.若函数ln(1)2,0,()1,0.x ax x f x x a x x +-->⎧⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为(1)f -，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. 10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. [),e +∞ 【答案】C【解析】【分析】分别求出函数()f x 在0x >和0x <的最大值，再由函数的最大值为(1)f -，可得关于a 的不等式，解不等式即可得答案；【详解】当0x >时，()ln(1)2f x x ax =+--，'1()1f x a x =-+， 若0a ≤，则'()0f x >在0x >恒成立，∴()f x 在(0,)+∞，且x →+∞时，()f x →+∞，∴函数的最大值不可能为(1)f -，∴0a >，当'()0f x >时，得101x a <<-，当'()0f x <时，11x a>-， ∴()f x 在1(0,1)a -单调递增，在1(1,)a-+∞单调递减， ∴max 1111ln 12l ()()()n 3a a a a a f ax f --==--=-+-， 当0x <时，11()[()]2(1)f x x a x a a f x x=++=--++≤-+=--， ∴1ln 32ln 1a a a a a e -+-≤-+⇒≥-⇒≥， 故选：C.【点睛】本题考查分段函数的性质、导数研究函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分段函数的最值的概念.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数3x y =的图象在0x =处的切线方程为________．【答案】(ln 3)+1y x =【解析】【分析】对函数进行求导，求得'(0)y 的值，再利用斜截式方程，即可得答案； 【详解】'n 33l x y =，∴'3(0ln )y k ==，切点坐标为(0,1)，∴函数3x y =的图象在0x =处的切线方程为(ln 3)+1y x =，故答案为：(ln 3)+1y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，考查运算求解能力，求解时注意3x 的导数求解是解题的关键.14.过点的直线l 被圆228x y +=截得的弦长为4，则l的方程为________． 【答案】40x +-=【解析】【分析】设直线l 的方程为(1)y k x -=-，再利用弦长为4，可得圆心到直线的距离，从而求得k 的值，即可得答案；【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x -=-，即0kx y k --=，42d =⇒=，∴23k =⇒=-∴l 的方程为40x +-=，故答案为：40x +-=.【点睛】本题考查直线与圆相交的弦长公式、点到直线的距离公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为________．【答案】206π+ 【解析】 【分析】通过几何体的三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，再根据三视图中的数据，分别求出两个半圆柱侧面积，上下底面面积，两个长方形面积，再相加即可得答案； 【详解】三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，两个半圆柱侧面积：111(23)3(22)31522S πππ=⋅⋅+⋅⋅=， 上下底面面积：222112(32)522S πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅=，两个长方形面积：32(13)6S =⋅⋅=，∴该几何体的表面积为123206S S S S π=+=++，故答案为：206π+.【点睛】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意运算的16.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos 2cos 0a B b A +=，则tan tan AB=_______，tan C 的最大值是________． 【答案】 (1). 2-(2). 4【解析】 【分析】（1）由cos 2cos 0a B b A +=可得tan A 与tan B 的关系，即可求得tan tan AB的值；（2）利用诱导公式将tan C 用tan A 、tan B 表示，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】cos 2cos 0a B b A +=，∴sin cos 2sin cos 0sin cos 2sin cos tan 2tan A B B A A B B A A B +=⇒=-⇒=-， ∴tan 2tan AB=-； ∴tan tan 1tan t 1tan t n an(n )12a ta tan A B BC A B A B B +⋅+=+=--=- 由于求tan C 的最大值，只需考虑tan 0B >的情况，所以41t tan t n an 1a 2B BC ==+≤，等号成立当且仅当n 21tan ta B B=. 故答案为： 2-；4. 【点睛】本题考查正弦定理、诱导公式、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用基本不等式求最值，要考虑等号成立的条件.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的公差为1-，数列{}n b 满足1212,4,2n n n b b b b a +===+． （1）证明：数列{}n b n -是等比数列；（2）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得2020n S >的最小正整数n 的值． 【答案】（1）证明见解析（2）最小正整数n 的值为10．【分析】（1）根据等比数列的定义，证明1(1)n n b n b n+-+-为常数，即可证得结论；（2）利用分组求和法求出n S ，再根据数n S 的单调性，即可求得使不等式成立的最小正整数n 的值； 【详解】（1）证明：∵12n n n b b a +=+∴当1n =时，2112b b a =+即144a =+，∴10a = ∴0(1)(1)1n a n n =+-⋅-=-+ ∴121n n b b n +=-+，∴()12(1)21(1)2n n n n n n b n b n b n n b n b n b n+--+-+-+===---又11211b -=-=，∴{}n b n -是以1为首项，2为公比的等比数列 （2）由（1）1222n n n b n --=⋅=，∴2n n b n =+∴()2(12)222n n S n =+++++++21(1)222222122n n n n n n++-⋅+=+=+--∵91010672020,21012020S S =<=>且{}n S 为递增数列 ∴使得2020n S >的最小正整数n 的值为10．【点睛】本题考查数列递推关系、通项公式、求和等基础知识：考查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想.18.为了检测生产线上某种零件的质量，从产品中随机抽取100个零件，测量其尺寸，得到如图所示的频率分布直方图．若零件尺寸落在区间(2,2)x s x s -+之内，则认为该零件合格，否则认为不合格．其中x ，s 分别表示样本的平均值和标准差，计算得15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）已知一个零件的尺寸是100cm ，试判断该零件是否合格；（2）利用分层抽样的方法从尺寸在[30,60) 的样本中抽取6个零件，再从这6个零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm 的概率． 【答案】（1）该零件不合格．（2）35【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，计算出(2,2)x s x s -+的区间，再判断100cm 是否属于区间内，即可得答案； （2）记这6个零件编号为：,,,,,a b c A B C ，再列出从这6个零件中随机抽取2个的基本事件，记事件D 为：“选出的2个零件中恰有1个尺寸小于50cm ”，计算事件D 包含的基本事件，利用古典概型计算概率，即可得答案；【详解】（1）记各组的频率为(1,2,,7)i p i =，依题意得12340.05,0.1,0.15,0.3p p p p ====， 5670.2,0.15,0.05p p p ===∴350.05450.1550.15650.3750.2850.15950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯66.5=∴266.53036.5,266.53096.5x s x s -=-=+=+= 而10096.5>，故该零件不合格． （2）记前三组抽取的零件个数分别为,,x y z ∴60.050.10.150.3x y z ===，∴1,2,3x y z ∴抽取出的6个零件中尺寸小于50cm 的有3个．记这6个零件编号为：,,,,,a b c A B C （其中,,a b c 为尺寸小于50cm 的） 记事件D 为：“选出的2个零件中恰有1个尺寸小于50cm ”∴从这6个零件中随机抽取2个的基本事件有：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a A a B a C b c b A b B b C c A c B c C ,{,},{,},{,}A B A C B C 共15个．则事件D 包含的基本事件有：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a A a B a C b A b B b C c A c B c C 共9个∴93()155P D == ∴这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm 的概率为35． 【点睛】本题考查频数分布直方图、分层抽样等基础知识、古典概型的概率计算，考查数据处理能力，运算求解能力，求解时注意列出所有等可能结果.19.如图，在五面体ABCDEF 中，AB ⊥平面ADE ，EF ⊥平面ADE ，2AB CD ==．（1）求证：//AB CD ；（2）若2AD AE ==，且二面角E DC A --的大小为60°，求四棱锥F ABCD -的体积． 【答案】（1）证明见解析（2）43F ABCD V -= 【解析】 【分析】（1）由两条直线同时垂直平面得两直线平行，再利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行； （2）取AD 中点O ，连接OE ，根据二面角的定义得到60ADE ︒∠=，则E 到面ABCD 的距离3EO =，再利用四棱锥的体积公式，即可得答案；【详解】（1）∵AB ⊥面ADE ，EF ⊥面ADE ，∴//AB EF 又EF ⊂面CDEF ，AB ⊄面CDEF ，∴//AB 面CDEF 又AB面ABCD ，面ABCD面CDEF CD =，∴//AB CD（2）取AD 中点O ，连接OE∵AB ⊥面ADE ，,DA DE ⊂面ADE ，∴AB DA ⊥，AB DE ⊥． ∵//AB CD ，∴CD DA ⊥，CD DE ⊥． 又DA ⊂面ABCD ，DE ⊂面CDEF ，且面ABCD 面CDEF CD =．∴二面角A DC E --的平面角60ADE ︒∠=．又ADE 中，2AD AE ==，∴ADE 是边长为2的正三角形 ∴332EO AE ==，⊥EO AD ， ∵AB ⊥面ADE ，∴AB EO ⊥ 又AD AB A ⋂=，∴EO ⊥面ABCD 即E 到面ABCD 的距离3EO =∵//EF AB ，EF ⊄面ABCD ，AB面ABCD ，∴//EF 面ABCD ．∴F 到面ABCD 的距离即为E 到面ABCD 的距离 在四边形ABCD 中，//,,AB CD AB CD AB DA =⊥， ∴矩形ABCD 的面积224S =⨯= ∴1433F ABCD V S EO -=⨯⨯=【点睛】本题考查线面平行性质定理、线面垂直性质定理、棱锥体积求解，考查转化与化归思想，考查逻空间想象能力、运算求解能力.20.设O 为坐标原点，动点M 在圆22:4C x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点E 满足3ED MD =． （1）求点E 的轨迹Γ的方程；（2）直线4x =上的点P 满足OM MP ⊥．过点M 作直线l 垂直于线段OP 交C 于点N ． （ⅰ）证明：l 恒过定点；（ⅱ）设线段OP 交Γ于点Q ，求四边形OMQN 的面积．【答案】（1）22143x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）设(,),(,)E x y M a b ，则(, 0)D a ，根据向量关系坐标化可得,2x a y b =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去,a b 可得轨迹Γ的方程；（2）（ⅰ）设(4,),(,)P p M a b ，根据直线垂直，向量的数量积为0可得：44a pb +=，设直线l 方程为4()y b x a p-=--，化简即可得到直线过定点坐标； （ⅱ）根据直线与圆相交的弦长公式求出||MN ，||OQ ，再根据对角线相乘的半，求得四边形的面积. 【详解】（1）设(,),(,)E x y M a b ，则(, 0)D a∵3ED MD =，又(,)ED a x y =--，(0,)MD b =-， ∴,x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩又224a b +=，∴22443y x +=，化简得点E 的轨迹Γ方程为22143x y +=（2）（ⅰ）设(4,),(,)P p M a b ，∵OM MP ⊥，∴2240OM MP a a pb b ⋅=-+-= 又224a b +=，∴44a pb += ①又直线l 过点M 且垂直于线段OP ，故设直线l 方程为4()y b x a p-=-- 化简得440x py bp a +--=，又由①式可得44x py +=，所以l 恒过定点(1,0) （ⅱ）直线l 为44x py +=，交圆C 于,M N 两点 则圆心到直线的距离为d =，∴弦长||MN====又直线OP为4py x=，由2243412py xx y⎧=⎪⎨⎪+=⎩得224812Qxp=+，故||QOQ x===∴1||||2OMQNS OQ MN=⋅⋅=OMQN的面积【点睛】本题考查轨迹方程、直线过定点、弦长公式、四边形的面积，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．21.已知函数()ln1()af x x a Rx=-+∈．（1）讨论()f x的单调性；（2）当*n N∈时，证明：22211ln(11)ln1ln1224nn n⎛⎫⎛⎫++++++>⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）分类讨论，见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导得2()x af xx-'=，再对a分成0a≤和0a>两种情况讨论，分别得到函数的单调性；（2）令1a=，由（1）可得：()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则1ln1xx≥-，再令11xn=+同时不等式两边进行平方，结合放缩法，可证得不等式.【详解】（1）()f x的定义域为(0,)+∞221()a x af xx x x-'=-=，①当0a≤时，2()0x af xx-'=≥，则()f x在(0,)+∞上单调递增；②当0a>时，由2()0x af xx'-=>得x a>，故()f x在(,)a+∞上单调递增；由2()0x af xx-'=<得x a<，故()f x在(0,)a上单调递减；（2）令1a=，由（1）可得：()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则1ln10xx-+≥，即1ln1xx≥-令11x n =+，则111ln 11111n n n⎛⎫+≥-= ⎪+⎝⎭+，∴2211ln 1(1)n n ⎛⎫+≥ ⎪+⎝⎭ 又21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++∴22222211111ln (11)ln 1ln 1223(1)n n ⎛⎫⎛⎫++++++>+++⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭1112334(1)(2)n n >+++⨯⨯+⨯+1111112334(1)224nnn n =-+-++-=+++∴命题得证【点睛】本题考查函数单调性的讨论、不等式的证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．（二）考题：共10分请考生在第223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分． [选修44，坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的方程为(y k x =-，直线2l 的参数方程为,1x t y tk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的普通方程；（2）过(0,2)Q 的直线l 与C 相交于,A B 两点，求11||||QA QB +的取值范围． 【答案】（1）223(x y x +=≠（2）114||||QA QB ⎛⎤+∈⋃ ⎥ ⎝⎭⎝⎦【解析】 【分析】（1）将直线2l 的参数方程化成普通方程，再联立两条直线方程，消去参数k ，即可得到C 的普通方程； （2）设直线l 的参数方程为cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），根据参数的几何意义，即可得答案；【详解】（1）直线2:1x t l y tk ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩消去参数t得1(y x k =-+，① 因为直线1l的方程为(y k x =-，②所以由①×②得，C的普通方程223(x y x +=≠． （2）直线l 的参数方程为cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．将cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入223x y +=得24sin 10t t α++=，所以124sin t t α+=-，121t t ⋅=， 由216sin 40α∆=->得1|sin |2α>且sin α≠，所以121211|4sin |||||t t QA QB t t α⎛⎤++==-∈⋃ ⎥⋅⎝⎭⎝⎦． 【点睛】本题考查普通方程、参数方程的互化、直线参数方程的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．[选修45：不等式选讲]23.已知函数3()|3|2f x x x =---． （1）解不等式1()2f x ≥； （2）若142(,0)m n m n+=>，求证：()f x m n ≤+． 【答案】（1）{|1}x x ≥（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法讨论绝对值内数的正负，解不等式，即可得答案； （2）根据绝对值不等式可得339|3|3222x x x x +--≤+-+=，再利用基本不等式可得m n +的最小值为92，从而证明不等式成立.【详解】（1）原不等式可化为：31|3|22x x +--≥， 当32x ≤-时，不等式31322x x --+-≥，无解； 当332x -<<时，不等式31322x x ++-≥，解得1x ≥，故13x ≤<； 当3x ≥时，不等式31322x x +-+≥，解得x ∈R ，故3x ≥， 综上，不等式的解集为{|1}x x ≥；（2）因为3()|3|2f x x x =+--，所以339|3|3222x x x x +--≤+-+=， 当且仅当3(3)02x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，且3|3|2x x +≥-时，取得等号， 又142(,0)m n m n+=>，所以1141419()14(14)2222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当922m n ==时，取得等号，故92m n +≥， 所以()f x m n ≤+成立．【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意等号成立的条件的运用.。
河北省衡水市2021届新高考数学一模试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =-<<，从而可得体积()222114466E ABC V x x x x -=-=- 【详解】因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==， 设AC x =，则)2402BC x x =-<<，所以211422ABC S AC BC x x ∆=⋅=- 以()222114466E ABCV x x x x -=-=-又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即2x 时等号成立，所以()max 13E ABC V -=. 故选：B ． 【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值． 2．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π【答案】D 【解析】 【分析】根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形， 所以AM BC ⊥， 又因为PA BC ⊥，且PAAM A =，所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥， 由三线合一性质可知,PB PA PC ==所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，43,AB =25,PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O '， 可得226433AO AM '==⨯=，2220162PO PA AO '=-'=-=， 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ， 在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'， 即()22162R R =+-， 解得5R =，所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.3．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.4．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 5．已知函数()3cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x=+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()3sin cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得233f m π⎛⎫=+⎪⎝⎭23322m m +=+1m =，所以()3sin cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题6．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是3y x =，则双曲线的离心率为（ ）AB．CD【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程是1y x a=±，所以1a =1a b == ，2224c a b =+= ，即2c =，c e a == D. 7．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（） A B ．4C ．2D【答案】A 【解析】 【分析】由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示出1AF ，2AF ，用勾股定理得出,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒.又2245BF AF =，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=, 由2221212BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，c ，∴该双曲线的离心率13ce a==. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.9．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．1【答案】B 【解析】 【分析】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案. 【详解】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF. 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ， 所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HFAD ==.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH⊥平面ABE ，所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，21sin EF θ=+.因为1122EHFSEF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅，所以21sin sin h θθ⋅+=， 所以22sin 12211sin 1sin h θθθ==≤++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133E ABCD V -=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.10．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z =A ．1B ．5C ．5D ．55【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由15z z ⋅=可得15z z =，所以15555||2i ||||5z z +====，故选B ． 11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113 B ．4 C ．133D ．5【答案】B 【解析】 【分析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【详解】如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121242222422222423232=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 12．双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于()A ．B．2C．3 D．6【答案】A【解析】【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r ＝.答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2021届高三上学期新高考四调考试数学(理)试题含答案
衡水中学2020－2021学年度高三年级上学期四调考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2og 1{|l }A x x =<，集合{|B y y ==，则A B ⋃=（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,2C ．()0,2D ．[)0,+∞2．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若双曲线()2210mx ny m +=>mn=（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．－44．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2D 5．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，12BC AC =．根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A B ． C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．2D ．8．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x R ∈恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()10f ef >，()20202020f e < B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点()1,2M ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为()2,0、()2,0-B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．||AB =10．设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b +B ．21a b +的最小值为2C ．12a b +的最小值为94D ．111b a a b +≥++11．已知函数()sin cos |sin cos |f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ）A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()124f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数()f x 的最小值为－212．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α、下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C ．点M 为1CC ；的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设,a b 为单位向量，且|1rra b -=，则|2|a b -=__________．14．已知数列{}n a 满足21,1log (3),2,*n n n a n n n N +=⎧=⎨+≥∈⎩，定义使123)(*a a a k N ⋅⋅∈为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[]1,2020内所有“幸福数”的和为__________．15．关于x 的方程ln 1xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围__________． 16．设双曲线222116x y b -=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程__________；M 在曲线E 上，点()8,0A ，()5,6B ，则1||||2AM BM +的最小值__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，4n n a S +=，设2log n n b a =（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由． （2）求数列21211n n b b -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18．在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos222CC -+=③()sin sin sin a A B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，1sin sin 4A B +=，2c =，__________，求角C 及ABC △的面积S ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点．（1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点(F ，椭圆的两顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，M 为椭圆上除A ，B 之外的任意一点，直线MA ，BM 的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k 的直线不经过P 点且与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线PE ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=-，试问直线l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点M ，N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．22．已知函数()ln x f x ae x =，（其中 2.71828e =…是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案详解1．D解：∵{}2log 1A x x =<{}02x x =<<，{B y y =={}0y y =≥，∴[0,)AB =+∞，故选：D ．2．D依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(),1,122a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭． 圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．故选D ．本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。
河北省衡水市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析
河北省衡水市2021届新高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.2．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( )A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根【答案】A【解析】【分析】只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是“任意0m >，使方程20x x m +-=无实根”.故选：A【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.3．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．1627【答案】B【解析】【分析】根据循环语句，输入1x =，执行循环语句即可计算出结果.【详解】输入1x =，由题意执行循环结构程序框图，可得：第1次循环：23x =，24i =<，不满足判断条件； 第2次循环：89x =，34i =<，不满足判断条件； 第4次循环：3227x =，44i =≥，满足判断条件；输出结果3227x =. 故选：B【点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.4．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=I ，则“m ⊥n ”是“m ⊥l”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】 构造长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m ，n 即可进行判断．【详解】如图，取长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，直线AD =直线l 。
2021届河北衡水中学新高考仿真考试(四)数学(理)试题
2021届河北衡水中学新高考仿真考试（四）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.复数241i i i z i-++=-，则复数z =（ ）A.12B.2C.D.32【答案】B 【解析】 【分析】由21i =-可得2411i i i iz i i-++-==--，然后由复数的除法可得出答案. 【详解】由21i =-可得()()()241111112i i i i i i iz i i i i -+-++--====---+,所以2z == 故选：B【点睛】本题考查复数的运算，求复数的模长，属于基础题.2.若全集U =R ，集合(){}|lg 6A x y x ==-，{}|21xB x =>，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. ()2,3B. (]1,0-C. [)0,6D. (],0-∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域和指数函数单调性得到集合,A B ，阴影部分表示的集合是UB A ，计算得到答案.【详解】(){}{}|lg 66A x y x x x ==-=<，{}{}210xB x x x ==>，阴影部分表示的集合是(]()(]U,0,6,0B A =-∞-∞=-∞.故选：D.【点睛】本题考查了函数定义域，解不等式，集合的交集，补集运算，韦恩图，意在考查学生的计算能力和应用能力.3.已知数列{}n a 是等比数列，312a =，56116a a a =，则9a =（ ） A. 242 B. 48 C. 192 D. 768【答案】B 【解析】 【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】23112a a q ==，56116a a a =，即4510111.6a q a q a q =，解得16a q =，32q =，8991648a a q q ===.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4.ABC 中，D 是BC 边的中点，3AB =，4AC =，则AD BC ⋅=（ ）A. 0B. 72-C.72D.252【答案】C 【解析】 【分析】根据中点得到()12AD AB AC =+，代入计算得到答案. 【详解】D 是BC 边的中点，则()12AD AB AC =+， ()()()()22221117432222AB AC AC AB A C C B AD B A =+⋅-=-=-=⋅.故选：C.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定()12AD AB AC =+是解题的关键.5.为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为A 校、B 校、C 校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、A 校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（ ）A. 测试成绩前200名学生中A 校人数超过C 校人数的2倍B. 测试成绩前100名学生中A 校人数超过一半以上C. 测试成绩前151—200名学生中C 校人数最多33人D. 测试成绩前51—100名学生中A 校人数多于B 校人数 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算判定选项A 、B 一定正确；计算前1—150名学生中A 校人数和B 校最多可能的人数，得到C 校最少可能的人数，得前151—200名学生中C 校人数最多可能值，判定选项C 一定正确；考虑到这200名学生中B 校学生总数为68人，至多有可能会有25人在151—200名之间，可以判定选项D 不一定正确.【详解】前200名学生中A 校人数20046%92⨯=人，C 校人数20020%40⨯=人，92402=80>⨯,故A 一定正确；前100名学生中A 校人数约为292554+=人，超过半数的50人，故B 一定正确；成绩前150名以内的学生中A 校人数约为29252175++=人，B 校人数最多全在这个范围，有34%20068⨯=人,所以C 校至少有15075687--=人，又∵成绩前200名学生中C 校人数为40人，所以C 校至多有407-=33人测试成绩前151—200名之间，故C 一定正确；测试成绩前51—100名学生中A 校人数约为25人，这200名学生中B 校学生总数为20034%68⨯=人，有可能也有25人在51—100名之间，故D 不一定正确， 故选：D.【点睛】本题考查饼图和条形图的应用，涉及最多可能与最少可能的极端思维策略，涉及频率与频数的计算，考查计算能力和逻辑推理能力，属中档题.6.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如：函数()21x x f x e =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性排除A ，取特殊值排除BC 得到答案.【详解】()21x x f x e =-，()()21xx f x f x e --=≠-，函数不是偶函数，排除A ； 当x →+∞时，()0f x →，排除BC ； 故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，取特殊值排除是解题的关键. 7.运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为35，则判断框中可以填（ ）A. 4?i ≥B. 5?i ≥C. 6?i ≥D. 7?i ≥【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图一步一步执行，即可得到答案.【详解】1,1,1i n S ===，进入判断框，执行循环体；2,3,4i n S ===，进入判断框，执行循环体； 3,6,10i n S ===，进入判断框，执行循环体； 4,10,20i n S ===，进入判断框，执行循环体；5,15,35i n S ===，进入判断框，终止循环，输出S 的值；∴判断框中可以填5?i ≥. 故选：B.【点睛】本题考查补全程序框图中的条件，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.8.已知()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数，若132a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，b f⎛=- ⎝，()c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】C 【解析】 【分析】依据()f x 是奇函数可知()122⎛⎫=-= ⎪⎝⎭b f f ，然后利用换底公式比较2，3大小关系，紧接着使用()f x 的单调性，可得结果. 【详解】由题可知：函数()f x 是奇函数， 所以()2⎛=-= ⎝b f f 32log 4=，3331log 3log 4log 92=<<= 22log 9log 83=>=，1302102-<=<所以13322->>所以()1332-⎛⎫⎛>-> ⎪ ⎝⎝⎭f f f 即c b a >> 故选：C【点睛】本题考查利用函数的单调性比较式子大小，对于没有明确的函数解析式，却要比较式子大小，常需要考虑使用函数单调性比较大小，考验分析能力，属中档题.9.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若PA ⊥平面ABC ，2PA BC ==，1sin 3BAC ∠=，则球O 的表面积为（ ）A.B.172π C. 80π D. 40π【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理得到3r =，根据2222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】设ABC 外接圆半径为r ，根据正弦定理：2621sin 3BC rBAC ===∠，故3r =，设球O 的半径为R ，则222102PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故2440S R ππ==.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，球的表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10.设函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 717,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 717,36⎛⎤⎥⎝⎦C. 717,36⎛⎫⎪⎝⎭D. 717,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】 计算得到,2333x ππωπωπ⎡++⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据零点个数得到5263ππωππ≤+<，解得答案. 【详解】[]0,2x π∈，则,2333x ππωπωπ⎡++⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点， 则5263ππωππ≤+<，解得71736ω≤<. 故选：A.【点睛】本题考查了根据三角函数的零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.11.已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为2F ，A 和B 为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限.连结2AF 并延长交E 于P ，连结2BF ，PB ，若2BF P △是以2BF P ∠为直角的等腰直角三角形，则双曲线E 的离心率为（ ）A. 5B.5C.102D. 10【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接有关各点，根据题意可设221BF PF n AF ===,12AF BF 为矩形,根据双曲线的定义得到22AF n =-,12PF n a =+,2,2OA OF c AB c ===, 在2RtABF 和1RtAPF 中，利用勾股定理列出方程组，消去n 得到得到,a c 的关系，进而求得离心率.【详解】如图所示，连接有关各点，根据题意可设221BF PF n AF ===,12AF BF 为矩形，且22AF n a =-,12PF n a =+,2,2OA OF c AB c ===,在2Rt ABF 和1Rt APF 中，()2224(1)2,n n a c +-=()()222(222)2n n a n a +-=+，由（2）化简得3n a =，代入（1）化简得2210104,c a c e a ===， 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，涉及双曲线的定义，双曲线的对称性，利用双曲线有两个焦点的性质，利用对称性，和已知条件分析得到12AF BF 为矩形，考查转化求解能力，属中高档题. 12.已知数列{}n a 中的前n 项和为n S ，1(1)262nn n n S a n =-++-，且1(1)0n n a λ++⋅->对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A. 723,44⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 232,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 7,64⎛⎫-⎪⎝⎭D. 232,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，分两种情况求出通项公式，分两种情况讨论不等式恒成立，然后求其交集即可.【详解】解：1n =，1111726,24a a a =-++-=-， 2n ≥时，()()()()()111111112612162211122nn n n n n n n n nnn n n a S S a n a n a a -----=-=-++------+=-+--+若n 为偶数，1122n n a -=-，1122n n a +∴=-（n 为奇数）， 若n 为奇数且3n ≥，则11111112222262222n n n n n n a a -+-⎛⎫=--+=---+=- ⎪⎝⎭， 所以162n n a =-（n 为偶数）， n 为奇数时，()110,n n n a a λλ++⋅->>-，此时1122n n a +=-，11222n n a +-=-<，所以2λ≥， n 为偶数时，()110,n n n a a λλ++⋅-><，此时2112366224n n a =-≥-=，所以234λ<， ()110n n a λ++⋅->对任意n *∈N 恒成立，2324λ≤<， 故选：B【点睛】已知n a 与n S 的关系，通常利用11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求n a ；数列不等式恒成立转化为求数列的最值,属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题 共90 分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.13.已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.【答案】12- 【解析】 【分析】根据函数()2ln xf x ax x=-，求导，再根据曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，由()1122f a '=-=求解. 【详解】因为函数()2ln xf x ax x=-， 所以()21ln 2xf x ax x-'=-， 又因为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行， 所以()1122f a '=-=， 解得12a =-， 故答案为：12-【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.设22cos m xdx ππ-=⎰，则二项式52m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是______.【答案】10 【解析】 【分析】先求得m ，再根据二项式定理的通项公式求得2x 的系数即可.【详解】解：因为2222cos sin sinsin 1(1)222m xdx xππππππ--⎛⎫===--=--= ⎪⎝⎭⎰所以55222m x x x x =⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的通项公式为：553155222(0,1,2,3,4,5)rr rr r rr T C xC x r x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 令532r -=，则1r =，所以展开式中2x 的系数是1522510C ⋅=⨯=.故答案为：10.【点睛】本题主要考查二项式定理和微积分基本定理，属于中档题.15.如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以BC ，AB ，AC 为直径的三个半圆组成，2BC =，点A 在弧BC 上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部分的概率是P ，则P 的最大值是______.【答案】22π+ 【解析】 【分析】设两个小半圆的半径分别为1r ，2r ，大半圆半径为R ，根据几何概型公式结合均值不等式计算得到答案. 【详解】设两个小半圆的半径分别为1r ，2r ，大半圆半径为R ，则()()()22212222R r r =+，即22212R r r =+，根据几何概型：2221212121222221212121212121112442222114242222r r r r R r r r r p r r r r r r r r r r r r πππππππππ++-==≤=++++++， 当12r r =时等号成立. 故答案为：22π+. 【点睛】本题考查了几何概型，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱1OO ，此圆柱恰好以直线1AC 为轴.有下列命题： ①圆柱1OO 的母线与正方体1111ABCD A B C D -所有的棱所成的角都相等； ②正方体1111ABCD A B C D -所有的面与圆柱1OO 的底面所成的角都相等；③在正方体1111ABCD A B C D -内作与圆柱1OO 底面平行的截面，则截面的面积3S ⎛∈ ⎝⎦；④圆柱1OO 侧面积的最大值为328π. 其中正确的命题是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正方体的特性分析可知①②正确，作出一个与圆柱底面平行的截面，举出反例得到③错误，利用几何法找出圆柱的底面半径，列式计算圆柱侧面积，结合均值不等式计算得到④正确，得到答案.【详解】如图所示：易知圆柱1OO 的母线与1AC 平行，由正方体的对称性可知1AC 与其每条侧棱间的夹角都相等，①正确；设,,,,,M N P Q S R 分别为对应棱的中点，易知,,,,,M N P Q S R 共面，易证PQ AC ⊥，1CC PQ ⊥，则PQ ⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，故1PQ AC ⊥，同理可得1RQ AC ⊥，故1AC ⊥平面MNPQSR ，又圆柱1OO 的底面与1AC 垂直，故平面MNPQSR 与圆柱1OO 的底面平行，根据正方体的特点可知，平面MNPQSR 与正方体所有侧面的夹角相同，故正方体1111ABCD A B C D -所有的面与圆柱1OO 的底面所成的角都相等，②正确； 此时截面MNPQSR 的面积为1122333362S ==>，③错误； 设圆柱底面半径为r ，则圆柱的底面必与过A 点的三个面相切，且切点分别在线段11,,AC AB AD 上，设在AC 上的切点为E ，EF 为圆柱的一条高，根据对称性知：1122AO C O r ==，则圆柱的高为322h r =-，()()232222322322223222822r r S r r r r ππ⎛⎫-+=⋅-=⋅⋅-≤= ⎪ ⎪⎝⎭， 当22322r r =-，即86=r 时等号成立，④正确. 故答案为：①②④.【点睛】本题以正方体与圆柱的综合为载体，考查了空间几何体中线面夹角、面面夹角的计算、正方体的截面等知识点，难度较大.解答时要灵活运用正方体的特点，将问题灵活转化；截面面积及最值问题难点在于分析截面的位置及形状，利用几何关系列出关于面积的表达式然后设法求出最值.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分.17.图中组合体由一个棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -和一个四棱锥S ABCD -组成（SD ⊥平面ABCD .S ，D ，1D 三点共线，2SD =），E 是1DD 中点.（1）求证：//SB 平面11EA C ；（2）点F 在棱SB 上靠近S 的三等分点，求直线EF 与平面11EA C 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2338.【解析】 【分析】（1）连接11B D ，1111B D AC O =，连接OE ，1B D ，利用平行公理可证得OE SB ，然后利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解计算.【详解】（1）证明：连接11B D ，1111B D AC O =，连接OE ，1B D ，如图1所示：111DS BB DSBB DS BB ⎫⇒⎬=⎭为平行四边形1B D SB ⇒，在1DBD △中，1OE B D ，所以OE SB , 又∵,OE ⊂平面11,AC E SB ⊄平面11AC E ， 所以SB 平面11AC E ；（2）由已知可得，建立如图2所示空间直角坐标系1D xyz -，()12,0,0A ，()10,2,0C ，()0,0,2D ，()0,0,1E ，()0,0,4S ，()2,2,2B ，12222210227,,,,,,3333333333SF SB F EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⇒⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面11EA C 的法向量(),,n x y z =，1122020x y n EC x z n EA ⎫-+=⋅⎧⎪⇒⎬⎨-=⋅⎪⎩⎭，不妨取1x =，则1y =，2z =，()1,1,2n =， 2214338333cos ,5763EF n ++=⋅=.所以，直线EF 与平面11EA C 所成角的正弦值为338.【点睛】本题考查线面平行的证明，线面角，考查利用空间向量求线面角问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属基础题.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 只能满足．．．．以下三个条件中的两个：①2cos()cos acA CB b-+=；②函数()()()sin 0f x P x A P ωω=->、的部分图象如图所示；③()cos ,3m C =，()1,2n =-，满足//m n .（1）请指出ABC 满足哪两个条件，并证明；（2）若sin sin B C <，点D 为线段AB 上的点，且2CD =，求ACD 面积的最大值. 【答案】（1）①②，证明见解析；（2）23+. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，三角恒等变换，三角函数性质，向量平行依次计算验证得到答案. （2）根据余弦定理结合均值不等式得到(423AC AD ⋅≤+，再利用面积公式得到答案.【详解】（1）①由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 得2sin sin cos()cos()2sin sin sin A CA C A C A C B--+==，sin sin 0A C ≠，故21sin 2B =，()0,B π∈，2sin B =4B π=或34B π=；②由图象得2P =，2236T πππω⎡⎤⎛⎫==--⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2ω=，22π32A k ππ⨯-=+， ()0,πA ∈,故6A π=.③//m n ，则2cos 30C =，3cos C =，()0,C π∈，故56C π=.若①③成立，则B C π+>；若②③成立，则A C π+=，不成立，所以①②成立. （2）sin sin B C <，b c <，故4B π=，所以在ACD 中，由余弦定理22242cos6CD AC AD AC AD π==+-⋅2AC AD AD ≥⋅-⋅(2AC AD =⋅，故(42AC AD ⋅≤，当且仅当AC AD =时取等.1sin 226ACD S AC AD π=⋅⋅≤△. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正余弦定理，向量平行求参数，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据.数据一：身高在[)170,180（单位：cm ）的体重频数统计数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据（1）依据数据一将上面男高中生身高在[)170180-（单位：cm ）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[)170180-（单位：cm ）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位） （2）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；（3）说明残差平方和或相关指数2R 与线性回归模型拟合效果之间关系.（只需写出结论，不需要计算）参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：（1）1454515553.6165601857538608⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）22222214515516517518551651000++++-⨯=；（3）663175116025⨯=，664175116200⨯=，665175116375⨯=；（4）728165120120⨯=. 【答案】（1）答案见解析，66.4kg ；（2）能；因为0.991r =→，线性相关很强，故可以用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关；0.72860.12y x =-；（3）残差平方和越小或相关指数2R 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好. 【解析】 【分析】（1）计算总人数得到频率，补充频率直方图并计算平均值得到答案.（2）根据0.991r =→得到线性相关很强，再利用回归方程公式计算得到答案. （3）直接根据残差平方和或相关指数2R 的定义得到答案.【详解】（1）身高在[)170,180的总人数为：206010010080201010400+++++++=，体重在[)5560-的频率为：600.15400=，体重在[)7075-的频率为：800.2400=，平均体重为：52.50.0557.50.1562.50.2567.50.2572.50.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯77.50.0582.50.02587.50.02566.4+⨯+⨯+⨯≈.（2）因为0.991r =→，线性相关很强，故可以用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关，1451551651751851655x ++++==，45756053.666.4605y ++++==，81822183860817566.45165600.7281ˆ0008i ii ii x y x ybxx ==-⋅+⨯-⨯⨯===-∑∑，600.72816560.12a y bx =-=-⨯=-，所以回归直线方程为：0.72860.12y x =-.（3）残差平方和越小或相关指数2R 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好.【点睛】本题考查了频率分布直方图，平均值的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 20.已知动圆M 经过点()0,2N ，且动圆M 被x 轴截得的弦长为4，记圆心M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的标准方程；（2）过x 轴下方一点()P m n ,向曲线C 作切线，切点记作A 、B ，直线OP 交曲线C 于点Q ，若直线AB 、OP 的斜率乘积为2-，点Q 在以AB 为直径的圆上，求点P 的坐标.【答案】（1）24x y =；（2）()22,4±-.【解析】 【分析】（1）设(),M x y ，动圆M 被x 轴截得的弦长为4，则2224r MNy ==+，从而得到答案.（2）设直线AB ：y kx b =+，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,求出过,A B 的切线方程，方程联立，结合直线AB 、OP 的斜率乘积为2-，用k 表示出点Q 的坐标，点Q 在以AB 为直径的圆上，则0QA QB ⋅=，建立关于k的方程求解即可.【详解】解：（1）设(),M x y ，则2224r MNy ==+，222(2)4x y y +-=+，即24x y =，所以曲线的标准方程为：24x y =.（2）设直线AB ：y kx b =+，211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22114,,42x y y x y x =='=， 过点A 的切线方程为：21124x x y x =-，过点B 的切线方程为：22224x x y x =-，联立2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⋅⎪=⎪⎩， 所以，点1212,24x x x x P +⋅⎛⎫⎪⎝⎭， ()1222122444404160x x kx y x kx b x x b y kx b k b ⎧+=⎪⎧=⎪⇒--=⇒⋅=-⎨⎨=+⎩⎪∆=+>⎪⎩， 所以点()2,P k b -，则又22AB OP bk k k k-=-=⨯，则4b =， 由2OP k k =-，直线OP 的方程为2y x k=-， 代入抛物线24x y =,可得2816,Q k k ⎛⎫-⎪⎝⎭，点Q 在以AB 为直径的圆上，则0QA QB ⋅=，121222881616()()()()x x y y k k k k+++--()()21212121222486416160x x x x y y y y k k k k=⋅++++⋅-++=，22212121212()848,1616x x y y k x x k y y +=++=+==，整理得()()4222280,240,k k k k k +-=-+== 所以，点P的坐标为：()4±-.【点睛】本题考查求动圆的圆心轨迹，考查抛物线的切线方程，考查点与圆的位置关系的处理，属于难题, 21.已知函数()xxf x e e -=+，其导函数为()f x '.（1）讨论函数()()f x g x x'=在定义域内的单调性；（2）已知1a >，设函数()()()22h x f x ax=-+.①证明：函数()h x 在()0,∞+上存在唯一极值点0x ；②在①的条件下，当112e e a --<<时，求()0h x 的范围.【答案】（1）减区间为(),0-∞；增区间为()0,∞+；（2）①证明见解析；②32,022e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）求导后发现'()g x 的正负由()(1)(1)xxp x x e x e-=-++决定，利用导数研究()p x 单调递增，又()00p =，从而逐层回推，得到()g x 的单调性；（2）①求得()'2xxh x e eax -=--，令()2x x x e e ax φ-=--，利用导数研究()x φ，即()'h x 单调性，利用零点存在定理得到存在()0,2x m m ∈，使得()0'0h x =，由此得到()h x 的单调性，从而证明结论；②先求得001x <<，()0h x 000011222x x x x e e -⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数研究单调性，从而得到()0h x 的取值范围.【详解】解：（1）()g x 的定义域为：()(),00,-∞⋃+∞，2(1)(1)'()x xx e x e g x x--++=， 设()(1)(1)x x p x x e x e -=-++，则()()'x x p x x e e -=-，当0x >时，()'0p x >；0x <，()'0p x >，所以，()p x 单调递增，又()00p =，所以(),0-∞上)'(0g x <，()0,∞+上'()0g x >所以，()g x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,∞+；（2）①()22()()22x x h x f x ax e e ax -=-+=+--，()'2x x h x e e ax -=--，令()2x x x e e ax φ-=--，则()'2x x x e e a φ-=+-令()'0x φ=，2210x x e ae -+=，由0x >，e 1x >，(ln m a =，所以，()x φ在()0,m 递减；()x φ在(),m +∞递增.即：()'h x 在()0,m 递减；()'h x 在(),m +∞递增. 又()()022'(2)22202x m m m m m m m h m e e a m e e e e m a e e ----⎫=--⇒+-->⎬=-⎭， 所以，存在()0,2x m m ∈，使得()0'0h x =，从而有，()h x 在()00,x 递减；()'h x 在()0,x +∞递增，()h x 在定义域内有唯一的零点.②证明：()()00100'2022,x x h x e e ax a e e --=--=⇒∈-，()0000x x e e g x x --=在()0,∞+递增，()11g e e -=-， 所以，001x <<，()000000220000222x x x x x x e e h x e e ax e e x x ----=+--=+--000011222x x x x e e -⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()112(01)22xx x x k x e e x -⎛⎫⎛⎫=-++-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)(1)'()02x x e x e x k x ---+=<， ()k x 在()0,1递减，则()0h x 的取值范围为：32,022ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，求取值范围问题，难度较大，关键难点在于多次求导和结合相关函数的零点判定有关单调性和取值范围，考查推理、计算能力.（二）选考题：共10分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线l 倾斜角），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+. （1）写出直线l 和曲线1C 的普通方程； （2）若点()1,0P ，直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，且PA PB PA PB ⋅=-，求tan α.【答案】（1）l ：1x =或()tan 1y x α=⋅-，22:12x C y +=；（2）【解析】【分析】（1）当2πα=时，直线l 的方程为：1x =，当2πα≠时，联立消去t 即可得到答案；由222x y ρ=+，sin ,cos x y ρθρθ==直接将极坐标方程化为直角坐标方程.（2）设在直线上A ，B 两点的参数分别为12,t t . 将直线l 的方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=，得到12t t +，12t t ⋅的表达式，然后利用直线上参数的几何意义，由可得1212PA PB PA t t B t t P =⋅==+-⋅【详解】解：（1）当2πα=时，直线l 的方程为：1x =， 当2πα≠时，直线l 的方程为：()tan 1y x α=⋅-；222222222sin 221sin x y y ρρρθθ=⇒+=⇒++=+， 即：2212x y +=. （2）设在直线上A ，B 两点的参数分别为12,t t .将直线l 的方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=得： ()221sin 2cos 10t t αα++-=， 2480b ac ∆=-=>，1222cos 1sin t t αα+=-+，12211sin t t α⋅=-+， 所以12,t t 符号相反，则12PA PB t t -=+PA PB PA PB ⋅=-得1212222cos 11sin 1sin t t t t ααα+=-=⋅=-++，所以，1cos tan 2αα=±⇒=【点睛】本题考查直线的参数方化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程与椭圆联立韦达定理和直线上参数的几何意义的应用，属于中档题,23.已知函数()223x x x f =-+. （1）若,a b R +∈，且2a b +=，求()()f a f b +的最小值；（2）若2x a -<，求证：()()()42f x f a a -<+.【答案】（1）4；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）计算得到()()62f a f b ab +=-，再根据均值不等式得到最值.（2）代入计算利用绝对值三角不等式计算得到证明.【详解】（1）222()()2()6()2262f a f b a b a b a b ab ab +=+-++=+-+=-，又,a b R +∈，2a b +=≥1ab ≤，1a b ==时等号成立，所以()()4f a f b +≥.即()()f a f b +的最小值为4.（2）()()()()2222323x x a f x f a x a x a a +-+=---=-+-()222244x a a x a a <-+-≤-++，所以()()()42f x f a a -<+.【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，绝对值三角不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.。
河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题含解析
河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MB MA ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA u u u r u u u r，由平面向量的数量积可得答案. 【详解】如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，由1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，易得11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，则31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．266【答案】A 【解析】 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r.因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =. 因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DM r =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题3．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数 D ．()()f x g x ⋅是奇函数【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【详解】解：()f x Q 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=，()()()()f x g x f x g x --=-g g ，故函数是奇函数，故A 错误， |()|()|()|()f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故B 错误， ()|()|()|()|f x g x f x g x --=-g g 是奇函数，故C 正确． |()()||()()|f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．已知()21AB =-u u u r ，，()1,AC λ=u u u r，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ）A ．-1B ．7C ．1D ．1或7【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 10AB AC BAC AB AC ⋅∠===u u u r u u u r u u u r u u u r . ∴解得1λ=. 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 5．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23 B ．17C ．20D ．63【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【详解】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则①()223x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：00555(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②()223x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：11555(2)220C x x -⋅⋅⋅=-； ③()223x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：225551240C x x ⋅⋅⋅=；综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.6．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ， 而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形， 所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I , 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠=== ∴13πCA E ∠=.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(四)文科数学试题
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（四）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{1,2,4,8},{|log ,},A y y x x B A =∈==则A B =（ ）A. {1，2}B. {1,2,4}C. {2,4,8}D. {1,2,4,8}【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，将1,2,4,8x =分别代入函数2log y x =中，求出的值组成的集合就是集合B ，然后再求集合A 和集合B 的公共元素可得结果.【详解】解：因为2{1,2,4,8},{|log ,},A y y x x B A =∈== 所以22221,2,4,{log log log log }{0,1,,382}B ==，所以A B ={1，2}故选：A【点睛】此题考查了对数的运算，集合的交集运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()212,i z i -=+则复数z 的虚部是（ ） A. i B. -iC. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据复数z 满足()212,i z i -=+得到122iz i+=-，再利用复数的乘除法求解. 【详解】因为复数z 满足()212,i z i -=+ 所以()()()()1221252225i i i iz i i i i +++====--+， 所以复数z 的虚部是1. 故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.函数()22xy x x R =-∈的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性排除,B D ，由特殊点排除A ，从而可得结果.【详解】因为()()2222?xxf x x x f x --=--=-=（），所以()y f x =是偶函数，图象关于y 轴对称， 可排除选项,B D ；取0x =，则1y =-，可排除A ，故选C.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos B c b A =-，则角B 等于（ ） A.6π B.4π C.3π D.12π【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角,再利用三角形中()sin sin C A B =+以及三角恒等变换求解即可.【详解】由正弦定理有sin sin sin cos A B C B A =-,又()()sin sin sin C A B A B π=--=+,故()sin sin sin cos sin cos A B A B B A A B =+-=,因为sin 0A ≠,故cos B B =,即tan 3B =,又()0,B π∈,故6B π=.故选：A【点睛】本题主要考查了解三角形中正弦定理边角互化以及三角恒等变换化简的方法.属于基础题. 5.两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量b 与a b -夹角为（ ） A.56π B.6π C.23π D.3π 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件计算得到0a b ⋅=，3b a =，再利用夹角公式计算得到答案.【详解】()()22||||=0a b a b a ba b a b +=-∴+-∴⋅=()2222||2||243a b a a ba b a b a b a +=∴+=++⋅=∴=()25cos 2cos cos 6b a b b b a b b a θθθθπ⋅-=-=⋅-=⋅∴== 故选：A【点睛】本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力，也可以建立直角坐标系求解. 6.下列说法正确的是（ ）A. 命题p 、q 都是假命题，则命题“p q ⌝∧”为真命题B. 将函数sin 2y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到sin 4y x =C. R ϕ∀∈，函数()sin 2y x ϕ=+都不是奇函数D. 函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线512x π=对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合命题的真假可判断A 选项的正误；利用三角函数图象变换可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用正弦函数的对称性可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若命题p 、q 都是假命题，则命题“p q ⌝∧”为假命题，A 选项错误；对于B 选项，将函数sin 2y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到sin y x =，B 选项错误； 对于C 选项，取2ϕπ=，则()()sin 2sin 22sin 2y x x x ϕπ=+=+=为奇函数，C 选项错误； 对于D 选项，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，55sin 2sin 1121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线512x π=对称，D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及复合命题、全称命题真假，同时也考查三角函数图象变换以及正弦型函数对称性的判断，考查推理能力，属于中等题.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A.6π B. 86π C. 323π D. 646π【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图得到三棱锥是从长为4，宽为2，高为2的长方体中截取而来，其外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长.【详解】由三视图可知，该几何体从长为4，宽为2，高为2的长方体中截取的三棱锥P ABC -，如图所示：所以其外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长：222242226R =++=，所以6R =，所以该三棱锥的外接球的体积为34863V R ππ==， 故选：B【点睛】本题主要考查长方体和三棱锥的三视图以及外接球的体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.8.已知直线(),0y kx m k =+<与抛物线2:8C y x =及其准线分别交于A ,B 两点,F 为抛物线的焦点,若2,FA AB =则m 等于（ ）A.3 B. 23 C. 2 D. 26【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线:l y kx m =+过抛物线的焦点,得2m k =-,过A 做AM ⊥准线2x =- ,垂足为M ,由MAB ∠与直线l 倾斜角相等,根据抛物线的定义即可求得tan MAB ∠,即可求得k 的值,进而得m .【详解】抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,因为2,FA AB =所以直线:l y kx m =+过抛物线的焦点,所以02k m =+,即2m k =-,过A 做AM ⊥准线2x =- ,垂足为M ,由抛物线的定义,AM AF =,由MAB ∠与直线l 倾斜角相等且2,FA AB =则1cos 2AM MAB AB ∠== ,则tan MAB ∠==因为k 0<∴直线l 的斜率k =即m = 故选：B ．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的定义和同角三角函数的关系,属于中档题．9.若函数()()2,0132,0x e x a x f x a x a x ⎧-+>⎪=⎨-+-≤⎪⎩在()∞∞-,+上是单调函数，则a 的取值范围是（ ）A. [)1,+∞B. (]1,3C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]1,2【答案】B 【解析】 【分析】利用导数可知函数()y f x =在区间()0,∞+上为增函数，由此可知该函数在区间(],0-∞上也为增函数，且有0322a e a -≤+，进而可得出关于a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】()()2,0132,0x e x a x f x a x a x ⎧-+>⎪=⎨---≤⎪⎩，当0x >时，()10xf e x ='->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上为增函数，由于该函数在()∞∞-,+上是单调函数，则该函数在()∞∞-,+上为增函数，所以010322a a e a ->⎧⎨-≤+⎩，解得13a . 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 故选：B.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了导数的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位长度可得函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于原点对称，则||ϕ的最小值为（ ） A .6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】求出平移后函数解析式，由图象关于原点对称，即函数为奇函数，结合诱导公式可得ϕ，从而得出结论． 【详解】平移后解析式为()cos[2()]cos(2)63g x x x ππϕϕ=-+=-+，其图象关于原点对称，则,32k k Z ππϕπ-=+∈，56k πϕπ=+，k Z ∈，易知ϕ最小时6πϕ=-．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的奇偶性，掌握诱导公式是解题关键．平移变换时要注意平移单位是对自变量x 而言．11.设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，ln ()()x x f x f x '⋅<-，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (1,0)(1,)D. (,1)(0,1)-∞-【答案】D 【解析】 【分析】由题得(ln ())0,xf x '<构造函数()ln ()g x xf x =（x ＞0），求出函数的单调性，分析出函数f(x)的取值情况，再解不等式2(1)()0x f x ->得解.【详解】由题得11ln ()(),ln ()()0x f x f x x f x f x x x⋅<-∴+'⋅<'， 所以(ln ())0,xf x '< 设()ln ()g x xf x =（x ＞0）所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递减. 因为g(1)=ln1f(1)=0,所以在（0,1）上g(x)＞0，因为此时lnx ＜0，所以f(x)＜0， 因为在（1，+∞）上g(x)＜0，因为此时lnx ＞0，所以f(x)＜0. 所以函数f(x)在（0,1）和（1，+∞）上，f(x)＜0. 因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间（-1,0）和（-∞，-1）上，f(x)＞0.所以2(1)()0x f x ->等价于221010,101()0()0x x x x f x f x ⎧⎧->-<∴<-<<⎨⎨><⎩⎩或或. 故选D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F 过F 2的直线与双曲线左、右两支分别交于点A ，B ，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. y =B. y =C. y =±D. ,y =±【答案】B 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义得到22BF a =，114AB AF BF a ===，进而得到226AF AB BF a =+=，再利用余弦定理得到227c a =，再求渐近线方程即可.【详解】如图，1ABF ∆为等边三角形，60A ︒∴∠=，∴设11AB AF BF ==，则21212=a AF AF AB BF AF -=+-2BF =，又由122BF BF a -=，得114BF a AB AF ===，226AF AB BF a =+=， 在12AF F ∆中，利用余弦定理，2221212122cos AF AF A AF AF F F ⋅⋅⋅=+-，则有 222246cos6016364a a a a c ︒⋅⋅⋅=+-，化简得227c a =，则222222271c a b b a a a+===+，得 226b a=，所以，双曲线E 的渐近线方程为6y x = 故答案选：B【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的求法，根据题意找到,,a b c 的关系式为解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知x ，y 满足约束条件40,201x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，则3z x y =+的最大值为__________【答案】8 【解析】 分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出z 的最大值.【详解】作出不等式组40201x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示，因3+z x y =，所以3y x z =-+，显然直线过40x y -+=与1x =的交点时，z 最大，401x y x -+=⎧⎨=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩，此时3358z x y =+=+=， 所以，3z x y =+的最大值为8. 故答案为：8.【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m +n=___________【答案】11 【解析】 【分析】根据平均数公式分别计算得到,m n 的值，再求和.【详解】甲组的平均数11718202220205mx +++++==，解得：3m =乙组的平均数21019202122205n x +++++==，解得：8n =， 所以11+=m n . 故答案为：11【点睛】本题考查根据茎叶图中数据的平均数补全茎叶图，属于基础题型，本题重点考查平均数公式. 15.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为,,,a b c sin 2,32sin sin 2b CC a b A C ππ<<=--,2,a =则sin B =,则b =______．【解析】 【分析】 结合正弦定理化简sin 2sin sin 2b C a b A C =--可知sin sin 2B C =,进而根据32C ππ<<可知2B C π+=,进而得到A C =,再结合余弦定理求解b 即可. 【详解】因为sin 2sin sin 2b Ca b A C=--,故sin sin 2sin 2a b A C b C --=,故sin sin 2a A b C =,由正弦定理得sin sin sin sin 2A AB C=,故sin sin 2B C =. 又因为2323C C ππππ<<⇒<<,故()sin sin 2B C π-= ,所以2B C A C π-==+,即C A =.故2c a ==.故222222cos 222226b a c ac B =+-=+-⨯⨯=.故b .【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意边角互化,并根据所给条件确定合适的正余弦定理.属于中档题.16.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知13a =对任意的正整数n 满足()()11cos 2213,n n n n n n S S n a a a π++-=+-+则19a =______．【答案】3.17-【解析】 【分析】根据数列通项与前n 项和的关系可得()()1cos 211213n n n n a a π+--=--,再累加求和即可. 【详解】由()()11cos 2213,n n n n n n S S n a a a π++-=+-+得()()11cos 2213n n n n n a a n a a π++--=-.又因为13a =,故0n a ≠.故()()1cos 211213n n n n a a π+--=--. 故()21cos 113a a π--=-,3211cos 033a a -=-⨯…，191811cos16353a a π-=-⨯. 累加可得1911113573529 (6333333)a a -⨯-=-+-+-==-. 故191117633a =-+=-,故193.17a -= 故答案为：3.17-【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和的关系,同时也考查了累加求和以及余弦函数的周期性.属于中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 是首项14114256a a ==，的等比数列，设()*423log .n n b a n =∈--N （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（Ⅰ）32n b n =-；（Ⅱ）31n nS n =+． 【解析】 【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出q 的值，利用等比数列的通项公式可求得n a ，再利用对数的运算性质可求得数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求出数列{}n c 的通项公式，然后利用裂项求和法可求得n S .【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则341164a q a ==，可得14q =，1114nn n a a q -⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 423log 32n n b a n ∴=--=-；（Ⅱ）由（Ⅰ），得()()111111323133231n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 因此，11111111113447323133131n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题. 18.2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关?（2）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动，①求男、女学生各选取多少人；②若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；（2）①男生选6人，女生选2人；②1528. 【解析】 【分析】（1）利用22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++计算结果，通过比较即可判断能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；（2）①根据分层抽样方法可得，选取的8人中，男生和女生人数；②通过列举，可得出8人中选取两人共有28种情况，而选到2男的共15种情况，利用古典概型概率的求法即可求出结果.【详解】（1）因为22150(30604020) 5.357 5.024*********K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关． （2）①根据分层抽样方法得，男生3864⨯=人，女生2人， 所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人．②设抽取的6名男生分别为,,,,,A B C D E F ，2名女生为,a b ；从中抽取两人，分别记为(),A B ，(,),(,),(,),(,)A C A D A E A F ,(,),(,)A a A b ,(),B C ，(,),(,),(,)B D B E B F ,(,),(,)B a B b ,(,),(,),(,),(,),(,)C D C E C F C a C b ,(,),(,)D E D F ,(,),(,)D a D b ,(,),(,),(,)E F E a E b ,(,),(,),(,)F a F b a b 共28种情况，其中抽取到2名男生的共15种情况， 所以，恰好选到2名男生的概率1528p =． 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用，分层抽样的应用以及古典概型概率的求法，属中档题. 19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ︒∠=，侧面P AB ⊥底面ABCD ，PB = 2.AB AC PA ===（1）求证：BD ⊥平面PAC（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMB -的体积． 【答案】（1）见解析；（23 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可以证出PA AB ⊥，利用平面与平面垂直的性质可以证出PA ⊥面ABCD ，再通过直线与平面垂直的性质可证PA BD ⊥，通过平面几何知识可证得BD AC ⊥，最后利用直线与平面垂直的判定可证明BD ⊥面PAC ；（2）利用等体积法，将P AMB V -转化成M PAB V -，然后再转化成求三棱锥D APB -的体积，即可得出答案. 【详解】（1）证明：由题意222PA AB PB +=， 所以90BAP ︒∠=，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ， 则PA ⊥面ABCD ．BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥，又因120BCD ∠=，ABCD 为平行四边形，则60ABC ∠=，又AB AC =，则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥． 又PAAC A =，则BD ⊥面PAC ．（2）由12M PAC P ACD V V --=，则M 为PB 中点， 由2AB AC ==，120BCD ︒∠=，得23BD = 因此12P AMB M PAB D PAB V V V ---==111332223P ABD V -==⨯=【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的证明，利用等体积法转化求三棱锥体积，属中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，圆2123:C x y +=，圆2C ：224x y +=，椭圆C 与圆C 1、圆C 2均相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆C 1相切同时与椭圆C 交于A 、B 两点，求|AB |的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2【解析】 【分析】（1）由椭圆C 与圆C 1、圆C 2均相切，可得出椭圆的,a b 与圆C 1、圆C 2半径的关系，进而求出椭圆C 的方程；（2）假设直线l 方程，由直线方程与椭圆C 方程联立，计算出弦长|AB |，根据直线与圆相切需满足的条件进一步求出|AB |的最大值.【详解】（1）由题易知1C的半径1r =2C 圆的半径22r =．又椭圆与12C C 、同时相切，则212a rb r ==⎧⎪⎨==⎪⎩则椭圆C 的方程：22143x y +=．（2）①当l 斜率为0时，l 与椭圆C 相切，不符合题意． ②当l 斜率不为0时，设l ：x my n =+， 原点到l的距离1d r ===2233n m =+.由22,1,43x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()2223463120m y mny n +++-=，设()()1122,A x y B x y ，，，由韦达定理得： 122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，AB==可得1AB==，令t=，则1t≥，()g t=3t+1t在)1+⎡∞⎣，上单调递增，则1t=，即m=时，maxAB=【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，属较难题.21.设函数()()2Rln21,f x x x m x m=+-∈-．（1）当m=6时，求函数()f x的极值;（2）若关于x的方程()22f x x=在区间[1，4]上有两个实数解，求实数m的取值范围．【答案】（1）极小值3-，极大值9ln48--；（2）ln211,12e⎡⎫++⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】（1）求出函数的定义域以及导函数，根据单调性求解出函数的极值；（2）关于x的方程()22f x x=可化简为ln1xmx=+，问题转化为直线y m=与函数()ln1xg xx=+有两个交点，通过研究函数()g x的图像即可得到答案.【详解】（1）依题意知()f x的定义域为()0+∞，，当6m=时，2()ln25f x x x x=+-，∴1(41)(1)()45x xf x xx x--=+-='，令()0f x=，解得1x=或14.则当14x<<或1x>，()0f x'>，()f x单调递增；当114x<<，()0f x'<，()f x单调递减．∴所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，且极小值为(1)3f =-， 当14x =时，函数()f x 取得极大值，且极大值为19()ln 448f =--．（2）由2()2f x x =，可得ln (1)x m x =-， 又0x >，所以ln 1x m x =-，即ln 1xm x=+． 令()()ln 10xg x x x =+>，则()21ln x g x x-'=， 由()0g x '≥，得1x e ≤≤；由()0g x '≤，得4e x ≤≤， ∴ ()g x 在区间[]1,e 上是增函数，在区间[,4]e 上是减函数． ∴当x e =时函数()g x 有最大值，且最大值为()11g e e=+， 又(1)1g =，ln 2(4)12g =+， ∴ 当ln 21112m e+≤<+时，方程在区间[1,4]上有两个实数解． 即实数m 的取值范围为ln 211,12e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求极值，考查方程解的个数问题，属于较难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为C 1:1cos ,sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为(1，0)，曲线22:C ρ=2212.3cos 4sin θθ+（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点求|P A |+|PB |的取值范围【答案】（Ⅰ）sin cos sin 0x y θθθ--=，22143x y +=； （Ⅱ）[]3,4.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程和极坐标方程公式化简得到答案.（Ⅱ）将直线参数方程代入椭圆方程得到根与系数关系，再根据12PA PB t t +=-，代入数据根据三角函数有界性得到范围. 【详解】（Ⅰ）1cos ,sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩，消去t 得到曲线1C 的普通方程为：sin cos sin 0x y θθθ--=，222123cos 4sin ρθθ=+，()2223cos 412sin θθρ=+，即223412x y +=， 即曲线2C 的普通方程为：22143x y +=.（Ⅱ）将11cos :sin x t C y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入2C ：22143x y +=，化简整理得：()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，则()22363631440cos sin θθ∆=++=>恒成立，1212226cos 9,sin 3sin 3t t t t θθθ--+==++，1212212sin 3PA PB t t t t θ∴+=+=-==+ ，[]2sin 0,1θ∈ []3,4PA PB ∴+∈.【点睛】本题考查看了直线的参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用韦达定理求根与系数关系是解题的关键.23.已知函数()|1||21|f x mx x =++-，m R ∈. （Ⅰ）当3m =时，求不等式()4f x >的解集； （Ⅱ）若02m <<且对任意x ∈R ，3()2f x m≥恒成立，求m 的最小值. 【答案】（Ⅰ）44(,)(,)55-∞-⋃+∞；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】（Ⅰ）通过讨论x 的范围，得到各个区间上的x 的范围，取并集即可； （Ⅱ）3()2f x m ≥恒成立等价于3()2min f x m≥恒成立，根据绝对值的意义将函数()f x 表示成分段函数进而求得()min f x ，再解关于m 的不等式即可得解. 【详解】（Ⅰ）当3m =时，()3121f x x x =++-，原不等式()4f x >等价于1354x x ⎧<-⎪⎨⎪->⎩ 或113224x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩ 或1254x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：45x <-或无解或45x >， 所以，()4f x >的解集为44(,)(,)55-∞-⋃+∞； （Ⅱ）02m <<，112m ∴-<，20m +>，20m -<， 则1(2),,11()121(2)2,,21(2),2m x x m f x mx x m x x m m x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x 在1(,)m -∞-上单调递减，在11[,]2m -上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增， 所以当12x =时，()f x 取得最小值，1()()122min mf x f ==+，因为对任意x ∈R ，3()2f x m≥恒成立，所以3()122min m f x m=+≥，又因为0m >，所以2230m m +-≥， 解得m 1≥（3m ≤-不合题意）． 所以m 的最小值为1．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，解题关键是正确去掉绝对值号，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.。
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河北省衡水市2021届新高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x-≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题. 2．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1） B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，∴(1,)A B =-+∞U ， 故选C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题.3．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<„的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( ) A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω的取值范围. 【详解】已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<„的图象有一个横坐标为3π的交点， 则2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Q， 2536ππϕ∴+=，6πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍， 则sin 26y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以当[0,2]x πÎ时，2,4666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x Q 在[0,2]π有且仅有5个零点，5466πππωπ∴+<„，29352424ω∴<„. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 4．设直线l 过点()0,1A -，且与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，那么AB AC ⋅=uuu r uuu r（ ）A ．3±B ．3C D ．1【答案】B 【解析】 【分析】过点()0,1A -的直线l 与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，可得0BA BC ⋅=uu r uu u r.因此()2AB AC AB AB BC AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222AB AC r ==-u u u r u u u r，即可得出.【详解】由圆C ：2220x y y +-=配方为()2211x y +-=，()0,1C ，半径1r =.∵过点()0,1A -的直线l 与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，∴0AB BC ⋅=u u u r u u u r；∴()2AB AC AB AB BC AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2223AB AC r ==-=u u u r u u u r ；故选：B. 【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题. 5．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8 B ．12C ．14D ．10【答案】C 【解析】 【分析】将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a . 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由24a =，48a =，得114,38,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =，所以71614a a d =+=．故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式.6．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必条件【答案】B 【解析】 【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】由|1|2x -<，得13x -<<，又由2x x <，得01x <<， 因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<， 所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.7．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D 【解析】 【分析】先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解. 【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种， 其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种，所以甲第一个到、丙第三个到的概率是16p =. 故选：D 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 8．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】 解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B9．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【详解】当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥， 所以函数在[]0,2π上单调递增， 令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小，当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增， 令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D 【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C 【解析】 【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ． 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题． 11．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ．12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，即可求解. 【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A =种， 剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A =种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。