高考数学一轮复习课时作业(北师大版)：第3章第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
高考数学第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时作业 文 北师大版
第3章第5课时本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！一、选择题1．在△ABC中，已知in A－B co B＋co A－B in B≥1，则△ABC是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：in A－B co B＋co A－B in B＝in[A－B＋B]＝in A≥1，又in A≤1，∴in A＝1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．答案： A2．in错误!＝错误!，则in 2的值为解析：∵in错误!＝错误!，∴错误!co －错误!in ＝错误!co －in ＝错误!∴co －in ＝错误!∴co －in 2＝1－in 2＝错误!，∴in 2＝错误!答案： A3．已知tan错误!＝错误!，tan错误!＝错误!，则tanα＋β的值为D．1解析：tanα＋β＝tan错误!＝错误!＝错误!＝1，故选D答案： D4．已知θ为第二象限角，inπ－θ＝错误!，则co错误!的值为C．±错误!D．±错误!解析：∵θ为第二象限角，∴错误!为第一、三象限角．∴co错误!的值有两个．由inπ－θ＝错误!，可知in θ＝错误!，∴co θ＝－错误!∴2co2错误!＝错误!∴co错误!＝±错误!答案： C5．已知co α＝错误!，coα＋β＝－错误!，且α、β∈错误!，则coα－β的值等于A．－错误!C．－错误!解析：∵α∈错误!，∴2α∈0，π．∵co α＝错误!，∴co 2α＝2co2α－1＝－错误!，∴in 2α＝错误!＝错误!，而α，β∈错误!，∴α＋β∈0，π，∴inα＋β＝错误!＝错误!，∴coα－β＝co[2α－α＋β]＝co 2αcoα＋β＋in 2αinα＋β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!答案： D6．若tan α＝g10a，tan β＝g错误!，且α＋β＝错误!，则实数a的值为A．1C．1或错误!D．1或10解析：tanα＋β＝1⇒错误!＝错误!＝1⇒g2a＋g a＝0，所以g a＝0或g a＝－1，即a＝1或错误!答案： C二、填空题7．若错误!＝－错误!，则co α＋in α的值为________．解析：错误!＝错误!＝－错误!in α＋co α＝－错误!，∴in α＋co α＝错误!答案：错误!8．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．解析：原式＝tan15°＋30°·1－tan 15°·tan 30°＋tan 15°·tan 30°＝tan 45°1－tan 15°·tan 30°＋tan 15°·tan 30°＝1答案： 19．已知α、β均为锐角，且coα＋β＝inα－β，则角α＝________解析：依题意有co αco β－in αin β＝in αco β－co αin β即co αco β＋in β＝in αin β＋co β．∵α、β均为锐角，∴in β＋co β≠0，必有co α＝in α∴α＝错误!答案：错误!三、解答题10．已知α为第二象限的角，in α＝错误!，β为第三象限的角，tan β＝错误!1求tanα＋β的值；2求co2α－β的值．解析：1因为α为第二象限的角，in α＝错误!，所以co α＝－错误!＝－错误!，tan α＝错误!＝－错误!又tan β＝错误!，所以tanα＋β＝错误!＝错误!2因为β为第三象限的角，tan β＝错误!，所以in β＝－错误!，co β＝－错误!又in 2α＝2in αco α＝－错误!，co 2α＝1－2in2α＝错误!，所以co2α－β＝co 2αco β＋in 2αin β＝错误!11．在平面直角坐标系O中，点P错误!在角α的终边上，点Q in2θ，－1在角β的终边上，且错误!·错误!＝－错误!1求co 2θ的值；2求inα＋β的值．【解析方法代码9】解析：1因为错误!·错误!＝－错误!，所以错误!in2θ－co2θ＝－错误!，即错误!1－co2θ－co2θ＝－错误!，所以co2θ＝错误!，所以co 2θ＝2co2θ－1＝错误!2因为co2θ＝错误!，所以in2θ＝错误!，所以点P错误!，点Q错误!，又点P错误!在角α的终边上，所以in α＝错误!，co α＝错误!同理in β＝－错误!，co β＝错误!，所以inα＋β＝in αco β＋co αin β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!12．202X·天津调研已知in α＋co α＝错误!，α∈错误!，in错误!＝错误!，β∈错误!1求in 2α和tan 2α的值；2求coα＋2β的值．【解析方法代码0】解析：1由题意得in α＋co α2＝错误!，即1＋in 2α＝错误!，∴in 2α＝错误!又2α∈错误!，∴co 2α＝错误!＝错误!，∴tan 2α＝错误!＝错误!2∵β∈错误!，β－错误!∈错误!，∴co错误!＝错误!，于是in 2错误!＝2in错误!co错误!＝错误!又in2错误!＝－co 2β，∴co 2β＝－错误!又2β∈错误!，∴in 2β＝错误!又co2α＝错误!＝错误!，∴co α＝错误!，in α＝错误!错误!∴coα＋2β＝co αco 2β－in αin 2β＝错误!×错误!－错误!×错误!＝－错误!。
最新高考数学一轮复习课时规范练两角和与差的正弦余弦与正切公式理北师大版
课时规范练21 两角和与差的正弦、余弦与正切公式基础巩固组1.若cos,则sin 2α=()A. B. C.- D.-2.(2018河北衡水中学三调)若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为()A.-B.C.-D.3.对于锐角α,若sin,则cos=()A. B. C. D.-4.设sin,则sin 2θ=()A.-B.-C.D.5.若tan α=2tan,则=()A.1B.2C.3D.46.(2018河北衡水中学16模,5)已知α满足sin α=,则coscos =()A. B. C.- D.-7.(2018河北衡水中学17模,6)已知sin α=,α∈,则cos的值为()A. B.C. D.8.设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是.9.已知α∈,tan α=2,则cos= .10.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β=.综合提升组11.(2018宁夏石嘴山一模)若tan=-3,则cos 2α+2sin 2α=()A. B.1 C.- D.-12.(2018福建百校临考冲刺)若α∈(0,π),且sin α+2cos α=2,则tan=()A. B. C. D.13.(2018北京怀柔区模拟)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.1创新应用组14.(2018重庆巴蜀中学月考)已知sin,则sin=()A. B. C. D.-15.(2018河北衡水中学押题二,10)已知函数f(x)=3sin ωx cos ωx-4cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,且f(θ)=,则f=()A.-B.-C.-D.-16.已知sin,θ∈,则cosθ+的值为.参考答案课时规范练21 两角和与差的正弦、余弦与正切公式1.D(法一)cos=2cos2-1=2×-1=-,且cos=cos=sin 2α,故选D.(法二)由cos=,得cos α+sin α=,即(cos α+sin α)=,两边平方得(cos2α+sin2α+2cos αsin α)=,整理得2sin αcos α=-,即sin 2α=-,故选D.2.C由3cos 2α=sin,得3(cos2α-sin2α)=(cos α-sin α).∵α∈,∴cos α-sin α≠0,∴cos α+sin α=.两边平方,得1+2sin αcos α=,∴sin 2α=-.故选C.3.D由α为锐角,且sin=,可得cos=,∴sin=2××=,cos=cos=-sin=-,故选D.4.A sin 2θ=-cos=2sin2-1=2×-1=-.5.C因为tan α=2tan,所以======3.6.A coscos=cos --αcos-α=sin-αcos-α=sin-2α=cos 2α= (1-2sin2α)==,故选A.7.A∵sin α=,α∈,∴cos α==,∴sin 2α=2sin αcos α=2××=,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.∴cos=cos 2α-sin 2α=×-×=.故选A.8. ∵sin 2α=2sinαcos α=-sin α,∴cos α=-,又α∈,∴sin α=,tan α=-,∴tan 2α===.9. 由tan α=2,得sin α=2cos α.又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.因为α∈,2所以cos α=,sin α=.因为cos=cos αcos+sin αsin,所以cos=×+×=.10. 因为α∈,所以2α∈.又sin 2α=,故2α∈,α∈,所以cos 2α=-.又β∈,故β-α∈,于是cos(β-α)=-,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×-×=,且α+β∈,故α+β=.11.B∵tan==-3,∴tan α=2,∴cos 2α+2sin 2α=+=+=-+=1.12.A由二倍角公式,得sin α+2cos α=2sincos+21-2sin2=2,化简可得2sincos=4sin2.∵α∈(0,π),∴∈,∴sin≠0,∴cos=2sin,∴tan=.13.解 (1)∵f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x-1=2sin x cos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin,∴函数f(x)的最小正周期T==π.(2)由(1)可知,f(x)=sin.∵x∈,∴2x+∈,∴sin∈.故函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1.14.B sin=sin--2α=cos+2α=1-2sin2=1-2×=1-=.15.B函数f(x)=3sin ωx cos ωx-4cos2ωx=sin 2ωx-2(1+cos 2ωx)= sin(2ωx-φ)-2,其中tan φ=,所以f(x)的最小正周期为T==π,解得ω=1,所以f(x)=sin(2x-φ)-2,又由f(θ)=,即f(θ)=sin(2θ-φ)-2=,即sin(2θ-φ)=1,所以f=sin-2=-sin(2θ-φ)-2=-×1-2=-,故选B.16.- 由θ∈,得θ+∈,又sin=,所以cos=-.cos=cos=coscos-sinsin=-×-×=-.3。
一轮复习课件 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考情分析
1.会用向量的数量积推导出 两角差的余弦公式．
1.从考查内容看，利用两角和 与差的正弦、余弦、正切公式
2.能利用两角差的余弦公式 进行三角函数式的化简、求值
导出两角差的正弦、正切公 式．
是高考的重点，公式的逆用、
3.能利用两角差的余弦公式 导出两角和的正弦、余弦、
变形应用是高考的热点． 2.从考查题型看，三种题型都 可能出现，常将公式变形与三
辅助角公式中，当 φ 为特殊角，即|ab|的值为 1 或
3或
3 3
时要熟练掌握，对 φ 是非特殊角的情况，只要求会求最值即
可．
【活学活用】 2．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－2sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值； (2)求函数 f(x)的零点的集合． 解：(1)f(x)＝ 3sin 2x－(1－cos 2x)＝2sin2x＋π6－1， 所以，当 2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，
三角函数式化简要遵循的“三看”原则 (1) 一 看 “ 角 ” ． 这 是 最 重 要 的 一 点 ， 通 过 角 之 间 的 关 系，把角进行合理拆分与拼凑，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确 定使用的公式． (3)三看“结构特征”．分析结构特征，可以帮助我们找 到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
答案：7102
5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝______.
解析：∵2α＝(α＋β)＋(α－β)， ∴tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ＝1－3＋3×5 5＝－814＝－47. 答案：－47
【考向探寻】 利用公式化简三角函数式．
近年届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业(202
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第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业A组——基础对点练1．设sin（π－θ）＝错误!,则cos 2θ＝（）A．±错误!B。
错误!C．－错误!D．－错误!解析：因为sin（π－θ)＝sin θ＝错误!，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝错误!,故选B.答案：B2．计算错误!的值为( ）A．－错误!B．错误!C.错误!D．－错误!解析:错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：B3．若tan α＝13，tan（α＋β）＝错误!，则tan β＝（)A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析：tan(α＋β）＝错误!＝错误!＝错误!,解得tan β＝错误!.答案：A4．（2018·西安质量检测）sin 45°cos 15°＋cos 225°·sin 165°＝（）A．1 B．错误!C。
错误!D．－错误!解析:sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋（－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°）＝sin 30°＝错误!.答案：B5．已知cos错误!＝－错误!，则sin错误!的值为( )A 。
高考数学一轮复习第三章 第五节两角和与差的正弦余弦和正切公式课时规范练文含解析北师大版
第三章 三角函数、解三角形第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时规范练A 组——基础对点练1．计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A ．sin(α＋2β)B ．sin αC ．cos(α＋2β)D ．cos α 解析：原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.答案：D2．(2020·成都模拟)计算：sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A.32 B ．－32 C ．－12D ．12 解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30° ＝12. 答案：D3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D ．79解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，所以22(sin θ＋cos θ)＝13，两边平方得12(1＋sin 2θ)＝19，解得sin 2θ＝－79. 答案：A4．(2020·洛阳质检)已知tan(α－π4)＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为( ) A.12B ．2C ．2 2D ．－2解析：由tan(α－π4)＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2，故选B. 答案：B5．(2020·大庆模拟)已知 α，β都是锐角，且sin αcos β ＝cos α(1＋sin β)，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：因为sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，所以sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2.答案：B6．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则cos 2β＝() A ．－32 B ．－1C ．0D ．1解析：由题意知：cos α＝ 1－15＝255，cos(α－β)＝ 1－110＝31010.所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22.所以cos 2β＝2cos 2β－1＝2×12－1＝0.答案：C7．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15 B ．14C.13 D ．12解析：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2 θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 答案：D8．(2020·九校联考)已知5sin 2α＝6cos α，α∈(0，π2)，则tan α2＝( ) A ．－23B ．13 C.35 D ．23解析：由题意知，10sin αcos α＝6 cos α，又α∈(0，π2)， ∴sin α＝35，cos α＝45， ∴tan α2＝sin α2cos α2＝2sin 2 α22sin α2cos α2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13. 答案：B9．计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°·tan 35°＝________．解析：原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3.答案： 310．cos 2π8－sin 2π8＝________． 解析：由二倍角公式，得cos 2 π8－sin 2π8＝cos(2×π8)＝22. 答案：22B 组——素养提升练11．(2020·肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731解析：由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 答案：D12．(2020·韶关模拟)若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg a ，且α－β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B ．110C ．1或110D ．1或10解析：因为α－β＝π4，所以tan(α－β)＝1，又因为tan α＝lg(10a )，tan β＝lg a ，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝lg （10a ）－lg a 1＋lg （10a ）lg a ＝1，所以lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 答案：C13．(2020·吉林大学附中检测)若α∈(π2，π)，且3cos 2α＝sin(π4－α)，则sin 2α的值为( ) A ．－356 B ．－16 C ．－3518 D ．－1718解析：∵3cos 2α＝sin(π4－α)，∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D. 答案：D14．已知1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝12，则tan θ＝( ) A.43B ．34C ．－34D ．－43 解析：因为1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ22sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22sin θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2 ＝1tan θ2＝12， 所以tan θ2＝2， 于是tan θ＝2tan θ21－tan 2 θ2＝－43. 答案：D15．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3. 答案：316．化简：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)的值为________． 解析：原式＝2cos 2 10°4sin10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°) ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°×2cos 10°sin 10° ＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2（12cos 10°－32sin 10°）2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. 答案：32。
高三大一轮复习讲义数学文课时作业：两角和与差的正弦余弦和正切公式北师大 含解析
课时作业(十八) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－322．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－73．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±14．若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是( ) A ．－14B.154C ．－154 D.145．(2011·福建卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 36．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 7．(2012·苏锡常镇调研)满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.8．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________． 9．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 10．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.11．(2011·广东卷)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．B 级1．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( ) A ．－12B.12 C ．－13D.23272．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－513，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是35，则cos α＝________.3．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．答案课时作业(十八)A 级1．A cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45° ＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45° ＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝12，故选A.2．B 依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 3．C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 4．C ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴cos θ－sin θ<0， ∵(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ＝1－116＝1516，∴cos θ－sin θ＝－154. 5．D ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(1－2sin 2α)＝14，∴sin 2α＝34.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝32， ∴cos α＝12，∴tan α＝ 3.6．解析： tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25，∴5tan α＋5＝2－2tan α. ∴7tan α＝－3，∴tan α＝－37.答案： －377．解析： 由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎫45π－x ＝12， 又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝715π.答案：715π 8．解析： 原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝1.答案： 19．解析： 原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案： 1210．解析： 原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2·sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .11．解析： (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2.(2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65.即sin α＝513，cos β＝35. ∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.B 级1．D ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α∈(0，π)． ∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2∴α＋β∈(0，π)， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.2．解析： 由题意及三角函数定义知sin β＝1213，cos β＝－513，sin(α＋β)＝35，cos(α＋β)＝－45.∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45×⎝⎛⎭⎫－513＋35×1213＝5665. 答案：56653．解析： (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425， 又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.。
课时作业——两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数字 N
— 5—
4．tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10°tan 50°的值为( B )
3 A. 3
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝1t－ant1a0n°1＋0°ttaann5500°°＝ 3，∴tan 10°＋tan 50°＝ 3
2 2.
数字 N
10．已知 sinx＋2π＝13，x∈0，π2. (1)求 tan 2x 的值；
(2)求 2cos2(x＋π)＋cosπ2－2x的值．
解 (1)由题意得，sinx＋π2＝cos x＝13，
又 x∈0，2π，则 sin x＝ 1－132＝232，
则 tan x＝2
2，tan
2x＝1－2tatnanx2x＝－4
β＝－ 42，sin 2β＝－492，cos 2β＝79.又 3sin(α＋2β)＝3sin αcos 2β＋3cos αsin 2β＝3×79
×sin
α＋3×－4
9
2×cos
α＝73sin
α－4
3
2 cos
α＝sin
α，所以
sin
α＝
2cos α，tan α＝
2.
所以
tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1＋2－2×4242＝
α＋cos
α 的值．
— 13 —
数字 N
解
(1)因为
tanα＋π4＝1t－antαan＋αttaann
π 4π＝2，所以 4
tan
α＝13，
又因为 α∈－4π，π4，所以 α∈0，π4，
又csoins αα＝13， sin2α＋cos2α＝1，
【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时作业 理
课时作业(二十二)两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.1318 B ．1322 C.322D ．16答案：C解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋α＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322.故应选C.2．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19 D ．79答案：A解析：sin 2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.故应选A.3．设f (sin α·cos α)＝sin 2α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15的值为( ) A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案：D解析：令sin α·cos α＝15，则sin 2α＝2sin αcos α＝25，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝25. 故应选D.4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B ．2＋32C ． 3D ．22－1答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°·cos 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－＋cos 40°＝32cos 10°－32sin 10°cos 40°＝3－cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.5．(2015·淄博质检)已知sin θ＋cos θ＝22(0＜θ＜π)，则cos 2θ的值为( ) A ．±32B ．－32C ．32 D ．－12答案：B解析：又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∵0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，θ＋π4＝5π6⇒θ＝7π12⇒2θ＝7π6，所以cos 2θ＝cos 7π6＝－32，故应选B.6．对于集合{}a 1，a 2，…，a n 和常数a 0，定义：ω＝ sin2a 1－a 0＋sin 2a 2－a 0＋…＋sin 2a n －a 0n为集合{}a 1，a 2，…，a n 相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12 B ．13C.14 D ．与a o 有关的一个值答案：A解析：集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差” ω＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－a 03＝cos 2a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 03＝cos 2a 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0－32sin a 023＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝322a 0＋cos 2a 03＝12. 故应选A. 二、填空题7．(2015·云南昆明一模)若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.答案：12解析：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35.②由①②解得cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.8．(2015·唐山模拟)已知：0°<α<90°，0°<α＋β<90°，3sin β＝sin(2α＋β)，则tan β的最大值是________．答案：24解析：由3sin β＝sin(2α＋β)，得 3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α， ∴tan β＝tan(α＋β－α)＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝tan α1＋2tan 2α＝11tan α＋2tan α.由题意知，tan α>0， ∴1tan α＋2tan α≥22，且仅当1tan α＝2tan α，即tan α＝22时等号成立， ∴tan β的最大值为122＝24.9．(2015·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.答案：3＋8215解析：依题设及三角的函数的定义得：cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0＜β＜π，∴π2＜β＜π，π2＜α＋β＜π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.10．若tan θ＝12，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝________.答案：7210解析：tan θ＝sin θcos θ＝12，即cos θ＝2sin θ，而cos 2θ＋sin 2θ＝1，且cos θ>0，sin θ>0， 计算可得cos θ＝255，sin θ＝55，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝35，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝7210. 三、解答题11．(2014·广东)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ. 解：(1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22θ＋cos θ＋22θ－sin θ＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.12．如图所示，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP ⊥OQ ，求α＋β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β.解：(1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cosαα＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.(2)∵OP ⊥OQ ，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2.∴sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35， cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45. ∴α＋β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos β－sin β＝45×45－35×3545－35＝72515＝75.13．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45.∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2＝0.。
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第3章 第5课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题
1．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
解析： sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，
∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．
答案： A
2．sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )
A.725
B.1425
C.1625
D.1925
解析： ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35， ∴22cos x －22sin x ＝22(cos x －sin x )＝35. ∴cos x －sin x ＝325
. ∴(cos x －sin x )2＝1－sin 2x ＝1825
， ∴sin 2x ＝725
. 答案： A
3．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25
，则tan(α＋β)的值为( ) A.2941 B.129 C.141 D ．1
解析： tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋⎝⎛⎭⎫π6＋β ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＋tan ⎝⎛⎭
⎫π6＋β1－tan ⎝⎛⎭⎫α－π6·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1，故选D.
答案： D
4．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )
A.35
B.45
C ．±35
D ．±45
解析： ∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角．
∴cos θ2的值有两个．
由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，
∴cos θ＝－725.∴2cos 2θ2＝1825.
∴cos θ2＝±35.
答案： C
5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于(
) A ．－12 B.12
C ．－13 D.2327
解析： ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．
∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，
∴sin 2α＝1－cos 22α＝42
9，
而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝22
3，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－1
3＋429×22
3＝23
27.
答案： D
6．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1
a ，且α＋β＝π
4，则实数a 的值为( )
A ．1
B.110 C ．1或110
D ．1或10
解析： tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β ＝lg (10a )＋lg 1a 1－lg (10a )·lg 1a
＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0， 所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110
. 答案： C
二、填空题
7．若cos 2αsin ⎝⎛⎭
⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________． 解析： cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22
(sin α－cos α) ＝－2(sin α＋cos α)＝－22
， ∴sin α＋cos α＝12
. 答案： 12
8．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．
解析： 原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝1.
答案： 1
9．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.
解析： 依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β.
即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．
∵α、β均为锐角， ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α.
∴α＝π4
. 答案： π4
三、解答题
10．已知α为第二象限的角，sin α＝35，β为第三象限的角，tan β＝43
. (1)求tan(α＋β)的值；
(2)求cos(2α－β)的值．
解析： (1)因为α为第二象限的角，sin α＝35
， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34
. 又tan β＝43，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝724
. (2)因为β为第三象限的角，tan β＝43
， 所以sin β＝－45，cos β＝－35
. 又sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝725
， 所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35
. 11．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭
⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12
. (1)求cos 2θ的值；
(2)求sin(α＋β)的值．【解析方法代码108001039】
解析： (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12
， 即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23
， 所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝13
. (2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13
， 所以点P ⎝⎛⎭⎫12，23，点Q ⎝⎛⎭
⎫13，－1， 又点P ⎝⎛⎭⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35
. 同理sin β＝－31010，cos β＝1010
， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝⎛⎭
⎫－31010＝－1010. 12．(2011·天津调研)已知sin α＋cos α＝355
，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，
sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭
⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．【解析方法代码108001040】
解析： (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95
， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45
. 又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35
， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43
. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭
⎫0，π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45
， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425
. 又sin2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425
. 又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725
. 又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45
， ∴cos α＝25，sin α＝15⎝
⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525
.。