理论力学 第二章

§2.5 两体问题
一、两体问题的含义
我们通常把仅受相互作用的内力、不受任 何其他外力作用的两个质点（物体）组成的系 统，称为两体问题。（如太阳与行星， 粒子和 原子核。）
二、两体问题动力学方程
1. 太阳和行星的质心相对于惯性系的运动
.
太阳: S相对惯性系的位矢为 rs
行星: p相对惯性系的位矢为 r p
研究。他曾于1860年和1867年分别出版了长达900 页的关于这个问题的著作。
§2.6 质心坐标系与实验室坐标系
⑴ 实验室坐标系与质心坐标系
质心坐标系： 坐标原点取在质心上，并随着质心一
起运动的坐标系叫质心坐标系，此坐标系
常为理论工作者采用。
实验室坐标系： 实验工作者所采用的立足于实验中观
察散射过程的静止坐标系。
2
两式相除：
a1
3
1 2
2
:
a2
3
2
M m1 : M m2
m1 M 11 m2 M
(M m1) (M m2)
1 1
开普勒给出的等式右边是1, 所以开普勒
是近似的.只在m1 及m2 都远远小于M时才是正
确的。
实际情况：
太阳系中最大的木星
m1 M 1 1047
太阳对惯性系的动力学方程 2 d rs GMm r M ........(1) 2 2 dt r r 行星对惯性系的动力学方程 2 d rp GMm r m ........(2) 2 2 dt r r
M ( 2 ) m (1) 得：
Mm(
d rp
2
dt
2

d rs
由相对运动速度的合成关系（如下图）
可得两坐标系中散射角的相互关系
tg r sin c cos c ( m1 m2 )
特例: （1）重核散射（如α粒子散射）时，m1 m2 有:
r c
（2）等质量粒子散射（如质子—中子散射） 时， m1 m2 ,有:
c 2 r
r1
( M m) r1 r1
k m
2 3 2 2
M
d r2
2
dt
2

r2
( M m ) r2 r2
结论：
力仍与距离的平方成反比，故由 §1.9知该力为平方反比引力，即行星 相对于（S，P)系统质心做圆锥曲线运 动；
同理，太阳也绕（S，P)系统质心 作圆锥曲线运动。
3. 行星相对太阳的运动
其它行星
m1 M 1 1047
结论：开普勒第三定律近似正确。
知识拓展
没有考虑行星间的相互吸引属于 两体问题； 考虑任一行星还要受到其他行星 的吸引则属于多体问题。
而多体问题一般只能用微扰的方
法来近似求。
多体问题：
N为任意正整数，研究N个可视为质点的天体在 其相互万有引力作用下的运动规律 。又称N体问题 。 多体问题是一个十分复杂的理论问题，也是天体力 学各个分支学科的共同基础课题。当N＝2时，即为 二体问题，已完全解决。N＝3即成为著名的三体问 题，除一些特殊的限制性三体问题可以得出特解外 ， 一般三体问题仍是悬而未决的难题。对于N＞3的N体 问题，根本无法求出分析解。现在主要是采用数值
Mm (M m )
1 1 m

1 M
仍做圆锥曲线运动

称折合质量
三、对开普勒第三定律进行修正
开普勒第三定律：
4 a
2 3

2
k
2
对行星P1：
4 a 1
2 3
1
2
k1 G ( M m 1 )
2
对行星P2：
4 a 2
2 3
2
2
k2 G (M m 2 )
⑵ 两种坐标系中弹性散射的不同结果
①两种坐标系中看到的弹性散射现象（如下图）
m1 m1 C V1′ m2 m1 V m1 v1 C m2 m2 v1 ′
C
V2′
m2
(a) 质心坐标系
r
v2 ′
(b) 实验室坐标系
② 两坐标系中散射角的相互关系 设两质点的质量为 ，散射角在
实验室坐标系中为θr ，在质心系中为θc，
2. 太阳和行星相对质心的运动
在质心坐标系中：
S的位矢为 r2 P的位矢为 r1
行星P对质心的动力学方程：
d r1
2
m
dt
2

k m r1
2
r
2
r1
因对质心有：
M r2 m r1 0
所以
r (1
则有：
m
2 d r1
M m
2
) r1
2 2 2
dt
2

k mM
m d r
2
2

k m r
2
r
2 m r k r
2
r
2
r
即：
式中k
'2
dt
2

r
G M m
行星相对太阳的运动，就好像太阳（M+m)不动，行星
相对于太阳做圆锥曲线运动。
此外，方程还可化为：
Mm d r
2 2
( M m ) dt

k m r
2
r
2
r
意义：太阳不动，行星质量为
行星相对太阳的位矢：r
太阳对惯性系的动力学方程：
d rs
2
M
dt
2

GMm r r
2
........(1)
r
行星对惯性系的动力学方程：
d rp
2
m
(1) (2)
dt
2

GMm r r
2
........(2)
r
d
2 2
dt
由质心定义：
( Mrs mr p ) 0.......(3)
rc
Mrs mr p M m
.
行星和太阳的质心满足方程：
d ( M m)rc ( M m) 2 rc 0.......(4) 2 dt dt d
2
2
结论：
（1）行星和太阳的质心加速度为0， 质心将作匀速直线（惯性）运动。 （2）太阳和行星都绕它们的质心作 圆锥曲线运动.
方法和定性方法来进行研究。特别是随着电子计算 机的广泛使用，数值方法更成为研究N体问题的主要 手段。
N等于2时，称为两体问题。这时两个天体的轨 道都是圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线），这一 问题已经由约翰· 伯努利完全解决。
三体问题
三体问题是很令人费解的。它的解可能是混沌的。 Charles Delaunay曾经在地-月-日系统做出了主要
2
Hale Waihona Puke dt2)GMm r
2
(m M )
r r
........(3)
因为rp rs r , 所以式（3 ）变为：
Mm
d r
2
dt
2

GMm r
2
(M m )
r r
消去M得行星相对于太阳的动力学方程：
m d r
2
dt
2

G (M m )m r r