典例 练习

21.1 一元二次方程
◆随堂检测
1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________.
（1）32250x x -+=； （2）21x =； （3）221352245
x x x x --=-+； （4）22(1)3(1)x x +=+；（5）2221x x x -=+；（6）20ax bx c ++=.
（提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.）
2、下列方程中不含一次项的是（ ）+
A ．x x 2532=-
B ．2916x x =
C ．0)7(=-x x
D ．0)5)(5(=-+x x
3、方程23(1)5(2)x x -=+的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________.
4、下列各数是方程21(2)23
x +=解的是（ ） A 、6 B 、2 C 、4 D 、0
5、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x .
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x .
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x .
◆典例分析
已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=．（1）x 为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）x 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。

分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.
解：（1）由题意得，21010m m ⎧-=⎨+≠⎩
时，即1m =时， 方程22
(1)(1)0m x m x m --++=是一元一次方程210x -+=.
（2）由题意得，2(1)0m -≠时，即1m ≠±时，方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元二次方程.此方程的二次项系数是21m -、一次项系数是(1)m -+、常数项是m . ◆课下作业 ●拓展提高
1、下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A 、22310x x
+-= B 、25630x y --= C 、220ax x -+= D 、22(1)0a x bx c +++= 2、2121003
m x x m -++=是关于x 的一元二次方程，则x 的值应为（ ） A 、m ＝2 B 、23m =
C 、32m =
D 、无法确定 3、根据下列表格对应值：
判断关于x 的方程20,(0)ax bx c a ++=≠的一个解的范围是（ ）
A 、x ＜3.24
B 、3.24＜x ＜3.25
C 、3.25＜x ＜3.26
D 、3.25＜x ＜3.28
4、若一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠有一个根为1，则=++c b a _________；若有一个根是-1，则b 与a 、c 之间的关系为________；
若有一个根为0，则c=_________.
5、下面哪些数是方程2
20x x --=的根？
-3、-2、-1、0、1、2、3、
6、若关于x 的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0，求m 的值是多少？
●体验中考
1、已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）
A ．-3
B ．3
C ．0
D ．0或3
（点拨：本题考查一元二次方程的解的意义.）
2、若(0)n n ≠是关于x 的方程2
20x mx n ++=的根，则m n +的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
（提示：本题有两个待定字母m 和n ，根据已知条件不能分别求出它们的值，故考虑运用整体思想，直接求出它们的和.） ●挑战能力
1. 先化简，再求值：a
a a a a a 4)4822(222-÷-+-+，其中a 满足方程0142=++a a ．
2. 先化简，再求值:1
1454)1221(22----÷----+x x x x x x x x ,其中x 满足07222=--x x .
3.已知x=251+，求531x
x x ++的值
4.已知a=
25522-+，试求a 5－7a 4+6a 3－7a 2+11a+13的值
5.已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值
6.已知012=--a a ，且
1129322322324-=-++-a xa a xa a ，求x 的值
参考答案：
◆随堂检测
1、（2）、（3）、（4） （1）中最高次数是三不是二；（5）中整理后是一次方程；（6）中只有在满足0a ≠的条件下才是一元二次方程．
2、D 首先要对方程整理成一般形式，D 选项为2250x -=.故选D.
3、3；-11；-7 利用去括号、移项、合并同类项等步骤，把一元二次方程化成一般形式231170x x --=，同时注意系数符号问题.
4、B 将各数值分别代入方程，只有选项B 能使等式成立．故选B.
5、解：（1）依题意得，2425x =，
化为一元二次方程的一般形式得，24250x -=.
（2）依题意得，(2)100x x -=，
化为一元二次方程的一般形式得，221000x x --=.
（3）依题意得，222
(2)10x x +-=，
化为一元二次方程的一般形式得，22480x x --=.
◆课下作业
●拓展提高
1、D A 中最高次数是三不是二；B 中整理后是一次方程；C 中只有在满足0a ≠的条件下才是一元二次方程；D 选项二次项系数2(1)0a +≠恒成立.故根据定义判断D.
2、C 由题意得，212m -=，解得32m =
.故选D. 3、B 当 3.24＜x ＜3.25时,2ax bx c ++的值由负连续变化到正,说明在 3.24＜x ＜3.25范围内一定有一个x 的值,使
20ax bx c ++=,即是方程20ax bx c ++=的一个解.故选B.
4、0；b a c =+；0 将各根分别代入简即可.
5、解：将3x =-代入方程，左式=2(3)(3)20----≠，即左式≠右式.故3x =-不是方程2
20x x --=的根.
同理可得2,0,1,3x =-时,都不是方程220x x --=的根.
当1,2x =-时,左式=右式.故1,2x =-都是方程220x x --=的根. 6、解:由题意得，21010
m m ⎧-=⎨-≠⎩时，即1m =-时，012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0. ●体验中考
1、A 将2x =带入方程得4220m ++=，∴3m =-.故选A.
2、D 将x n =带入方程得220n mn n ++=，∵0n ≠，∴20n m ++=，
∴2m n +=-.故选D.。