人教版七年级上第四章《几何图形初步》专题训练(含答案解析)

专题训练（一）巧解时钟问题

1. 同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：

(1)三点整时，时针与分针所夹的角是______度；

(2)7点25分时，时针与分针所夹的角是______度；

(3)一昼夜(0点到24点)时针与分针互相垂直的次数有多少次？

[解析] (1)看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示30°，3×30°＝90°；(2)

方法同(1)，25

12

×30°＝72.5°；(3)时针与分针垂直时，夹角为90°，先得到经过多少分钟就能垂直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可．

解： (1)90

(2)72.5

(3)设一次垂直到下一次垂直经过x分钟，则

6x－0.5x＝2×90，5.5x＝180，x＝360 11

.

24×60÷360 11

＝24×60×

11 360

＝44(次)．

答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次．

2. 在下午2点到3点之间，时钟的时针和分针何时重叠？

[解析] 2点时，分针在时针后60°，一段时间后分针追上了时针(重叠)，即在相同的时间内，分针比时针多跑60°(如图4－T－14)．这道题可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝开始时两者的距离(60°)．

图4－T －14

解： 设2点x 分时，时钟的时针和分针重叠，x 分钟内，时针转过0.5x °，分针转过6x °.

则6x －0.5x ＝60， 解得x ＝120

11

.

答：2点120

11

分时，时钟的时针和分针重叠．

3. 在某地大地震后，许许多多志愿者到灾区投入抗震救灾行列中．志愿者小方八点多准备前去为灾民服务，临出门她看到钟表上的时针与分针正好是重合的，下午两点多她拖着疲惫的身体回到家中，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线．问小方是几点钟去为灾民服务的？几点钟回到家的？共用了多长时间？

[解析] 在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°，时针转

动⎝ ⎛⎭

⎪⎫112°.依据这一关系列出方程，可以求出． 解： 设8点x 分时，时针与分针重合，则x －112x ＝40，解得x ＝48011.即8点480

11分时

出门．

设2点y 分时，时针与分针方向相反，则y －112y ＝10＋30，解得y ＝480

11，即下午2点

480

11

分时回家． 14点

48011分与8点48011

分相差6小时． 答：共用了6个小时．

4. 纪璇同学晚上6点多钟开始做作业时，她发现钟表上时针和分针的夹角为120°，做完作业后，

她发现钟表上时针和分针的夹角还是120°，但这时已近晚上7点了．问纪璇同学做作业用了多长时间？(精确到分)

[解析] 6点整时，时针和分针在一条直线上，它们的夹角为180°，开始做作业时，分针在时针后120°，做完作业后，分针追到时针前120°，即在相同的时间内，分针比时针多跑240°(如图4－T －15)．这道题也可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝240°.

图4－T －15

解： 设她做作业用了x 分钟，由题意得 6x －0.5x ＝240.解得x ＝480

11≈44(分)．

答：她做作业用了约44分钟．

这种解时钟问题的方法你掌握了吗？不妨给自己出道题试试看．

5. 某钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九时三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯？

[解析] 先求出晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角；再根据表盘共被分成60小格，每一大格所对角的度数为30°，每一小格所对角的度数为6°，即可求出晚上9时35分20秒时，时针与分针间隔的分钟的刻度，从而求出晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有的小彩灯个数．

解： 晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角为

9×30°＋35×0.5°＋20÷60×0.5°－(7×30°＋20÷60×6°)＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫75 23°， 75 2

3

÷6≈12.6(个)． 故时针与分针所夹的角α内装有12只小彩灯．

专题训练(二)——正方体的展开图

类型之一 识别正方体的展开图

1．下列图形是正方体的展开图的是( )

图6－ZT－1

[解析] C A图中四个相连的正方形可围成正方体的侧面，另两个正方形无法围成正方体相对的底面，所以排除选项A.因为B图中含有“凹”字，D图中含有“田”字，所以均被排除．C图属于“一四一型”，故选C.

2．一个长方体的展开图如图6－ZT－2所示，其表面积是________，体积是________．

图6－ZT－2

[答案] 4ab＋2b2 ab2

[解析] 由展开图可知，这个长方体的6个表面中有2个面是边长为b的正方形，有4个面是长为a，宽为b的长方形．

3．将如图6－ZT－3所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去________(填序号)．

图6－ZT－3

[答案] 1或2或6

[解析] 根据有“田”字形结构的展开图都不是正方体的展开图，可知应剪去1或2或6.

4．[菏泽中考] 过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图6－ZT －4的几何体，其展开图正确的为( )

图6－ZT－4