数一历年真题(2003-2011)

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分.)1、 曲线432)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是（ ） A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0） 2、设数列{}n a 单调减少，且0lim =∞→n n a 。

∑==ni in aS 1无界，则幂级数nn nx a)1(1-∑∞=的收敛域为（ ）A ]11-（B )11[-C )20[ D ]20(3、 设函数)(x f 具有二阶连续的导数，且0)(>x f .0)0(='f 。

则函数)()(ln y f x f z =在点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是（ ）A 0)0(1)0(>''>f fB 0)0(1)0(<''>f fC 0)0(1)0(>''<f f D 0)0(1)0(<''<f f4、设⎰=4sin ln πxdx I ⎰=40c o t ln πxdx J ⎰=40c o s ln πxdx K ，则 K JI的大小关系是（ ）A K J I <<B J K I <<C K I J <<D I J K <<5、设A 为3阶矩阵，把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第3行得到单位阵E ，记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*******P ，则A=（ ）A 21P PB 211P P - C 12P P D 112P P - 6、设)(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵。

若T )0,1,0,1(是0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为（ ）A31αα B 21αα C 321ααα D 432ααα7、设)()(21x F x F 为两个分布函数，且连续函数)()(21x f x f 为相应的概率密度，则必为概率密度的是（ ）A )()(21x f x fB )()(212x F x fC )()(21x F x fD )()(21x F x f +)()(12x F x f 8、设随机变量Y X ,相互独立，且EY EX ,都存在，记{}Y X U ,max ={}Y X V ,min =，则=EUV （ ）A EV EU ⋅B EY EX ⋅C EY EU ⋅D EV EX ⋅二、填空题：9—14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。

9、曲线)40(tan 0π≤≤=⎰x tdt y x的弧长为_____________10、微分方程x e y y xcos =+'满足条件0)0(=y 的解为________________ 11、设函数dt tty x F xy⎰+=21sin ),(，则______________|2022=∂∂==y x x F 12、设L 是柱面方程122=+y x 与平面y x z +=的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分_________22=++⎰dz y xdy xzdx L13、若二次曲面的方程42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为42221=+y y ，则_______=a14、设二维随机变量)0,,,,(~),(22σσμμN Y X ，则____________)(2=XY E三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15、（本题满分10分） 求极限110))1ln((lim -→+x e x xx16、（本题满分9分）设函数))(,(x yg xy f z =，其中f 具有二阶连续的偏导数，函数)(x g 可导且在1=x 处取得极值1)1(=g .求112|==∂∂∂y x y x z17、（本题满分10分）求方程0arctan =-x x k 的不同实根的个数，其中k 为参数。

18、（本题满分10分） ①证明：对任意的正整数n ，都有nn n 1)11ln(11<+<+成立； ②设......)2,1(ln 1............211=-+++=n n na n ，证明数列{}n a 收敛.19、（本题满分11分）已知函数),(y x f 具有二阶连续的偏导数，且⎰⎰===Da dxdy y x f x f y f ),(,0)1,(),1(，其中{}10,10|),(≤≤≤≤=y x y x D 计算二重积分⎰⎰''Dxydxdy y x f xy ),( 20、（本题满分11分）设向量组T )1,0,1(1=α，T )1,1,0(2=α，T )5,3,1(3=α不能由向量组T )1,1,1(1=β，T)3,2,1(2=β，T a ),4,3(3=β线性表示；（1） 求a 的值；（2） 将321,,βββ用321,,ααα线性表示；21、（本题满分11分）A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11001111-0011A求（1）A 的特征值与特征向量 （2） 矩阵A22、（本题满分11分）设随机变量X 与Y 的概率分布分别为X1P31 32Y-10 1P31 31 31且{}122==Y XP求（1）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布； （2）XY Z =的概率分布（3） X 与Y 的相关系数XY ρ23、（本题满分11分）设n X X X 21,是来自正态总体),(20σμN 的简单随机样本，其中0μ已知，02>σ未知.2,S X 为样本均值和样本方差.求（1）求参数2σ的最大似然估计Λ2σ(2) 计算E Λ2σ和D Λ2σ2010年全国硕士研究生入学统一考试数一试题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（ ） （A ）1 （B ）e （C ） a b e - （D ）b a e -（2）设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠。

则z z xy x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）x （B ）z （C ）x - （D ）z - （3）设m 、n 为正整数，则反常积分210ln (1)m nx dx x-⎰的收敛性（ ）（A ）仅与m 有关 （B ）仅与n 有关 （C ）与 m 、n 都有关 （D ）与 m 、n 都无关（4）2211lim ()()nnn i j nn i n j →∞===++∑∑（ ） （A ）1201(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰（B ）11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ （C ）101(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰（D ）112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ （5）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 为m 阶单位矩阵，则（ ）（A ）()()R A R B m == （B ）()R A m =，()R B n = （C ）()R A n =，()R B m = （D ）()()R A R B n ==（6）设A 是4阶实对称矩阵，且2A A O +=，若()3R A =，则A 相似于（ ）（A ）1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （C ）1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （D ）1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 的分布函数为0,011(),02211,2xx F x x e x -⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，则{1}P X ==（ ）（A ）0 （B ）12 （C ）112e -- （D ）11e -- （8）设1()f x 为标准正态分布的概率密度函数，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度函数，若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（0a >，0b >），则a ，b 满足（ ）（A ）234a b += （B ）324a b += （C ）1a b += （D ）2a b +=二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）（9）设20ln(1)ttx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰，则220t d y dx ==（10）2cos x xdx π=⎰（11）已知曲线L 的方程为1y x =-（11x -≤≤），起点为(1,0)-，终点为(1,0)，则2Lxydx x dy +=⎰（12）设22{(,,)1}x y z x y z Ω=+≤≤，则Ω的形心坐标z =（13）若11210α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，21102α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3211a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若由123,,ααα形成的向量组的秩为2，则a =（14）设随机变量X 的分布为{}!CP X k k ==（0,1,2,...k =），则2EX = 三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）（15）（本题满分10分）求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解。

（16）（本题满分10分） 求2221()()x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值。

（17）（本题满分10分）（I ）比较[]1ln ln(1)nt t dt +⎰与1ln n t t dt ⎰（1,2,3,...n =）；（II ）记[]1ln ln(1)nn u t t dt =+⎰（1,2,3,...n =），求lim n n u →∞。

（18）（本题满分10分）求幂级数121(1)21n nn x n -∞=--∑的收敛域与和函数。

（19）（本题满分10分）设P 为椭球面2221:1x y z yz ∑++-=上的动点，若1∑在点P 处的切平面与xoy 面垂直，求点P 的轨迹C ，并计算曲面积分22(3)244x y z I dS y z yz∑+-=++-⎰⎰，其中∑是椭球面1∑位于曲线C 上方的部分。