2020.1 天津市南开区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学 试卷+简答
天津市南开区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学试卷(含解析)
天津市南开区2019-2020学年高三（上）期末考试数学试卷一、选择题（本大题共9小题）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,2}，T ={2,3}，则(∁U S)∩T 等于( )A. {2}B. {3}C. {4}D. {2,3，4} 2. 命题“∃x 0∈(0,+∞)，ln x 0=x 0−1”的否定是( )A. ∀x ∈(0,+∞)，ln x ≠x −1B. ∀x ∉(0,+∞)，ln x =x −1C. ∃x 0∈(0,+∞)，ln x 0≠x 0−1D. ∃x 0∉(0,+∞)，ln x 0=x 0−1 3. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =x 3B. y =−lgx 2C. y =2xD. y =4. 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 3+S 5>2S 4”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 5. 设a =1−20.2，b =1og 3103，c =lg4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <c <bB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a6. 过点A(−1,0)，斜率为k 的直线，被圆(x −1)2+y 2=4截得的弦长为2√3，则k 的值为( )A. ±√33B. √33C. ±√3D. √37. 函数y =sin πx 6−√3cosπx 6(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A. −1−√3B. −1C. 0D. 2−√38. 已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=( ) A. 2：√5 B. 1：2 C. 1：√5 D. 1：39. 四边形ABCD 中，BC =1，AC =2，∠ABC =90°，∠ADC =90°，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [−1,3] B. (−3,−1) C. [−3,1] D. [−√3,√3] 二、填空题（本大题共6小题） 10. 复数2+i1−2i 的共轭复数是______．11. 曲线y =x2x−1在点(1,1)处的切线方程为______．12. 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，AB =2，则此球的表面积等于______． 13. 设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24−x 2=1具有相同渐近线，则C 的方程为______；渐近线方程为______． 14. 已知正数x ，y 满足x+y 2xy=3，则当x ______时，x +y 的最小值是______．15. 对于实数a 和b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a(a −b)3,a ≤b b(b −a)3,a >b，设f(x)=(2x −1)∗(x −1)，若函数g(x)=f(x)−mx 2(m ∈R)恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则m 的取值范围是______；x 1x 2x 3的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b −c =1，cosA =13，△ABC的面积为2√2．(Ⅰ)求a 及sin C 的值； (Ⅱ)求cos(2A −π6)的值．17. 如图，已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠ACB =90°，AA 1=AB =2BC =2，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(Ⅰ)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)求二面角A −BD −A 1的余弦值； (Ⅲ)求点B 1到平面A 1BD 的距离．18. 已知椭圆C 的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x −y +2√2=0的距离为3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设椭圆C 与直线y =kx +m 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ． (i)当k >0，m ≠0时，射线OE 交直线x =−3于点D(−3,n)(O 为坐标原点)，求k 2+n 2的最小值；(i)当k ≠0，且|AM|=|AN|时，求m 的取值范围．19. 已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 1=3，b 2=a 2，b 5=a 3+3，b 8=a 4．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)令c n =log 2a n 3，证明：1c 2c 3+1c 3c 4+⋯+1c n c n+1<1(n ∈N ∗,n ≥2)；(Ⅲ)求∑b2i (√33)b i+1ni=1(n ∈N ∗)．20. 已知函数f(x)=lnx −ax(a ∈R)．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)≤x 2对x ∈(0,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当a =1时，设g(x)=xe −f(x)−x −1(e 为自然对数的底).若正实数λ1，λ2满足λ1+λ2=1，x 1，x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2)，证明：g(λ1x 1+λ2x 2)<λ1g(x 1)+λ2g(x 2).答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵全集U={1,2，3，4}，集合S={1,2}，T={2,3}，∴C U S={3,4}，∴(∁U S)∩T={3}．故选：B．先求出C U S，由此能求出(∁U S)∩T的值．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈(0,+∞)，ln x0=x0−1”的否定是：∀x∈(0,+∞)，ln x≠x−1．故选：A．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.【答案】A【解析】解：A.函数为奇函数，不满足条件．B.函数的定义域为{x|x≠0}，函数为偶函数，当x>0时，y=−lgx2=−2lgx为减函数，不满足条件．C.y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D.f(−x)=f(x)，函数为偶函数，当x>0时，y=√x为增函数，满足条件，故选：A．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，∴a5−a4=d>0，则“d>0”是“d>0”的充要条件，故选：C．化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．本题考查充要性，以及数列，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵20.2>20=1，∴a<0，>log33=1，∴b>1，∵log3103∵lg1<lg4<lg10，∴0<c<1，∴a<c<b，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：设直线方程为y=k(x+1)，即kx−y+k=0，∵圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，∴圆心到直线的距离为√4−3=1，∴|2k|√k2+1=1，∴k=±√33．故选：A．设直线方程为y=k(x+1)，利用圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论．本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，确定圆心到直线的距离为1是关键．7.【答案】D【解析】解：函数y=sinπx6−√3cosπx6=2(12sinπx6−√32cosπx6)=2sin(πx6−π3)，由0≤x≤9，得−π3≤πx6−π3≤7π6，所以−√32≤sin(πx6−π3)≤1，所以y的最大值为2，最小值为−√3，所以y的最大值与最小值之和为2−√3．故选：D．化函数y为正弦型函数，根据x的取值范围即可求出y的最大值与最小值之和即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F(0,1)，点A坐标为(2,0)∴抛物线的准线方程为l：y=−1，直线AF的斜率为k=0−12−0=−12，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=−k=12，∴|PM||PN|=12，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=√|PN|2+|PM|2=√5|PM|因此，|PM||MN|=1√5，可得|FM|：|MN||=1：√5故选：C求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=−12.过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△MPN中，根据tan∠MNP=12，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，以点B 为原点，直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则： B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x,y)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −√3,y),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， ∵∠ADC =90°，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3x +y 2−1=0， ∴(x −√32)2+(y −12)2=1，∴设x =√32+cosθ,y =12+sinθ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32+cosθ,12+sinθ)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3cosθ+sinθ−1=2sin(θ−π3)−1， ∵−1≤sin(θ−π3)≤1，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[−3,1]． 故选：C ．根据题意，以点O 为原点，以直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x,y)，从而可求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，根据条件可得出AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3x +y 2−1=0，从而得出(x −√32)2+(y −12)2=1，从而可设x =√32+cosθ,y =12+sinθ，从而可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2sin(θ−π3)−1，从而可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，向量坐标的数量积运算，圆的参数方程，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题． 10.【答案】−i【解析】解：复数2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i 5=i 的共轭复数是−i ．故答案为：−i ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 11.【答案】x +y −2=0 【解析】解：y =x2x−1的导数，，而切点的坐标为(1,1)，∴曲线y =x2x−1在在x =1处的切线方程为x +y −2=0．故答案为：x +y −2=0根据导数的几何意义求出函数在x =1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．12.【答案】24π【解析】解：因为四边形ABCD是正方形，且PA⊥平面ABCD，所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中，则该长方体的长、宽、高分别为2、2、4，它们的外接球是同一个，设半接球半径为R，所以2R=√4+4+16=√24=2√6，解得R=√6，所以表面积为S=4πR2=4π×6=24π．故答案为：24π．根据四棱锥的特征，确定其所属的类型可以转化为长方体外接球问题，即可求解．本题考查球的表面积，考查长方体的外接球问题，属于中档题．13.【答案】x23−y212=1；y=±2x【解析】解：与y24−x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y24−x2=m，(m≠0)，∵双曲线C经过点(2,2)，∴m=224−22=1−4=−3，即双曲线方程为y24−x2=−3，即x23−y212=1，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：x23−y212=1，y=±2x．利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．14.【答案】=129【解析】解：正数x，y满足x+y 2xy=3，∴x=y23y−1>0，可得y>13，∴x+y=y23y−1+y=4y2−y3y−1，令t=3y−1则y=1+t3且t>0，x+y=t(t+1)29t −3t9(t+1)，=4t2+5t+19t =19(4t+1t+5)≥19(5+4)=1，当且仅当4t=1t 即t=12，此时x=y=12取最小值9，故答案为=：12，9．由已知可得，x=y 23y−1>0，可得y>13，代入后进行分离，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．15.【答案】(0,14)(1−√316,0)【解析】解：当2x −1≤x −1时，即x ≤0，f(x)=(2x −1)x 3，当2x −1>x −1时，即x >0，f(x)=−(x −1)x 3，所以f(x)={(2x −1)x 3,x ≤0−(x −1)x 3,x >0，因为g(x)有三个零点，所以f(x)与y =mx 2的图象有三个交点，即k(x)={(2x −1)x,x ≤0−(x −1)x x >0与函数y =m 有三个交点，作出k(x)的图象，如图，所以0<m <14，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2+x 3=1，所以0<x 2x 3<(x 2+x 32)2=14由{(2x −1)x =14x <0解得x ═1−√34，所以1−√34<x 1<0， 所以1−√316<x 1x 2x 3<0．故答案分别为(0,14)和(1−√316,0).首先根据定义求出函数的解析式，因为g(x)有三个零点，所以f(x)与y =mx 2的图象有三个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而求解三个零点之积的取值范围．本题考查函数的零点与函数图象间交点的关系，属于常规题．16.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b −c =1，cosA =13，∴sinA =√1−cos 2A =2√23，∵△ABC 的面积为12bc ⋅sinA =bc 2⋅2√23=√23bc =2√2，∴bc =6，∴b =3，c =2，∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3． 再根据正弦定理可得a sinA =csinC ，即2√23=2sinC ，∴sinC =4√29．(Ⅱ)∴sin2A =2sinAcosA =√29，cos2A =2cos 2A −1=−79，故cos(2A −π6)=cos2Acos π6+sin2Asin π6=−79⋅√32+√29⋅12=√2−7√318．【解析】(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值，再根据三角形的面积求得b 、c 的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a 及sin C 的值．(Ⅱ)利用二倍角公式求得sin2A 、cos2A 的值，再利用两角差的余弦公式求得cos(2A −π6)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．17.【答案】解：依题意，以C 为原点，CB 为x 轴，CC 1为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),B(1,0,0),C 1(0,2,0),B 1(1,2,0),A(0,0,√3)，A 1(0,2,√3)， ∵DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴D(0,12,0)，(Ⅰ)证明：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,−√3),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)， 设平面A 1BD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −2y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +12y =0，令z =√3，则m ⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−m ⃗⃗⃗ ，即AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //m ⃗⃗⃗ ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)， 设平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +12b =0，令c =√3，则n ⃗ =(3,6,√3)，又平面A 1BD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=|−3−12+3√1+4+3√9+36+3|=√64，即二面角A −BD −A 1的余弦值为√64；(Ⅲ)设点B 1到平面A 1BD 的距离为d ，则易知d =12|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，而|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+3=2√2，∴点B 1到平面A 1BD 的距离为√2．【解析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标， (Ⅰ)求出AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及平面A 1BD 的法向量，验证它们平行即可得证； (Ⅱ)求出两个平面的法向量，利用向量公式得解；(Ⅲ)设点B 1到平面A 1BD 的距离为d ，则易知d =12|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，由此得解． 本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解(Ⅰ)，设椭圆的右焦点(c,0)，c >0，由题意得：b =1，3=|c+2√2|√2，a 2=b 2+c 2，解得：a 2=3，b 2=1， 所以椭圆的方程：x 23+y 2=1；(Ⅱ)i)设M(x,y)，，将直线与椭圆联立整理得：(1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2−3=0，△=36k 2m 2−4(1+3k 2)(3m 2−3)>0，即m 2<1+3k 2， 且，，所以MN 的中点E(−3km1+3k 2,m1+3k 2)，所以射线OE ：y =−13k x ，与直线x =−3的交点(−3,1k )，所以n =1k ，所以n 2+k 2=k 2+1k 2≥2，当且仅当k 2=1，k >0， 所以k =1时n 2+k 2有最小值2．ii)当k ≠0，且|AM|=|AN|时，则AE ⊥MN ，所以k AE =−1kMN，即m1+3k 2+1−3km 1+3k 2=−1k ，∴2m =1+3k 2，∴2m >m 2，解得0<m <2，所以m 取值范围(0,2)．【解析】(Ⅰ)由题意得b 值及右焦点到直线的距离得c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；(Ⅱ)i)直线MN 与椭圆联立，得两根之和进而求出中点坐标，写出射线OE 求出n 的值，再求n 2+k 2，用均值不等式求出最小值；ii)由题意知EA ⊥MN ，斜率互为负倒数得m 与k 之间的关系，再与判别式大于零联立得m 的范围．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，数列{b n }是公差为d 的等差数列，由a 1=3，b 2=a 2，b 5=a 3+3，b 8=a 4，可得b 1+d =3q ，b 1+4d =3q 2+3，b 1+7d =3q 3，解得q =2，d =3，b 1=3，则a n =3⋅2n−1，b n =3+3(n −1)=3n ； (Ⅱ)证明：c n =log 2a n 3=log 22n−1=n −1，1c 2c 3+1c 3c 4+⋯+1c n c n+1=11×2+12×3+⋯+1(n−1)n=1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n<1；(Ⅲ)由2n(33)b =(33)3(n+1)=2n3n ， 可设T n =∑2i 3b n=23+49+627+⋯+2n3n ， 13T n =29+427+681+⋯+2n 3n+1，相减可得23T n =23+29+227+⋯+23n −2n3n+1 =2⋅13(1−13n )1−13−2n 3n+1，化简可得∑2i (33)b n=32−2n+32⋅3n．【解析】(Ⅰ)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，数列{b n }是公差为d 的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比、公差，可得所求通项公式； (Ⅱ)由对数的运算性质求得c n =n −1，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证；(Ⅲ)由2n3b =33(n+1)=2n3n ，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)函数的定义域为{x|x >0}，f′(x)=1x −a ，①当a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时，令f′(x)>0解得0<x<1a ，令f′(x)<0解得x>1a，故此时函数f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减；(Ⅱ)f(x)≤x2对x∈(0,+∞)恒成立，即为对任意的x∈(0,+∞)，都有a≥lnxx−x，设F(x)=lnxx −x(x>0)，则F′(x)=1−lnxx2−1=1−lnx−x2x2，令G(x)=1−lnx−x2(x>0)，则G′(x)=−1x−2x<0，∴G(x)在(0,+∞)上单调递减，且G(1)=0，∴当x∈(0,1)时，G(x)>0，F′(x)>0，F(x)单调递增；当x∈(1,+∞)，G(x)<0，F′(x)<0，F(x)单调递减，∴F(x)max=F(1)=−1，∴实数a的取值范围为[−1,+∞)．(Ⅲ)证明：当a=1时，g(x)=xe−(lnx−x)−x−1=xe x−lnx−x−1=e x−x−1，g′(x)=e x−1>0(x>0)，不妨设0<x1<x2，下先证：存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，构造函数H(x)=g(x)−g(x1)−g(x2)−g(x1)x2−x1(x−x1)，显然H(x1)=H(x2)，且H′(x)=g′(x)−g(x2)−g(x1)x2−x1，则由导数的几何意义可知，存在ξ∈(x1,x2)，使得H′(ξ)=g′(ξ)−g(x2)−g(x1)x2−x1=0，即存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，又g′(x)=e x−1为增函数，∴g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)>g′(x1)(x2−x1)，即g(x2)>g(x1)+g′(x1)(x2−x1)，设x3=λ1x1+λ2x2(λ1+λ2=0)，则x1−x3=(1−λ1)x1−λ2x2，x2−x3=(1−λ2)x2−λ1x1，∴g(x1)>g(x3)+g′(x3)(x1−x3)=g(x3)+g′(x3)[(1−λ1)x1−λ2x2]①，g(x2)>g(x3)+g′(x3)(x2−x3)=g(x3)+g′(x3)[(1−λ2)x2−λ1x1]②，由①×λ1+②×λ2得，λ1g(x1)+λ2g(x2)>g(x3)=g(λ1x1+λ2x2)，即g(λ1x1+λ2x2)<λ1g(x1)+λ2g(x2).【解析】(Ⅰ)求导，分a≤0及a>0解不等式即可得到单调性；(Ⅱ)依题意，问题可转化为a≥lnxx−x对任意x∈(0,+∞)恒成立，进而转化为求函数的最值问题；(Ⅲ)先证存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，结合g′(x)=e x−1为增函数，可得结论g(x2)>g(x1)+g′(x1)(x2−x1)，令x3=λ1x1+λ2x2，再利用所证结论即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，本题的背景知识是拉格朗日中值定理及凸函数的定义，要求学生有较丰富的知识储备及较强的运算分析能力，属于难题．。
2019-2020学年天津市南开区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年天津市南开区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2S =，{}2,3T =，则()US T 等于（ ）A ．{}2B ．{}3C ．{}4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】根据补集和并集的定义可计算出集合()US T .【详解】 由题意可得{}3,4US =，因此，(){}3U S T =.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 【考点】全称命题与特称命题3．下列函数中为偶函数，且在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．()lg 2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．y =【答案】D【解析】分析各选项中函数单调性以及在区间()0,∞+上的单调性，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数()lg 2y x =定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数2y x =-为偶函数，且在区间()0,∞+上为减函数； 对于C 选项，函数2xy =为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数；对于D 选项，函数y =为偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数.故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉几种常见的基本初等函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 4．“11a b<”是“0b a <<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用特殊值法和不等式的基本性质来判断出“11a b<”是“0b a <<”的必要不充分条件. 【详解】取2a =，1b =，11a b <成立，但0b a <<不成立，则“11a b<”⇒“0b a <<”. 当0b a <<，则0b a ->->，由不等式的性质得11a b ->-，11a b∴<，即“0b a <<”⇒“11a b<”.因此，“11a b<”是“0b a <<”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题.5．cos 480等于（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【解析】利用诱导公式可计算出cos 480的值. 【详解】由诱导公式得()()1cos 480cos 54060cos 18060cos602=-=-=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.6．设0.5log 6a =，60.5b =，0.56c =，则a 、b 、c 的大小顺序是（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，可得出这三个数的大小关系. 【详解】对数函数0.5log y x =在()0,∞+上为减函数，则0.50.5log 6log 10a =<=； 指数函数0.5xy =为减函数，则6000.50.5<<，即01b <<； 指数函数6x y =为增函数，则0.50661c =>=. 因此，a b c <<. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，考查推理能力，属于中等题. 7．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 【答案】B【解析】将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形为sin 243y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用平移规律可得出正确选项. 【详解】sin 2sin 2643y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度.故选：B. 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在解题时要确保两个三角函数的名称保持一致，考查推理能力，属于中等题.8．如图1是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图象（收支差额=车票收入-支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法：（1）图2的建议是：减少支出，提高票价； （2）图2的建议是：减少支出，票价不变； （3）图3的建议是：减少支出，提高票价； （4）图3的建议是：支出不变，提高票价； 上面说法中正确的是（ ） A ．（1）（3） B ．（1）（4） C ．（2）（4） D ．（2）（3）【答案】C【解析】根据题意知图象反映了收支差额y 与乘客量x 的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当0x =的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明. 【详解】根据题意和图2知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.9．已知三个函数()22xf x x =+-，()38g x x =-，()2log 2h x x x =+-的零点依次为a 、b 、c ，则a b c ++=（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】令()0f x =，得出22x x =-，令()0h x =，得出2log 2x x =-，由于函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，且直线y x =与直线2y x =-垂直，利用对称性可求出a c +的值，利用代数法求出函数()38g x x =-的零点b 的值，即可求出a b c ++的值. 【详解】令()0f x =，得出22x x =-，令()0h x =，得出2log 2x x =-，则函数2y x =-与函数2xy =、2log y x =交点的横坐标分别为a 、c .函数2xy =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，且直线y x =与直线2y x =-垂直， 如下图所示：联立2y xy x=⎧⎨=-⎩，得1x y ==，则点()1,1A ，由图象可知，直线2y x =-与函数2xy =、2log y x =的交点关于点A 对称，则2a c +=，由题意得()380g b b =-=，解得2b =，因此，4a b c ++=.故选：C. 【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为221y x =+，值域为{}3,19的“孪生函数”共有 ( )A ．15个B ．12个C ．9个D ．8个【答案】C【解析】试题分析：由y=2x 2+1=3，得x 2=1，即x=1或x=-1，由y=2x 2+1=19，得x 2=9，即x=3或x=-3，即定义域内-1和1至少有一个，有3种结果，-3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选C ． 【考点】1．函数的定义域及其求法；2．函数的值域；3．函数解析式的求解及常用方法．二、填空题11．已知幂函数()y f x =的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()f x =____________． 【答案】12x -【解析】设幂函数的解析式为()f x x α=，将点的坐标代入求出参数α即可。
2019-2020学年天津市部分区高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1．（5分）设全集{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，集合{2A =，3，4，6}，{1B =，4，7，8}，则()(U A B =⋂ð )A ．{4}B ．{2，3，6}C ．{2，3，7}D ．{2，3，4，7}2．（5分）抛物线24y x =的准线方程是( ) A ．1x =B ．1y =C ．1x =-D ．1y =-3．（5分）设x R ∈，则“220x x -<”是“|1|2x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．（5分）直线10x y -+=与圆22(1)4x y ++=相交于A 、B ，则弦AB 的长度为( ) AB．C ．2D ．45．（5分）已知数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则()A ．21n n S a =-B ．12n n S a =-C ．2n n S a =-D ．2n n S a =-6．（5分）已知偶函数()f x 在区间(,1)-∞-上单调递增，若3a ln =，21log 3b =，121log 5c =，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为( ) A ．f （a ）f >（b ）f >（c ） B ．f （b ）f >（c ）f >（a ）C ．f （c ）f >（b ）f >（a ）D ．f （a ）f >（c ）f >（b ）7．（5分）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是( )A ．1()22g π=B ．()g x 的最小正周期是4πC ．()g x 在区间[0，]3π上单调递增D ．()g x 在区间[3π，5]6π上单调递减8．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，若||||(PO PF O =是原点），且POF ∆C 的方程是( ) A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22133x y -=D ．2215x y -= 9．（5分）已知函数2|(2)|23()15363ln x x f x x x x -<⎧=⎨-+->⎩…，若关于x 的方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解，则实数k 的取值范围是( ) A ．[3，12]B ．(3,12)C ．(0.12)D ．(0,3)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中第14题答对1空得3分，全对得5分．10．（5分）i 是虚数单位，若复数z 满足(13)4i z i +=，则z = ． 11．（5分）621(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是 （用数字作答）． 12．（5分）已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是 ． 13．（5分）已知半径为2的球的球面上有A 、B 、C 、D 不同的四点，ABC ∆是边长为3的等边三角形，且DO ⊥平面(ABC O 为球心，D 与O 在平面ABC 的同一侧），则三棱锥D ABC -的体积为 ．14．（5分）设{}n a 是等差数列，若59a =，2716a a +=，则n a = ；若*121()n n n b n N a a +=+∈，则数列{}n b 的前n 项和n S = ．15．（5分）设点M 、N 、P 、Q 为圆222()x y r r R +=∈上四个互不相同的点，若0MP PN =，且()2PM PN PQ +=，则||PQ = ．三、解答题：本大题共5个小题，共14×2+15+16×2＝75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（14分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知2(s i n c o s c o s s i n)s i n A C A C A C+=+． （1）求证：a 、b 、c 成等差数列； （2）若7c =，23C π=，求b 和sin 2B 的值． 17．（14分）每年的12月4日为我国“法制宣传日”．天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动．已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人．为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试．具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰．（1）求各个年级应选取的学生人数；（2）若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率； （3）若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望．18．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C的中点，11PA PC ==11111A B B C PB ===114AC =．（1）求证：PO ⊥平面111A B C ； （2）求二面角111B PA C --的正弦值；（3）已知H 为棱11B C 上的点，若11113B H BC =，求线段PH 的长度．19．（16分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -、2(,0)F c ，点P 在椭圆上，O 为原点． （1）若||PO c =，23F OP π∠=，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为A ，短轴长为2，且满足2211(||||3||ee OF OA F A +=为椭圆的离心率）． ①求椭圆的方程；②设直线:2l y kx =-与椭圆相交于P 、Q 两点，若POQ ∆的面积为1，求实数k 的值．20．（16分）已知函数21()()(1)(2f x ln ex ax a x e =+++为自然对数的底数）．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当0a <时，证明3()12f x a --…．2019-2020学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1．（5分）设全集{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，集合{2A =，3，4，6}，{1B =，4，7，8}，则()(U A B =⋂ð )A ．{4}B ．{2，3，6}C ．{2，3，7}D ．{2，3，4，7}【解答】解：{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，{2A =，3，4，6}，{1B =，4，7，8}， {2U B ∴=ð，3，5，6}，(){2U A B =⋂ð，3，6}．故选：B ．2．（5分）抛物线24y x =的准线方程是( ) A ．1x =B ．1y =C ．1x =-D ．1y =-【解答】解：抛物线24y x =，得4124p ==， ∴其准线方程为1x =-．故选：C ．3．（5分）设x R ∈，则“220x x -<”是“|1|2x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：由220x x -<，得02x <<； 由|1|2x -<，得13x -<<． (0，2)(1-Ü，3)，∴ “220x x -<”是“|1|2x -<”的充分不必要条件．故选：A ．4．（5分）直线10x y -+=与圆22(1)4x y ++=相交于A 、B ，则弦AB 的长度为( )AB ．C ．2D ．4【解答】解：圆22(1)4x y ++=的圆心坐标为(0,1)-，半径为4，圆心(0,1)-到直线10x y -+=的距离d ==，∴弦AB的长度为==故选：B ．5．（5分）已知数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则()A ．21n n S a =-B ．12n n S a =-C ．2n n S a =-D ．2n n S a =-【解答】解：数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈， 即112n n a a +=， {}n a ∴是以1为首项，以12为公比的等比数列， 11()2n n a -∴=，前n 项和为11112221212n n n n S a --==-=--， 故选：D ．6．（5分）已知偶函数()f x 在区间(,1)-∞-上单调递增，若3a ln =，21log 3b =，121log 5c =，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为( ) A ．f （a ）f >（b ）f >（c ） B ．f （b ）f >（c ）f >（a ）C ．f （c ）f >（b ）f >（a ）D ．f （a ）f >（c ）f >（b ）【解答】解：偶函数()f x 在区间(,1)-∞-上单调递增，且函数的图象关于y 轴对称， ()f x ∴在区间(1,)+∞上单调递减， 3(1,2)a ln =∈，221log log 33b ==-，1221log log 525c ==>，且23log 3ln <， 则f （a ）(3)f ln =，f （b ）2(log 3)f =，f （c ）2(log 5)f =， f ∴（c ）f <（b ）f <（a ）， 故选：A ．7．（5分）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是( )。
天津市南开区2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析
天津市南开区2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3p=（ ）． A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】试题分析：抛物线22,(0)y px p =>的准线为x =-ｐ２，双曲线的离心率为2，则222221=4c b e a a==+，3b a =3y x =，求出交点3(,)22p A -，3(,)22p B --，132AOB S ∆=⨯ 23324p p ==2p =；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；2．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A 31B 21C ．512D ．212【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则()()()()222222114114y x y y PA m PFy x y y++++===-+-+= 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．3．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【答案】B 【解析】 【分析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数. 【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种.如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种. 故选：B 【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.4．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ） A ．131+ B ．132+ C ．151+ D ．152+【答案】A 【解析】 【分析】根据平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，则球心在过BC 的中点E 的面的垂线上，又ΔSAD 是等边三角形，所以球心也在过SAD ∆的外心F 面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可. 【详解】 依题意如图所示：取BC 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD 外接圆的圆心， 取F 是SAD ∆的外心，作OE ⊥平面,ABCD OF ⊥平面SAB ， 则O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，且3,2==OF SF ，设四棱锥S ABCD -的外接球半径为R ，则22213R SF OF =+=，而1OE =， 所以max 131d R OE =+=， 故选：A. 【点睛】本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题. 5．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 【答案】B【分析】 易得2i1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 6．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．35-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得：tan 2α=-，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α=-代入计算即可求出值． 【详解】由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α=-， 则22222sin cos 2tan 224sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15ααααααααα-⨯=====-++-+故答案选B 【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 7．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．134【答案】B 【解析】求出,x y ，把坐标(,)x y 代入方程可求得a ． 【详解】 据题意，得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =+++==+++=，所以1950.842a =⨯+，所以114a =． 故选：B ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值．8．要得到函数12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．详解：将函数23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到12233y x x ππ=⨯-=-（）（），再将得到的图象向左平移4π个单位长度得到3412y x x （）（），πππ=-+=- 故选B ．点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合ω和ϕ的关系是解决本题的关键． 9．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C 【解析】 【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题. 10．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈，当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．45【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得sin θ，根据二倍角公式即可求解. 【详解】角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合， 终边经过点()1,2P，则||OP θ==23cos 212sin 5θθ∴=-=-.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.12．若双曲线22214x y b -=的离心率2e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A．B ．2CD ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线22214x y b -=的离心率72e =， 则2a =，7c e a ==，解得7c =，所以焦点坐标为()7,0±， 所以22743b c a =-=-=，则双曲线渐近线方程为3y x =±，即320x y ±=， 不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得37334d ⨯==+，故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市部分区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学
天津市部分区2019～2020学年度高三年级上学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1. 设全集{U =1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{A =2，3，4，6}，{B =1，4，7，8}，则()U AB =ð（ ） A.{4}B.{2，3，6}C.{2，3，7}D.{2，3，4，7} 2. 抛物线24y x =的准线方程是（ ）A.1x =B.1y =C.1x =-D.1y =-3. 设x R ∈，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件4. 直线10x y -+=与圆22(1)4x y ++=相交于A 、B ，则弦AB 的长度为（ ）B. C.2D.45. 已知数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A.21n n S a =-B.12n n S a =-C.2n n S a =-D.2n n S a =-6. 已知偶函数()f x 在区间(-∞，1)-上单调递增，若ln3a =，21log 3b =，121log 5c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f a f c f b >>7. 将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A.1()22g π=B.()g x 的最小正周期是4πC.()g x 在区间[0，]3π上单调递增 D.()g x 在区间[3π，5]6π上单调递减 8. 已知双曲线C ：22221(0x y a a b-=>，0)b >的右焦点为F ，0)，点P 在C 的一条渐近线上，若(PO PF O =是原点），且POF ∆，则C 的方程是（ ）A.22142x y -=B.22124x y -=C.22133x y -=D.2215x y -= 9. 已知函数2ln(2)23()15363x x f x x x x -<≤⎧=⎨-+->⎩，若关于x 的方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A.[3，12] B.(3，12) C.(0。
2019-2020学年天津市南开中学高三(上)第一次月考(文科)数学试题
2019-2020学年天津市南开中学高三（上）第一次月考（文科)数学试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3,5A =， {}2,4B =，则()U A B ⋃=ð（ ）A ．{}0,2,3,4B ．{}4C ．{}1,2,4D ．{}0,2,4 2．函数的定义域为（ ）A ．［-2，2］B ．［-2，0）∪（0，2］C ．（-∞，-2］∪［2，＋∞）D ．（-2，0）∪（0，2） 3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 5．已知函数有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．［-1，0）B ．（1，2］C ．（1，＋∞）D ．（2，＋∞）6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈， ()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞7．已知函数 ，其导函数为 ，则以下4个命题： ① 的单调减区间是；② 的极小值是-15；③ 有且只有一个零点；④当 时，对任意的 ，恒有 .其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知定义在R 上的函数 满足 ，且，若关于x 的方程 恰有5个不同的实数根 ， ， ， ， ，则 的取值范围是（ ）A ．（-2，-1）B ．（-1，1）C ．（1，2）D ．（2，3）二、填空题9．设i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则a 的值为______． 10．已知数列 的前n 项和为 ，且 ， ， 时， ，则 的通项公式 ______．11．如图，在 中， ， ，D 为BC 边上的点，且 ， ，则______．12．已知数列的前 的前n 项和为 ，数列的的前n 项和为 ，则满足 的最小n 的值为______．13．已知函数()2ln f x x x =-与()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是__________．14．已知平面直角坐标内定点 ， ， ， 和动点 ，，若 ，，其中O 为坐标原点，则 的最小值是______．三、解答题15．设函数求函数 的最小正周期． 求函数 的单调递减区间；设A，B，C为的三个内角，若，，且C为锐角，求．16．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：如果随机调查这个班的一名学生，求事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率；若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，请用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果；在的条件下，求事件B：两名学生中恰有1名男生的概率．17．已知函数．求的对称轴所在直线方程及其对称中心；在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，，求周长的取值范围．18．已知在时有极值0。
2019-2020学年天津市南开区高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集U＝{1, 2, 3, 4}，集合S＝{1, 2}，T＝{2, 3}，则(∁U S)∩T等于（）A.{2}B.{3}C.{4}D.{2, 3, 4}【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出∁U S，由此能求出(∁U S)∩T的值．【解答】∵全集U＝{1, 2, 3, 4}，集合S＝{1, 2}，T＝{2, 3}，∴∁U S＝{3, 4}，∴(∁U S)∩T＝{3}．2. 命题“∃x0∈(0, +∞)，ln x0=x0−1”的否定是( )A.∀x∈(0, +∞)，ln x≠x−1B.∀x∉(0, +∞)，ln x=x−1C.∃x0∈(0, +∞)，ln x0≠x0−1D.∃x0∉(0, +∞)，ln x0=x0−1【答案】A【考点】命题的否定【解析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈(0, +∞)，ln x0=x0−1”的否定是：∀x∈(0, +∞)，ln x≠x−1．故选A．3. 下列函数中是偶函数，且在(0, +∞)上单调递增的是（）A.y＝x3B.y＝−lg x2C.y＝2xD.y=√|x|【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】A．函数为奇函数，不满足条件．B．函数的定义域为{x|x≠0}，函数为偶函数，当x>0时，y＝−lg x2＝−2lg x为减函数，不满足条件．C．y＝2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．f(−x)＝f(x)，函数为偶函数，当x>0时，y=√x为增函数，满足条件，4. 已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．【解答】∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，∴a5−a4＝d>0，则“d>0”是“d>0”的充要条件，5. 设a＝1−20.2，b＝1og3103，c＝lg4，则a，b，c的大小关系是（）A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】∵20.2>20＝1，∴a<0，∵log3103>log33＝1，∴b>1，∵lg1<lg4<lg10，∴0<c<1，∴a<c<b，6. 过点A(−1, 0)，斜率为k的直线，被圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，则k的值为（）A.±√33B.√33C.±√3D.√3【答案】A【考点】直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】设直线方程为y=k(x+1)，利用圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为y=k(x+1)，即kx−y+k=0，∵圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，∴圆心到直线的距离为√4−3=1，∴√k2+1=1，∴k=±√33．故选：A．7. 函数y＝sinπx6−√3cosπx6(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为（）A.−1−√3B.−1C.0D.2−√3【答案】D【考点】三角函数的最值【解析】化函数y为正弦型函数，根据x的取值范围即可求出y的最大值与最小值之和即可．【解答】函数y＝sinπx6−√3cosπx6＝2(12sinπx6−√32cosπx6)＝2sin(πx6−π3)，由0≤x≤9，得−π3≤πx6−π3≤7π6，所以−√32≤sin(πx6−π3)≤1，所以y的最大值为2，最小值为−√3，所以y的最大值与最小值之和为2−√3．8. 已知点A(2, 0)，抛物线C:x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|:|MN|＝（）A.2:√5B.1:2C.1:√5D.1:3【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=−12．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=12，从而得到|PN|＝2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，由此即可得到|FM|:|MN|的值．【解答】∵抛物线C:x2＝4y的焦点为F(0, 1)，点A坐标为(2, 0)∴抛物线的准线方程为l:y＝−1，直线AF的斜率为k=0−12−0=−12，过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM| ∵ Rt △MPN 中，tan ∠MNP ＝−k =12，∴|PM||PN|=12，可得|PN|＝2|PM|，得|MN|=√|PN|2+|PM|2=√5|PM|因此，|PM||MN|=√5，可得|FM|:|MN|＝|PM|:|MN|＝1:√59. 四边形ABCD 中，BC ＝1，AC ＝2，∠ABC ＝90∘，∠ADC ＝90∘，则AC →⋅BD →的取值范围是（ ） A.[−1, 3] B.(−3, −1)C.[−3, 1]D.[−√3,√3]【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，以点O 为原点，以直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x, y)，从而可求出AD →,CD →的坐标，根据条件可得出AD →⋅CD →=x 2−√3x +y 2−1=0，从而得出(x −√32)2+(y −12)2=1，从而可设x =√32+cos θ,y =12+sin θ，从而可得出AC →⋅BD →=2sin (θ−π3)−1，从而可得出AC →⋅BD →的取值范围．【解答】如图，以点B 为原点，直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则： B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x, y)，∴ AD →=(x −√3,y),CD →=(x,y −1)，AC →=(−√3,1),BD →=(x,y)， ∵ ∠ADC ＝90∘， ∴ AD →⊥CD →，∴ AD →⋅CD →=x 2−√3x +y 2−1=0， ∴ (x −√32)2+(y −12)2=1，∴ 设x =√32+cos θ,y =12+sin θ，∴ BD →=(√32+cos θ,12+sin θ)，∴ AC →⋅BD →=−√3cos θ+sin θ−1=2sin (θ−π3)−1， ∵ −1≤sin (θ−π3)≤1， ∴ AC →⋅BD →的取值范围为[−3, 1]．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
天津市南开区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
天津市南开区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240 C ．－80 D ．180【答案】D 【解析】 【分析】求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案. 【详解】由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x ⨯31240160180x-⨯=. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.2．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大， 设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩， 解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．3．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） AB．C．D【答案】A 【解析】 【分析】在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】由已知，1||HF b ===，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2||PF ===1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以32b a =，32b a ⇒=2e =∴=， 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.5．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．11【答案】A 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【详解】由约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，画出可行域ABC V 如图3z x y =+变为3y x z =-+为斜率为-3的一簇平行线，z 为在y 轴的截距， ∴z 最小的时候为过C 点的时候，解3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得21x y =-⎧⎨=⎩所以()2,1C -，此时()33215z x y =+=⨯-+=- 故选A 项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A 10B ．3C 5D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b x y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c=-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =， 故该双曲线的离心率10e =. 故选：A .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.7．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14【答案】C 【解析】分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是233C =；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是133C =，于是所求的概率2833314P C +==． 故选：C 【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 8．已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的代数运算法则化简即可得到结论. 【详解】由i z11=-，得()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以，1122z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 9．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1B ．2C ．3D ．0【解析】 【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可； 【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =， 可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则4222a b a b =+≥⋅，所以2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个； 故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．10．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 【答案】D 【解析】 【分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%， 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确， 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确， 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误． 故选：D. 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.11．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.12．已知x,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．45【答案】C 【解析】 【分析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，52BD =，5BC =115552224BCD S BD BC ∆=⋅=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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交于点 N ，则 FM ： MN （ ）
A. 2 ： 5
B.1：2
C.1： 5
D.1： 3
9. 四边形 ABCD 中， BC 1 ， AC 2 ， ABC 90 ， ADC 90 ，则 AC BD 的取值范围是
（）
A. [1， 3]
B. (3 ， 1)
值范围是_________. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 14×2＋15＋16×2＝75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，且 b c 1 ， cos A 1 ， ABC 的面积 3
为2 2 . ⑴求 a 及 sin C 的值； ⑵求 cos(2 A ) 的值.
6
17. 如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面，且 ACB 90 ， AA1 AB 2BC 2 ， DC1 3CD . ⑴求证： AB1 平面 A1BD ； ⑵求二面角 A BD A1 的余弦值； ⑶求点 B1 到平面 A1BD 的距离.
15.
对于实数 a 和 b ，定义运算“ ”： a b
a(a b)3
b(b
a)Biblioteka 3a b .设 f (x) (2x 1) (x 1) ，若函数 ab
高三数学试卷 第 1页（共 2页）
g( x) f ( x) mx 2(m R) 恰有三个零点 x1 ， x2 ， x3 ，则 m 的取值范围是________； x1x2x3 的取
A.{ 2}
B.{ 3}
C.{ 4}
D.{ 2，3，4}
2. 命题“ x0 (0 ， ) ， ln x0 x0 1 ”的否定是（ ）
A. x (0 ， ) ， ln x x 1
B. x (0 ， ) ， ln x x 1
C. x0 (0 ， ) ， ln x0 x0 1
天津市南开区 2019～2020 学年度高三年级上学期期末考试
数学试卷
一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1. 设全集U { 1，2，3，4} ，集合 S { 1，2} ， T {2，3} ，则 (ðU S) T 等于（ ）
D. x0 (0 ， ) ， ln x0 x0 1
3. 下列函数中是偶函数，且在 (0 ， ) 上单调递增的是（ ）
A. y x3
B. y lg x2
C. y 2x
D. y x
4. 已知等差数列{an}的公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，则“ d 0 ”是“ S3 S5 2S4 ”的（ ）
18. 已知椭圆 C 的一个顶点为 A(0 ， 1) ，焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x y 2 2 0 的距离为 3. ⑴求椭圆 C 的方程； ⑵设椭圆 C 与直线 y kx m 相交于不同的两点 M 、 N ，线段 MN 的中点为 E . ①当 k 0 ， m 0 时，射线 OE 交直线 x 3 于点 D(3 ， n)(O 为坐标原点），求 k 2 n2 的最小
C. [3，1]
D.[ 3 ， 3]
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
2i
10. 复数
的共轭复数是______.
1 2i
11.
曲线
y
2
x x
1
在点
(1
，1)
处的切线方程为_________.
12. 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是正方形，PA 平面 ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥
值；
②当 k 0 且 AM AN 时，求 m 的取值范围.
19. 已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，且 a1 3 ， b2 a2 ， b5 a3 3 ， b8 a4 .
⑴求数列{an}的通项公式 an ；
⑵令 cn
log2
an 3
，证明：
1 c2c3
A. 3
B. 3
C. 3 3
7.
函数 y sin x
3 cos
x(0
x
9)
的最大值与最小值之和为（
6
6
A. 1 3
B. 1
C.0
D. 3 3
）
D. 2 3
8. 已知点 A(2 ，0) ，抛物线 C ： x2 4 y 的焦点为 F ，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M ，与其准线相
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
5.
设
a
1
20.2
，
b
log3
10 3
，
c
lg
4
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（
A. a c b
B. b c a
C. c a b
）
D. c b a
6. 过点 A(1 ， 0) 斜率为 k 的直线，被圆 (x 1)2 y2 4 截得的弦长为 2 3 ，则 k 的值为（ ）
的体积为 4， AB 2 ，则此球的表面积等于_________.
13. 设双曲线 C 经过点 (2 ， 2) ，且与 y2 x2 1具有相同渐近线，则渐近线方程为_________， C 的方 4
程为________.
14. 已知正数 x ， y 满足 x y 2 3 ，则当 x ______时， x y 的最小值是________. xy
1 c3c4
…
1 cncn1
1(n
N*
，n
2) ；
n
⑶求
b2i (n N *) .
( 3) 3
i 1
bi 1
20. 已知函数 f (x) ln x ax(a R) . ⑴讨论 f (x) 的单调性； ⑵若 f (x) x2 对 x (0 ， ) 恒成立，求实数 a 的取值范围； ⑶当 a 1 时，设 g( x) xe f (x) x 1(e 为自然对数的底数）.若正实数 1 ，2 满足 1 2 1 ，x1 ， x2 (0 ， )( x1 x2 ) ，证明： g(1x1 2x2 ) 1g( x1) 2g( x2 ) .