新人教范文高考数学总复习专题训练导数的概念与运算

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导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

导数的概念及运算一，导数的概念1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成00000()()()()()limlim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率x x f x x f xy ∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim3.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为()()()y f x f x x x -='-4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim1x f f x x →-+=-二，导数的四则计算常用的导数公式及求导法则：（1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )('=⑥x x e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '= ⑧xx 1)(ln '=⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -=（2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''xuxy y u =⋅.题型1，导数的四则计算 1，求下列函数的导数：()1 ln x y e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos x y x=+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-2，求导数（1）()324y x x=- （2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+三，复合函数的导数链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则xy '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则xy '=)()()(x v u f ψϕ'''说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

高考数学必考点专项第7练导数的概念及其运算(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)

高考数学必考点专项第7练导数的概念及其运算一、单选题1. 质点运动规律23s t =+，则在时间[3,3]t +∆中，相应的平均速度等于( ) A. 6t +∆B. 96t t+∆+∆ C. 3t +∆ D. 9t +∆2. 设()f x 是可导函数，且000()(2)lim2x f x f x x x∆→-+∆=∆，则0()f x '= ( )A. 12B. 1-C. 0D. 2-3. 设，，，…，，则( )A. sin xB. sin x -C. cos xD. cos x -4. 曲线2()ln 1x f x e x x =-+在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为( )A.21e - B.4eC.21e + D.41e + 5. 下列求导运算正确的是( )A. 2313(ln )x x x x+'=+B. 2()2x x x e xe '=C. (3cos 2)3(ln 3cos 22sin 2)x x x x x '=⋅-D. 211(ln )22ln 2log x x +'=+6. 设函数的导函数为，则图象大致是( )A.B.C.D.7. 已知正数a ，b 满足4a b +=，则曲线()ln xf x x b=+在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为 ( )A. [,)4π+∞B. 5[,)412ππC. [,)42ππD. [,)43ππ8. 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数3211()233g x x x x =-+-，则(2019)(2020)(2021)(2022)(g g g g -+-++= )A. 0B. 1C. 2D. 49. 若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<二、多选题10. 已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为().f x '下列命题正确的有( )()g xA. 若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数B. 若函数()f x '是偶函数，则()f x 是奇函数C. 若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数D. 若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数三、填空题11. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为_____________________12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________.13. 已知函数()()sin cos 23f x f x x π='，其中()f x '为()f x 的导函数，则()2f π=__________.14. 定义方程的实数根0x 叫做函数的“新驻点”．设，则在上的“新驻点”为_________15. 已知函数，若方程()f x kx =恰有两个实数解，则实数k 的取值范围为__________.16. 已知函数，函数()f x 的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.17. 已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 四、解答题()()f x f x ='()f x ()f x18. 已知函数32()39 1.f x x x x =-+++(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程．19. 已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若()1f x ，求a 的取值范围.答案和解析1.【答案】A解：平均速度为22(3)3(33)633t v t t ++-+==++-，故选.A2.【答案】B解：由题得：0000020()(2)(2)()lim2lim 22x x f x f x x f x x f x x x∆→∆→-+∆+∆-=-=∆∆，即02()2f x -'=，得0() 1.f x '=- 故选.B3.【答案】D解：根据题意，，，，，，则有，，…，所以，则.故选.D4.【答案】A解：()2ln xf x e x x x '=--，故(1)1f e '=-，(1)1f e =+，故切线方程是：(1)(1)(1)y e e x -+=--，即(1)2y e x =-+，令0x =，解得：2y =，令0y =，解得：21x e =--，故围成的三角形的面积1222211S e e =⨯⨯=--，故选：.A5.【答案】C解：2313(ln )x x x x+'=-，A 错误； 22()2x x x x e xe x e '=+，B 错误；(3cos 2)3ln 3cos 223sin 23(ln 3cos 22sin 2)x x x x x x x x x '=-⨯=⋅-，C 正确；211(ln )2ln 2log x x +'=，D 错误．故选：.C6.【答案】D解：因为4()cos f x x x =--，所以3()sin 4f x x x '=-，所以3()sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：.D7.【答案】C解：()ln xf x x b=+，11()f x x b∴'=+，而正数a ，b 满足4a b +=， 1111111()()()(2)(22)1444b a f a a b a b a b a b ∴'=+=++=+++=，当且仅当2a b ==取等号成立，∴曲线()ln xf x x b=+在(,())a f a 处的切线的斜率1k ，又倾斜角范围为[0,),π ∴曲线()ln x f x x b =+在(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为[,),42ππ 故选.C8.【答案】D解：3211()233g x x x x =-+-，2()22g x x x '=-+，()22g x x ''=-，令()0g x ''=，得1x =，又3211(1)1121133g =⨯-+⨯-=，所以()g x 的对称中心为(1,1)，所以(2)()2g x g x -+=，所以(2019)(2020)(2021)(2022)[(2019)(2021)][(2020)(2022)]g g g g g g g g -+-++=-++-+224=+=，故选：.D9.【答案】D解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，易知000x x e b e x a-=-，整理得：00000x x xe b x e ae --+=有两解，令()x x x g x e b xe ae =--+，()()x g x a x e '=-，易知()g x 最大值为().g a即，解得b a e >，又因为当x 趋近正无穷时()0g x <，当x 趋近负无穷时，()g x 趋近0b -<，则0.b > 综上，a 0b e << 故选.D10.【答案】AC解：A 中，若函数()f x 是奇函数，则，则()f x '是偶函数，故A 正确；B 中，令()sin 1f x x =+，不是奇函数，但是偶函数，故B 错误；C 中，若函数()f x 是周期函数，则，则()f x '也是周期函数，故C 正确. D 中，令，不是周期函数，但是周期函数，故D 错误；故选.AC11.【答案】2210x y π+-+=解：已知2sin cos y x x =+，2cos sin y x x ∴'=-，，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为：12()y x π+=--，即2210.x y π+-+= 故答案为2210x y π+-+=12.【答案】4解：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-，解得000).x x > ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4.= 故答案为：4.13.【答案】0解：因为()()[(sin )cos 2sin (cos 2)]3f x f x x x x π'=''+'()(cos cos 22sin sin 2)3f x x x x π='-，所以227()()(coscos2sin sin )()33333343f f f πππππππ'='-=-'，所以()03f π'=，所以()0f x =，所以()02f π=，故答案为0.14.【答案】4π 解：()sin ()cos f x x f x x =∴'=，令()()f x f x ='，即cos sin x x =，得tan 1x =，，解得4x π=，所以，函数()y f x =在上的“新驻点”为.4π 故答案为：.4π 15.【答案】解：函数，方程()f x kx =恰有两个实数解，∴函数()f x 的图象与函数y kx =恰有2个交点.作出函数()f x 和y kx =的图象，如图所示：当直线y kx =与ln y x =相切时，设切点为00(,ln )x x ，切线斜率为01k x =，所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，根据切线方程过原点，可得0ln 1x =，所以0x e =，1k e=，结合图象可知，实数k 的取值范围为，故答案为16.【答案】解：由题意，，则，所以点和点，12,x x AM BN k e k e =-=，所以12121,0x x e ex x -⋅=-+=，所以，所以，(0,1)同理，所以故答案为：17.【答案】e2解：对于x y e =，设切点为(,)nn e ，因为x y e '=，故切线斜率n k e =，故切线方程为()n n y e e x n -=-，由已知得切线过(0,0)，所以()n n e e n -=-，故1n =，所以.k e =对于ln y x m =+，设切点为(,ln )c c m +，且其导函数为1y x '=，因为直线y ex =也是曲线ln y x m =+的切线，得1|.x c y e c='== 所以1c e =，所以切点为1(,1)e，代入ln y x m =+得11ln m e =+，所以 2.m =故答案为：e ；2.18.【答案】解：(1)函数32()391f x x x x =-+++的导数为 2()369f x x x '=-++，令()0f x '<，解得1x <-，或3x >，可得函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；2(2)()369f x x x '=-++，可得()f x 在点(2,(2))f --处的切线斜率为3412915k =-⨯-+=-，切点为(2,3)-，即有()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程为315(2)y x -=-+，即为15270.x y ++=19.【答案】解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x'=-='=-=+，所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--，即(1)2y e x =-+，所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e，所以三角形的面积1222.211S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，要使()1f x ，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+，即ln 1ln -1ln a x e a x +-+，即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+，令()x g x e x =+，，()g x 单调递增，故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-，因为()g x 为增函数，只需证ln 1ln a x x +-，即ln ln 1a x x +-，设()ln 1h x x x =+-，11()1x h x x x-'=-=，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， max ()(1)0h x h ==，所以ln 0a ，1a ，即a 的取值范围为[1,).+∞。

高考数学专题复习《导数的概念、意义及运算》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

考点二导数的几何意义
命题角度1 导数的几何意义
例2 若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线斜率的范围是( )
A. B. C. D.
√
变式2 已知函数， .若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为___.
命题角度2 求切线方程
切线的斜率
自主评价：4. 函数 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线方程为（）A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m>
C
（4）导函数的概念: 当时，是一个唯一确定的数，这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的________（简称______）. 的导函数有时也记作，即 <m></m> .
复合函数
【常用结论】
3.导数的两条性质
（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
（2）可导函数的导数为，若为增函数,则的图象是下凹的；反之，若为减函数,则的图象是上凸的.
考点一求导运算
例1 求下列函数的导数：
（1）；
解：因为，所以 .
（2）；
（2）导数的概念: 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处______，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为____________），记作_______或，即 .
可导
瞬时变化率
练1：设函数，则A． B． C． D．
√
（3）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是______.

新高考数学(理)函数与导数专题12 导数的概念及运算(解析版)

2020年高考数学（理）函数与导数12 导数及其应用导数的概念及运算一、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y c y x ==，，2y x =，1y x=的导数； (2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【考点透析】【备考重点】(1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； (2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 二、知识概述： 1．由0()()'()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0()()Q n x x f n ∈= ()1-='n nx x f()x x f sin = ()x x f cos =' ()x x f cos =()x x f sin -=' ()x a x f =()a a x f x ln ='()x e x f = ()x e x f ='()x x f a log =()ax x f ln 1=' 【考点讲解】1）基本初等函数的导数公式2）导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（和或差的导数是导数的和与差）（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导）（3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商）(4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【温馨提示】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.()x x f ln =()xx f 1='2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =. 【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．1. 【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（） A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【解析】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．【答案】D2.【2019年高考全国Ⅱ卷】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（）A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【解析】本题要注意已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．【真题分析】2cos sin ,y x x '=-Q π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国Ⅰ卷】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为（）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D. 【答案】D4.【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（）【解析】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【答案】D5.【2019年高考全国Ⅰ卷】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x xy x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【答案】30x y -=6.【变式】【2018年理数全国卷II 】曲线()1ln 2+=x y在点()00，处的切线方程为__________．【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.由题中条件可得：12+='x y ，所以切线的斜率为2102=+=k ，切线方程为()020-=-x y ，即x y 2=.【答案】x y 2=7.【2019年高考天津文数】曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 【解析】∵1sin 2y x '=--，∴01|sin 0212x y ='=---=，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=. 【答案】220x y +-=8．【2018年高考天津文数】已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________．【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【答案】e9.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，将点()e,1--代入，得00e 1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =，故点A 的坐标为()e,1. 【答案】(e, 1)10.【2018年全国卷Ⅲ理】曲线()()x e ax x f 1+=在点()10，处的切线的斜率为2-，则=a ________．【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.由题意可知：()()x x e ax ae x f 1++='，则()210-=+='a f ，所以3-=a ，故答案为-3.【答案】3-【变式】已知函数错误!未找到引用源。

2023年新高考数学大一轮复习专题14 导数的概念与运算(原卷版)

专题14 导数的概念与运算【考点预测】知识点一：导数的概念和几何性质1.概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；② 当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2.几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3.物理意义函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．知识点二：导数的运算 1.求导的基本公式x（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；（3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3.复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为 x u x y y u '''=：【方法技巧与总结】 1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2.过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型归纳目录】题型一：导数的定义题型二：求函数的导数题型三：导数的几何意义 1.在点P 处切线 2.过点P 的切线 3.公切线4.已知切线求参数问题5.切线的条数问题6.切线平行、垂直、重合问题7.最值问题【典例例题】题型一：导数的定义例1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<例2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））设函数()f x 满足000(2)()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆，则()0f x '=（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在()()00000,,limx f x x y x y f x ∆→+-∆∆，则称()()00000,,limx f x x y xy f x ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对x 的偏导数，记为()00,x f x y '；若存在()()00000,,limy f x y yy f x y ∆→+-∆∆，则称()()00000,,lim y f x y yy f x y ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对y 的偏导数，记为()00,y f x y '，已知二元函数()()23,20,0f x y x xy y x y =-+>>，则下列选项中错误的是（）A ．()1,34x f '=-B ．()1,310y f '=C ．()(),,x y f m n f m n ''+的最小值为13-D ．(),f x y 的最小值为427-例4．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式，()2524s t t =+--，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（） A ．2-米/秒B ．3米/秒C ．4米/秒D ．5米/秒例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（）A ．20-B ．10-C ．10D ．20例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（） A ．209-B ．119-C ．79D ．169例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32121f x x x f x '=++-，则()2f '=（） A ．1B ．9-C ．6-D ．4【方法技巧与总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出. 题型二：求函数的导数例8．（2022·天津·耀华中学高二期中）求下列各函数的导数： (1)ln(32)y x =-； (2)e xxy =； (3)()2cos f x x x =+例9．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数： (1)22ln cos y x x x =++； (2)3e x y x = (3)()ln 31y x =-例10．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）求下列函数的导数： (1)5y x =； (2)22sin y x x =+； (3)ln xy x=； (4)()211ln 22x y e x -=+．【方法技巧与总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题. 题型三：导数的几何意义1.在点P 处切线例11．（2022·河北·模拟预测）曲线e sin x y x =在0x =处的切线斜率为（） A ．0B ．1C ．2D ．2-例12．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（） A ．1-B ．23-C ．12D ．1例13．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）曲线e 2x y x =-在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A ．BC ．1D ．-1例14．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（）A B ．C ．D ．-例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且32()23(1)f x x ax f x '=-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为（） A ．21-B ．27-C ．24-D ．25-例16．（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线31y x =+在点()1,a -处的切线方程为（） A ．33y x =+B ．31yxC ．31y x =--D ．33y x =--例17．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为（） A ．4x －y +8＝0 B ．4x +y +8＝0 C ．3x －y +6＝0D ．3x +y +6＝02.过点P 的切线例18．（2022·四川·广安二中二模（文））函数()2e xf x x =过点()0,0的切线方程为（）A ．0y =B ．e 0x y +=C ．0y =或e 0x y +=D ．0y =或e 0x y +=例19．（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（） A ．e 1+B ．12-C ．1D ．12例20．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=例21．（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（） A ．eB ．1CD ．1e例22．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（） A ．25e em -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <3.公切线例23．（2022·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（） A ．1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞例24．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（） A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例25．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（） A ．(]0,2eB ．(]0,eC ．[)2,e +∞D ．(],2e e例26．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（） A ．12B ．1C ．eD ．2e例27．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（）A ．2B ．2eC ．2eD 例28．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l y kx b =+（1k >）为曲线()1x f x e -=与曲线()ln g x e x =的公切线，则l 的纵截距b =（）A ．0B ．1C ．eD ．e -例29．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（） A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞例30．（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数()ln f x a x =（0a >）和2()g x x =的图象均相切，则实数=a （）A ．eB C ．2eD ．4.已知切线求参数问题例31．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(,-∞例32．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线e ln x y ax x =+在点()1,e a 处的切线方程为3y x b =+，则（） A ．e a =，2b =- B ．e a =，2b = C ．1e a -=，2b =-D ．1e a -=，2b =例33．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．例34．（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+，则（）A ．3a =，2ln 4b =+B ．3a =，2ln 4b =-+C ．32a =，1ln 4b =-+ D ．32a =，1ln 4b =+ 例35．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l 的斜率为2，l 与曲线1C ：()1ln y x x =+和圆2C ：2260x y x n +-+=均相切，则n =（） A ．－4B ．－1C ．1D ．45.切线的条数问题例36．（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（） A ．ln a b <B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <例37．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．{}0,1例38．（2022·河南洛阳·三模（文））若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（） A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条例39．（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例40．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（） A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例41．（2022·广东深圳·二模）已知0a >，若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线，则（） A ．0b <B ．30b a <<C ．3b a >D ．()30b b a -=6.切线平行、垂直、重合问题例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14例43．（2022·山西太原·二模（理））已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（）A ．B ．C D 例44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为（） A ．12 B ．1 C ．32D ．2例45．（2022·全国·高三专题练习）若直线x a =与两曲线e ,ln x y y x ==分别交于,A B 两点，且曲线e x y =在点A 处的切线为m ，曲线ln y x =在点B 处的切线为n ，则下列结论： ①()0,a ∞∃∈+，使得//m n ；②当//m n 时，AB 取得最小值； ③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52．其中正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4例46．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22(0)()1(0)x x a x f x x x ⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（）A ．1(,)8-∞-B ．1(1,)8-C ．(1,)+∞D ．1(,1)(,)8-∞⋃+∞例47．（2022·全国·高三专题练习（文））若曲线x y e x =+的一条切线l 与直线220210x y +-=垂直，则切线l 的方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y ++=7.最值问题例48．（2022·全国·高三专题练习）若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线3y x =-的距离的最小值为（） A．4BCD例49．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线l 分别与直线21y x =-，曲线23ln 2y x x =-相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）ABC ．1 D例50．（2022·江苏·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b-的取值范围是（） A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞例51.（2022·全国·高三专题练习）曲线2x y e =上的点到直线240x y --=的最短距离是（） ABCD ．1例52．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数2ln ()2xf x x x=-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（） ABCD．34+ 例53．（2022·山东聊城·二模）实数1x ，2x ，1y ，2y 满足：2111ln 0x x y --=，2240x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（） A ．0B．C．D ．8例54．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数21e x y +=的图象与函数()ln 112x y ++=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（）A ．22B 24C ．)4ln 22+D )4ln 2+例55．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线y kx b =+是曲线1y =的切线，则222k b b +-的最小值为（）A ．12-B ．0C ．54D ．3【方法技巧与总结】函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（2）若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程，应先设切点坐标为00(,())x f x ，由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ，求得0x 的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.【过关测试】一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（） A ．1B ．e2C ．2D ．e2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-3．（2022·全国·高三专题练习）设()f x 为可导函数，且()()112lim1x f f x x→--=-△△△，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为（）A ．2B ．-1C ．1D ．12-4．（2022·河南·模拟预测（文））已知3()ln(2)3xf x x x =++，则曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为( )A ．21010ln510x y -+-=B ．21010ln510x y ++-=C ．1212ln5150x y -+-=D ．1212ln5150x y ++-=5．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式23(43)=-s t t ，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（） A ．5米/秒 B ．8米/秒 C ．14米/秒D ．16米/秒6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =，()()2g x x ax a =+∈R ，若经过点1,0A 存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则=a （） A ．0B ．1-C ．3D ．1-或37．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）m 对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2⎛-∞ ⎝⎦C ．(-∞D ．(],2-∞8．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线11y k x b =+与直线()2212y k x b k k =+≠是曲线ln y x =的两条切线，也是曲线e x y =的两条切线，则1212k k b b ++的值为（） A ．e 1- B ．0 C ．-1D ．11e-二、多选题9．（2022·辽宁丹东·模拟预测）若过点()1,a 可以作出曲线()1e xy x =-的切线l ，且l 最多有n 条，*n ∈N ，则（） A ．0a ≤B ．当2n =时，a 值唯一C ．当1n =时，4ea <-D ．na 的值可以取到﹣410．（2022·浙江·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（）A ．在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D ．甲企业在[]10,t ，[]12,t t ，[]23,t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()xf x e =，则下列结论正确的是（）A ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1B ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1-C ．过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条D ．过点()0,0且与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条12．（2022·全国·高三专题练习）过平面内一点P 作曲线ln y x =两条互相垂直的切线1l ､2l ，切点为1P ､2P （1P ､2P 不重合），设直线1l ､2l 分别与y 轴交于点A ､B ，则下列结论正确的是（） A ．1P ､2P 两点的横坐标之积为定值 B ．直线12PP 的斜率为定值；C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(]0,1三、填空题13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()3ln f x x x x =-，则曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程为_______.14．（2022·全国·模拟预测（文））若直线l 与曲线2yx 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______． 15．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.16．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，且0x >，52f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()f π=___________. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数（1）42356y x x x --=+；（2）2sin cos 22xx x y =+；（3）2log y x x =-；（4）cos x y x=.18．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x xx =+与()g x =()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小； (2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈. (1)若()f x 在点()()e,e f 处的切线为e 0x y b -+=，求a ，b 的值； (2)求()f x 的单调区间.20．（2022·浙江·高三专题练习）函数()321f x x x x =+-+，直线l 是()y f x =在()()0,0f 处的切线.(1)确定()f x 的单调性；(2)求直线l 的方程及直线l 与()y f x =的图象的交点.21．（2022·北京东城·三模）已知函数()e x f x =，曲线()y f x =在点(1(1))f --，处的切线方程为y kx b =+.(1)求k ，b 的值；(2)设函数()1ln 1.kx b x g x x x +<⎧=⎨≥⎩，，，，若()g x t =有两个实数根12,x x （12x x <），将21x x -表示为t 的函数，并求21xx -的最小值.22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知a ∈R ，函数()()ln 1f x x a x =+-，()e xg x =．(1)讨论()f x 的单调性；(2)过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ，求证：存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数．。

高三数学第一轮复习(新人教A)导数的概念及运算

导数的概念及运算一．复习目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．二．知识要点：1．导数的概念：；．2．求导数的步骤是．3．导数的几何意义是．三．课前预习：1．函数的导数是（）2．已知函数的解析式可（）3．曲线上两点，若曲线上一点处的切线恰好平行于弦，则点的坐标为（）4．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（）5．已知曲线在处的切线的倾斜角为，则，．6．曲线与在交点处的切线的夹角是．四．例题分析：例1．（1）设函数，求；（2）设函数，若，求的值．（3）设函数，求．解：（1），∴（2）∵，∴由得：，解得：或（3）例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离其中为经历的时间，，若，则下列说法正确的是（）（A）0～1s时间段内的速率为（B）在1～1+△ts时间段内的速率为（C）在1s末的速率为（D）若△t＞0，则是1～1+△ts时段的速率；若△t＜0，则是1+△ts～1时段的速率．小结：本例旨在强化对导数意义的理解，中的△t可正可负例3．（1）曲线：在点处的切线为在点处的切线为，求曲线的方程；（2）求曲线的过点的切线方程．解：（1）已知两点均在曲线C上. ∴∵∴，可求出∴曲线：（2）设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴解得：或，当时，切点为，切线方程为：当时，切点为，切线方程为：例4．设函数(1)证明：当且时，；(2)点（0<x0<1）在曲线上，求曲线上在点处的切线与轴，轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用表示）解：（1）∵，∴，两边平方得：即：，∵，∴，∴∴（2）当时，，曲线在点处的切线方程为：，即：∴切线与与轴，轴正向的交点为∴所求三角形的面积为例5．求函数图象上的点到直线的距离的最小值及相应点的坐标.解：首先由得知，两曲线无交点.，要与已知直线平行，须，故切点：（0 , －2）. .五．课后作业：班级学号姓名1．曲线在点处的切线方程为（）2．已知质点运动的方程为，则该质点在时的瞬时速度为（）120 80 503．设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）4．若，则5．设函数的导数为，且，则已知曲线（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点并与曲线相切的直线方程．7.设曲线：，在哪一点处的切线斜率最小？设此点为求证：曲线关于点中心对称.8.已知函数. 若，且，，求．9..曲线上有一点，它的坐标均为整数，且过点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.10.已知函数的图像过点.过点的切线与图象仅点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求的解析式.。

2023届全国高考数学复习：专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________．答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝．答案－74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案－4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝．11．答案 1＋e 解析因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。

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导数的概念与运算
1．函数y =(x +2a )(x －a )2的导数为（）
A ．2（x 2－a 2）
B .3(x 2+a 2)
C .3(x 2－a 2)
D .2(x 2+a 2)
2．y =ln [ln (lnx )]的导数为（）
A ．)ln(ln 1x x
B ．)ln(ln ln 1x x
C .)ln(ln ln 1x x x
D . )
ln(ln 1x 3．函数y =si n n xco s nx 的导数为（） A ． n si n n －1xco s nx B . n si n n xco s nx C .n si n n xco s(n +1)x D .n si n n －1xco s(n +1)x
4．若y =32x lg (1－co s2x )，则x y '为（）
A ．4·9x [2ln 3lg (1－co s2x )+lge ·co t x ]
B . 4·9x [2ln 3lg (1－co s2x )+lg 10·co t x ]
C . 2·9x [ln 3·lg (1－co s2x )+lge ·co t x ]
D . 以上皆非
5．已知f (x )=(5)f '为 ( ) A ．2710- B . 2710 C .3
2128 D .以上皆非 6. （05湖北卷）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4
π的点中，坐标为整数的点的个数是A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
7. ( 05全国卷III )曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为
8．函数y =x
x sin 2
的导数为______. 9．函数y =
3
32++x x 在点x =3处的导数值为_____. 10．函数y =2x 2－3x +4－223x x +的导数为______. 11．函数y =)32(sin 2π
+x 的导数为______. 12．在受到制动后的七秒种内飞轮转过的角度（弧度）由函数=)(t ϕ4t －0.3t 2给出，求：
（1）t=2(秒)时，飞轮转过的角度；
（1）飞轮停止旋转的时刻.
13．动点沿ox 轴的运动规律由x =10t+5t 2给出，式中t 表示时间（单位：s ）,x 表示距离（单位：m ），求在20≤t ≤20+△t 时间段内动点的平均速度，其中
①△t=1； ②△t=O .1； ③△t=0.01
当t=20时，运动的瞬时速度等于什么？
14．设2ln(1), 0()0, 01sin , 0x x f x x x x x
⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪<⎩ 求f ′(x ).。