高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题.doc
高中数学导数知识点归纳总结与例题
资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除导数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14. 导数知识要点导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导导数的运算数导数的运算法则函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处xx)y?f(x x00有增量，则函数值也引起相应的增量；比值x?y)(x?x)?f?y?f(x?00f(x??x)?f(x)y?00称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限x x?x?)xy?f(?00?x?xf(x??x)?f(x)?y00存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做x)?f(xy?limlim0xx??0?x?x?0?f(x??x)?f(x)?y'''00. =在记作处的导数，或，即)(xff)(xx)(xy?f|y?limlim000x?x?x?x00??x?0x?注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.x?x?'的定义域为，则与关系为②以知函数定义域为，. )fx(y?B?A)(xy?fBABA2. 函数在点处连续与点处可导的关系：)xf(?y xx00⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件. )f(xy?xx)fy?(x00可以证明，如果在点处可导，那么点处连续. xx)fy?xy?f()(x00事实上，令，则相当于.0x??x?xx??x?x00于是)]xf(?()(fx?x?fx)[?x?xf?xflim()lim(?)lim0000x?x?x?0?x?00只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除f(x??x)?f(x)f(x??x)?f(x)'0000(x)?0?f(x)?f(x).?lim[f??x?f(x)]?lim?lim?limf(x)?00000x??x0?0?x?0??x?x?0?x. 处可导，是不成立的处连续，那么在点⑵如果点xx)xf(y?y?f(x)00y?|x|?时，例：在点处连续，但在点处不可导，因为0，当＞0?xx?0|x?|f(x)x??00 x??xy??y?y，故；当. ＜0时，不存在x?lim1?1??xx??x?0??x.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 导数的几何意义：3.处的切线的斜率，在点函数在点处的导数的几何意义就是曲线x))f(xf()xy?f(x)(x,y?00'为程切线的斜率是方，处也就是说，曲线在点P的切线)fx())fxy?f(x),(x(00').?x?fx()(xy?y00 4. 求导数的四则运算法则：'''''''vu(u?v)??)??...fx(x)?f((x)f?y?f(x)?(x)?...?f(x)?y?f n2211n'''''''cvv?cvu?(cv)??(uv)c?vuv?（为常数）c'''u?vuvu???)(v?0??2vv??.必须是可导函数注：①v,u差、则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，②若两个函数可导，则它们和、.积、商不一定不可导22处均不可导，但它们和在例如：设，，则)(xf(x),g0x??)?cosx2sinx?(gx?f(x) xx.在处均可导0?x?)g(xf(x)?xx?cossin''''''??或5. 复合函数的求导法则：u??yy)f((u)f(x(x))?xxux. 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 6. 函数单调性：'为则如果＞0，⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，)fx()?f(y?fx)(xy'. 为减函数＜0，则增函数；如果)(xf)(xy?f ⑵常数的判定方法；'.=0，则如果函数在区间内恒有为常数)fx()y?f(?fx)(xyI3上并不是（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在是注：①f x?2y)??,xf() 0??(）递减的充分非必f，同样（x是f，有一个点例外即x 都有=0时（x）= 00) xf()0 f(x.要条件）（）（在其余各点均为正（或负），那么如果②一般地，fx在某区间内有限个点处为零，fx 只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权. 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的是函数，则（极值是在附近所有的点，都有＜7. 极值的判别方法：x)(x)f(x)xff(f(x)000的极大值，极小值同理）在点处连续时，当函数x)(xf0''是极大值；＜0附近的左侧①如果在，那么＞0，右侧))(ffx(xx)xf(00''.是极小值＞0②如果在附近的左侧，那么＜0，右侧)(xff)(xx)xf(00'①此外，函数不=0点两侧导数异号，而不是. 也就是说是极值点的充分条件是)fx(xx00 ②当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确可导的点也可能是函数的极值点..定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）'对于可导函. =0. 但反过来不一定成立注①：若点是可导函数的极值点，则)(xfx)xf(0. 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零数，其一点x0'3.不是极值点=0例如：函数，但，使)(xfx?(x)y?f0x?0x?.，在点②例如：函数处不可导，但点是函数的极小值点0x?0?x|y|xx)??f(极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进8.. 行比较.注：函数的极值点一定有意义9. 几种常见的函数导数：1''xcos(sinx)?'?)(arcsinxI.（为常数）C0C?2x?111n?n'''nx(x?)x)sin??(cosx?)?(arccosx （）R?n2x1?111'(arctanx)?''II. e?(logx?)log)(lnx aa2x?1xx1x'xx'x'e)(e?aaa)ln?(??x)(arccot 21x?求导的常见方法：III.(x?a)(x?a)...(x?a)1n12'.①常用结论：②形如或两?y)ax?a)...(x?(y?x?a)(?|)(ln|x n12(x?b)(x?b)...(x?b)x n12边同取自然对数，可转化求代数和形式.xx取自然对数之后可变形为这类函数，如③无理函数或形如，对两边xyy?x?xlny?xln'y1''xx x?xlnxyyxy?xx?ln??y?ln???.导数中的切线问题求导可得yx只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除例题1：已知切点，求曲线的切线方程32在点处的切线方程为（曲线）1x?y?x?31)?(1，例题2：已知斜率，求曲线的切线方程2的切线方程是（的平行的抛物线与直线）x?y04?x?y?2注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，bx?y?2?22，又因为，得，得，故选Ｄ．代入xy?0??2x?bx1????0b例题3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．3上的点的切线方程．求过曲线x?x?2y1)?(1，例题4：已知过曲线外一点，求切线方程1求过点且与曲线相切的直线方程．0)(2，?y x3，过点已知函数作曲线的切线，求此切线方程．练习题：xy??x3)xf，A(016)y?( 只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除看看几个高考题x??1,1?y处的切线方程为在点（2009全国卷Ⅱ）曲线1.2x?12f(x)?g(x)?xy?g(x)(1,g(1))处的切线方程为，曲线2010江西卷）设函数在点2.（y?2x?1y?f(x)(1,f(1))处切线的斜率为，则曲线在点x1?2xy?xe?。
人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题 第五章 一元函数的导数及其应用 导数的概念及其几何意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义A 级必备知识基础练1.函数f(的值为( ) A.3B.2C.1D.42.若函数f(x)=16x 2,则f'(-3)的值等于( ) A.32B.1C.-1D.-123.若曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程为5x-y+1=0,则( ) A.f'(x 0)>0 B.f'(x 0)<0 C.f'(x 0)=0D.f'(x 0)不存在4.已知f(x)=-23x 2,若f'(a)=13,则a 的值等于( ) A.-14B.14C.-49D.345.(多选题)曲线y=9x在点P 处的切线的倾斜角为3π4,则点P 的坐标可能为( ) A.(3,3) B.(-3,-3) C.(9,1)D.(1,9)6.(多选题)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)在[a,b]上的平均变化率等于g(x)在[a,b]上的平均变化率B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率7.函数y=f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是.在点(1,0)处的切线的倾斜角等于.8.曲线y=1-1xB级关键能力提升练9.(多选题)为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应率(单位时间的供应量)不逐步提高的是( )10.利用导数的定义求函数y=f(x)=√x+2在x=2处的导数.11.已知曲线y=x2.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.5.1.2 导数的概念及其几何意义1.B 由已知得m 2-1-(12-1)m-1=3,∴m+1=3,∴m=2.2.C f'(-3)=limΔx→0f (-3+Δx)-f(-3)Δx=limΔx→016Δx-1=-1.3.A 由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.4.A 由导数的定义得f'(x)=limΔx→0-23(x+Δx)2-(-23x2)x+Δx-x=limΔx→0-43xΔx-23(Δx)2Δx=lim Δx→0(-43x-23Δx)=-43x,因此f'(a)=-43a=13,则a=-14.5.AB 由导数定义得y'=limΔx→09x+Δx-9xΔx=limΔx→0-9x(x+Δx)=-9x2,设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-9x02=tan3π4=-1,解得x0=±3,从而y0=±3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3).6.AD ∵f(x)在[a,b]上的平均变化率是f(b)-f(a)b-a,g(x)在[a,b]上的平均变化率是g(b)-g(a)b-a ,又f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f(b)-f(a)b-a=g(b)-g(a)b-a,故A正确,B错误;易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)的图象在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数,即函数g(x)的图象在该点处的切线的斜率,由题中图象可知,当x0∈(a,b)时,函数f(x)的图象在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)的图象在x=x0处切线的斜率,也有可能小于g(x)在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选AD.7.2 ∵y=f(x)=x2,∴在ΔyΔx =(1+Δx)2-12Δx=limΔx→0(2+Δx)=2.8.π4经验证,点(1,0)在曲线上.因为y'|(1-11+Δx)-0Δx=limΔx→011+Δx=1,所以曲线在该点处的切线的斜率等于1,故切线的倾斜角等于π4.9.ACD10.解∵Δy=√(2+Δx)+2−√2+2=√4+Δx-2,ΔyΔx =√4+Δx-2Δx=(√4+Δx-2)(√4+Δx+2)Δx(√4+Δx+2)=√4+Δx+2,∴f'(2)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→√4+Δx+2=14.11.解(1)设切点为((x0+Δx)2-x02Δx=lim Δx→0x02+2x0·Δx+(Δx)2-x02Δx=2x0,∴y'|x=1=2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'|x=x=2x0,∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0).由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0), ①再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y0=x02, ②联立①②得x0=1或x0=5.从而当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.。
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
高中导数的概念与计算练习题带答案
导数概念与计算421 若函数 f(x) ax bx c ，满足 f '⑴ 2，贝y f'( 1)()A .1 B . 2C . 2D . 02•已知点P 在曲线f(x) x 4 x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线 3x y 0,则点P 的 坐标为( )A . (0,0)B . (1,1)C . (0,1)D . (1,0)3.已知f(x)xln x ，若 f '(x o )2，则 x o ()2In 2 D . In2A . eB . eC .24.曲线y er 在点 A(0,1)处的切线斜率为()A . 1B . 2C . e 1D .-e5.设 f o (x)sin x , f'x)f o '(x) , f 2(x) f 1 '(x),…,f n 1(x) f n '(x) , n N ，则 f 2013(X )等于()A . sin xB . si nxC . cosxD . cosx 6.已知函数f (x)的勺导函数为f '(x)，且满足 f(x :)2xf '(1) Inx ，则 f'(1)()A . eB . 1C . 1D . e7.曲线y Inx 在与x 轴交点的切线方程为_______________________ &过原点作曲线y e x 的切线，则切点的坐标为 _______________ ，切线的斜率为 9•求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式:(3) f (x) x [ax 2 ln(1 x)2(5) yxe 1 cosx(1) f (x) ax 12ln xx(2) f(x)xe 21 ax(4) y xcosx sin x(6) y10. 已知函数 f(x) In(x 1) x .(I)求f (x)的单调区间；11. 设函数f(x) ax -，曲线y f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为x(I)求f (x)的解析式；(n)证明：曲线 y f (x)上任一点处的切线与直线x 0和直线 面积为定值，并求此定值.12. 设函数 f(x) x 2 e x xe x .(I)求f (x)的单调区间；(n)若当x [ 2,2]时，不等式f (x) m 恒成立，求实数 m 的取值范围.(n)求证：当 x1时，1In(x 1) x .x 17x 4y 12 0 .y x 所围成的三角形无忧教育假期培训导数作业1答案 导数概念与计算• •• X0= 1，将其代入f (x )中可得 P (1,0).3.已知 f (x) xlnx ,若 f '(x 。
高二数学下学期导数的概念、运算及导数的几何意义专题复习卷(基础篇)(江苏等八省新高考专用)(解析版)
2020-2021学年高二数学下学期专题专题强化训练试卷一（基础篇）导数的概念、运算及导数的几何意义一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数y=在点4x =处的导数是（ ） A ．18 B ．18-C ．116D ．116-【答案】D【解析】∵12y x-==， ∴3212y x -'=-，∴3324111422216x y --==-⨯=-⨯=-'，故选：D ．2.已知函数()cos sin f x x x x =-，则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2π B ．2π-C ．1-D ．π-【答案】B【解析】因为()cos sin f x x x x =-所以()()cos cos cos cos sin cos sin f x x x x x x x x x x x x '''=+-=--=- 所以sin 2222f ππππ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭,故选：B 3.曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+ B ．72y x =+ C ．4y x =- D ．2y x =-【答案】D【解析】由已知得：曲线为34y x x =-;则：对其进行求导得243y x '=-；当1x =-时，243(1)1y '=-⨯-=∴ 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程为：31(1)y x +=⨯+化简得：2y x =-；故选：D.4.曲线在点()(),P e f e 处的切线经过点()1,1--，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．eD ．2e【答案】C【解析】因为()ln f x a x =，所以()´af x x=，故()´afe e =，又()f e a =， 所以曲线()ln f x a x =在点()(),P e f e 处的切线方程为()y aa x e e-=-，又该切线过点()1,1--，所以1aa a e--=--，解得a e =，故选:C 。
高考数学专题复习《导数的概念、意义及运算》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
命题角度1 导数的几何意义
例2 若点 是函数 图象上任意一点，直线 为点 处的切线，则直线 斜率的范围是( )
A. B. C. D.
√
变式2 已知函数 ， .若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为___.
命题角度2 求切线方程
切线的斜率
自主评价：4. 函数 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线方程为（ ）A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m>
C
（4）导函数的概念: 当 时， 是一个唯一确定的数，这样，当 变化时， 就是 的函数，我们称它为 的________（简称______）. 的导函数有时也记作 ，即 <m></m> .
复合函数
【常用结论】
3.导数的两条性质
（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
（2）可导函数 的导数为 ，若 为增函数,则 的图象是下凹的；反之，若 为减函数,则 的图象是上凸的.
考点一 求导运算
例1 求下列函数的导数：
（1） ；
解：因为 ，所以 .
（2） ；
（2）导数的概念: 如果当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处______，并把这个确定的值叫做 在 处的导数（也称为____________），记作_______或 ，即 .
可导
瞬时变化率
练1：设函数，则A． B． C． D．
√
（3） 在平面直角坐标系 中，点 在曲线 上，且该曲线在点 处的切线经过点 （ 为自然对数的底数），则点 的坐标是______.
导数的概念及运算专题练习(含参考答案)
数学 导数的概念及运算1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝03．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．84．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．45．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．36．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．4．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1B ．2C ．22D ．3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由题意知，y ′＝2x ，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －27．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 3．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：44．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0， 所以3a －6－6a ＝0， 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线， 则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)． 因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
高考数学专题《导数的概念、运算及导数的几何意义》习题含答案解析
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义1.（2021·浙江高三其他模拟）函数312x y +=在0x =处的导数是（ ）A ．6ln 2B ．2ln 2C ．6D ．2【答案】A 【解析】利用符合函数的求导法则()()()()()()f g x '''f g x g x =⋅，求出312x y +=的导函数为3131'223322x x y ln ln ++=⋅⋅=⋅，代入x =0，即可求出函数在x =0处的导数.【详解】312x y +=的导函数为3131'223322x x y ln ln ++=⋅⋅=⋅,故当x =0时，'62y ln =.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线2cos sin y x x =+在(,2)π-处的切线方程为（）A ．20x y π-+-=B ．20x y π--+=C ．20x y π++-=D ．20x y π+-+=【答案】D 【解析】先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.【详解】'2sin cos y x x=-+当x π=时,2sin cos 1k ππ=-+=-所以在点(),2π-处的切线方程,由点斜式可得()21y x π+=-⨯- 化简可得20x y π+-+=故选:D练基础3．（2021·全国高三其他模拟（理））曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线方程为（ ）A ．0x y -=B ．10ex y e --+=C ．10ex y e ---=D ．20x y --=【答案】D 【解析】根据切点和斜率求得切线方程.【详解】因为12sin()2x y ex π-=-，所以1cos()2x y e x ππ-'=-，当1x =时，1y '=，所以曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线的斜率1k =，所以所求切线方程为11y x +=-，即20x y --=.故选：D4．（2021·山西高三三模（理））已知a R ∈，设函数()ln 1f x ax x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 过定点（ ）A ．(0,2)B ．(1,0)C ．(1,1)a +D ．(,1)e 【答案】A 【解析】根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解【详解】由()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-，()'11f a =-，()11f a =+，故过(1,(1))f 处的切线方程为：()()()11+112y a x a a x =--+=-+，故l 过定点(0,2)故选：A5．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线()xf x ae b =+和曲线()cos2xg x c π=+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（ ）A ．0B ．πC ．2-D ．3【答案】D 【解析】利用导数的几何意义可知()()00f g '='，可求得a ；根据()0,2M 为两曲线公共点可构造方程求得,b c ，代入可得结果.【详解】()x f x ae '= ，()sin22xg x ππ'=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得：1c =，2103b c a ∴+-=+-=.故选：D.6.（2021·重庆高三其他模拟）曲线()ln f x ax x x =-在点()()1,1f 处的切线与直线0x y +=垂直，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a 的方程，解方程可得所求值．【详解】解：()f x ax xlnx =-的导数为()1f x a lnx '=--，可得在点()()1,1f 处的切线的斜率为()11k f a '==-，由切线与直线0x y +=垂直，可得11a -=，解得2a =，故选：D ．7．（2021·重庆八中高三其他模拟）已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足ln a fx x =-，若曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线斜率为2，则()1f =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】C 【解析】先由换元法求出()f x 的解析式，然后求导，利用导数的几何意义先求出a 的值，然后可得出()1f 的值.【详解】设t =，则()22ln t f t t a =-，()22at tf t '=-．由()2212a f =-='，解得0a =，从而()10f a =-=，故选: C ．8．（2018·全国高考真题（理））设函数f (x )=x 3+(a ―1)x 2+ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y =f (x )在点(0 ， 0)处的切线方程为( )A ．y =―2xB ．y =―xC ．y =2xD ．y =x 【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a =1，进而得到f (x )的解析式，再对f (x )求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数f (x )是奇函数，所以a ―1=0，解得a =1，所以f (x )=x 3+x ，f′(x )=3x 2+1，所以f′(0)=1,f (0)=0，所以曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ―f (0)=f′(0)x ，化简可得y =x ，故选D.9.（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））设曲线2xy x =-在点()3,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a 等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B 【解析】利用导数求出曲线 2xy x =-在点()3,3处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数a 的值.【详解】对函数2x y x =-求导得()()222222x x y x x --'==---，由已知条件可得32x a y ='-==-，所以，2a =.故选：B.10．（2020·河北高三其他模拟（文））已知曲线()xax e f x x =+在点()()0,0f 处的切线斜率为2，则a =___________.【答案】1【解析】求导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，解方程即可求解.【详解】解：()xax e f x x =+的导数为()()1xf x a x e =++'，可得曲线()xax e f x x =+在点()()0,0f 处的切线斜率为12a +=，解得1a =.故答案为：1.1．（2021·浙江金华市·高三三模）已知点P在曲线y =θ为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求得倾斜角的取值范围.【详解】因为y =='，由于124xxe e ++≥，所以[y ∈'，根据导数的几何意义可知：tan [θ∈,所以2[,)3πθπ∈，故选：D.练提升2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数()2xf x ae x =+的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是()22y e x b =++，那么ab =（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D 【解析】根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案.【详解】因为()2xf x ae x =+，所以()2x f x ae x '=+，因此切线方程的斜率(1)2k f ae '==+，所以有222ae e +=+，得2a =，又切点在切线上，可得切点坐标为(1,22)e b ++，将切点代入()f x 中，有(1)2122f e e b =+=++，得1b =-，所以2ab =-.故选：D.3．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是（ ）A ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,0C ．(),1π-D ．()1,π-【答案】C 【解析】利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可.【详解】'cos cos sin 2cos sin y x x x x x x x =+-=-,22x y ππ==-',又 当2x π=时，1y =，所以切线的方程为122y x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,对于A,当2x π=时，1y =，故点,12π⎛⎫⎪⎝⎭在切线上；对于B,当2x =时，2921π11 3.2502244y πππππ⎛⎫=--+=-++>-++=-> ⎪⎝⎭，故点()2,0在切线下方；对于C,当x π=时，2π91111,2512244y πππ⎛⎫=--+=-+<-+=-<- ⎪⎝⎭，故点(),1π-在切线上方；对于D,当x =1时，211122242y ππππππ⎛⎫=--+=-++>->- ⎪⎝⎭,故点()1,π-在切线下方.故选：C.4．（2021·甘肃高三二模（理））已知函数()ln f x x x =，()2g x x ax =+()a ∈R ，若经过点()0,1A -存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则a =（ ）A ．0B ．-1C ．3D ．-1或3【答案】D 【解析】先求得过()0,1A -且于()f x 相切的切线方程，然后与()()2g x x ax a =+∈R 联立，由0∆=求解.【详解】设直线l 与()ln f x x x =相切的切点为(),ln m m m ，由()ln f x x x =的导数为()1ln f x x '=+，可得切线的斜率为1ln m +，则切线的方程为()()ln 1ln y m m m x m -=+-，将()0,1A -代入切线的方程可得()()1ln 1ln 0m m m m --=+-，解得1m =，则切线l 的方程为1y x =-，联立21y x y x ax=-⎧⎨=+⎩，可得()2110x a x +-+=，由()2140a ∆=--=，解得1a =-或3，故选：D .5．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））若点P 是曲线2ln 1y x x =--上任意一点，则点P 到直线3y x =-的最小距离为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C 【解析】由已知可知曲线2ln 1y x x =--在点P 处的切线与直线3y x =-平行，利用导数求出点P 的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】因为点P 是曲线2ln 1y x x =--任意一点，所以当点P 处的切线和直线3y x =-平行时，点P 到直线的3y x =-的距离最小，因为直线3y x =-的斜率等于1，曲线2ln 1y x x =--的导数12y x x'=-，令1y '=，可得1x =或12x =-（舍去），所以在曲线2ln 1y x x =--与直线3y x =-平行的切线经过的切点坐标为()1,0，所以点P 到直线3y x =-的最小距离为d .故选：C.6．（2021·安徽省舒城中学高三三模（理））若函数()ln f x x x =+与2()1x mg x x -=-的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21y x =+平行，则实数m =（ ）A ．178B ．176C ．174D ．172【答案】A 【解析】设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，求出函数的导函数，根据0()2f x '=求出切点坐标与切线方程，设函数()21x m g x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，根据1()2g x '=，得到211244m x x =-+，再由1112211x mx x --=-，即可求出1x ，从而得解；【详解】解：设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，因为1()1f x x'=+，所以001()12f x x '=+=，得01x =， 所以00()(1)1y f x f ===，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，设函数()21x mg x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，因为222(1)(2)2()(1)(1)x x m m g x x x ----'==--，所以1212()2(1)m g x x -'==-，即211244m x x =-+，又11111221()1x m y x g x x -=-==-，即211251m x x =-+-，所以221111244251x x x x -+=-+-，即2114950x x -+=，解得154x =或11x =（舍），所以25517244448m ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．故选：A7．（2021·全国高三其他模拟）已知直线y ＝2x 与函数f （x ）＝﹣2lnx +xe x +m 的图象相切，则m ＝_________.【答案】2ln 4-+【解析】设出切点()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>，根据切线方程的几何意义，得到()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩，解方程组即可.【详解】因为()2ln xf x x xe m =-++，所以()()21x f x x e x-'=++设切点为()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>，所以切线的斜率为()()000021x k f x x e x -'==++又因为切线方程为y ＝2x ，因此()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩，由()000212x x e x -++=，得()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为010x +≠，所以02x ex =，又00ln 2ln x x =-，所以()000022ln 2ln 2ln x x m x x -+⋅+=-，得2ln 4m =-+.故答案为：2ln 4-+.8．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））若两曲线y ＝x 2+1与y ＝a ln x +1存在公切线，则正实数a 的取值范围是_________．【答案】（0，2e ]【解析】设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，然后分别求出切线方程，对应系数相等，可以得到122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，然后转化为﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，，然后参变分离得到a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，进而构造函数求值域即可.【详解】解：设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，对于y ＝x 2+1，y ′＝2x ，所以与曲线y ＝x 2+1相切的切线方程为：y ﹣（x 12+1）＝2x 1（x ﹣x 1），即y ＝2x 1x ﹣x 12+1，对于y ＝a ln x +1，y ′＝ax，所以与曲线y ＝a ln x +1相切的切线方程为y ﹣（a ln x 2+1）＝2a x （x ﹣x 2），即y ＝2ax x ﹣a +1+a ln x 2，所以122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，即有﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，由a ＞0，可得a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，记f (x )＝4x 2﹣4x 2ln x （x ＞0），f ′(x )＝8x ﹣4x ﹣8x ln x ＝4x （1﹣2ln x ），当x时，f ′(x )＞0，即f (x )在（0x时，f ′(x )＜0，即f (x )，+∞）上单调递减，所以f (x )max ＝f）＝2e ，又x →0时，f (x )→0，x →+∞时，f (x )→﹣∞，所以0＜a ≤2e ．故答案为：（0，2e ]．9．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数()2ln f x x x =+，点P 为函数()f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈)【解析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．【详解】解：()12f x x x'=+，()0x >，与直线34y x =-平行的切线斜率132k x x ==+，解得1x =或12x =，当1x =时，()11f =，即切点为()1,1，此时点P 到直线34y x =-的距离为d 当12x =时，11ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即切点为11,ln 224⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点P 到直线34y x =-的距离为d =>10．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）已知1P ，2P 是曲线:2|ln |C y x =上的两点，分别以1P ，2P 为切点作曲线C 的切线1l ，2l ，且12l l ⊥，切线1l 交y 轴于A 点，切线2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为___________.【答案】44ln 2-【解析】由两切线垂直可知，1P ，2P 两点必分别位于该函数的两段上，故可设出切点坐标111222(,),(,)P x y P x y ，表示出两条切线方程，根据两切线垂直，可得124x x =，又两切线分别与y 轴交于1(0,22ln )A x -，2(0,22ln )B x -+，则可求出44ln 2AB =-.【详解】曲线2ln ,01:2ln ,1x x C y x x -<<⎧=⎨≥⎩ ，则2,012,1x x y x x⎧-<<⎪⎪=⎨'⎪≥⎪⎩，设111222(,),(,)P x y P x y ，两切线斜率分别为1k ，2k ，由12l l ⊥得121k k =-，则不妨设1201,1x x <<³，111(,2ln )P x x \-，112k x =-，11112:2ln ()l y x x x x +=--，令0x =，得1(0,22ln )A x -222(,2ln )P x x ，222k x =，22222:2ln ()l y x x x x -=-，令0x =，得2(0,22ln )B x -+由121k k =-，即12221x x -×=-，得124x x =，则1242ln()44ln 2AB x x =-=-.故答案为：44ln 2-.1.（2021·全国高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a<B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<【答案】D【解析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；练真题解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线x y e =上任取一点(),t P t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tt y e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()t f t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.2.（2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.3．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【解析】43()2f x x x =-(1(1))f ，21y x =--21y x =-+23y x =-21y x =+()432f x x x =- ()3246f x x x '∴=-()11f ∴=-()12f '=-()121y x +=--21y x =-+设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =的导数为y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D.4.（2020·全国高考真题（文））设函数．若，则a =_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.5．（2019·全国高考真题（文））曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.【解析】所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．6．（2020·全国高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.e ()xf x x a =+(1)4e f '=()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++()241ae e a =+2210a a -+=1a =123()e x y x x =+(0,0)30x y -=/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++/0|3x k y ===23()e x y x x =+(0,0)3y x =30x y -=【答案】2y x=【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x =++'=+，00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =.故答案为：2y x =.。
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导数的概念、运算及其几何意义
1．已知物体做自由落体运动的方程为s s(t) 1 gt 2 , 若t 无限趋近于0 时，
s(1 t) s(1) 无限趋近于
2
9.8m / s ，那么正确的说法是（）
t
A．9.8m/ s是在 0～ 1s 这一段时间内的平均速度
B．9.8m/ s是在 1～（ 1+ t ）s这段时间内的速度
C．9.8m/ s是物体从 1s 到（ 1+ t ）s这段时间内的平均速度
D．9.8m/ s是物体在t 1s 这一时刻的瞬时速度 .
2．已知函数f’(x) ＝ 3x2 , 则 f (x) 的值一定是（）
A. x 3+x
B.x 3
C. x 3+c (c 为常数 )
D. 3x+c (c 为常数 )
3.若函数f(x)=x2+b x+c的图象的顶点在第四象限，则函数 f / (x) 的图象是（）
y
y y
y
o x o x o x o
A B
C D
4. 下列求导数运算错误的是（）
．．
A.（x2013c）2013x 2012(c为常数)
B.（x2lnx）2xlnx x
C. （cosx
）xsinx cosx D . （3x） 3x ln 3 x x 2
5． . 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A． 2 B． 3 C ． D ． 1 6．函数 y=(2x － 3) 2的导数为函数 y= e- x的导数为
7. 若函数f ( x)满足，f ( x) 1 x3 f (1) x2 x, 则 f (1) 的值
3
x
8. 曲线y
x 2
在点（－ 1，－ 1）处的切线方程为
9. 已知函数 f ( x) ln( x 1)
1 a
f ( x) 在点 (1, f (1)) ax ，若曲线 y
x 1
处的切线与直线 l : y 2x 1平行，
则 a 的值
参考答案
A 组基础达标
选择题 :
填空题 : 1. 2012,-2012,-503,2024;
提示 : lim f (1
x) f (1) = f / (1)
x
x
lim f (1
x)
f (1) =－ lim f (1 x
x
x 0
lim f (1) f (1
x) = - 1
lim
f (1
x 0
4 x 4
x
lim f (1 2 x) f (1)
f (1
x
= 2 lim
x
x
2012 ; x)
f (1) = － f / (1) － 2012 x
x) f (1) = - 1 f / (1) －503
x 4 2 x) f (1) =2 f / (1) 2048 2 x
（∵
x → 0，则 2 x → 0）
2. 8x － 12 ， - e -x
3.
提示： f (1)为常数， f ’ (x)=x 2－ 2 f (1) x －１， 令ｘ＝１则
f (1) ＝１－ 2 f (1) －１，解得 f (1)＝０
B 组能力过关
选择题：
A 填空题： 3
提示： f ’ (x) ＝
1 - a ＋ a
，∵ y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线
x 1
(x
1)2
与
直线 l : y2x
1 平行，而直线 l : y 2x 1的斜率为－２，∴ f ’
( １ ) ＝－２
f ’(１)＝1
- a＋
(1
a ＝－２，解得 a ＝３．
1 1 1)2。