第17讲 导数的概念及其运算(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
高考数学一轮复习课件：导数的概念及其运算
1. 导数的概念 函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的导数
一般地，函数 y ＝ f(x)
lim
x0
y x
lim
x0
在 x ＝ x0 处的瞬时变化率是
， 称其为函数 y ＝ f(x) 在 x
. x x0
2. 导函数 当 x 变化时， f′(x) 称为 f(x) 的导函数，则 f′(x)y＝′
(1) 求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程； (2) 在（ 1 ）中的切线与曲线 C 是否还有其他公共 点？
变式训练： 已知曲线方程 y ＝ X2
(1) 求过点 A(2,4) 且与曲线相切的的直线方程； (2) 求过点 (3,5) 且与曲线相切的直线方程 .
基础题演练
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C ： y ＝ x3 － 10x ＋3
]′ ＝
(g(x)≠0).
考点透析
考点一 利用公式求导
数 例 1 ：
求下列函数的导数：
12 3
(1)y ＝ x4 x3 x
ln x
；x
(2)y ＝(x 1)(x 2；)(x 3)
(3)y ＝
基础题演练
1.f(x) ＝ ax3 ＋ 3x2 ＋ 2 ，若 f′( － 1) ＝ 4 ，则 a 的值等D于
＝
f′(x) 与 f′(x0) 相同吗？
提示：
f′(x)
与
f′(x0)
不相同； .
f′(x)
是一个函数，
f′(x0)
是常数， f′(x0) 是函数 f′(x) 在点 x0 处的函数值 .
3. 导数的几何意义
函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y
导数的概念及运算课件——2025届高三数学一轮复习
B．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)
C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)
D．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)
A
[由题图知：f
5 − 3
′(3)<
5−3
<f ′(5)，
即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．故选A.]
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
斜率
线的____，相应的切线方程为_____________________．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只
有一条，而后者包括了前者．
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
3．基本初等函数的导数公式
)
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f
典例精研
核心考点
课时分层作业
1
x
(x)＝e ＋ 的图象在x＝1
y＝(e－1)x＋2
处的切线方程为_______________．
y＝(e－1)x＋2
1
[∵f ′(x)＝ex－ 2 ，∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，
cf ′(x)
(4)[cf (x)]′＝_______．
5．复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x
高考数学一轮复习导数的概念及其意义、导数的运算
)
A．y＝3x＋1
B．y＝2x＋1
5
C．y＝ x＋1
D．y＝x＋1
4
答案：A
2 x+1 −2x
x＝ 2 ＋ex，则f′(0)＝3，
＋e
x+1 2
x+1 2
解析：由题设，f′(x)＝
而f(0)＝1，故在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝3x，则y＝3x＋1.
故选A.
(2)已知函数f(x)＝x ln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，
(2)[f(x)g(x)]′＝________________．
f ′ x g x − f x g′ x
′
g x 2
(3)
＝________________(g(x)≠0).
cf′(x)
(4)[cf(x)]′＝________(c为常数).
f（x）
g（x）
5．复合函数的导数
设 u ＝ g(x) 在 x 处 可 导 ， 则 复 合 函 数 y ＝ f(g(x)) 在 x 处 可 导 ， 且 y′ ＝
x－y－1＝0
则直线l的方程为________________.
解析：点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，设切点坐标为(x0，y0)．
因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
y0 = x0 ln x0
由ቊ
，
y0 + 1 = 1 + ln x0 x0
x0 = 1，
e
x
与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝
导数的概念及其意义 、导数的运算(高三一轮复习)
；
gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ 16 cf′(x)
．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ 17 f(g(x)) ．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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命题点2 导数的几何意义
考向1 求切线方程
例2
(1)(2022·湖南衡阳二模)函数f(x)＝xln(－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－
e 2
处的
切线方程为 4x－2y＋e＝0
.
(2)(2y0＝22－·新1e高x 考Ⅱ卷.)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
(2)f1x′＝－f[′fxx]2(f(x)≠0)． (3)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次函数的图 象相切只有一个公共点． (4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变 化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”．
f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝ 7αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ 8 cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ 9 －sin x
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ 10 axln a
2021届高三数学总复习第一轮——导数综合
2021届高三数学总复习第一轮——导数综合考纲要求知识框图知识点一、合理构造函数证明不等式合理构造函数，主要是将不等式做等价变形，构造出合理的函数，方便求最值的函数，从而解决不等式证明的问题； 常见技巧手段：（1）加加减减、取对数、或者借助函数图象来构造等； （2）参变分离； （3）虚设零点整体代换； （4）二次求导；此部分内容是北京考试的热点与重点。
二、极值偏移的处理——借助图象构造 1.极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数xe xx g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.2. 极值点偏移问题的一般题设形式：（1）若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；（2）若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；（3）若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；（4）若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .3. 极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 1.运用判定定理判定极值点偏移的方法 方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ； （2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.[来源:Z,xx,] （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.[来源:]（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 一、对数平均不等式两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a ba ab -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ (,)2a bL a b +≤≤ （此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.二、导数与数列不等式导数考点是高考压轴题的常客，同时结合数列、不等式、推理与证明等知识综合出题，综合性非常强，难度非常大．但是核心依然是利用函数单调性，证明不等关系导数与其他知识的综合题目，主要还是考察构造函数，利用导数知识求解单调性，判断区间内的最值，从而构造不等式．这种构造出来的不等关系，对于区间内的所有值均成立．再利用赋值法，对函数自变量x 进行赋值，这样证明不等关系成立．赋值需要注意，所赋的值一定要满足自变量的区间．特别的与数列结合的题目，里面使用了裂项的公式如下：111(1)1n n n n =-++；!(1)!!n n n n ⋅=+- ；C n －1r －1=C n r－C n －1r ；)!1(+n n =!1n －)!1(1+n ；=()1lnln 1ln n n n n+=+- ． 考点1 合理构造函数证明不等式【例1】（2018年东城期末文）已知函数()ln f x x x =⋅. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对于任意1[,e]ex ∈，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.【例2】（2018年通州期末）已知函数，a ∈R . （Ⅰ）当0a =时，求函数的单调区间； （Ⅱ）对任意的()1,x ∈+∞，()f x >a 的取值范围.【例3】（2018年海淀一模理）已知函数ln ()xf x x a=+ （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当0a >时，若函数()f x 的最大值为21e，求a 的值.()ln x af x x-=()f x【例4】（2018年朝阳一模理）已知函数ln 1()x f x ax x-=-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若12a <<，求证：1<-．【例5】（2018年东城一模理）已知函数()e (1)x f x a x =-+.（I ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值； （II ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（III ）证明：当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方.)(x f )(x f【例6】（2017年东城一模理）已知函数1()2ln ()f x x mx m x=+-∈R ． （Ⅰ）当1m 时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在(0,)+∞上为单调递减，求m 的取值范围；（Ⅲ）设b a <<0，求证：ln ln b ab a -<-．【例7】设函数 ()1x f x ae x =--，R a ∈． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）当()0,x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：当()0,x ∈+∞时，1ln 2x e xx ->．考点2 利用函数图象构造（极值偏移） 【例1】（2017年丰台一模文）已知函数()()()121,,,,xx f x A x m B x m e +=是曲线()y f x =上不同的两点. （1）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围；（2）证明：120x x +>.【例2】已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x .【例3】已知21()ln ,2f x x x mx x m R =--∈.若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212x x e >（e 为自然对数的底数）考点3 对数平均不等式【例1,(0)ln lnb 2a b a b a b a -+<<<<-【例2】已知函数2()ln (2).f x x ax a x =-+-（1）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a +>-； （2）若函数()y f x =的图象与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<.【例3】已知函数()ln x f x x a =+（a R ∈），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y ++=垂直.（1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；（2）若函数()()gx f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明： 212•x x e >.【例4】（新课标I 卷理数压轴21题）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点21,x x .证明：122x x +<.【例5】已知函数()211x x f x e x -=+. (1)求()f x 的单调区间；(2)证明:当()()()1212f x f x x x =≠时，120x x +<.考点4 导数与数列不等式【例1】设函数，其中．⑴当时，判断函数在定义域上的单调性； ⑵求函数的极值点； ⑶证明对任意的正整数，不等式都成立．【例2】已知函数 ()． （Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）如果关于的方程有两解，写出的取值范围（只需写出结论）； （Ⅲ）证明：当且时，．2()ln(1)f x x b x =++0b ≠12b >()f x ()f x n 23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭ln 1()ax f x x+=0a >()f x x ln 1x bx +=b *N k ∈2k ≥1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅+<【例3】已知函数（I ）若时，，求的最小值；（II ）设数列【例4】已知函数（I ）设函数，求的单调区间与极值； （Ⅱ）设，解关于的方程 （Ⅲ）试比较与的大小．()()()1=ln 1.1x x f x x x λ++-+0x ≥()0f x ≤λ{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n =+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：21(),()32f x x h x =+=()()()F x f x h x =-()F x a R ∈x 42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x x --=---1001(100)(100)()k f h h k =-∑16练习A【练1】已知函数，，．（Ⅰ）过原点作函数的切线，求的方程；（Ⅱ）若对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围．【练2】已知函数 为正实数，且为常数） （1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．()x f x e =()g x kx =x R ∈(0,0)O ()x f x e =l l x R ∈()()f x g x >k ()()f x x l lnx ax a =+-+(a ()f x (0,)+∞a (1)()0x f x -a【练3】已知函数．求曲线在点，处的切线方程．求证：当时，． （设实数使得对恒成立，求的最大值．【练4】函数．（1）求的极值；（2）在，上恒成立，求值的集合．()(1)(1)f x ln x ln x =+--()I ()y f x =(0())f x ()II (0,1)x ∈3()2()3x f x x >+)III k 3()()3x f x k x >+(0,1)x ∈k ()x f x x e =()f x 21()2k f x x x ⨯+[1-)+∞k【练5】设为曲线在点处的切线． （1）求的方程；（2）证明：在定义域内恒成立．【练6】已知函数（Ⅰ）求曲线在点，（2）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）对，恒成立，求实数的取值范围．L :lnx C y x=(1,0)L ()1f x x -()1f x x lnx =--()y f x =(2f )()f x (0,)x ∀∈+∞()2f x bx -b【练7】已知，，（Ⅰ）对一切，恒成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，求函数在，上的最小值．()f x xlnx ax =-2()2g x x =--(0,)x ∈+∞()()f x g x a 1a =-()f x [m 3](0)m m +>练习B【练1】设函数．（Ⅰ）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．【练2】已知，， （Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求的取值范围； （Ⅱ）若，时，求证：对于恒成立；(III) 证明：若，则．(),f x lnx a R =∈(1,1)()y f x =()2f x a ()(1)f x ln x =+21()2g x ax bx =+2b =()(1)()h x f x g x =--a 0a =1b =()()0f x g x -(1,)x ∈-+∞0x y <<()2x y xlnx ylny x y ln ++>+【练3】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．【练4】设函数，．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）如果不等式对于一切的恒成立，求的取值范围； （3）证明：不等式对于一切的恒成立．()sin f x x x =+()y f x =(,())22f ππ()cos f x ax x [0,]2πa ()f x k =x e k R ∈1k =()y f x =(0(0))f ()1f x x >+(0,)x ∈+∞k 21xx e xe ->(0,)x ∈+∞【练5】已知函数，． （Ⅰ）若直线与曲线和分别交于，两点．设曲线在点处的切线为，在点处的切线为．（ⅰ）当时，若，求的值；（ⅱ）若，求的最大值；（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，，且．若，且恒成立，求的取值范围．【练6】已知函数，（Ⅰ）若在处的切线与直线平行，求的值； （Ⅱ）求函数在，上的最小值；（Ⅲ）都有恒成立，求实数的取值范围．()f x xlnx =2()()2a g x x x a a R =+-∈(0)x m m =>()y f x =()y g x =M N ()y f x =M 1l ()y g x =N 2l m e =12l l ⊥a 12//l l a ()()()h x f x g x =-1x 2x 12x x <0λ>211lnx lnx λλ->-λ2()3()f x x mx m R =-+-∈()g x xlnx =()f x 1x =330x y -+=m ()g x [a 2](0)a a +>(0,)x ∀∈+∞()2()f x g x m【练7】已知函数在点，（1）处的切线方程为． （Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）对函数定义域内的任一个实数，恒成立，求实数的取值范围．【练8】已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）当时，若在区间，上的最小值为，求的取值范围； （Ⅲ）若，，且，恒成立，求的取值范围．()1a blnx f x x +=+(1f )2x y +=a b ()f x x ()m f x x<m 2()(2)f x ax a x lnx =-++a R ∈1a =()y f x =(1f )0a >()f x [1]e 2-a 1x ∀2(0,)x ∈+∞12x x <1122()2()2f x x f x x +<+a【练9】已知函数求在点，（1）处的切线方程；若不等式恒成立，求实数的取值范围； 已知，，求证．2()()f x tx lnx t R =∈()I ()f x (1f )()II 1()f x et ()III 0a >0b >221lna lnb b a ->-练习C【练1】已知函数． （1）当时，求曲线在点，处的切线方程． （2）若时，恒成立，求实数的取值范围．（3）设，求证：【练2】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值．1()(1)311f x aln x x x =+++-+1a =()f x (0(0))f 0x ()0f x a *n N ∈22222233411..(21)411411421431414n ln n n ++++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-()sin cos f x x x x =-()y f x =(π())f π(0,)2x π∈31()3f x x <()cos f x kx x x >-(0,)2x π∈k【练3】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值．【练4】已知函数，， （1）求证：；（2）若对上恒成立，求的最大值与的最小值．()f x xlnx =()y f x =(1f )()1f x x -22()(0)f x ax a a+≠(0,)+∞a ()cos sin f x x x x =-[0x ∈]2π()0f x sin x a b x <<(0,)2x π∈a b【练5】已知函数（1）求函数的单调区间和最大值；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）证明：①在上恒成立；②【练6】已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对任意、恒有，求的取值范围．()(1)(1)1f x ln x k x =---+()f x ()0f x k (1)2ln x x -<-(2,)+∞2(1)()(,1)14n i lni n n n N n i =-<∈>+∑2()(1)1f x a lnx ax =+++()f x 1a <-1x 2x 1212|()()|4||f x f x x x --a【练7】已知函数． （Ⅰ）若函数在上为单调增函数，求的取值范围； （Ⅱ）设，求证：．【练8】已知定义在上的函数，． （1）求证：存在唯一的零点，且零点属于；（2）若，且对任意的恒成立，求的最大值．(1)()1a x f x lnx x -=-+()f x (0,)+∞a 0m n >>2m n m n lnm lnn -+<-(1,)+∞()2f x x lnx =--()g x xlnx x =+()f x (3,4)k Z ∈()(1)g x k x >-1x >k【练9】已知函数，其中．（Ⅰ）当时，判断在区间，上的单调性；（Ⅱ）当对于，恒成立，求实数的取值范围．()sin cosf x a x x=+0a>1a()f x[0]4π01a<<2()2f x t at<++[0x∈]4πt课后作业【题1】（2018年朝阳模文）已知函数. （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若，求函数的单调区间；（Ⅲ）若，求证：.【题2】（2018朝阳二模理）已知函数，. （I ）当时，求的单调区间；（II ）当时，讨论的零点个数.ln 1()()x f x ax a x-=-∈R 0a =()y f x =(1,(1))f 1a <-)(x f 12a <<)(x f 1<-21()sin cos 2f x x x x ax =++[,]x ∈-ππ0a()f x 0a >()f x【题3】（2018西城二模理）已知函数，曲线在处的切线经过点． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）设，求在区间上的最大值和最小值．【题4】（2017年丰台二模理）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）证明：对于，在区间上有极小值，且极小值大于0.ln ()x f x ax x=-()y f x =1x =(2,1)-a 1b >()f x 1[,]b b()e ln xf x a x a =--e a =()y f x =(1(1)),f (0e)a ∀∈,()f x a e（）,1【题5】（2017年朝阳期末理）设函数，，． （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；（Ⅲ）证明．2()ln(1)1f x x ax x =-+++2()(1)e x g x x ax =-+R a ∈1a =()f x (2,(2))f ()g x a ()()f x g x ≤。
新高考数学复习考点知识讲义课件17---导数的概念及运算
微思考
1.根据f′(x)的几何意义思考一下，随着|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何 变化？ 提示 |f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭. 2.函数f(x)在点P处的切线与函数f(x)过点P的切线有什么区别？ 提示 在点P处的切线，点P一定是切点；过点P的切线，点P不一定是切点.
思维升华
(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后 求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度减少差错. (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导. ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.
题型二 导数的几何意义
师生(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝ f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是
√
解析 由y＝f′(x)的图象是先
上 升 后 下 降 可 知 ， 函 数 y ＝ f(x)
图象的切线的斜率先增大后减
小，故选B.
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处 的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ 0 .
思维升华
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关 系列出参数的方程： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切 线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切 线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上.
3.已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝－1e .
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax， ∴f′(e)＝2ae＋2＝0， ∴a＝－1e.
导数的概念及运算课件-2025届高三数学一轮复习
；
（ⅱ）[f（x）g（x）]'＝ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ；
（ⅲ）
()
()
′()()−()′()
'＝
（g（x）≠0）.
[()]2
②简单复合函数的导数：由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g
f'（x）＝ －sin x
目录
基本初等函数
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
导数
f'（x）＝
ex
f'（x）＝
axln a
f'（x）＝
1
f'（x）＝
1
ln
目录
（2）导数的运算法则
①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：
P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一
定为切点.
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｜解题技法｜
求切点坐标的思路
已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先函数的导数，再让导数
等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点
的纵坐标.
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当堂检测
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点
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二、导数的几何意义及应用
目录
二、导数的几何意义及应用
第一节导数的概念及其意义、导数的运算课件-2025届高三数学一轮复习
求简单的复合函数（限于形如f ax + b ）的导数.会使用导数公式表.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、导数的概念
1.平均变化率
函数f x
f x2 −f x1
x2 −x1
在区间[x1 , x2 ]上的平均变化率为__________.
− − = ，得切线的斜率 = ，所以 − = ，得 = ，所以 = + .
当 = 时， = ，所以切点为 , ，将 , 代入切线方程，得 × − − = ，
解得 = ，所以 = × = .故答案为 .
（2）对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f x = f′ x0 g x + h x
（x0 为常数）的函数，解决这类问题的关键是明确f′ x0 是常数，其导数值为0,因此
先求导数f′ x .令x = x0 ，即可得到f′ x0 的值，进而得到函数解析式，求得所求导数
值.
题型二 求切线方程
角度1 曲线在某点处的切线问题
A.y = −2x − 1
B.y = −2x + 1
C.y = 2x − 3
B)
D.y = 2x + 1
[解析] ∵ = − ，∴ ′ = − ，∴ = −，′ = −，∴ 所
求切线的方程为 + = − − ，即 = − + .故选B.
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2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
1/12第17讲：导数的概念及其运算一、课程标准1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．3.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2
，y＝1x的导数．
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.二、基础知识回顾1.导数的概念
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0
处的导数，记作f′(x0
)．
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0
))处的切线的斜率，过点P的切线
方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0
)．
3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xαf′(x)＝αxα－1
续表基本初等函数导函数f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axlna
f(x)＝lnxf′(x)＝1x2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
2/12f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝1xlna
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)f（x）g（x）＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）g2（x）(g(x)≠0)．5.复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．三、自主热身、归纳总结1、知函数f(x)＝xx＋2，则函数在x＝－1处的切线方程是()
A.2x－y＋1＝0B.x－2y＋2＝0C.2x－y－1＝0D.x＋2y－2＝0【答案】A【解析】、由f(x)＝xx＋2，得f′(x)＝2（x＋2）2，又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.2、函数f(x)＝2x＋cosx在点(π2，f(π2))处的切线方程为()
A.3x－y－π2＝0B.x－y＋π2＝0
C.3x－y－3π2＝0D.x－y－π2＝0
【答案】B.【解析】f(x)＝2x＋cosx，f(π2)＝π，f′(x)＝2－sinx，f′(π2)＝1，在点(π2，f(π2))处的切线方程为
y－π＝x－π2，即为x－y＋π2＝0.故选B.2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
3/123、设M为曲线C：y＝2x2
＋3x＋3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为3π4，π，则点M
横坐标的取值范围为(D)
A.[－1，＋∞)B.－∞，－34
C.－1，－34D.－1，－34
【答案】D
【解析】、由题意y′＝4x＋3，切线倾斜角的范围是34π，π，则切线的斜率k的范围是[－1，0)，∴－1≤4x＋3<0，解得－1≤x<－34.故选D.
4、.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝0，则x0等于(A)A.1eB.eC.e2D.1【答案】A.【解析】f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0
)＝0，
得lnx0＋1＝0，∴lnx0＝－1，即x0
＝1e.故选A.
5、(多选)下列求导数运算正确的有()
A．(sinx)′＝cosxB.1x′＝
1
x2
C．(log3x)′＝13lnxD．(lnx)′＝1x
【答案】AD
【解析】因为(sinx)′＝cosx，1x′＝－1x2，(log3x)′＝1xln3，(lnx)′＝1x，所以A、D正确．6．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝lnxD．f(x)＝tanx【答案】AC【解析】选若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x；则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x，令lnx＝1x，2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
4/12在同一直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，则f′(x)＝sinxcosx′＝1cos2x，令tanx＝1cos2x，化简得sinxcosx＝1，变形可得sin2x＝2，无解，故D不符合要求．故选A、C.7、已知曲线f(x)＝xsinx＋1在点(π2，f(π2))处的切线与直线ax－y＋1＝0互相垂直，那么实数a的值为____．【答案】－1【解析】f′(x)＝sinx＋xcosx，当x＝π2时，f′(x)＝1，∴a＝－1.8、在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2
＋6.5t＋10，则运动员的速
度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2.【答案】－9.8t＋6.5－9.8【解析】、v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.9、(2019南通、泰州一调）若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．【答案】e－2【解析】、y′＝lnx＋1，由题意得(ln1＋1)·(lnt＋1)＝－1，所以t＝e－2.10、(2019常州期末）已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________．【答案】1e
【解析】、设直线方程为y＝kx，切点为A(x0，y0)，则有f（x0）＝bx0＋lnx0＝y0＝kx0，f′（x0）＝b＋1x0＝k，从而有bx0＋lnx0
＝
kx0＝bx0＋1，解得x0＝e，所以k－b＝1x0＝1e.11、(2019苏州期末）曲线y＝x＋2ex
在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．
【答案】23
【解析】、由y＝x＋2ex，得y′＝1＋2ex，切点为(0，2)，切线斜率为3，切线方程为y＝3x＋2.切线与坐标轴
的交点为A23，0，B(0，2)，所以S△AOB
＝
12·23·2＝2
3.
四、例题选讲2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
5/12考点一、基本函数的导数例1、求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；
(2)y＝lnx＋1x；
(3)y＝cosxex.【解析】、(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.
(3)y′＝cosxex′＝cosx′ex－cosxex′ex2＝－sinx＋cosxex.变式、求下列函数的导数：(1)f(x)＝x2
＋x
ex
；
(2)f(x)＝x3＋2x－x2
lnx－1
x2
；
(3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.【解析】、(1)f′(x)＝（2x＋1）ex－（x2＋x）ex（ex）2＝1＋x－x2
ex
.
(2)由已知f(x)＝x－lnx＋2x－1x2.∴f′(x)＝1－1x－2x2＋2x3＝x3－x2
－2x＋2
x3
.
(3)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，
∴y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.
变式2、已知f(x)＝ln2x－12x＋1，则f′(x)＝________.【答案】44x2
－1
.
【解析】、f′(x)＝
ln2x－12x＋1′＝12x－12x＋12x－12x＋1′