高中数学数列特殊解法
数列极限的几种特殊求解方法
２ ｎ
２
… ｌ ｉ ｍ‘
２ ＝０ 即 ，
２
一
塔 怀锁
（ 北京 工业 职业技 术学 院 ， 北京 １０ ４ ） ０ ０ ２
摘
要： 求解数列的极限问题有时比较 困难 ， 没有一般规律可循。但只要 注意发现和利用数列的特性 ， 选择
适 当的方 法和运 用一 些技巧 就能很 容 易求解 。讨论 了几种数 列极 限的特 殊 求解方 法 ： 比较 法 、 定积分 法和 忽
ｌ１ １） 凡＋ ＜
ｎ＋ ） ＜ １
＜ ＋） １ １ １
１ ＋ １）
，
收稿 日期 ：０ １— １—１ ２１ ０ ５ 作者筒介 ： 塔怀锁 （９ ４一） 男 ， １５ ， 吉林 九台人 ， 副教授 ， 主要从事应用数学 的教学及研究工作。
第 ２期
塔 怀锁 ： 列极 限 的几种 特殊 求 解方 法 数
Ｔａ Ｈｕ ｉｕ ａｓ ｏ
（ ｅ ｉｇＰ ｌ ｅｈ ｉ Ｃ ｌ ｇ ， ｅ ｉｇ１０ ４ Ｃ ｉａ Ｂ ｉｎ ｏ ｔｃ ｎｃ ｏ ｅｅ Ｂ ｉｎ ０ ０ ２， ｈｎ ） ｊ ｙ ｌ ｊ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｓ ｍｅｉ ｓ ｅｔ ｇ ｌ ｔ ｆａ ｓ ｑ ｅ ｃ ｏ ｕ ｉｎ ｉ ｒ ｒｕ ｌｓ ｍｅ ｖ ｎ ｈ ｓｎ ｗ．Ｈｏ ｖ ｒ ａ ＿ ｓｒ ｃ ： ｏ ｔ ｍｅ ，ｇ ｔ ｎ ｉ ｅ ｕ ｎ ｅ ｓ ｌ ｔ ｍｏ ｅ ｔ ｂｅ ｏ ，ｅ ｅ ａ ｏ ｌ ｉ ｍｉ ｏ ｏ ｓ ｏ ａ ｗｅ ｅ ，ｐ ｙ ａ ． ｔ ｔ ｎ ｉｎ ｔ ｎ ｉ ｇ ａ ｄ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｃ ａ ａ ｔｒ ｆ ｅ ｕ ｎ ｅ ｏ ｕ ｅ ，ａ ｄ ｔ ｅ ｈ ｏ ｉ ｇ ｔ ｅ ａ ｅ ｕ ｔ ｔ ｏ ｓ ａ ｄ Ｕ ｅ ｔ ｆ ｄ ｎ ｎ ｓ ｈ ｒ ｃｅ ｓｏ ｑ ｅ ｃ ｆ ｍｂ ｒ ｎ ｈ ｎ ｃ ｏ ｓ ｄ ｑ ａ ｅ ｍｅ ｄ ｎ － ｏ ｏｉ ｎ ｈ ｓ ｎ ｎ ｈ ｈ
数列常见数列公式
数列常见数列公式数列是数学中常见的一种数值排列模式，通常由一个初始项和一个通项公式来确定。
不同类型的数列有不同的求解方法，下面将介绍常见的数列公式及其解法。
1.等差数列（Arithmetic Progression）：等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的差等于一个常数d。
例如，1，3，5，7，9，…，其中公差d=2通项公式：an = a1 + (n - 1) * d求和公式：Sn = (n / 2) * (a1 + an)2.等比数列（Geometric Progression）：等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的比例等于一个常数r。
例如，2，6，18，54，162，…，其中公比r=3通项公式：an = a1 * r^(n-1)求和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)3. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）：斐波那契数列是指数列中的每一项等于前两项之和。
例如，1，1，2，3，5，8，13，…。
通项公式：an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 14. 平方数列（Square Numbers Sequence）：平方数列是指数列中的每一项都是一些自然数的平方。
例如，1，4，9，16，25，…。
通项公式：an = n^25. 立方数列（Cube Numbers Sequence）：立方数列是指数列中的每一项都是一些自然数的立方。
例如，1，8，27，64，125，…。
通项公式：an = n^36.等差-等比数列（Arithmetic-Geometric Progression）：等差-等比数列是指数列中的前一部分是等差，后一部分是等比。
例如，1，4，9，16，32，64，…，其中前四项是等差数列，后两项是等比数列。
通项公式：an = a + (n - m) * d * r^(n - m - 1)，其中n >= m。
以上是一些常见的数列公式及其解法。
求数列极限的十五种解法
1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：
数列通项公式的求解方法归纳
数列通项公式的解法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。
做题时要不断总结经验，多加琢磨。
总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.1.直接法2.公式法3.归纳猜想法4.累加（乘）法5.取倒（对）数法6.迭代法7.待定系数法8.特征根法9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1 （4） ,54,43,32,21-- ◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式.②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。
◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
巧用三角换元 破解一类数列最值问题
可 得 aio = 代入
5-45^
10
整 理 得 (1352 + 452)rf2 - 360必 + 2S2 -1000 = 0 • 由关于的二次方程有实根可得 A = 36025 2 - 4(1352 + 452)(25-2 -1000) > 0 , 化 简 可 得 炉 <2500 , 则 S U O , 故 选 B . 评注本题考查等差数列的通项公式和求和公 式及不等式解法等知识，涉及转化与化归及函数与 方 程 思 想 .笔 者 将 此 题 作 为 考 试 题 让 学 生 做 ，结果 全 班 4 4 位同 学 做 对 3 位 ， 得 分 率 仅 为 6 . 8 % . 究其原 因 ，发现学生的困难点有二，一是很难转化到二次 方程有根的问题模型， 即A 法； 二是答案给出的消元 方法导致运算相对较为繁琐. 而实际上只需将条件 和目标都转化为关于巧与^的关系再消去 t 运算就
2017年第8 期
福建中学数学
35
2 - 2) ， 因
k1■ ，故 只 需 分 7 ■与7 ，即 e k <1 q k >1 q
与一般思想” 的理解与应用，平时教学与高三复习都 应予以足够的重视.
h e * 2与 l ^ < e2讨论即可，轻松快捷.
在数学全国卷中， 经常会设置一些具有“ 一般性” 特征的试题，以此考查学生对“ 特殊化方法” 与“ 特殊
A . [1,2] C . [1,5]
)
D . 40
C . 45
试卷给出的解答过程如下. 解析设等差数列的公差为, 因为 =10,
U ffiS1= a1 0 +an +••■«!, =10a1 0 +45rf ,
数列求和公式的几种方法
数列求和公式的几种方法数列求和是数学中的一个重要问题，其解法有多种，下面将介绍几种常用的求和方法。
1.等差数列求和公式：当数列为等差数列时，可以使用等差数列求和公式来求和。
设首项为a，公差为d，共有n项，则等差数列的和Sn可以通过公式给出：Sn=(n/2)*(2a+(n-1)d)这个公式的推导比较复杂，不再详述。
2.等差数列求和的几何解释：我们可以通过对等差数列进行几何解释来得到求和公式。
首先，我们将等差数列排列成一个逆序的数列，然后把它与原数列叠加。
下面以等差数列1,2,3,4,5为例，进行解释。
1,2,3,4,55,4,3,2,1相加得到：6,6,6,6,6其和是n(a+an)/2，等差数列求和公式的等效形式。
3.等差数列和的差分法：我们可以利用数列的差分来求等差数列的和，方法如下：令Sn为等差数列的和，An为等差数列的第n项。
则Sn=A1+A2+A3+...+An=(A1+An)+(A2+An-1)+(A3+An-2)+...+(An)将上两行相加得到：2Sn=(A1+An)+(A1+An)+...+(A1+An)=(n/2)*(A1+An)这样就得到了等差数列求和公式。
4.等比数列求和公式：当数列为等比数列时，可以使用等比数列求和公式来求和。
设首项为a，公比为r，共有n项，则等比数列的和Sn可以通过公式给出：Sn=(a*(1-r^n))/(1-r)这个公式的证明需要使用数学归纳法。
5.级数求和：在数学中，级数是指无限等差数列的和。
常见的级数求和有等差级数、等比级数和调和级数等。
对于等差级数，其和可以通过等差数列求和公式得出。
对于等比级数，其和可以通过等比数列求和公式得出。
调和级数的和是一个无穷大，它表示为：S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...调和级数有很多有趣的性质和应用，但关于调和级数的求和公式目前还没有找到。
6.微积分方法：在微积分中，我们可以使用积分来求和。
对于连续函数f(x)，我们可以通过积分得到其在区间[a,b]上的和：S = ∫[a, b] f(x) dx这种方法可以求解一些特殊的数列求和问题，比如调和级数的和。
一次函数递推数列求通项的方法
一次函数递推数列求通项的方法一次函数递推数列是指每一项与前一项之间存在一个常数差的数列。
为了求出这个数列的通项公式，我们可以使用以下50个方法进行计算：方法一：观察法1. 观察数列的前几项，看是否能够发现规律。
2. 如果发现数列的差值相等，则可以猜测数列的通项公式为一次函数。
方法二：代入法1. 将数列的前几项逐个代入一次函数的通项公式中，求得方程组。
2. 解方程组得到一次函数的通项公式。
方法三：线性方程法1. 假设数列的通项公式为y = ax + b。
2. 代入数列的前几项，得到若干个方程。
3. 解这些方程，得到a和b的值，进而求得一次函数的通项公式。
方法四：差分法1. 对数列进行差分，得到一个新的数列。
2. 如果新数列是等差数列，则可以猜测原数列为一次函数递推数列，并求得通项公式。
方法五：归纳法1. 假设数列的通项公式为y = ax + b。
2. 假设数列的第n项为An。
3. 利用数学归纳法，证明或推导出An = an + b的表达式。
4. 解方程组得到a和b的值，进而求得一次函数的通项公式。
方法六：解复合型一次函数方程法1. 假设数列的一次函数通项为y = ax + b。
2. 如果出现an+1 = f(an) 或者an+1 = f(an, n)的形式，则可以试着将其转化为一次函数方程。
3. 解一次函数方程，得到a和b的值，进而求得一次函数的通项公式。
方法七：根据数列的性质和条件1. 如果数列满足一定的性质或者给出了一些条件，可以根据这些性质或条件来求解一次函数的通项公式。
2. 如果数列的前几项之和等于某个数，则可以通过求解方程的方法得到一次函数的通项公式。
方法八：逆向推导法1. 对于数列的通项公式y = ax + b，我们可以通过逆向推导的方法来求解常数a和b 的值。
2. 从数列的最后一项开始，逆向推导出倒数第二项、倒数第三项等，直到推导出数列的第一项。
3. 通过推导出的数列项，可以建立方程组来求解常数a和b的值，从而得到一次函数的通项公式。
高三数学 特殊数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳猜想、证明 知识精讲
高三数学 特殊数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳猜想、证明知识精讲一. 特殊数列求和：1. 概念：这里所指的“特殊数列”是指中学阶段能够求和的数列，包括：等差、等比数列，常数列，自然数列，自然数的平方数列，自然数的立方数列，项部分相消数列等。
数列求和，就是通过一些手段将数列转化为上述这些特殊数列而达到求和的目的。
2. 常用求和公式（1）等差：S n a a na n n d n n =+=+-()()11212（2）等比：S na q a q qq n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()() （3）i n n i n =∑=+1121() （4）i n n n i n 211216=∑=++()() （5）i n n i n 31212=∑=+[()] 3. 常见数列求和的方法大致有五种如：直接由求和公式求和（如等差、等比数列的求和），裂项分组求和，裂项相消求和，错位相减求和，倒序相加求和。
（1）在求等比数列前n 项和S n 时，一定要注意分清公比q =1还是q ≠1；（2）裂项法的关键是研究通项公式，裂项的目的是转化成几个等差或等比数列或自然数的平方组成的数列求和，或者正、负相消；（3）错位相减法求和，主要用于一个等差与一个等比数列相应项相乘所得的数列求和；（4）含有组合数的数列求和，注意考虑利用组合数的性质公式求和或利用倒序相加求和；（5）三角函数求和考虑裂项相消求和或利用复数转化为等比数列求和；学习时，还要注意归纳总结一些常见类型的数列求和方法。
二. 数列极限的意义及运算1. 数列极限的概念对于数列{}a n ，如果存在一个常数A ，无论预先指定多么小的正整ε都能在数列中找到一项a N 使得这一项后面的所有项a n 与A 的差的绝对值都小于ε，（即当n N >时，恒有||a A n -<ε成立），就把常数A 叫做数列{}a n 的极限，记作：lim n n a A →∞=。
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对于一些基本的求数列的问题。
一般采用比较浅的方法就可以得到、但是对于无法用基本原理解的数列就需要特殊解法 不动点法
如果数列
}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有
h ra q
pa a n n n ++=
+1（其中p 、q 、
r 、h 均为常数，且
r h a r qr ph -
≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程
h rx q
px x ++=
. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，
若,1λ=a 则;N ,∈=n a n
λ
若λ≠1a ，则,N ,1∈+=
n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地，当存
在
,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则
11
2--=
n n n c c a λλ，,N ∈n
其中
).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=
-a n r p r p a a c n n 其中
例14 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令212441x x x -=
+，得2
420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41
x f x x -=+的
两个不动点。
因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)92793341
n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。
所以数列
23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
是以
112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故12132()39n n n a a --=-，则11313
2()19
n n a -=
+-。
评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=+的不动点，即方程2124
41
x x x -=+的两
个根1223x x ==，，进而可推出
1122
13393n n n n a a a a ++--=⋅--，从而可知数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
为等比数
列，再求出数列23n n a a ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。
例15 已知数列{}n a 满足1172
223
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令7223x x x -=
+，得2
2420x x -+=，则1x =是函数31()47
x f x x -=+的不动点。
因为17255
112323
n n
n n n a a a a a +---=
-=++，所以 2111
()()3423
n n n a =
++。
n b ，使得所给递推关系式转化
113
22
n n b b +=
+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
不动点法
例14 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令212441x x x -=
+，得2
420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41
x f x x -=+的
两个不动点。
因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)927
93341n n n n n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。
所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
是以
112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故12132()39n n n a a --=-，则11313
2()19
n n a -=
+-。
评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=+的不动点，即方程2124
41
x x x -=+的两
个根1223x x ==，，进而可推出
1122
13393n n n n a a a a ++--=⋅--，从而可知数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
为等比数
列，再求出数列23n n a a ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。
例15 已知数列{}n a 满足1172
223
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令7223x x x -=
+，得2
2420x x -+=，则1x =是函数31()47
x f x x -=+的不动点。
因为17255
112323
n n
n n n a a a a a +---=
-=++，所以。