高中数学数列知识点精华总结

数 列 专 题◆ 考点一：求数列的通项公式1. 由a n 与S n 的关系求通项公式由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有：①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n－S n －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n .2.由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解．◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1a n＝f(n)，常用累乘法求通项；◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列；2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n(q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n转化为类型(4)，或同除以p n ＋1转为用迭加法求解．3） ◆ 倒数变形3.数列函数性质的应用数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．（3)数列{a n }的最大(小)项的求法可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.[例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围．考点二：等差数列和等比数列等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a na n －1＝常数(n≥2) 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1qn －1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n≥1)⇔{a n }为等差数列(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q(p 、q 为常数)⇔{a n }为等差数列(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn(A 、B 为常数)⇔{a n }为等差数列(5){a n }为等比数列，a n >0⇔{log a a n }为等差数列 (1)定义法(2)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n≥1)(a n ≠0)⇔{a n }为等比数列(3)通项公式法：a n ＝c·q n(c 、q 均是不为0的常数，n∈N *)⇔{a n }为等比数列(4){a n }为等差数列⇔{a an}为等比数列(a>0且a≠1)性质(1)若m 、n 、p 、q∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q特别：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .(2)a n ＝a m ＋(n －m)d(3) 数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列， 即2(S 2m －S m )＝S m +(S 3m －S 2m )(1)若m 、n 、p 、q∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n ＝a m qn －m(3) 若等比数列前n 项和为S n 则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q≠－1)． 前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d (1)q≠1，S n ＝a 11－qn1－q ＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 11n n 个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算． 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．3.用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d)，当d≠0时，a n 是关于n 的一次函数，对应的点(n ，a n )是位于直线上的若干个离散的点；当d ＞0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列，S n 有最小值； 当d ＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列，S n =na 1；当d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列，S n 有最大值．若等差数列的前n 项和为S n ，则S n ＝pn 2＋qn(p ，q∈R )．当p ＝0时，{a n }为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列a n ＝a 1qn －1，可用指数函数的性质来理解．当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0,0＜q ＜1时，等比数列{a n }是单调递增数列； 当a 1＞0,0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是单调递减数列；当q ＝1时，是一个常数列；当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列． 4.常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n },{b n }均是等比数列，则{ca n }(c≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n}等也是等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝a 2－a 1qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公比为q k.等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d. 5） 5.易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2时，一定要注意分n ＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的必要条件是b 2＝ac. 6.等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． 7.等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q(q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q(q 为非零常数且n≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k·q n－k(k 为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a n }是等比数列．注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.考点三：数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：1.公式法——直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d ； (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q ，q≠1.2.倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． 3.错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．求a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q ，然后将两式相减，相减后以“q n”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)．4.裂项相消法(注重积累！！！)利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1.利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项．常见的拆项公式(1)1n n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； (2) 1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (3) 1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (4) 1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ;(5)n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n).5.分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 6.并项求和法一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 7.放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法,放缩法的注意问题以及解题策略(1)明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。