数列知识点和常用解题方法归纳总结.doc
数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1.等差数列的定义与性质
定义： （ 为常数）,
等差中项: 成等差数列
前n 项和()()11122
n n a a n n n S na d +-==+ 性质: 是等差数列
（1）若 , 则
（2）数列 仍为等差数列, 仍为等差数列, 公差为 ；
（3）若三个成等差数列, 可设为
（4）若 是等差数列, 且前 项和分别为 , 则
（5） 为等差数列 （ 为常数, 是关于 的常数项为0的二次函数） 的最值可求二次函数 的最值；或者求出 中的正、负分界项,
2.等比数列的定义与性质
定义: （ 为常数, ）, .
等比中项： 成等比数列 , 或 .
前 项和: （要注意！ ）
性质: 是等比数列
（1）若 , 则
（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .
注意: 由 求 时应注意什么？
时, ；
时, .
4.求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
（2）错位相减法
如: ①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……
② ①—②()21
11n n n x S x x x nx --=++++-……
时, , 时,。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
基础数列知识点归纳总结
基础数列知识点归纳总结在学习数列的过程中，我们需要掌握数列的基本概念、常见的数列类型、数列的性质以及求解数列的方法等知识。
下面我们来归纳总结一下数列的基础知识点。
一、数列的基本概念数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用an表示第n项。
数列的项数可能是有限个，也可能是无限个。
1. 有限数列：数列的项数是有限个的，可以用一个有限个项的列表表示出来。
例如：1, 3, 5, 7, 92. 无限数列：数列的项数是无限个的，无法用有限个项的列表表示出来。
例如：1, 2, 3, 4, ...二、常见的数列类型数列根据其递推规律的不同，可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1. 等差数列如果一个数列中任意相邻两项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的递推公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
例如：1, 3, 5, 7, 9 是一个公差为2的等差数列。
2. 等比数列如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
例如：2, 6, 18, 54, 162 是一个公比为3的等比数列。
3. 其他特殊数列除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，例如：斐波那契数列、调和数列、几何级数等。
三、数列的性质1. 数列的有界性数列中的项是否有界，与数列的性质密切相关。
有界数列指的是数列中的项都在一定的范围内，可以是上界和下界。
2. 数列的求和公式对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式来计算数列的前n项和。
等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，等比数列的求和公式为：Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)。
3. 数列的极限性质对于无限数列，我们可以关注它的极限性质。
当n趋向于无穷大时，数列的极限值将是一个重要的性质，它可以帮助我们理解数列的最终发展趋势。
数列知识点总结和题型归纳
数列知识点总结和题型归纳一、数列的定义和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数叫做数列的项，用an表示第n个项。
1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之差都是相等的。
公差d是等差数列中相邻两项的差值。
2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之比都是相等的。
公比q是等比数列中相邻两项的比值。
二、数列的通项公式和前n项和公式1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则该等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
3. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
4. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则该等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
三、数列的常见题型1. 求等差数列的第n项已知等差数列的首项a1和公差d，求该等差数列的第n项an，则可以利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算。
2. 求等差数列的前n项和已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，求该等差数列的前n项和Sn，则可以利用等差数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2进行计算。
3. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1和公比q，求该等比数列的第n项an，则可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)进行计算。
4. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1、公比q和项数n，求该等比数列的前n项和Sn，则可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)进行计算。
四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用，特别是在数学建模和实际问题的解决中常常用到。
数列复习基本知识点归纳与总结
数列基本知识点归纳与总结一、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}na 的最大项为__（答：125）； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项a n-1（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。
数列的前n 项和：a a a a s n n ++++= (3)21.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n=⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
二、等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+).（1） 等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
(完整word版)数列知识点复习总结,推荐文档
数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。
完整版)数列知识点归纳
完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为：$a_n-a_{n-1}=d$（其中$d$为常数，$n\geq2$）；2.等差数列通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差）推广公式为：$a_n=a_m+(n-m)d$。
因此，$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$；3.等差数列中，如果$a$、$A$、$b$成等差数列，那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项，即$A=\frac{a+b}{2}$；4.等差数列的前$n$项和公式为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。
特别地，当项数为奇数$2n-1$时，$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项，且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$；5.等差数列的判定方法：1）定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；2）等差中项：数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^*$）；3）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$a_n=kn+b$（其中$k$、$b$为常数）；4）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$S_n=An^2+Bn$（其中$A$、$B$为常数）；6.等差数列的证明方法：定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；等差中项性质法：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^+$）。
7.提醒：1）等差数列的通项公式及前$n$项和公式中，涉及到5个元素：$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$，其中$a_1$、$d$称作为基本元素。
关于数列的知识点总结归纳
关于数列的知识点总结归纳【关于数列的知识点总结归纳】一、数列的定义和基本概念数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。
其中，每个数字称为数列的项，项的位置称为项数。
二、数列的分类1.等差数列等差数列是指数列中各项之间的差值相等的数列。
其中，差值称为公差。
常用符号表示为an=a1+(n-1)d。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.等比数列等比数列是指数列中各项之间的比值相等的数列。
其中，比值称为公比。
常用符号表示为an=a1*r^(n-1)。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。
其中，首项和次项为1，即F1=F2=1，第n项的值为Fn=Fn-1+Fn-2。
4.等差减数列等差减数列是指数列中各项之间的差值递减的数列。
例如，1，2，4，7，11就是一个等差减数列。
5.等差倍数数列等差倍数数列是指数列中各项之间的差值递增的数列，并且差值是递增的倍数关系。
例如，1，2，6，15，31就是一个等差倍数数列。
三、数列的性质和定理1.递推公式递推公式是指通过前面几个项计算后面项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的递推公式。
2.通项公式通项公式是指通过项数n直接计算出第n项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的通项公式。
3.前n项和公式前n项和公式是指数列前n项的和的公式。
通过该公式，可以快速计算数列前n项的和。
例如等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2。
4.数列的求和法则根据数列的性质，可以得到各类数列的求和法则。
例如，等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2，等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
5.数列的性质和规律数列中的项之间存在着一定的性质和规律，比如等差数列的项与项之差相等，等比数列的项与项之比相等等。
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数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义： a n 1 a n d (d为常数 ) ， an a1 n 1 d等差中项： x， A ， y成等差数列2A x ya1 a n n n n 1前 n项和 S n na 1 d2 2性质： a n是等差数列（1）若 m n p q，则 a m a n a p a q；（ 2）数列 a2 n 1， a2 n， ka n b 仍为等差数列；S n， S2 n S n， S3n S2 n仍为等差数列；（ 3）若三个数成等差数列，可设为 a d，a，a d；（ 4）若 a n， b n是等差数列 S n ， T n 为前 n项和，则amS2 m 1 ；b mT2 m 1（ 5）a n 为等差数列S n an2bn（，为常数，是关于的常数项为a b n0的二次函数）S n的最值可求二次函数S n an2bn的最值；或者求出a n中的正、负分界项，即：当 a1 ， d ，解不等式组a n 0 可得Sn达到最大值时的n 值。
0 0a n 01当 a1 ， d ，由 a n 0 可得S n达到最小值时的n值。
0 0 an 1 0如：等差数列 a n， S n 18，a n an 1an 2 3，S3 1，则 n（由 a n an 1an 2 3 3a n 1 3，∴ a n 1 1又 S3 a1 a3· 3 3a2 1，∴ a212 31 1 na 1 a n na 2 a n 1 · n318n 27）∴ S n222二、等比数列的定义与性质定义： a n 1q （ q 为常数， q0）， a n a 1 q n 1a n等比中项： x 、G 、 y 成等比数列G 2 xy ，或 Gxyna 1 (q1)前n 项和： S n a 1 1q n1) （要注意 ! ）1(qq性质： a n 是等比数列（1）若 m n p q ，则 a m · a n a p ·a q（ 2） S n ， S 2 n S n ， S 3n S 2 n 仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、 由 S n 求 a n ； （ n 1时， a 1 S 1 ， n 2时， a nS n S n 1 ）3、求差（商）法如： a n 满足 1a 11 a 21 a n 2n 52 222n解： n 1时， 1 a12 1 ，∴ a1 1425n 2时， 1a 1 11a 2an 12n 1 52222 n 112 得：1n a n2 ， ∴ a n2n 1， ∴ a n2［练习］数列 a n 满足 S nSn 15a n 1 ， a 14，求 a n3（注意到 a n 1S n 1 S n 代入得：S n 14S n又S 1 4 ，∴ S n 是等比数列， S n4 nn 2时， a n S nSn 13· 4 n 11214 ( n 1)2 n 1 (n 2)4 、叠乘法例如：数列a n 中， a 13，an1n n，求 a na n 1解：a 2·a 3⋯⋯a n 1 · 2 ⋯⋯ n 1，∴a n 1 a 1a 2 a n 1 2 3na 1n又 a 1 3，∴ a n3 n5 、等差型递推公式由 a n a n 1 f ( n) ， a 1 a 0 ，求 a n ，用迭加法 n 2 ， a 2a 1f (2)a 3 a 2 f (3) 两 相加，得：⋯⋯ ⋯⋯a n a n 1f (n)a n a 1 f (2) f (3)⋯⋯ f ( n)∴ a na 0f ( 2) f (3) ⋯⋯ f (n)［练习］数列 an， a1 ， an3 n 1an 1 n2 ，求 a n1（ a n1 3n 1 ）26、等比型递推公式a n ca n 1 d c 、 d 常数， c0， c 1， d 0可 化 等比数列，a nx c a n 1xa nca n 1c 1 x令 (c 1)xd ，∴ xdc 1∴ a nc d 是首 a 1 c d ， c 公比的等比数列11∴ a nd a 1c d · c n 1c 11∴ a na 1c d c n 1c d11［练习］数列 a n 满足 a 1 9， 3a n 1 a n4，求 a nn 1（a n 84 1）37 、倒数法例如： a， a n 12an，求a n ， 由已知得： 1a n 2 1 111a n 2a n 12a n2 a n∴ 11 1，1 等差数列，1 ，公差 1an 1a n2a na 1 121 1 n 1 · 1 1n 1， ∴ a nn2a n2 21三、 求数列前 n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
n1如： a n是公差 d 的等差数列，求1 a k akk 1解： 由11 1 11d 0a k ·a k 1a k a k dd a kak 1∴n1 n 11 1k 1a k a k 1k 1d a kak 11 1 1 11⋯⋯1 1d a 1 a 2a 2a 3a nan 11 1 1d a 1 a n 1［练习］求和： 111⋯⋯11 21 2 3 1 2 3⋯⋯ n（ a n， S n21 ）n13 、错位相减法：若 a n为等差数列，b n为等比数列，求数列a nb n（差比数列）前n 项和，可由S nqS n 求 S n ，其中q 为b n的公比。
如： Sn1 2 x x 24 x 3⋯⋯ nx n 113x · S n x2 x 2x 34 x4 ⋯⋯n1 x n 1nx n2312 ： 1 x S n1 x x2 ⋯⋯ x n 1 nx nx时， S n1 x nnx n1121 xxx1 ， S n1 2 3n n 1⋯⋯n24、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S n a 1 a 2⋯⋯a n 1a n 相加S n a n an 1⋯⋯a 2 a 12a 1a na 2a n 1⋯⋯a 1 a n ⋯⋯S n［练习］已知 f (x)x 2 ，则 f (1) f (2) f1 f ( 3) f111 x 223f (4) f41 2x 2x 2（由 f ( x)f1x11x1 x21 21 x21 x21x∴原式 f (1)f (2)f 1f (3) 1f (4) 12ff341 1 1 1 3 1）2 2例 1 设{ a } 是等差数列，若 a =3， a 7 =13，则数列 { a } 前 8 项的和为（）n2nA ． 128B ． 80C ．64D ． 56 （福建卷第 3 题）略解：∵ a 2 +a 7 = a 1 +a 8 =16，∴ { a n } 前 8 项的和为 64，故应选 C ． 例 2 已知等比数列 { a n } 满足 a 1 a 2 3， a 2 a 36 ，则 a 7（ ）A ． 64B ． 81C ． 128D ． 243 （全国Ⅰ卷第 7 题）答案： A ．例 3 已知等差数列a n 中， a 2 6 ， a 5 15 ，若b n a 2n ，则数列 b n 的前 5 项和等于（ ）A ． 30B ． 45C ． 90D ． 186 （北京卷第 7 题）略解：∵ a 5 -a 2 =3d=9，∴ d=3 ，b 1 = a 2 6 ， b 5 =a 10 =30， b 的前 5 项和等于90，n故答案是 C ．例 4 记等差数列的前 n 项和为 S n ，若 S 24, S 4 20 ，则该数列的公差 d （）A ． 2B ． 3C ． 6D ． 7 （广东卷第 4 题）略解：∵ S 4 S 2 S 2 4d 12, d 3, 故选 B.例 5 在数列 { a n } 中， a n4n 5 ， a 1 a 2 La nan 2bn ， n N * , 其中 a, b 为常数，则 ab2．（安徽卷第 15 题）答案：－ 1．例 6 在数列 { a n } 中， a 12 ， a n 1anln(11) ，则 a n（）nA ． 2 ln n B． 2 (n 1)ln nC ．2 nln nD ． 1n ln n （江西卷第 5 题）答案： A ．例 7 设数列 a n 中， a 12, a n 1 a n n 1，则通项 a n___________ ．（四川卷第16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住a n1ann 1中 a n 1 , a n 系数相同是找到方法的突破口．略解：∵ a 1 2, a n 1 a n n1 ∴ a n a n1n 1 1 ， a n 1an 2n 2 1 ，a n 2an 3n 3 1， K ， a 3 a 2 2 1， a 2 a 1 1 1 ， a 1 2 1 1．将以上各式相 加，得 a nn 1n 2n3 L21 n 1 n1 n 1 n n 1n2 1，故2应填 n(n1)+1．2例 8 若 ( x +1) n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4 项的系数为2x( )A ． 6B ． 7C ． 8D ．9 ( 重庆卷第 10 题)答案： B ．使用选择题、 填空题形式考查的文科数列试题， 充分考虑到文、 理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查， 命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主， 如，例 4 以前的例题． 例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例 8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1 题，浙江卷第 4题，陕西卷第 4 题，天津卷第 4 题，上海卷第 14 题，全国Ⅱ卷第 19 题等，都是关于数列的 客观题，可供大家作为练习．例 9 已知｛ a ｝是正数组成的数列， a =1，且点（a n , a n 1 ）（nN*）在函数 y2+1=xn1的图象上 . ( Ⅰ ) 求数列｛ a n ｝的通项公式； ( Ⅱ ) 若数列｛ b n ｝满足 b 1=1，b n+1=b n + 2an ，求证： b ·b n+2 ＜b . （福建卷第 20 题）n2 n+1略解：（Ⅰ）由已知，得 a n+1- a n =1，又 a 1=1, 所以数列｛ a n ｝是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列．故 a =1+( n -1) × 1=n.nnn+1nnnnn-1)+( b n-1- b n-2211n-1+2 n-2+( Ⅱ ) 由（Ⅰ）知，a =n ，从而 b - b =2 ，b =( b - b )+ +（ b - b ）+b =2n ．∵ . b n ?b n+2-b n 2n n n+ 2= -2 n ∴ b n · b n+2＜ b n 2 1 ．+2+1=2 -1 1 =(2 -1)(2 +2-1)-(2 1-1) ＜ 0,对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：2n n+22n+1 n n +1 n+12n+1 n+1 nn+1 n n+1 nn+1n+1∵ b =1, b ·b - b n 1 =( b -2 )( b +2 )- b n 1 =2 ·b -2 ·b -2 · 2 ＝ 2 （ b -2 ） nn n+1 n n n b 1-2 ） =-2 n <0，∴ b n - b n+2< b 2=2 （ n +2 -2） =2 （ n -2） = =2 （n+1.bb例 10 在数列 a n 中， a 1 1， a n 1 2a n2n ．（Ⅰ）设 b na n ．证明：数列b n2n 1是等差数列；（Ⅱ）求数列a 的前 n 项和 S n ．（全国Ⅰ卷第 19 题）n略解：（Ⅰ） b n 1 b n =a n1a n = a n 1 2a n = 2n=1，则 b n 为等差数列， b 1 1，2n2n 1 2n 2nb n n ， a n n2n 1 ．（Ⅱ）S n 1g20 2g21 L ( n 1)g2n 2 ng2n 1， 2S n 1g21 2g22 L ( n 1)g2n 1ng2n．两式相 减，得S n ng2n 1g20 21 L 2n1ng2n 2n 1 = (n 1)2n 1．对于例 10 第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等， 即差是一个常数． 可以用迭代法， 但不可由 b - b =1，b 3 - b 2 =1 等有限个的验证归纳得到b n 为等差数列的结论，21犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列” ，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前 n 项和时给出，是“等比差数列” 求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第 18 题，江苏卷第 19 题，辽宁卷第 20 题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为 依托构造新的数列． 主要考查等差数列、 等比数列等基本知识，考查转化与化归思想， 考查 推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主， 以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同； 文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．例 11 等差数列 {a n } 的各项均为正数， a 1 3 ，前 n 项和为，为等比数列, b 11 ，S n { b n }且 b 2 S 2 64, b 3S 3960 ．( Ⅰ ) 求 a n 与 b n ； (1 1 L1 ．（江西卷第 19Ⅱ) 求和：S 2 S nS 1题）略解： ( Ⅰ ) 设 { a n } 的公差为 d ，{b n } 的公比为 q ，依题意有S 2b 2 (6 d )q 64,S 3b 3(9 3d ) q2960.d 2, 或d6 ,解之，得5 ( 舍去，为什么？ ) 故 a n 3 2( n 1) 2n 1,b n 8n 1 ． q 8; q 40 .3（Ⅱ）S n 3 5 L (2 n 1) n(n 2)，∴1 1L1111L111 1 1 1 1S 1 S 2 S nn(n 2)(1324351324352L11 ) 1(1 1 n 1 1 ) 32n 3． nn 22 2 1n 242(n 1)(n 2)“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容， 其方法是研究数列通项及前 n 项和的一般方法， 并且往往不单一考查数列， 而是与其他内容相综合， 以体现出 对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求， 有一定的难度， 对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．例 12 设数列a n 的前 n 项和为 S n2a n 2n （， Ⅰ）求 a 1 , a 4 ；（Ⅱ）证明： an 12an是等比数列；（Ⅲ）求a n 的通项公式．（四川卷第 21 题）略 解 ：（ Ⅰ ） ∵ a 1 S 1, 2a 1 S 1 2 ， 所 以 a 1 2, S 1 2 ． 由 2a nS n 2n 知 ，2a n 1 S n 12n 1a n 1 S n2n 1得，a n 1S n2n 1① ∴a 2 S 122 2 22 6, S 2 8，a 3S 2 238 23 16, S 3 24，a 4S 324 40 ．（Ⅱ）由题设和①式知，a n 1 2a n S n2n 1S n2n2n 12n2n ， ∴a n 1 2a n 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．（Ⅲ）a n a n 2a n 1 2 a n 1 2a n 2 L 2n 2 a2 2a1 2n 1 a1 n 1 2n 1此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有S n的递推公式的重要手段，使其转化为不含S n的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．例 13 数列a n满足a1 0, a2 2, a n 2(1 cos2 n )a n 4sin 2 n , n 1,2,3,L ,2 2（ I ）求a3, a4，并求数列a n 的通项公式；（II ）设 S k a1 a3 L a2 k 1，T k a2 a4 L a2k， W k 2S k ( k N ) ，求使 W k 1的所有k的值，并说明理由．（湖2 T k 南卷第 20 题）略解：（ I ）a3 (1 cos2 )a1 4sin 22 a1 4 4, a4 (1 cos2 ) a2 4sin 2 2a2 4,2一般地 , 当 n = 2k 1(k N )时，a2k 1 [1 cos2 (2k 1) ] a2 k 1 4sin 2 (2 k 1)a2 k 1 4, 即a2 k 1a2k 1 4.2 2所以数列 a2 k 1 是首项为 0 、公差为 4 的等差数列，因此a2k 1 4( k 1). 当n = 2k (k N ) 时，a2k 2 (1 cos22k)a2k4sin 2 2k 2a2k, 所以数列 a 是首项2 2 2k为 2、公比为 2 的等比数列，因此 a2k 2k. 故数列 a 的通项公式为na n 2( n 1),n 2k 1(k N ), n22 , n 2k(k N ).（II ）由（ I ）知，S k a1 a3 L a2 k 1 = 0 4 L 4( k 1) 2k (k 1), T k a2 a4 L a2k2 22 L 2k 2k 1 2, W k 2S k k (k 1) .2 T k 2k 1于是， W1 0, W2 1, W3 3, W43, W55, W6 15 .2 2 4 16下面证明: 当 k 6 时，W k 1.事实上, 当 k 6 时，Wk 1 W k (k 1)k k (k 1) k (3 k)0, 即W k 1 W k . 又 W6 1, 所以当k 6 时，2k 2k 1 2kW k 1. 故满足 W k1的所有k的值为3,4,5.数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念1．理解数列定义的四个要点⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序” ，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 ( 或它的有限子集 ) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．2．数列的通项公式一个数列 { a n } 的第 n 项 a n与项数 n 之间的函数关系，如果用一个公式a n = f (n)来表示，就把这个公式叫做数列{ a n } 的通项公式。