上海中考数学复习4因式分解

中考复习之因式分解
知识考点：
因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。

重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。

难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。

精典例题：
【例1】分解因式：
（1）3
3xy y x -
（2）x x x 2718323+-
（3）()112---x x （4）()()3
224x y y x --- 分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。

提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

②当某项完全提出后，该项应为“1”
③注意()()n n a b b a 22-=-，()()1212++--=-n n a b b a
④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

答案：（1）()()y x y x xy -+； （2）()2
33-x x ； （3）()()21--x x ； （4）()()y x y x -+-222
【例2】分解因式：
（1）22103y xy x --
（2）32231222xy y x y x -+
（3）()222164x x -+
分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。

首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。

（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。

答案：（1）()()y x y x 52-+；（2）()()y x y x xy 232-+；（3）()()2
222+-x x 【例3】分解因式：
（1）2
2244z y xy x -+-；
（2）b a b a a 2322-+-
（3）322222--++-y x y xy x
分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。

四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。

答案：（1）()()z y x z y x --+-22（三、一分组后再用平方差）
（2）()()()112-+-a a b a （三、二分组后再提取公因式）
（3）()()13--+-y x y x （三、二、一分组后再用十字相乘法）
【例4】在实数范围内分解因式：
（1）44-x ；
（2）1322-+x x
答案：（1）()()()
2222-++x x x （2）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--417341732x x 【例5】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足ac bc ab c b a ++=++222，求证：△ABC 为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证c b a ==，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式()()()02
22=-+-+-a c c b b a ，即可得证，将原式两边同乘以2即可。

略证：0222=---++ac bc ab c b a
022*******=---++ac bc ab c b a
()()()02
22=-+-+-a c c b b a ∴c b a ==
即△ABC 为等边三角形。

探索与创新：
【问题一】
（1）计算：⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-22221011911311211 分析：此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

解：原式＝⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-10111011911911311311211211
＝
10
111099108943322321⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯ ＝2011 （2）计算：22222221219981999200020012002-+⋅⋅⋅-+-+-
分析：分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

解：原式＝()()()()()()121219992000199920002001200220012002-+⋅⋅⋅+-++-+
＝2002＋2001＋1999＋1998＋…＋3＋1
＝()2
200212002⨯+ ＝2 005 003
【问题二】如果二次三项式82--ax x （a 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a 可以取那些值？ 分析：由于a 为整数，而且82--ax x 在整数范围内可以分解因式，因此可以肯定82--ax x 能用形如()pq x q p x +++2型的多项式进行分解，其关键在于将－8分解为两个数的积，且使这两个数的和等于a -，由此可以求出所有可能的a 的值。

答案：a 的值可为7、－7、2、－2
跟踪训练：
一、填空题：
1、()229=n ；()222=a ；c a b a m m ++1＝ 。

2、分解因式：
222y xy x -+-＝ ；
1872--xy x ＝ ；
()()25102++-+y x y x ＝ 。

3、计算：1998×2002＝ ，2223274627+⨯-＝ 。

4、若012=++a a ，那么199920002001a a a ++＝ 。

5、如果n 222108++为完全平方数，则n ＝ 。

6、m 、n 满足042=-++n m ，分解因式()()n mxy y
x +-+22＝ 。

二、选择题：
1、把多项式b a ab -+-1因式分解的结果是（ ） A 、()()11++b a B 、()()11--b a C 、()()11-+b a D 、()()11+-b a
2、如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +-2，则b a +的值为（ ）
A 、－1
B 、1
C 、－2
D 、2
3、若22169y mxy x ++是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）
A 、24
B 、12
C 、±12
D 、±24
4、已知1248-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A 、61、63
B 、61、65
C 、61、67
D 、63、65
三、解答题：
1、因式分解：
（1）118146-++-n n n x x x
（2）()()
8323222-+-+x x x x （3）122222++--+a b ab b a
（4）()()()()14321+++++x x x x
（5）()()ab b a
41122--- 2、已知0258622=+++-y y x x ，求y x 32-的值。

3、计算：22222212979899100-+⋅⋅⋅+-+-
4、观察下列等式：
2
311=
233321=+
23336321=++
23333104321=+++……
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来： 。

5、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+，试判断△ABC 的形状。

阅读下面解题过程：
解：由224224c a b c b a +=+得： 222244c b c a b a -=- ①
()()()
2222222b a c b a b a -=-+ ② 即222c b a =+ ③
∴△ABC 为Rt △。

④
试问：以上解题过程是否正确：；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）；错误原因是；本题的结论应为。

微信公众号:上海试卷
参考答案
一、填空题：
1、n 3±，a 2±，()c ab a m +；
2、()2y x --，()()29+-x x ，()25-+y x
3、3 999 996 610；
4、0；
5、10或4；
6、()()22-+++y x y x
二、选择题：DADD
三、解答题
1、（1）()()43121---x x x n ； （2）()()()()1421-+++x x x x
（3）()21+-b a ； （4）()2255++x x
（5）()()b a ab b a ab ---++-11
2、23
3、5050
4、()2
33333214321⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=+⋅⋅⋅++++n n n
5、不正确，③，等式两边除以了可能为零的数，等腰或直角三角形。