高级宏观经济学之索罗增长模型
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高级宏观经济学之索罗增长模型
c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的
资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
2020/1/15
高级宏观经济学
11
3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
dx / dt x d ln x
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
2020/1/15
高级宏观经济学
12
三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
每单位有效劳动 的实际投资
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F(K, AL) L
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
2020/1/15
高级宏观经济学
10
图形表示
f(k) f(k)
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
2020/1/15
高级宏观经济学
6
2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的
资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
2020/1/15
高级宏观经济学
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3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
dx / dt x d ln x
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
2020/1/15
高级宏观经济学
12
三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
每单位有效劳动 的实际投资
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F(K, AL) L
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
2020/1/15
高级宏观经济学
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图形表示
f(k) f(k)
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
2020/1/15
高级宏观经济学
6
2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
罗默《高级宏观经济学》版课后习题详解索洛增长模型
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1.1增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：（a）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若Z t X t Y t，贝y（b）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若Z t X t Y t，贝yg g（c）如果Z t X t ，则zt/zt xt/xt证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a）的结果（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b）的结果。
（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于ln X t ln X t ，其中是常数，有下面的结果：则得到（c）的结果。
1.2假设某变量X的增长率为常数且在0 7时刻等于a 0,在1时刻下降为0, 在t i〜t2时刻逐渐由0上升到a，在t2时刻之后不变且等于a o（a）画出作为时间函数的X的增长率的图形。
（b）画出作为时间函数的lnX的图形。
答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。
从0时刻到t时刻X的增长率为常数且等于a （ a 0 ），为图形中的第一段。
X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。
从t2时刻之后，X的增长率再次变为a o图1-1 时间函数X 的增长率（b）注意到InX关于时间t的导数（即InX的斜率）等于X的增长率，即:因此，InX关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到b时刻，InX的斜率为a（a 0），在1时刻，X t的增长率出现不连续的变化，因此InX的斜率出现扭曲，在1时刻至t2时刻，InX的斜率由0逐渐变为a ;从t2时刻之后，InX的斜率再次变为a （ a 0）。
高级宏观经济学之索罗增长模型
9
边际产出
资本的边际产出
MPK
F(K, AL) K
ALf (K / K
AL)
f (k)
有效劳动的边际产出
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F ( K , L
AL)
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
k
2020/10/28
k*
k
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3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效
y* Y / AL Y y * AL
结论：索罗模
工人产出的定
义可以计算出 ln Y ln y * ln A ln L
总产出的增长 速度：
资本增长率 k*
Y Y
K / AL
L
L
K
A A
k*
n
2020/10/28
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一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
k(t) 0 k下降 k(t) 0 k不变
2020/10/28
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2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
5-罗默高级宏观经济学
绝对风险规避系数
我们在求导的时候注意 是一个常数， 表示的是家庭在两个时期转换消费的消费意愿， 越小，随着消费的上升边际效用下降的越慢，家庭越愿意跨期消费。
2.2企业行为和家庭行为
资本要素完全竞争---利率=资本的边际产出
工资=劳动的边际产出
宏观经济学的起点——凯恩斯1936年的通论
高级宏观经济学的起点——将我们的动态最优的分析方法，1928年开始提出，196几年的时候才开始运用，现在宏观经济学运用最多的就是这个模型
这样的争论是，资本的所有者是否应该
资本存量的增长率先是增加，然后增加的逐渐下降，
资本存量的变化率
资本存量本身是一定是往上走的，是递减的增加
和资本存量的增长率相对应
劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的
变动，因为技术进步率是不变的
劳军产出的对数值
每单位劳动的平均消费是怎么变化
取决于产出怎么变
也取决于劳动怎么变
投资先快速下滑，然后回归到新的均衡
我们经济学是先提出假定，然后在这个基础上发展框架
政治经济学中资本对劳动的剥削，只要你进行劳动，就有剩余
资本对劳动存在剥削，
因为只有劳动创造价值，其他因素不占有价值，其他要素获取剩余价值，所以就有对劳动的剥削
劳动者得到工资L——w
资本所有者得到利息K——r(一定是来自于劳动者的贡献)—所以这就应该是剥削
考虑一个变量对另一个变量的影响，
最基本的方式就是求导；
还有一个是弹性的概念总产出增加2%，储蓄增加X%。
有一个基本的方程，如果卡住了，把那个公式写到一遍，就一定能得到启发
如果储蓄率一定的话，经济会收敛到唯一的一个均衡点
考察经济收敛的速度，核心的变量就是资本存量
我们在求导的时候注意 是一个常数， 表示的是家庭在两个时期转换消费的消费意愿， 越小，随着消费的上升边际效用下降的越慢，家庭越愿意跨期消费。
2.2企业行为和家庭行为
资本要素完全竞争---利率=资本的边际产出
工资=劳动的边际产出
宏观经济学的起点——凯恩斯1936年的通论
高级宏观经济学的起点——将我们的动态最优的分析方法，1928年开始提出，196几年的时候才开始运用，现在宏观经济学运用最多的就是这个模型
这样的争论是，资本的所有者是否应该
资本存量的增长率先是增加，然后增加的逐渐下降，
资本存量的变化率
资本存量本身是一定是往上走的，是递减的增加
和资本存量的增长率相对应
劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的
变动，因为技术进步率是不变的
劳军产出的对数值
每单位劳动的平均消费是怎么变化
取决于产出怎么变
也取决于劳动怎么变
投资先快速下滑，然后回归到新的均衡
我们经济学是先提出假定，然后在这个基础上发展框架
政治经济学中资本对劳动的剥削，只要你进行劳动，就有剩余
资本对劳动存在剥削，
因为只有劳动创造价值，其他因素不占有价值，其他要素获取剩余价值，所以就有对劳动的剥削
劳动者得到工资L——w
资本所有者得到利息K——r(一定是来自于劳动者的贡献)—所以这就应该是剥削
考虑一个变量对另一个变量的影响，
最基本的方式就是求导；
还有一个是弹性的概念总产出增加2%，储蓄增加X%。
有一个基本的方程，如果卡住了，把那个公式写到一遍，就一定能得到启发
如果储蓄率一定的话，经济会收敛到唯一的一个均衡点
考察经济收敛的速度，核心的变量就是资本存量
4讲 经济增长：索洛模型和内生增长模型
AK模型说明,经济增长率由S 、A和(n+δ) 三个参数决定（而不象新古典模型中只 取决于(n+δ)这一个参数
这一模型的政策含义是：由于经济增长 率不仅与人口增长率，而且也与储蓄率 技术进步相关，因而政府采取促进积累 和提高技术水平的政策对经济增长也将 起到重要作用Sf(k)=nk NhomakorabeaSf(k)
△k=0
k=K/L
可见，稳定状态的条件是Sf(k)=nk 。图中， 如果Sf(k)>nk , △k>0
如果Sf(k)<nk , △k<0,这会引起经济的扩张
和收缩
当△k=0时,经济处于稳定状态.此时,经济增长 率由n决定
如果考虑折旧因素：
稳定条件为Sf(k)=(n+ δ)k
生产函数 Y=AK 式中，A为反映技术水平的正的常数，K为资
本存量
假定没有人口增长与资本折旧，则所有的储 蓄都转化为资本存量的增量，于是有
△K=SY=SAK 或 △K/K=SA 这样，储蓄率S就影响到了资本增长率△K/K
进一步，既然产量与资本成比例：产量增长 率也等于 △Y/Y=SA
这样情况下，储蓄率越高，产量的增长 率也越高
f(k)
c
δK
y
Sf(k)
I
k
任意某个资本存量上，引一条垂直横轴的线
图中符合黄金规则的资本存量是K，对应的消费水 平最高。此时，产出线的斜率f’(k) 与折旧线的斜率
δ相等
内生增长模型
索洛模型所作的是外生技术进步的假设， 按照内生增长理论，使稳定增长率内生 的有两条途径。一是将技术进步率内生 化；二是通过某些方式使稳定增长率被 要素的积累所影响。第二种途径的内涵 可以用AK模型来说明
这一模型的政策含义是：由于经济增长 率不仅与人口增长率，而且也与储蓄率 技术进步相关，因而政府采取促进积累 和提高技术水平的政策对经济增长也将 起到重要作用Sf(k)=nk NhomakorabeaSf(k)
△k=0
k=K/L
可见，稳定状态的条件是Sf(k)=nk 。图中， 如果Sf(k)>nk , △k>0
如果Sf(k)<nk , △k<0,这会引起经济的扩张
和收缩
当△k=0时,经济处于稳定状态.此时,经济增长 率由n决定
如果考虑折旧因素：
稳定条件为Sf(k)=(n+ δ)k
生产函数 Y=AK 式中，A为反映技术水平的正的常数，K为资
本存量
假定没有人口增长与资本折旧，则所有的储 蓄都转化为资本存量的增量，于是有
△K=SY=SAK 或 △K/K=SA 这样，储蓄率S就影响到了资本增长率△K/K
进一步，既然产量与资本成比例：产量增长 率也等于 △Y/Y=SA
这样情况下，储蓄率越高，产量的增长 率也越高
f(k)
c
δK
y
Sf(k)
I
k
任意某个资本存量上，引一条垂直横轴的线
图中符合黄金规则的资本存量是K，对应的消费水 平最高。此时，产出线的斜率f’(k) 与折旧线的斜率
δ相等
内生增长模型
索洛模型所作的是外生技术进步的假设， 按照内生增长理论，使稳定增长率内生 的有两条途径。一是将技术进步率内生 化；二是通过某些方式使稳定增长率被 要素的积累所影响。第二种途径的内涵 可以用AK模型来说明
索洛增长模型
k的动态学
由于有 k K / AL 用链式法则，我们可以得到下面的推 导过程：
•
•
K (t)
K (t)
•
•
k(t) A(t)L(t) ( A(t)L(t))2 ( A(t) L(t) L(t) A(t))
•
•
•
K (t) K (t) L(t) K (t) A(t)
A(t)L(t) A(t)L(t) L(t) A(t)L(t) A(t)
•
•
•
由于K / AL k, L/ L n, A/ A g, K sY (t) K (t),则，
•
k (t )
sY
(t )
K (t)
k (t )n
k (t ) g
s
Y (t)
k(t) nk(t) gk(t)
A(t ) L(t )
A(t ) L(t )
应用Y / AL f (k),有
生产函数假定：规模报酬不变 规模报酬不变的假定使我们可以使用密集形式
的生产函数：
F ( K ,1) 1 F (K, AL) AL AL
K 是每单位有效劳动的平均资本数量， AL F (K, AL) / AL就是每单位有效劳动的平均产量 定义k K / AL，y Y / AL，则 y f (k)
储蓄率上升对产量的影响
y f (k ) k (s, n, g, )
s
s
•
k 是由k 0定义的，因此k 满足
sf (k (s, n, g, )) (n g )k (s, n, g, )
对上述方程求关于s的导数，得
sf (k ) k f (k ) (n g ) k
s
s
k s
索洛增长模型名词解释
索洛增长模型名词解释
一、概念
索洛增长模型，又称作新古典经济增长模型或外生经济增长模型，是 Solow 于 1956 年首次创立的经济增长模型。
该模型旨在说明储蓄、资本积累和经济增长之间的关系，是分析以上三个变量关系的主要理论框架。
二、原理
索洛模型对经济总体的增长贡献被设定为由劳动、资本和技术进步三者组成。
该模型假设边际生产递减的一次齐次的总生产函数，满足稻田条件，储蓄率一定，技术进步为外生等条件。
在此基础上，得出了政府政策对于经济增长的作用是无效的结论。
三、应用
索洛模型的应用十分广泛，可以用于分析国家和地区的经济增长情况，为企业和政府制定经济政策提供理论依据。
例如，通过索洛模型可以分析资本积累、技术进步、劳动力等因素对经济增长的贡献，以及各种政策对经济增长的影响。
四、影响
索洛模型的创立对经济增长理论产生了深远的影响。
一方面，该模型提出了储蓄、资本积累和技术进步是经济增长的重要因素，为经济增长理论研究提供了新的视角和思路。
另一方面，该模型得出的政府政策无效论使人们意识到，政府政策并非万能，经济增长还需要依靠市场机制和内在动力。
然而，需要注意的是，索洛模型存在诸多假设条件，如边际生产递减、储蓄率一定等，这些假设条件在现实经济中并不完全符合。
因此，在应用索洛模型进行分析时，需要结合实际情况进行调整和改进，以更好地解释和预测经济增长。
总之，索洛增长模型作为一种重要的经济增长理论框架，对于分析和理解经济增长的基本原理和机制具有重要意义。
宏观经济学之运用索洛增长模型
知识溢出
引入知识溢出效应，以解释技术进步的外部性。
考虑资源环境因素
自然资源
将自然资源作为经济增长的约束 条件，研究资源环境对经济增长
的影响。
环境污染
将环境污染作为经济增长的成本， 研究环境质量与经济增长的关系。
可持续发展
将可持续发展理念引入模型，以实 现经济、社会和环境的协调发展。
政策制定中的运用
03
索洛增长模型的局限性
假设条件的局限性
假设条件过于简化
索洛增长模型建立在一些简化的假设基础上，如完全竞争市场、规模收益不变 等，这些假设在现实中很难完全满足。
忽略制度、政策和人力资本因素
模型中没有考虑制度、政策和人力资本等因素对经济增长的影响，而这些因素 在现实中对于经济增长至关重要。
长期经济增长的不可预测性
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
政府可以制定相关政策，如提供创新奖励、减税等措施，鼓 励企业进行技术创新，同时加强知识产权保护，保障创新者 的利益。
优化资源配置和提高效率
索洛增长模型指出，通过优化资源配置和提高效率，可以 实现更快的经济增长。在未来的经济发展中，应更加注重 资源的优化配置，提高生产效率。
企业应加强内部管理，提高生产效率，政府可以通过改革 市场机制、加强监管等措施，促进资源的合理配置。同时 ，加强教育和培训，提高劳动力素质，也是优化资源配置 和提高效率的重要途径。
03
不受经济系统内部因素影响。
模型公式
01
(Y=AF(K,L))
02
(Y)代表总产出，(A)代表技术水平，(K)代表资本投入，(L) 代表劳动投入。
03
(F)表示生产函数，描述了资本和劳动的投入与总产出之间 的关系。
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K (t) sY (t) K (t)
2019/12/20
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三、模型的动态学
1、k的动态学
• 在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重点分析资本的变化。 • 单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k (t)) (n g )k (t)
k(t) 0
每单位有效劳动的实际 投资
有效折旧：为保持k在现 有水平所必须进行的投资。
k(t) 0 k(t) 0
k增加 k下降 k不变
2019/12/20
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2、稳态
稳态：
如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的状况，即
平衡增长（balakn(cte)dgr0owth):
如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增长成为平衡增长。在 我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态的路径也是平衡增长的路径。
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
• AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步被称为劳动增加型技术
进步，或者被称为哈罗德中性。
2019/12/20
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： • 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索
2019/12/Hale Waihona Puke 02一、索罗模型简评
• 几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 • 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释 地域上不同人均产出的巨大差距。
• 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而无法用模型解释（如 技术进步）；或者当作不存在（如资本产生正的外部性）。
L (t ) n L (t ) A (t ) g A(t )
dx / dt x d ln x
gx
x
x dt
t时劳动力：
L(t) L(0)ent
t时技术存量：
A(t) A(0)e gt
产出在消费和投资之间分割，那么储蓄等于投资。储 蓄率s为外生且不变，资本折旧率为δ。资本变化＝投 资－折旧。
MPAL
F (K, AL) AL
f (k) kf (k)
MPL
F (K , AL) L
A[
f
(k) kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
2019/12/20
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图形表示
f(k) f(k)
K 0
FK
lim
L0
FL
lim
K
FK
lim
L
FL
0
满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因此，索罗增长模型
又被称为新古典增长模型。
2019/12/20
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模型的集约形式
• 根据规模报酬不变假设可以得到
F (K, AL) AL F (K / AL,1) AL f (K / AL)
c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的资本边际报酬。（假定 外生不变的储蓄率s，c表示消费）
2019/12/20
11
3、生产投入的演化
• 资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
• 瞬时增长率的定义：
劳动增长率为n： 技术进步率为g：
• 于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： y=f(k)
其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有效劳动的资本
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假设的含义
• 稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际产出十分大，当资本 存量很大时，其会变得很小。其作用在于确保经济的路径不发散。即
洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？ • 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致
2019/12/20
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2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
lim
2019/12/20
3
• 以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡结构： • 家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自主决策。 • 企业雇佣投入品进行生产。 • 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
2019/12/20
4
二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳动L，以及知识或劳动的有效性A。 • 生产函数：
c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)-(n+g+δ） k*
k*
k
索洛－斯旺模型
2019/12/20
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2、稳态
稳态均衡图示
因为
d[sf (k) / k] s d[ f (k) / k]
dk
dk
s
f (k) kf '(k) k2
s
F ' AL k2
0
sf (k) / k
2019/12/20
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2、稳态
单位有效劳动资本存量 的变化：
k(t) sf (k (t)) (n g )k (t)
f(k)
k 0
(n＋g+δ)k f(k) sf(k)
A
在A点，实际投资与有效折旧相 等，资本存量不变，经济达到 稳态：单位有效劳动的k*, y*, c*固定不变。消费为：
k (t )
(n g )
k*
k
2019/12/20
k*
k
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3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变：
• 根据假设1lk得i m 到0：f (k )
lim f (k ) 0
k
f (0) 0 f (k ) 0 f (k ) 0
2019/12/20
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边际产出
资本的边际产出
MPK
F (K , AL) K
ALf (K / AL) K
f (k)
有效劳动的边际产出 劳动的边际产出
2019/12/20
一国若想从最低级的野蛮状态过渡到最高程 度的丰饶，所需要的仅仅是和平、轻松的税收 和可以容忍的公正原则的执行，其他一切都可 以从事物的自然进程中产生。
——亚当.斯密
1
问题提出
• 什么因素决定了经济增长？ • 经济增长的一般趋势是什么？ • 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ • 穷国能否赶上富国？