伯努利

u2 W− − = Cl ρ 2 p
从推导过程看， 从推导过程看， 积分是在流线 积分是在流线 进行的， 上进行的，所 以不同的流线 可以有各自的 积分常数， 积分常数，将 它记作 Cl ，称 流线常数。 为流线常数。
以重力场为例： 以重力场为例：
W = − gz
u2 gz + + = Cl ρ 2 p
伯努利方程的推导
由条件3可得： 由条件 可得： 可得 由条件4可得： 由条件 可得： 可得
ux d t = d x
d ux 1 ∂p =X− dt ρ ∂x
uy d t = d y
duy dt =Y − 1 ∂p ρ ∂y
uz d t = d z
d uz 1 ∂p =Z− dt ρ ∂z
1 2
将式1， 对应相乘得 对应相乘得： 将式 ，2对应相乘得： B d uy d ux ∂p ∂p du 1 ∂p ux d t + u y d t + z uz d t = X d x + Y d y + Z d z − d x + d y + d z dt dt dt ρ ∂x ∂y ∂z A 整理化简得： 整理化简得：
2 2 2 ux + u y + uz = d 2
u2 = d 2

整理化简右边式子： 整理化简右边式子： 因为
X=
∂W ∂W ∂W ,Y = ,Z = ∂x ∂y ∂z
W为势函数 为势函数
式 则A式 X d x + Y d y + Z d z = B式 式
伯努利方程是由瑞士科学家伯努利在1738年首先导出的。伯努利方程以 年首先导出的。 伯努利方程是由瑞士科学家伯努利在 年首先导出的 动能和势能相互转换的方式， 动能和势能相互转换的方式，确定了流体运动中速度和压强的关系
限定条件： 限定条件： 1.作用在流体上的质量力仅为重力，且z轴向上 作用在流体上的质量力仅为重力， 轴向上 作用在流体上的质量力仅为重力 2.流体为不可压缩流体：即ρ=C 流体为不可压缩流体： 流体为不可压缩流体 3.对于恒定流动而言（流动参数与时间t无关） 对于恒定流动而言（流动参数与时间 无关 无关） 对于恒定流动而言 4.为理想流体 为理想流体 5.沿流线 沿流线
y
ˆ M ′
d y
B’ M d x A
d 旋转运动：旋转式由于 α和d β 不等产生的。故旋转角速度为： 不等产生的。故旋转角速度为： 旋转运动：
1 dα − d β 1 ∂u x ∂u y ωy = = ( − ) 2 dt 2 ∂y ∂x
同理可得： 同理可得
o
x
dα M’
A
dβ
∂u y 1 ∂u z ωx = ( − ) 2 ∂y ∂z ∂u x 1 ∂u y ωz = ( − ) 2 ∂x ∂y
p u2 W − − = Cl ρ 2
将两边同时除以g,则 将两边同时除以 则
u2 z+ + = Cl γ 2g p
其中令 γ
=
ρ
g
假如对同一流线上任意两点 1 和 2 利用伯努利积分，即有 利用伯努利积分，
2 p1 u12 p2 u2 z1 + + = z2 + + γ 2g γ 2g
伯努利方程
∂W ∂W ∂W dx+ dy+ d z = dW ∂x ∂y ∂z
1 ∂p ∂p ∂p 1 ( dx+ dy+ d z) = d p ρ ∂x ρ ∂y ∂z
因为流体是不可压缩的，所以 因为流体是不可压缩的，所以ρ=C 所以 综上： 综上： 对其积分可得： 对其积分可得：
p d p = d ρ ρ u2 p d = d W − d ρ 2 1
将欧拉平衡微分方程的两边分别乘以dx,dy,dz相乘以后，得 相乘以后， 将欧拉平衡微分方程的两边分别乘以 相乘以后
p = p ( x, y , z )
的全微分
∂p ∂p ∂p dz dp = dx + dy + ∂x ∂y ∂z
= ρ ( f x dx + f y dy + f z dz )
是流体平衡微分方程的全微分式，常叫做压强微分方程式，又称压强差公式， 是流体平衡微分方程的全微分式，常叫做压强微分方程式，又称压强差公式， 压强差公式 通常作用在流体上的单位质量力是已知的，将其代入该式直接积分， 通常作用在流体上的单位质量力是已知的，将其代入该式直接积分，便可求 得静压强的分布
1 ∂p fx − = 0 ρ ∂x
fy − 1 ∂p = 0 ρ ∂y
A
fz −
1 ∂p = 0 ρ ∂z
f − 1
写成矢量形式： 写成矢量形式： 式中： 式中
∇ =
∂ ∂ i + ∂x ∂y
ρ
∇p = 0
j +
∂ k ∂x
为哈密顿算子
物理意义：微元平衡流体所受的质量力和流体静压力在任何方向上平衡， 物理意义：微元平衡流体所受的质量力和流体静压力在任何方向上平衡，或者 平衡流体在某个方向上受到质量力的作用， 说，平衡流体在某个方向上受到质量力的作用，必然引起该方向上流体静压强 的变化
该方程的推导过程中，除假设流体静止以外， 该方程的推导过程中，除假设流体静止以外，对表征流体的物理量 静止以外 未作任何假设，所以该方程对于流体是平衡还是相对平衡， 未作任何假设，所以该方程对于流体是平衡还是相对平衡，流体受 何种质量力作用，流体是否可压缩，流体有无黏性都适用。 何种质量力作用，流体是否可压缩，流体有无黏性都适用。
质量力的势函数 对于不可压缩流体，密度为常数， 对坐标求偏导， 对于不可压缩流体，密度为常数，将式A对坐标求偏导，并考虑静压强 对坐标求偏导
p = p ( x , y , z ) 存在高阶连续偏导，可以得到单位质量力分量之间 存在高阶连续偏导，
存在下述关系： 存在下述关系：
∂f x ∂f y = ∂y ∂x
dx ＰＭ＝Ｐ（ｘ－ 2 ，ｙ，ｚ
p+
Ｚ
ｄ Ｍ ｄ’
ｃ
∂ p dx ⋅ ∂x 2
） Ｘ
ＰＮ＝Ｐ（ｘ＋
dx ，ｙ，ｚ ） 2
ｃ’ ｄｚ Ｏ’ ∂ p dx p− ⋅ ｂ ∂x 2 ａ ｄｘ ａ’ Ｎ ｂ’ ｄｙ ｘ Ｙ ｙ
因为受压面是微小面积，Ｐ 可作为所在面的平均压强， 因为受压面是微小面积，ＰＭ，ＰＮ可作为所在面的平均压强，故ａｂｃｄ 面上的压力为： 和ａ‘ｂ’ｃ‘ｄ’面上的压力为：
∂p dx ( p − ⋅ )dydz ∂x 2
和
(p+
∂p dx ⋅ )dydz ∂x 2
所受的质量力： 所受的质量力：设Ｏ‘点密度为ρ，流体无论受何种质量力作用，设微元六 点密度为 ，流体无论受何种质量力作用， 面体x方向上所受单位质量分力为 方向上所受单位质量分力为f,则 方向所受质量力为 方向所受质量力为： 面体 方向上所受单位质量分力为 则x方向所受质量力为： Fmx=fxρdxdydz 方向的平衡方程∑F 列x方向的平衡方程 mx=0，则有 方向的平衡方程 ，
有旋流与无旋流：若流体运动时每个流体质点都不存在绕自身轴的旋转运动， 有旋流与无旋流：若流体运动时每个流体质点都不存在绕自身轴的旋转运动，即角 转速ω=0，成为无旋流（或称为无涡流，也叫有势流）；反之成为有旋流（或称为 ）；反之成为有旋流 转速 ，成为无旋流（或称为无涡流，也叫有势流）；反之成为有旋流（ 有涡流） 有涡流） ˆ M
ωy =
1 ∂u x ∂u z ( − ) 2 ∂z ∂x
根据定义， 根据定义，在无旋流中有 ω x 条件： 条件
由上式可是， = ω y = ω z = 0 ，由上式可是，无旋流满足下列
∂u z ∂u y = ∂y ∂z
∂u x ∂u z = ∂z ∂x
由高等数学可知，该式子是使表达式 (ux dx + u y dy + uz dz ) 为函数 ϕ ( x, y, z )的全微分的充分必要条件，因此在无 旋流中，有下列关系式存在，即 1 dϕ = u xdx + u ydy + u zdz
∂p dx ∂p dx ( p − ⋅ )dydz − ( p + ⋅ )dydz + f x ⋅ ρ ⋅ d x d y d z = 0 ∂x 2 ∂x 2
化简得： 化简得：
1 ∂p fx − =0 ρ ∂x
同理可分别得出y,z方向的关系式，即得流体的平衡微分方程： 同理可分别得出 方向的关系式，即得流体的平衡微分方程： 方向的关系式
∂f y ∂z
=
∂f z ∂y
∂f z f x dx + f y dy + f z dz 必要充分条件， 必要充分条件，即可以
为某一函数W(x,y,z)的全微分的 的全微分的 为某一函数
X=
∂W ∂W ∂W ,Y = ,Z = ∂z ∂x ∂y
满足上式的坐标函数W(x,y,z)成为质量力的势函数，简称力势函数 成为质量力的势函数， 满足上式的坐标函数 成为质量力的势函数
在平衡流体中任取一点O 在平衡流体中任取一点O’（ｘ，ｙ， 该点压强ｐ＝ｐ ｐ＝ｐ（ ｚ ） ， 该点压强 ｐ＝ｐ （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） 点为中心做微元直角六面体， 点为中心做微元直角六面体 ， 正交的 三个边分别与坐标轴平行， 长度为ｄ 三个边分别与坐标轴平行 ， 长度为 ｄ ｄｙ， ｄｚ， 如图， ｘ ， ｄｙ ， ｄｚ ， 如图 ， 微元六面体 静止， 静止 ， 所受的表面力和质量力合力为 ０，以ｘ方向分力的平衡为例。
∂u y ∂x
=
∂u x ∂y
若时间给定， 若时间给定，则