概率论第二章-伯努利分布
概率论与数理统计答案 第二章1-2节
关键词： 随机变量 离散型随机变量、分布律 连续型随机变量、概率密度 概率分布函数 重伯努利实验、二项分布、泊松分布 均匀分布、正态分布、指数分布 随机变量的函数的分布
1
§1 随机变量
定义
2 3
例1: 将一枚硬币抛掷3次. 关心3次抛掷中, 出现 H的总次数 以X记三次抛掷中出现H的总数, 则对样本空间 S={e}中的每一个样本点e, X都有一个值与之对 应, 即有
1) P { X = k} = C3k p k (1 − p )3− k , k = 0,1, 2,3 (
( 2)
P { X = 2} = C32 p 2 (1 − p)
21
泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为 e− λ λ k
P { X = k} = k! ， = 0,1, 2, ⋅⋅⋅, λ > 0 k
互不影响
例如： 1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面， P (出现正面 ) = 1 2 2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验 只有两个结果：A , A , P ( A ) = 1 6
12
定义随机变量X表示n重伯努利试验中事件A发生的次 数, 我们来求它的分布律. X所有可能取的值为0,1,2,...,n. 由于各次试验是相互独立的, 因此事件A在指定的 k(0≤k≤n)次试验中发生, 在其它n−k次试验中A不发生 的概率为
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设A在n重伯努利试验中发生X次，则
k P பைடு நூலகம் X = k} = Cn p k (1 − p ) n − k ， = 0，⋅⋅⋅，n k 1，
⎛n⎞ k Cn = ⎜ ⎟ 表示n中 ⎜k ⎟ ⎝ ⎠ 任选k的组合数目
《概率论与数理统计》第二章考点手册
《概率论与数理统计》第二章随机变量及其概率分布考点10 随机变量的概念（★三级考点，选择、填空）设Ω={ω}是试验的样本空间，如果对每个ω∈Ω,总有一个实数X(ω)与之对应，则称Ω上的实值函数X(ω)为E的一个随机变量。
随机变量常用X、Y、Z等表示。
考点11 离散型分布变量及其分布律（★★二级考点，选择、填空、计算）1.若随机变量X取值x1,x2,…,x n,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,p n,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=x k}=p k,（k=1,2,…)为X的分布律或概率分布。
可表为X～P{X=x k}=p k,(k=1,2,…)，2.分布律的矩阵（表格）表示方法：3.分布律的性质1)p k ≥0,k＝1,2,…;2)∑≥11kkp＝考点12 0-1分布与二项分布（★★★一级考点，选择、填空）1.0-1分布设E是一个只有两种可能结果的随机试验,用Ω={ω1,ω2}表示其样本空间。
P({ω1})=p,P({ω2})=1-p记则称X服从参数p的（0－1）分布（或两点分布）,记成X～B(1,p)。
2.二项分布设试验E只有两个结果AA或，记p=P（A），将试验E独立重复进行n次，则称这n次试验为n重伯努利试验。
若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记作X～B（n,p)其分布律为：),...,1,0(,)1(}{nkppkXP k nkknC=-==-考点13 泊松分布（★★★一级考点，选择、填空）1.泊松分布：设随机变量X所有可能取的值为:0,1,2,…,概率分布为：其中λ>0为常数，则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P （λ）。
2.二项分布与泊松分布的关系（泊松定理）对二项分布B (n ,p ),当n 充分大,p 又很小时,对任意固定的非负整数k ，有近似公式 .,!)1(), ( n k np e k p p C p n k k k n k k n <=»-=--，其中；l l l B 理解：泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n 很大，p 很小时，二项分布就可近似地看成是参数λ=np 的泊松分布。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
概率论分布函数
概率论分布函数概率论中的分布函数是一个非常重要的概念，它能够帮助我们理解随机事件的发生规律，并为我们进行概率计算提供了有力的工具。
本文将对分布函数进行全面而生动的介绍，希望能够为读者提供一些指导意义。
首先，我们来了解一下什么是分布函数。
简单来说，分布函数是在数学和统计学中用来描述随机变量取值概率的函数。
它可以以图形或数学表达的方式展示出随机变量取值的规律性，帮助我们预测和分析随机事件的发生概率。
分布函数可以分为离散型和连续型两种。
离散型分布函数适用于描述离散型随机变量的取值规律。
离散型随机变量的取值只能是一些个别的数值，如抛掷骰子的点数或扑克牌的花色等。
常见的离散型分布函数有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布描述的是只有两种可能取值的随机试验，如硬币的正反面。
二项分布是当一个试验重复进行固定次数时，成功和失败的次数服从的分布。
泊松分布则用于描述单位时间内某个事件发生的次数。
连续型分布函数适用于描述连续型随机变量的取值规律。
连续型随机变量的取值可以是一个区间内的任意数值，比如表示一个人的身高或温度的测量值等。
常见的连续型分布函数有均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布是最简单的连续型分布函数，它假设随机变量在某个范围内取值的概率是等概率的。
正态分布则是自然界中最常见的分布函数，它的特点是钟形曲线对称分布，可以描述许多现实世界的现象。
指数分布用于描述独立随机事件发生的时间间隔。
除了离散型和连续型分布函数之外，还有一些特殊的分布函数值得我们关注。
例如，几何分布描述的是在一系列独立的随机试验中，首次成功需要进行的试验次数。
负二项分布则描述的是在一系列独立的随机试验中，成功需要进行的总次数。
这些分布函数在实际应用中也具有重要的作用。
在使用分布函数进行概率计算时，我们常常需要计算随机变量落在某个区间内的概率。
对于连续型分布函数，我们可以通过求解概率密度函数在该区间内的面积来得到。
对于离散型分布函数，则是求解随机变量取值在该区间内的概率和。
概率论的随机变量
概率论的随机变量概率论是数学中一门重要的学科，研究的是随机事件的概率性质和规律。
随机变量是概率论中的重要概念，它是描述随机现象的数值特征的变量。
本文将从概率论的角度出发，全面介绍随机变量及其相关概念和性质。
一、随机变量的定义和分类随机变量是概率论中的一种数值变量，它的取值由随机试验的结果决定。
一般来说，随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
离散型随机变量是只能取有限或可列无穷多个值的随机变量，其取值通常是整数。
例如，抛一枚硬币，用X表示正面朝上的次数，X可以取0、1这两个值。
连续型随机变量是能够取得某个区间内所有可能值的随机变量，其取值可以是实数。
例如，测量一个人的身高X，X可以是区间[150, 200]内的任意一个值。
二、随机变量的分布函数和密度函数对于任意一个随机变量，都可以通过分布函数或密度函数来描述其概率分布情况。
1. 分布函数（累积分布函数，Cumulative Distribution Function，简称CDF）：对于随机变量X，其分布函数F(x)定义为F(x) = P(X ≤ x)，表示X取值小于等于x的概率。
分布函数具有以下性质：（1）F(x)是一个非降函数；（2）对于任意的实数x1 < x2，有F(x1) ≤ F(x2)；（3）当x→-∞时，F(x)→0；当x→+∞时，F(x)→1。
2. 密度函数（Probability Density Function，简称PDF）：对于连续型随机变量X，其密度函数f(x)定义为在某个数轴区间内，随机变量落在该区间内的概率密度。
具体来说，密度函数f(x)满足以下性质：（1）f(x) ≥ 0，即密度函数非负；（2）∫f(x)dx = 1，即密度函数的积分等于1；（3）对于任意实数a ≤ b，有P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a,b] f(x)dx。
三、随机变量的期望和方差随机变量的期望和方差是描述随机变量性质的两个重要指标。
高中数学第二章概率2.4二项分布雅各布_伯努利素材苏教版选修
雅各布·伯努利1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17岁时获艺术硕士学位。
这里的艺术指“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。
遵照父亲的愿望，他于1676年22岁时又取得了神学硕士学位。
然而，他也违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。
1676年，他到日内瓦做家庭教师。
从1677年起，他开始在那里写内容丰富的《沉思录》。
1678年和1681年，雅各布·伯努利两次外出旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国，接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯等科学家，写有关于彗星理论（1682年）、重力理论（1683年）方面的科技文章。
1687年，雅各布在《教师学报》上发表数学论文《用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法》，同年成为巴塞尔大学的数学教授，直至1705年8月16日逝世。
1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。
许多数学成果与雅各布的名字相联系。
例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。
雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。
他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著《猜度术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。
最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开始了。
他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线。
他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永生不朽。
伯努利分布二项分布泊松分布
伯努利分布、二项分布和泊松分布一、伯努利分布伯努利分布是概率论中的一种离散概率分布，其特点是只包含一个二项随机变量，即成功或失败。
在伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p。
因此，其概率质量函数（PMF）为：P(X=k)=C^k_np^kq^(n-k)其中，k=0,1,2,...,n。
C^k_n是二项式系数，表示从n个不同项中选取k个的组合数。
二、二项分布二项分布是伯努利分布在n次独立重复试验中的扩展。
其特点是随机变量X只能取0到n之间的整数，且成功的概率为p。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k)=C^k_np^kq^(n-k)其中，k=0,1,2,...,n。
当q=1时，二项分布退化为泊松分布。
三、泊松分布泊松分布是连续概率分布的一种，常用于描述单位时间内（或单位面积上）随机事件的次数。
其特点是随机变量X取非负整数值，且平均发生率λ与X的值成正比。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!其中，k=0,1,2,...。
当λ=1时，泊松分布退化为几何分布。
四、三者比较与总结伯努利分布、二项分布和泊松分布都是离散和连续概率分布的代表，它们在理论和应用上都有重要的地位。
尽管它们各自有独特的特征，但也存在一些共同点和相互联系。
首先，它们都涉及到随机试验和事件的概率模型。
其次，它们都可以描述成功和失败的次数或频率。
此外，它们都涉及到参数的选择和应用，如成功的概率p、平均发生率λ等。
在具体应用中，应根据问题的实际情况选择合适的概率分布模型。
例如，伯努利分布在单次试验中描述成功和失败的概率，二项分布在n次独立重复试验中描述成功次数，而泊松分布在单位时间内描述随机事件的次数。
在统计分析中，这些分布也常常用于参数估计和假设检验等统计推断方法。
因此，理解和掌握这些概率分布对于概率论、统计学以及相关领域的研究和应用都具有重要意义。
概率论与数理统计答案第2章
P{ X = −3} =
2 1 3 1 1 = ， P{ X = 1} = = ， P{ X = 2} = ， 6 3 6 2 6 1 1 2 2⎞ 1⎟； ⎟ 6⎠ 1 ， 3 1 1 5 + = ， 3 2 6
⎛− 3 故 X 的分布列为 X ~ ⎜ 1 ⎜ ⎝ 3
当 x < −3 时，F (x) = P{X ≤ x} = P (∅) = 0， 当 −3 ≤ x < 1 时， F ( x) = P{ X ≤ x} = P{ X = −3} =
k 故概率为 P{ X ≤ 3} = ∑ P{ X = k} = ∑ C100 ⋅ 0.01k ⋅ 0.99100− k = 0.9816 ． k =0 k =0 3 3
2
注：此题 n = 100 很大，p = 0.01 很小，n p = 1 较小，可用泊松分布近似计算， 取λ = n p = 1， X ~ & P (1) ，查表得 P{X ≤ 3} = 0.9810． 9． 假设一小时内进入学校图书馆的学生人数服从泊松分布， 已知一小时无学生进入图书馆的概率为 0.01， 求一小时内至少有 2 名学生进入图书馆的概率． 解：设 X 表示一小时内进入图书馆的学生人数，有 X ~ P (λ )，且 P{X = 0} = e −λ = 0.01， 则λ = − ln0.01 = 4.6052， 故概率为 P{X ≥ 2} = 1 − P{X = 0} − P{X = 1} = 1 − e −λ − λ e −λ = 1 − 0.01 − 0.0461 = 0.9439． 注：此题查表可得此概率的近似值，由 X ~ P (λ )，且 P{X = 0} = 0.01，查表可得λ ≈ 4.5， 故 P{X ≥ 2} = 1 − P{X ≤ 1} = 1 − 0.0611 = 0.9389．
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比塔法则”写信告诉了罗比塔， 比塔法则”写信告诉了罗比塔，罗比塔将这一法则写进 了自己的著作《无穷小分析》中了。 了自己的著作《无穷小分析》中了。 丹尼尔.伯努利（ 丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli) (1700-1782） 他是约翰. (1700-1782）,他是约翰.伯努利的二 儿子, 他在概率论、偏微分方程、 儿子, 他在概率论、偏微分方程、物 理和流体动力学上都有贡献。 理和流体动力学上都有贡献。最重要 的功绩是在流体动力学上，其中的“ 的功绩是在流体动力学上，其中的“伯 努利定理”就是他的贡献。 努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获 法国科学院奖金10次之多 次之多。 法国科学院奖金 次之多。
伯努利（ 伯努利（1655—1705） ）
瑞士数学家Jakob Bernoulli,他使概率论成为一个 瑞士数学家 他使概率论成为一个 独立的数学分支。 年出版的遗作《 独立的数学分支。1713年出版的遗作《猜度术》， 年出版的遗作 猜度术》 建立了概率论中的第一个极限定律——伯努利大数 伯努利大数 建立了概率论中的第一个极限定律 定律。 定律。 伯努利家族在数学与科学上的地位非常的显赫 。 这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了八位数 学家（其中三位是杰出的，他们是雅可布、 学家（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰 、 丹尼尔）。 束
Bernoulli（1654-1705） Jacob Bernoulli（1654-1705）非常喜 爱的数学， 爱的数学，他自学了牛顿和莱布尼茨的 微积分，并从1687 1687年开始到他去世为止 微积分，并从1687年开始到他去世为止 任瑞士巴塞尔大学数学教授。 任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲 发明了极坐标、引入了在tan(x) tan(x)函 线、发明了极坐标、引入了在tan(x)函 数的幂级数展开式中的伯努利数。 数的幂级数展开式中的伯努利数。 Johann Bernoulli（1667-1748）,1695 Bernoulli（1667-1748） 年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授， 年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授， 在他哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教 我们都知道极限论中有一个“ 授。我们都知道极限论中有一个“罗比塔 法则” 罗比塔(1661 1704)是约翰的一 (1661法则”，罗比塔(1661-1704)是约翰的一 个学生， 1694年约翰把自己发现的 年约翰把自己发现的“ 个学生，在1694年约翰把自己发现的“罗