2017届河南省六市高三毕业班第二次联合考试理科数学试题及答案
河南省六市2017届高三第二次联考试题(4月) 理科综合(
2017年河南省六市高三第二次联考试题理科综合（化学部分）可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 0 16 F 19 Na 23 Cl 35.5 S 32第I卷―、选择题:本题共13小每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
7.化学与生活、生产、可持续发展密切相关，下列说法中正确的是A.在食品袋中放入CaCl2 • 6H20,可防止食物受潮B.“从沙滩到用户”计算机芯片的材料是指单质硅C. 二氧化琉冇毐，严禁将其添加到任何食品和饮料中D.用A1(0H)3可以做塑料的阻燃剂，因为它受热熔化放出大量的热N表示阿伏加徳罗数的值。
下列说法正确的是8.设ANA.标准状况下，3.36LC2H4 和C3H6的混合气体中含有碳碳双键的数目为0.15AB.0.1mol •L-1 (NH4)2S04 溶液与0.2 mol • L-1 NH4Cl溶液中的 NH4+数目相同NC. H2和CO混合气体8.96 L在足量02中充分燃烧消耗02分子数为0.2AND.含O.lmolNH4HSO4的溶液中，阳离子数目略大于0.21A9.为实现实验目的，选用的装置实验操作均正确的是10.X、Y、Z、M、W为五种短周韌元素。
X、Y、Z是原子序数依次递增的同周期元素，且最外层电子数之和为15,X与Z可形成XZ2分子夕与M形成的气态化合物在标准状况下的密度为0.76 g/ L；W的质子数是X、Y、Z、M四种元素质子数之和的1/2。
下列说法不正确的是A.原子半径:W>X>Y>Z>MB.XZ2直线型的共价化合物C.X、Y、Z分别与M元素形成的单化合物的沸点依次升高D.由X、Y、Z、M四种元素形成的化合物一定含有离子键和共价键11.下列关于有机物的叙述中①乙烯、聚氣乙餘和苯分子中均含有碳碳双键②苯、油腊均不能使肢性KMnO4溶液褪色③氯苯分子中所有屉子都处于同一平面④甲苯苯环上的一个氢埤子被-C3H6Cl取代，形成的同分异构体有9种⑤一定条件下，乙酸乙酯、葡萄搏、蛋白质都能与水发生水解反应⑦一定条件下，完全燃烧Mg含氧质量分数为a的乙烯、乙醛混合气体，生成水的质量为18(1-a)g 其中全部不正确的是A.①③⑥⑦B.③③④⑤⑥C.①②④⑤D.①⑤⑥⑦12.一种以NaBH4和H202为屉料的新型电池的工作原理如右图所示。
【河南省郑州市、平顶山市、濮阳市】2017年高考二模理科数学试卷（附答案）
河南省郑州市、平顶山市、濮阳市2017年高考二模理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数/（«）=r '(neN*),则集合｛z\z = f （n ）｝中元素的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D.无数2. x = 30'5, y = log 3 2,z = cos 2 ,贝！J ()A. zVyVx B . z<x<y C. y<z<xD. x<z<y3.要计算1 +上+上+2 3+史一的结果，2017如图程序框图中的判断框内可以填（）A. n<2 017B. 〃W2 017C. n>2017D. "N2017某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）4.3271~9~C.B.-3八 16兀D.——95.下列命题是真命题的是（）A. \/gR ,函数/*（x ） = sin （2x + 0）都不是偶函数B. 己a,f3wR,使cos （6Z + 0） = cosa + cos /3C. “|x|Wl ”是“xWl ”的既不充分也不必要条件向量D. 口 = （2,1）力=（-1,0）,则。
在。
方向上的投影是26. 在区间［l,e ］±任取实数。
，在区间［0,2］上任取实数们使函数f （x ） = ax 2+x + -b 有两个相异零点的概4率是（ ）A ］ b ］C ］D ］. 2（e-l ）. 4（e-l ）* 8（e-l ） * 16（e-l ）7. 已知数列｛%｝满足a n+1 =a n -a n _x （n^2）,a x =m,a 2= n,S n 数列｛%｝的前〃项和，则 S2017 的值为（）A. 2017n —mB. h —2017mC. mD. nyNx + 28. 己知实数满足贝!j z = 2|x-2| + | y\的最小值是（）尤习A. 6B. 5C. 4D. 39. 已知空间四边形 ABCD,满足|A8|=3,|BC|=7,|CD|=11,|D4|=9,则 AC 8D 的值（）A. -1B. 0C.—210. 将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（A. 72B. 120C. 192211. 已知尸为双曲线匕-尸=1上任一点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A,B,则4|B4||PB| 的值为（）4A. 4B. 5C. -D.与点P 的位置有关5cin x12. 己知函数f （x ）= ,如果当QO 时，若函数了3）的图象恒在直线y = kx 的下方，则左的取值范2 + cosx 围是（）A.［骅］B. g,+8）C.［乎+8）D.［-乎半］二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为33D.2)D.24014. 己知蓦函数y = 的图象过点（3,9）,则（--V%）8的展开式中a 的系数为・x15. 过点R-1,0）作直线与抛物线y 2 =8x 相交于A,B 两点，且2\PA\^\AB\,则点3到该抛物线焦点的距离为•16. 等腰△ABC 中，AB^ AC B^J AC 边上的中线，且BD=3 ,则△ABC 的面积最大值为三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(12分)已知数列｛弓｝的前"项和为S*,%=2,且满足S"=；%+]+〃+1(〃eN*).(1)求数列｛%｝的通项公式；13(2)若Z7,=log3(—%+l)，求数列｛-----｝前〃项和为T,,求证：T<-.b n b n+2418.(12分)如图，三棱柱ABC-44G中，各棱长均相等，D,E,F分别为棱AB,BC,A,C X的中点.(:I)证明£F〃平面A,CD；(II)若三棱柱ABC-为直三棱柱，求直线3C与平面A©。
河南省郑州市2017届高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥20174．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．下列命题是真命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．7．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．39．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）A．﹣1 B．0 C．D．10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．24011．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．4 B．5C．D．与点P的位置有关12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为．14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为．15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为．16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+n+1（n∈+1N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log3（﹣a n+1），求数列{}前n项和为T n，求证T n＜．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．19．（12分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．20．（12分）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．【解答】解：复数f（n）=i n（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解．【解答】解：∵x=30.5=＞1，0=log31＜y=log32＜log33=1，z=cos2＜0，∴z＜y＜x．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数、三角函数的性质的合理运用．3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017【考点】程序框图．【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，S=1，n=1+1=2，第2次循环，S=1+，n=2+1=3，…当n=2018时，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2017．故选：B．【点评】本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．5．下列命题是真命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例φ=，可判断A；举出正例α=，β=﹣，可判断B；求出向量的投影，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．【解答】解：当φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，故A为假命题；∃α=，β=﹣∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ=1，故B为真命题；向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为﹣2，故C为假命题；“|x|≤1”⇔“﹣1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查奇数的奇偶性，特称命题，向量的投影，充要条件等知识点，难度中档．6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】设所求的事件为A，由方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0求出ab范围，判断出是一个几何概型后，在坐标系中画出所有的实验结果和事件A构成的区域，再用定积分求出事件A构成的区域的面积，代入几何概型的概率公式求解．【解答】解：设事件A={使函数f（x）=ax2+x+b有两个相异零点}，方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0，解得ab＜1，∵在[1，e]上任取实数a，在[0，2]上任取实数b，∴这是一个几何概型，所有的实验结果Ω={（a，b）|1≤a≤e且0≤b≤2}，面积为2（e﹣1）；事件A={（a，b）|ab＜1，1≤a≤e且0≤b≤2}，面积S==1，∴事件A的概率P（A）=．故选A．【点评】本题考查了几何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的个数求出ab的范围，用定积分求不规则图形的面积，考查了学生综合运用知识的能力．7．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n 【考点】数列递推式．【分析】a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，可得a n+6=a n．即可得出．【解答】解：∵a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，∴a3=n﹣m，a4=﹣m，a5=﹣n，a6=m﹣n，a7=m，a8=n，…，∴a n+6=a n．则S2017=S336×6+1=336×（a1+a2+…+a6）+a1=336×0+m=m，故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化为y=2x+z﹣4．由图可知，当直线y=2x+z﹣4过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）A．﹣1 B．0 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，代入=，同样方法，代入，，进一步化简即可求出的值．【解答】解：如图，========0．故选B．【点评】考查向量加法和减法的几何意义，向量的数量积的运算．10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为=120；末尾是4，不同的偶数个数为=120，即可得出结论．【解答】解：由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为=120；末尾是4，不同的偶数个数为=120，故共有120+120=240个，故选D．【点评】本题考查排列、组合知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．4 B．5C．D．与点P的位置有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的模，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣m2=1，即n2﹣4m2=4，由双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=±2x，则由，解得交点A（，）；由，解得交点B（，）．=（，），=（，），则有|PA|•|PB|===．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的模求法，考查运算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到切线的方程，结合图象，可得k的范围．【解答】解：函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），由f（x）的导数f′（x）==，可得切线的斜率为=，可得切线的方程为y=x，结合图象，可得k≥．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和确定原点为切点，结合图象是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为：1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】作图分析．【解答】解：如图：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S=6a2；正四面体的边长为则其表面积为4•sin60°=2a2；则面积比为6a2：2a2=：1．故答案为：：1．【点评】考查了学生的空间想象力．14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为112．【考点】二项式系数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】直接利用幂函数求出a的值，然后求出二项式展开式中所求项的系数．【解答】解：幂函数y=x a的图象过点（3，9），∴3a=9，∴a=2，=（﹣1）r C8r28﹣r x，∴=（﹣）8的通项为T r+1令r﹣8=1，解得r=6，展开式中x的系数为（﹣1）6C8628﹣6=112，故答案为：112．【点评】本题考查二项式定理的应用，幂函数的应用，考查计算能力．15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为5．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】利用过P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，求出B的横坐标，即可求出点B到抛物线的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设A，B在直线x=﹣1的射影分别为D，E．∵2|PA|=|AB|，∴3（x1+1）=x2+1即3x1+2=x2，3y1=y2，∵A．B两点在抛物线y2=8x上∴3=，解得x1=，x2=3，∴点B到抛物线的焦点的距离为BF=3+2=5．故答案为5【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定B的横坐标．16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为6．【考点】正弦定理．【分析】设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．【解答】解：设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ==，∴sinθ====，∴根据公式三角形面积S=absinθ=×2x•2x•=，∴当x2=5时，三角形面积有最大值6．故答案为：6．【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2017•濮阳二模）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+n+1（n∈N*）．+1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =log 3（﹣a n +1），求数列{}前n 项和为T n ，求证T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）S n =a n +1+n +1（n ∈N *）．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n +1﹣，化为：a n +1=3a n ﹣2，可得：a n +1﹣1=3（a n ﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．（II ）b n =log 3（﹣a n +1）=n ，可得=．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．【解答】（I ）解：∵S n =a n +1+n +1（n ∈N *）．∴n=1时，﹣2=a 2+2，解得a 2=﹣8．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n +1﹣， 化为：a n +1=3a n ﹣2，可得：a n +1﹣1=3（a n ﹣1）， n=1时，a 2﹣1=3（a 1﹣1）=﹣9，∴数列{a n ﹣1}是等比数列，首项为﹣3，公比为3． ∴a n ﹣1=﹣3n ，即a n =1﹣3n ． （II ）证明：b n =log 3（﹣a n +1）=n ，∴=．∴数列{}前n项和为T n =++…++=＜．∴T n ＜．【点评】本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•濮阳二模）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接DE，通过证明四边形A1DEF是平行四边形得出EF∥A1D，从而EF∥平面A1CD；（II）过B作BM⊥A1D交延长线于M，连接CM，则可证BM⊥平面A1CD，即∠BCM为所求线面角，设三棱柱棱长为1，利用三角形相似求出BM即可得出sin∠BCM=．【解答】证明：（I）连接DE，∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE AC，∵F是A1C1的中点，∴A1F=A1C1，又AC A1C1，∴A1F DE，∴四边形A1DEF是平行四边形，∴EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD．（II）过B作BM⊥A1D交延长线于M，连接CM，∵ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，又A1A⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴A1A⊥CD，∴CD⊥平面ABCD，又BM⊂平面ABCD，∴CD⊥BM，又CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，CD∩A1D=D，∴BM⊥平面A1CD，∴∠BCM为直线BC与平面A1CD所成的角，设直三棱柱棱长为1，则BM=，∴sin∠BCM==．【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．19．（12分）（2017•濮阳二模）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图即可求出a的值，（Ⅱ）根据正态分布的定义即可求出答案，（Ⅲ）根据分段函数的关系式代值计算即可．【解答】解：（Ⅰ）a=0.1﹣（0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002）=0.033，（Ⅱ）S2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.08=150所以为质量指标值Z服从正态分布N（200，150），所以P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826，故p（187.8，212.2）上的频率为0.6826；（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，则y=0.4（175+185+195+205）+0.8×215﹣80+0.8×225﹣80﹣0.8×235﹣80=604【点评】本题考查了频率分布直方图和正态分布以及分段函数的问题，属于基础题．20．（12分）（2017•濮阳二模）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，a=，b=，c=，即可求椭圆的离心率；（Ⅱ）CD的中点为M，证明|MA|2=|MB|2=d2+=，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a=，b=，c=，∴=；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入作差，整理可得（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0．依题意，M（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，从而k AB=﹣1．直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．与椭圆方程联立，可得3x2﹣12x+18﹣m=0，∴|AB|=•|x1﹣x2|=．①∵CD垂直平分AB∴直线CD的方程为y﹣1=x﹣2，即x﹣y﹣1=0代入椭圆方程，整理得3x2﹣4x+2﹣m=0．又设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0），则x3，x4是方程③的两根，∴x3+x4=，∴M（，﹣）于是由弦长公式可得|CD|=•|x3﹣x4|=．②点M到直线AB的距离为d==．③于是，由①②③式及勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+=，此时|AB|＜|CD|故A、B、C、D四点均在以M为圆心，||为半径的圆上．【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．21．（12分）（2017•濮阳二模）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a ∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导，求得f（x）的单调区间，由二次函数的性质即可求得a 的取值范围；（Ⅱ）（i）求导h′（x）=lnx﹣ax，由方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，方法一：根据函数图象直线y=ax与y=lnx有两个交点，求得y=lnx的切点，即可求得a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=lnx﹣ax，求导，根据函数的单调性，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知：x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，则只需证明lnt＞，t＞1，构造辅助函数，根据函数的单调性，求得g（t）＞g（1）=0，即可证明lnt＞，成立，则x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求导f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，则当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0时，解得：0＜x＜1，∴f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，则g（x）开口向上，对称轴x=1，则a＞0，∴a的取值范围（0，+∞）；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定义域为（0，+∞），求导h′（x）=lnx﹣ax，则方程h′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根．（解法一）转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．…6分令切点A（x0，lnx0），则k=y′=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，∴0＜a＜；…8分解法二：令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，求导g′（x）=﹣ax=（x＞0）若a≤0，可见g′（x）在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．…5分若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，（）=ln﹣1，…6分从而g（x）的极大值，g（x）极大值=g又在x→0时，g（x）→﹣∞，在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大值＞0，即ln﹣1＞0，∴0＜a＜，…7分综上所述，0＜a＜；…8分（ⅱ）证明：由（i）可知x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，原不等式x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2，则a（x1+x2）＞2，ln＞，令=t，则t＞1，ln＞，则lnt＞，…10分设g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞，成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值，考查转化思想，分析法证明不等式成立，属于中档题．四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•濮阳二模）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，展开可得：=0，化为直角坐标方程．曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系消去参数α可得普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，可得直线l被曲线C截得的弦长=2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．【解答】解：（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，展开可得：=0，化为：y﹣x=0．曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+（y﹣2）2=4，圆心C（0，2），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d==1，∴直线l被曲线C截得的弦长=2=2=2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得：（2x）2+（2y﹣2）2=4，化为：x2+y2﹣2y﹣3=0，可得ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2017•濮阳二模）已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由不等式可得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。
【全国市级联考】河南省六市2017届高三下学期第二次联考数学(理)(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C2. 设复数（为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知：，则的虚部是.本题选择A选项.3. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：易得该函数为奇函数可排除A,当时，故选B．考点：函数的图象．4. 如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为（）① ②③④A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】D【解析】解：由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中的GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意。
则表示，是异面直线的图形的序号为：②④.本题选择D选项. 学#科网5. 已知圆.设条件：，条件：圆上至多有2个点到直线的距离为1，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C6. 若，则的展开式中的常数项（）A. B. C. 20 D.【答案】B【解析】解：由题意可得：表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故，则，其通项公式为，令6-2k=0，即k=3，故常数项为.本题选择B选项.7. 若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．8. 阅读算法框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D本题选择D选项.点睛：本题考查的实质问题是分段函数，当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．9. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数和10个区间上的均匀随机数（，），其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A. B. C. D.【答案】A10. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱 【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.11. 已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析：，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．故选A ．考点：三角函数图象变换，三角函数的对称轴．12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A.和B.和C.和D.和【答案】C本题选择C选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若，则__________．【答案】314. 已知是首项为32的等比数列，是其前项和，且，则数列的前10项和为__________．【答案】58【解析】解：∵{a n}是首项为32的等比数列,S n是其前n项和,且，∴，解得：，∴，∴|log2a n|=|7−2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58.15. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为__________．【答案】该多面体外接球的表面积为：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16. 若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，，，代入原式，整理为，再公共辅助角公式化简，根据，计算角；（2）因为知道代入余弦定理，，得到，最后代入面积公式，计算面积．试题解析：（1）在△中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，所以，即，又因为，所以．考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式．18. 某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定：、、三级为合格等级，为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，的分组做出频率分布直方图如图甲所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图乙所示.（1）求和频率分布直方图中的，的值；（2）根据利用样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为事件时间发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中成绩为等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(I)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(II)依据题设对立事件的概率公式求解；（III）依据题设运用随机变量的数学期望公式探求.试题解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量（Ⅱ）成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为，则；（Ⅲ）由题意知等级的学生人数为人，等级的人数为人，故的取值为0，1，2，3，，所以的分布列为：考点：频率分布直方图及对立事件的概率公式、数学期望计算公式等有关知识的综合运用．19. 如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，.（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(2)由题意可得，当且仅当时，三棱锥体积最大,建立空间直角坐标系可得二面角（2）因为平面，，所以平面，，在中，，由（1）知，当且仅当时，等号成立.如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，.则，，，.设平面的一个法向量为，则，即，∴，取，则20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆相切于点，且，求点的纵坐标的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由求出的值；（2）先考虑特殊情况:直线的斜率不存在,求出；一般情况,直线:,利用直线与圆相切,向量垂直的条件:数量积为零,求出点的纵坐标的值．试题解析：（1）∴，，∴，∴椭圆方程为．（2）①当轴时，，，由，解得．②当不垂直于轴时，设，方程为，即，∵与圆相切，∴，∴，∴，又，所以由，得，∴，∴．综上：．考点：1.椭圆的简单几何性质；2.向量垂直条件.【思路点晴】本题主要考查直线,圆椭圆之间的位置关系,属于中档题. 在（1）中,利用椭圆的离心率和焦点坐标,求出椭圆的标准方程；在（2）中,分两种情况讨论,直线的斜率是否存在,分别求出点的纵坐标的值,要用到直线和圆相切的条件:,直线垂直得到向量垂直,向量数量积为零,再化简整理,求出的值.21. 已知函数，，（其中是自然对数的底数）.（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围.（2）若，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：，当时，，故在区间上单调递增，所以时，取得最小值.又，由于，，，所以，故在区间上单调递减，因此时，取得最大值.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1.令，其可看作点与点连线的斜率，所以直线的方程为，由于点在圆，所以直线与圆相交或相切.当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为1.故时，；时，.综上所述：时时，成立.22. 在极坐标系中，曲线的方程为，点.（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值，及此时点的直角坐标.【答案】（1）（2）当，，矩形的最小周长为4，点.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，椭圆的参数方程，正弦函数的性质．23. 设函数，.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：.【答案】（1）（2）6【解析】试题分析：(1)将不等式写成分段函数的形式求解不等式的解集为；(2)利用题意可得，利用均值不等式的性质结合题意整理计算即可证得结论. 试题解析：解：（1）不等式即，∴①或②或③，由①，得；由②得，；由③，得.所以原不等式的解集为（2）不等式即，∴，∴且，∴.∴点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【河南省郑州市、平顶山市、濮阳市】2017年高考二模理科数学试卷-答案
所以 P(187.8＜Z＜212.2) P(200 12.2＜Z＜200 12.2) 0.6826 ，
故 p(187.8,212.2) 上的频率为 0．6826；
（Ⅲ）设生产成本为
y
，质量指标为
x
，生产成本与质量指标之间满足函数关系
y
0.4x, x≤205 0.8x 80, x＞205
a
a
从而
g(x)的极大值,g(x)极大值
g(1) a
ln
1 a
1 ，…6
分
又在 x 0时,g(x) ,在x 时,g(x) ，于是只须：
g ( x)极大值＞0,即ln
1 a
1＞0
，
∴ 0＜a＜1 ，…7 分 e
综上所述， 0＜a＜1 ； e
…8 分
（ⅱ）证明：由（i）可知 x1, x2 ,分别是方程 ln x ax 0 的两个根，
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
) 2
1 2
(1
1 2
1 n 1
n
1
) 2
3 4
2(n
2n 3 1)(n
＜3 2) 4.
∴
Tn＜
3 4
.
18．证明：（I）连接 DE ，
∵ D, E 分别是 AB, BC 的中点， ∴ DE∥AC, DE 1 AC
2
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河南省郑州市、平顶山市、濮阳市 2017 年高考二模理科数学试卷
答案
一、选择题
1~5．AABDB 二、填空题 13． 3 :1； 14．112； 15．5； 16．6． 三、解答题
河南省郑州、平顶山、濮阳市2017届高三第二次质量预测(二模)数学(理)试题
2017年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷答案一、选择题1-5:ACBDB 6-10:ACCBD 11、12：CB二、填空题13.3:1 14.112 15.5 16.6三、解答题17.解：（Ⅰ）12a =-，由1112n n S a n +=++（*n N ∈），得112n n S a n -=+（2n ≥），两式相减得132n n a a +=+．由132n n a a +=+，得13(1)1n n a a +-=-,又1130a -=-≠，所以{}1n a -是以3-为首项，3为公比的等比数列11(3)33n n n a --=-⋅=-，故31n n a =-+．（Ⅱ）33log (1)log 3n n n b a n =-+==，211111()(2)22n n b b n n n n +==-++，1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ (1111)(1)2212n n =+--++323342(1)(2)4n n n +=-<++．18.（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ，且11AC AC =，连结ED ，在ABC ∆中，因为D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点，所以//DE AC ，12DE AC =．又F 为11AC 的中点，可得11112A F AC =，所以1//A F DE ，1A F DE =，因此四边形1A FED 为平行四边形，所以1//EF AC ，又EF ⊄平面1ACD ， 1DA ⊂平面1ACD ，所以//EF 平面1ACD ．（Ⅱ）证明：由于底面ABC ∆是正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，又1AA CD ⊥，又1AA AB A = ，所以CD ⊥平面11A ABB ．在平面11A ABB 内，过点B 作1BG A D ⊥，交直线1A D 于G ，连结CG ，BG ⊥平面1ACD ，由此得，BCG ∠为直线BC 与平面1ACD 所成的角．设三棱柱的棱长为a ，可得152A D a =，由1~A AD BGD ∆∆，所以55BG a =，在Rt BGC ∆中，5sin 5BG BGC BC ∠==，所以直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值为55．19.解：（Ⅰ）0.033a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2~(200,12.2)Z N ，从而(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826P Z P Z <<=-<<+=．由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：组号 1 2 3 4 5 6 7分组 []60,70 (70,74] (74,78] (78,82] (82,92] (92,100] (100,108]频率 0.02 0.09 0.22 0.33 0.24 0.08 0.02根据题意，生产该食品的平均成本为700.02740.09780.22820.33920.241000.081080.0284.52⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（Ⅰ）将椭圆方程化成标准方程221(0)2x ym m m +=>，22e =．（Ⅱ）由题意，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，直线AB 的斜率存在，设AB 为(2)1y k x =-+，联立222(0)x y m m +=>，得222(12)4(12)2(21)0k x k k x k m ++-+--=(0)m >．1224(21)412k k x x k -+==+，1k =-，此时由0∆>，得6m >，则AB ：30x y +-=，CD ：10x y --=．则2210,2,x y x y m --=⎧⎨+=⎩得23210y y m ++-=，3423y y +=-，故CD 的中点N 为21(,)33-．由弦长公式可得到212||1||AB k x x =+-12(6)23m -=⋅．234128||1(1)||23m CD y y -=+--=⋅||AB >，若存在圆，则圆心在AB 上，CD 的中点N 到直线AB 的距离为423．222242||64||||()()329AB m NA NB -==+=，又22||112864()(2)2439CD m m --=⋅=存在这样的6m >，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．21.解：（Ⅰ）()ln f x x x x =-．函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()ln f x x =，当1x >时，'()0f x >；当01x <<时，'()0f x < .所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．22()(2)22aag x x a x x =-=-()a R ∈若在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则0a >．（Ⅱ）（i ）依题意，函数()h x 的定义域为(0,)+∞，'()ln h x x ax =-，所以方程'()0h x =在(0,)+∞有两个不同根．即方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根，转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图象在(0,)+∞有两个不同交点，如图．只需0a k <<.令切点00(,ln )A x x ，所以001'|x x k y x ===，又00ln x k x =，所以000ln1x x x =，解得0x e =，于是1k e =，所以10a e <<.（ii ）由（i ）可知1x ，2x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =，不妨设12x x >，作差得1122ln ()x a x x x =-，即1212ln x x a x x =-，原不等式212x x e >等价于12ln ln 2x x +>，即12()2a x x +>，即112212()ln x x x x x x 2->+，令12x t x =，则1t >，1122122()ln x x x x x x ->+，即2(1)ln 1t t t ->+，设2(1)()ln 1t F t t t -=-+，1t >，22(1)'()0(1)t F t t t -=>+，∴函数()F t 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0F t F >=，即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立，故所证不等式212x x e >成立．22.解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程是3y x =，曲线C 的普通方程是22(2)4x y +-=， 易得圆心到直线l 的距离1d =，所以所求的弦长为222123-=．（Ⅱ）从极点作曲线C 的弦，各弦中点的轨迹的极坐标方程为2sin ρθ=．23.解：（Ⅰ）当0a =时，由()()f x g x ≥得|21|||x x +≥，两边平方整理得23410x x ++≥， 解得1x ≤-或13x ≥-，所以原不等式的解集为1(,1][,)3-∞--+∞ ．（Ⅱ）由()()f x g x ≤，得|21|||a x x ≥+-，令()|21|||h x x x =+-，则11,,21()31,0,21,0x x h x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩，故min 11()()22h x h =-=-，从而所求实数a 的取值范围为12a ≥-．。
2017年河南省六市联考高三理科二模数学试卷
2017年河南省六市联考高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 设复数（为虚数单位），则的虚部是A. B. C. D.3. 函数的图象大致为A. B.C. D.4. 如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④5. 已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若，则的展开式中的常数项A. B. C. D.7. 若不等式组所表示的平面区域存在点使成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 阅读算法框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是A. B. C. D.9. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了个在区间上的均匀随机数和个区间上的均匀随机数，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是A. B. C. D.10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何?”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱11. 己知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为A. 或B. 或C. 或D. 或二、填空题（共4小题；共20分）13. 向量，，若，则 ______．14. 已知是首项为的等比数列，是其前项和，且，则数列前项和为______．15. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为______．16. 若曲线：与曲线：存在公切线，则的取值范围为______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．18. 某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．百分制分及以上分到分分到分分以下等级为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求和频率分布直方图中的，的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选人，求至少有人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了名学生进行调研，记表示抽取的名学生中为C等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望．19. 如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆：相切于点，且，求点的纵坐标的值．21. 已知函数，，（其中是自然对数的底数）．（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围；（2）若，求证：．22. 在极坐标系中，曲线的方程为，点．（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标．23. 设函数．（1）当时，解不等式：；（2）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：．答案第一部分1. C2. A3. D4. D5. C6. B7. B8. D9. A 10. D11. A 12. C第二部分13.14.15.16. ．第三部分17. （1）在中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，，所以，即，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理得：，则，即，解得（舍）或，又，所以．18. （1）由题意可知，样本容量，，．（2）不合格的概率为，设至少有人成绩是合格等级为事件，所以，故至少有人成绩是合格等级的概率为．（3） C等级的人数为人，A等级的为人，所以的取值可为，，，；所以，，，，所以的分布列为．19. （1）因为是直径，所以．因为平面，所以．因为，所以平面．因为，，所以是平行四边形，，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）依题意，．由（Ⅰ）知，当且仅当时等号成立．如图所示，建立空间直角坐标系，，，，，所以，，，．设面的法向量为，即所以，设面的法向量为，即所以，所以．因为与二面角的平面角互补，所以二面角的余弦值为．20. （1）由题意可得，，解得，，可得椭圆方程为；（2）当垂直于轴时，可得，，由，即有，解得当不垂直于轴时，设，：，即为，由与圆：相切，可得，平方可得，即，又，由，即有，解得，则解得．综上可得，．21. （1）因为，所以，所以，所以，当时，，函数在上单调递增，所以，因为，所以，因为，所以，，，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以，所以，所以实数的取值范围为；（2），要证：，只要证，只要证，只要证，由于，，只要证，下面证明时，不等式成立，令，，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，令，其可看作点与点连线的斜率，所以直线的方程为，由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为，所以当时，，时，，综上所述，当，．22. （1）由于，，所以曲线的直角坐标方程为，点的直角坐标为．（2）设，据题意可得，，所以，当时，的最小值为，所以矩形周长的最小值为，点的坐标为．23. （1）当时，不等式：，可化为．①时，不等式可化为，所以；②，不等式可化为，所以；③，不等式可化为，所以，综上所述，不等式的解集为；（2）不等式的解集为，所以，所以，当且仅当，时取等号．。
2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高三理科二模数学试卷
2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知复数，则集合中元素的个数是A. B. C. D. 无数2. 设，，，则A. B. C. D.3. 要计算的结果，如图程序框图中的判断框内可以填A. B. C. D.4. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A. B. C. D.5. 下列命题是真命题的是A. ，函数都不是偶函数B. ，使C. 向量，，则在方向上的投影为D. “”是“”的既不充分又不必要条件6. 在区间上任取实数，在区间上任取实数，使函数有两个相异零点的概率是A. B. C. D.7. 已知数列满足，，，为数列的前项和，则的值为A. B. C. D.8. 已知实数，满足则的最小值是A. B. C. D.9. 已知空间四边形，满足，，，，则的值A. B. C. D.10. 将数字“”重新排列后得到不同的偶数个数为A. B. C. D.11. 已知为双曲线上任一点，过点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，，则的值为A. B.C. D. 与点的位置有关12. 已知函数，如果当时，若函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 正方体的个顶点中，有个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为______．14. 已知幂函数的图象过点，则的展开式中的系数为______．15. 过点作直线与抛物线相交于，两点，且，则点到该抛物线焦点的距离为______．16. 等腰中，，为边上的中线，且，则的面积最大值为______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知数列前项和为，，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和为，求证．18. 如图，三棱柱中，各棱长均相等，，，分别为棱，，的中点．（1）证明 平面；（2）若三棱柱为直棱柱，求直线与平面所成角的正弦值．19. 某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．参考数据，若，则，．（1）求直方图中的值；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，试计算数据落在上的频率；（3）设生产成本为，质量指标为，生产成本与质量指标之间满足函数关系，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．20. 已知椭圆，以椭圆内一点为中点作弦，设线段的中垂线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的离心率；（2）试判断是否存在这样的，使得，，，在同一个圆上，并说明理由．21. 已知函数，函数的图象与的图象关于直线对称．（1）求的表达式；（2）若在区间上是单调增函数，求实数的取值范围；（3）记，求证：当，时，．22. 已知直线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）．（1）求直线被曲线截得的弦长；（2）从极点作曲线的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．23. 已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. A2. A3. B4. C5. B6. A7. C8. C9. B 10. D11. C 12. B第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）因为．所以时，，解得．时，，化为：，可得：，时，，所以数列是等比数列，首项为，公比为．所以，即．（2），所以．所以数列的前项和为所以．18. （1）连接，如图，，分别是，的中点，所以，．因为是的中点，所以，又，．所以，．所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以 平面．（2）过作交延长线于，连接，如图，是等边三角形，所以，又平面，平面，所以，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设直三棱柱棱长为，则，所以．19. （1）．（2）所以质量指标值服从正态分布，所以，故上的频率为．（3）设生产成本为，质量指标为，生产成本与质量指标之间满足函数关系，则20. （1）由题意，，，，所以．（2）设，，代入作差，整理可得．依题意，是的中点，所以，，从而．直线的方程为，即．与椭圆方程联立，可得，因为，所以，所以因为垂直平分，所以直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得．又设，，的中点为，则，是方程的两根，所以，所以．于是由弦长公式可得点到直线的距离为于是，由式及勾股定理可得，此时，故存在这样的，使得，，，四点均在以为圆心，为半径的圆上．21. （1）设为函数图象上任一点，其关于的对称点应在图象上．即，解得，代入表达式得．（2）因为且在上是增函数，所以在上恒成立，所以恒成立．所以．（3）因为，所以因为，．所以，所以．即| ，所以，即| ．22. （1）直线的极坐标方程是，展开可得：，化为：．曲线的参数方程是（为参数），消去参数可得：，圆心，半径．所以圆心到直线的距离，所以直线被曲线截得的弦长．（2）设圆上的任意一点，为线段的中点，则，代入圆的方程可得：，化为：，可得，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．23. （1）当时，由得，两边平方，整理得，解得或，所以原不等式的解集为．（2）由，得．令，则作出函数的图象（如图所示），得，故所求实数的取值范围为．。
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河南省六市2013届高三毕业班第二次联合考试
数学（理）试题
一、选择题
1．若全集{}{}
2
1,0,1,2|2U P x Z x =-=∈<，则U C P =
A ．{}2
B ．{}0,2
C ．{}1,2-
D ．{}1,0,2-
2．某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布
直方图，如果该公司共有员工200人，则信息收到125条以上的大约有
A ．6人
B ．7人
C ．8人
D ．9人 3．设a 是实数，若复数
112
a i i -+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则a 的值为
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
4．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-
，如果向量a xb + 与b - 垂直，则实数x 的值为
A ．25-
B ．233
C ．323
D ．2 5．从6名男生4名女生中选4名代表，则至少有1名女生入选的选法有（ ）种 A ．205 B ．210 C ．190 D ．195
6．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为
7．当实数,x y 满足不等式022x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
时，恒有3ax y +≤成立，则实数a 的取值范围是
A ．0a ≤
B ．0a ≥
C ．02a ≤≤
D ．3a ≤
8．已知(,)A A A x y 是单位圆（圆心在坐标原点O ）上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30︒到OB ，交单位圆于点(,)B B B x y ，则A B x y -的最大值为
A ．1 D ．12
9．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，当[0,]2
x π
∈时，满
足()1f x =的x 的值为
A ．
6π B ．4π C ．524π D ．3
π
10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点F 作圆22
214x y a +=的切线，切点为E ，直线EF
交双曲线右支于点P ，若1()2
OE OF OP =+
，则双曲线的离心率是
A ．
2
B ．11．在可行域内任取一点，规则为如图所示的流程图，则能输出数对(,)s t 的概率是
A
．
34 C ．4π D ．6
π 12．已知{}1234,,,|(6)sin
12x x x x x R x x π
+
⎧⎫
⊆∈-=⎨⎬⎩
⎭
，则1234x x x x +++的最小值为 A ．12 B ．24 C ．36 D ．48
二、填空题
13．已知6
11e n dx x =
⎰，那么3()n x x
-展开式中含2x 项的系数为 。
14．ABC ∆中，120,1A AB AC ∠=︒⋅=- ，则||BC
的最小值为 。
15．已知直线(2)(0)y k x k =->与抛物线2
8y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若
||2||FA FB =，则k 的值为 。
16．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60︒二面角的平面β截该球面得圆N 。
若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 。
三、解答题
17．在公差不为0的等差数列{}n a 中，148,,a a a 成等比数列。
（1）已知数列{}n a 的前10项和为45，求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n b a a +=
，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若1199n T n =-+，求数列{}n a 的公差。
18．盒子内装有5张卡片，上面分别写有数字1、1、2、2、2，每张卡片被取到的概率相等。
先从盒
子中任取1张卡片，记下它上面的数字x ，然后放回盒子内搅匀，丙从盒子中任取1张卡片，
记下它上面的数字y 。
设2318,()55
M x y f t t Mt =+=-+。
（1）求随机变量M 的分布列和数学期望； （2）设“函数2318
()55
f t t Mt =
-+在区间(2,4)内有且只有一个零点”为事件A ，求A 的概率()P A 。
19．在三棱柱111ABC A B C -中，已知14AB AC AA BC ====，
BC 的中点为1,O AO 垂直底面ABC 。
（1）证明在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长； （2）求二面角11A B C B --的平面角的余弦值。
20．如图，已知定点(1,0),(1,0)F N -，以线段FN 为对角线作周长是MNEF 。
平面上的动点G 满足||2OG =
（O 为坐标原点）。
（1）求点E 、M 所在曲线1C 的方程及动点G 的轨迹2C 的方程；
（2）已知过点F 的直线l 交曲线1C 于点P 、Q ，交轨迹2C 于点A 、B ，若||AB ∈，求的内切圆的半径的取值范围。
21．已知函数2
()ln (1)f x x =+。
（1）求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程；
（2）证明不等式：22
2
ln (1)1x x x +≤+；
（3）对一个实数集合M ，若存在实数s ，使得M 中任何数都不超过s ，则称s 是M 的一个上界。
已知e 是无穷数列1(1)n a
n a n
+=+所有项组成的集合的上界（其中e 是自然对数的底数），求
实数a 的最大值。
选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22．如图，已知四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，且BC 是圆O 的直径，直线MN 与圆O 相切于点A 。
（1）若30MAB ∠=︒，且圆O 的面积为π，求AB 的长； （2）在（1）的条件下，求梯形ABCD 的周长。
23．选修4—4，坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程是x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+。
（1） 求圆心C 的直角坐标；
（2） 由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值。
24．已知a R ∈，设关于x 的不等式|2||3|24x a x x -++≥+的解集为A 。
（1）若1a =，求A ； （2）若A R =，求a 的取值范围。