大学物理教程2.6 角动量与角动量守恒定理

第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
开普勒第二定律
L mvr sin dr m r sin dt
1 r dr sin 2m 2 dt
L
v
r

m
dr
dr
r

dS 2m dt
dS const. dt
（1） mv r sin =const （2）轨道在同一平面内
2.6 角动量与角动量守恒定理
一 力对参考点的力矩 力是物体运动状态改变的原因； 力可使物体产生平动
或转动。
平动 转动
力 ？ 力矩
遵从牛顿2nd定律
遵从什么规律？ 遵从角动量定理
如图所示：设力在垂直于 转轴的平面内
M
o
r
F
f
力矩 不仅与力的大小有关， 还与力的方向（作用线到 转轴的距离）有关。
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
*质点对固定轴的角动量定理和守恒定律 dL 质点对点的转动定律 M 设固定轴为 z 轴 dt
d Lz Mz dt
——质点对z 轴的转动定律
力对轴的力矩（或角动量）: 力对某点的力矩（或角动量） 在过该点的某轴上的投影。 若绕固定轴的力矩为 0，即
质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所 受的冲量矩等于质点角动量的增理
三 角动量守恒定律 由角动量定理
当M 0
L 常矢量
F 0 , M 0 F 过O点：有心力（如行星受 中心恒星的万有引力）
L r (mv ) 常矢量
r 为参考点到力的作用点的有向线段
M r F
z
M
F

O
·
r
平面 z 轴
力矩 M 方向由 r F 确定
力矩大小： M Fr sin
满足右手规则
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
二 质点对于参考点的角动量和角动量定理 类似于力矩的定义，可定义质点对参考点的角动量：
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
力对转轴的力矩
M
o
M Fd F ( r sin ) rF sin
考虑到力矩与转动的方向，定义：
r
F
f
M rF
方向
满足右手规则
如图所示 单位
第4章 动量和角动量
N· m
2.6 角动量与角动量守恒定理
力对参考点O的力矩
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
比照冲量，定义冲量矩： t Mdt 或 t Mdt
0
（注意（1）物理意义（2）Mdt r ( Fdt ) ）
dL M dt
Mdt dL

t
t0
L M dt dL L L0 L0
L r p r (mv )
大小
方向
L mvr sin
满足右手规则 如图所示
Ｏ
单位
kgm2/s 或 Js
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
质点匀速率圆周运动
质点对O点的角动量 大小 方向 L = mvR 如图所示
L r p r (mv )
解 因为 R1 R0 ，所以Ek 0 ，即质点的动能增加。
第4章 动量和角动量
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
Lrp
dp r rF dt
dL M dt
dr v, v p 0 dt
－转动定律 适用于质点对参考点的转动
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于 质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.
Mz 0
Lz const.
则绕该轴的角动量守恒。
第4章 动量和角动量
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*质点对轴的角动量守恒 由质点对轴的角动量定理， 如果质点所受的力对轴（例如z轴） 的合力矩为零，则质点对该轴的 角动量就不随时间改变.
·
m
若 M z 0 ，则 Lz const.
──质点对轴的角动量守恒定律
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
例 一个质点在光滑的水平桌面上运动。设受轻绳 的约束，质点开始绕O点作半径为 R0 的匀速圆周运动， 速率为 。若用外力 通过轻绳使质点的圆周运动半 v0 F 径减小到 ，质点的运动速率变为多少？动能如何变 R1 化？
R1mv1 R0mv0 R0 v1 v0 可得 R1 1 2 1 2 1 2 R0 2 Ek mv1 mv0 mv0 ( ) 1 2 2 2 R1
星团具有 盘状结构：
这是银河系外的M83星系，它的形状 与大小和我们的银河系非常相似。
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
星团具有盘状结构：
（1）引力使星团压缩
（2）惯性离心力
mvr const.
2 1 v 1 v m 3 r r r
银河的盘形结构
随着r减小，离心力增大，当离心力与引力达到平衡时， r 就一定了。 但 z 轴方向无限制，最终压缩成铁饼状。
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
讨论 （1）天体系统为什么不坍缩？ 天体系统角动量守恒。 （2）人造地球卫星为什么会掉下来？ 大气对卫星的摩擦力相对于地心的力矩使 卫星的角动量不断减小。 （3）地球自转周期为什么变长？ 地质研究表明：3亿年前，地球绕太阳一 周，自转 398 圈。现在为365.25圈。 月球引起的地球上的潮汐引起的。 因为潮汐的周期与地球自转周期不同。
如果外力使质点变换轨道，由角动量守恒得：
R2mv2 R1mv1
第4章 动量和角动量
R1 v2 v1 R2
2.6 角动量与角动量守恒定理
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
星团具有 盘状结构：
美国宇航局在地面拍摄的银河 系的侧面，中央是银核。
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
L
角动量的大小、方向均不变！
注 意
O
R

m
同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
第4章 动量和角动量
2.6 角动量与角动量守恒定理
质点的角动量定理
dL d dp dr (r p) r p dt dt dt dt