角动量角动量守恒定律jm
合集下载
高校大学物理质点的角动量定理和角动量守恒定律课件
L
r
P
Lx
ˆx
Ly
ˆy
Lz
ˆz
M
r
F
M x ˆx
M y ˆy
M z ˆz
Lx ：质点对x轴的角动量
M
：质点对
x
x轴的力矩
某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：
L (xxˆ yyˆ zzˆ) (Px xˆ Py yˆ Pz zˆ) M (xxˆ yyˆ zzˆ) (Fx xˆ Fy yˆ Fz zˆ)
v v oro 1 rr
星球所需向心力： 可近似认为引力：
v2 1
F向 m r r 3
F引
1 r2
引力使r到一定程度
F引 F向 ，r 就不变了，
引力不能再使 r 减小 。
但在z 轴方向却无此限制，
可以在引力作用下不断收缩。
比较 动量定理
dP
F
t2
dt
Fdt ΔP
[C]
2.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固
定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方 向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量 变化为
（A）mv
（B）0
（C）2mv （D）2mv
[D]
3.(本题3分)0063 P17-1
质量为m的质点,以同一速率V沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动,质点越过A角时,轨道作用于质 点的冲量的大小为
ds dt
const
行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
▲ 星云具有盘形结构：
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
§2-5角动量定理 角动量守恒定律
太原理工大学物理系
L r P
在直角坐标系中
L ( xi yj zk ) ( Px i Py j Pz k )
L x y z
i j k p x p y p z
太原理工大学物理系
L
v
方向：垂直 r ，P 组成的平面
太原理工大学物理系
r
讨论: 1) 同一质点相对于不同的点，角动量不同。 2) 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个 点而言的。
3）质点以角速度作半径为r的圆运动，相对 圆心的角动量
L = mvr
L
p
mr J
2
o r
2）在具体的坐标系中，角动量在各坐标轴的分 量称作对轴的角动量。力矩在各坐标轴的分量， 称作对轴的力矩。
L Lx i Ly j Lz k L 是质点对o点的角动量
Lx Ly Lz
分别是质点对x、y、z轴的角动量.
M M x i M y j M z k M 是力对o点的力矩
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt dt dt
dr 由速度定义 v dt
v p 0 dL dp d r (r p) dt dt dt
i
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
矩
太原理工大学物理系
可以证明：内力对定点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
角动量角动量守恒定律
4-3 角动量 角动量守恒定律
1
问题：
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
（角冲量）
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
角动量引入
2
问题：
一圆盘, 绕过质心的固定轴转动，则由于圆盘
质心速度为零，所以，系统总动量为零;
系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜用
M 0,
(F
0,或r
0)
(r||
F，或
r反||
F)
L 恒矢量
L2 L1
9
条件:
M
0
结论: L 恒矢量
由：M
r
F
有心力
rF
M 0
O 力心
*有心力: 力的作用线始终力心（O）; *只有有心力的系统,角动量守恒;
*天体运行遵从角动量守恒定律.
10
例1 一半径为 R
的光滑圆环置于竖直平
20
角动量守恒现象举例
图1
图2
J ri2mi
i
M轴 0
J11 J22
L1
L2
L J
J1 J2
1 2
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
J11 J 22
J1 J2
1 2
W11（角动量守恒） 22
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
r
dL dt
p
？
dL
d
(r
p)
r dp
dr
p
dt dt
dt dt
dr v, v p 0
1
问题：
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
（角冲量）
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
角动量引入
2
问题：
一圆盘, 绕过质心的固定轴转动，则由于圆盘
质心速度为零，所以，系统总动量为零;
系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜用
M 0,
(F
0,或r
0)
(r||
F，或
r反||
F)
L 恒矢量
L2 L1
9
条件:
M
0
结论: L 恒矢量
由：M
r
F
有心力
rF
M 0
O 力心
*有心力: 力的作用线始终力心（O）; *只有有心力的系统,角动量守恒;
*天体运行遵从角动量守恒定律.
10
例1 一半径为 R
的光滑圆环置于竖直平
20
角动量守恒现象举例
图1
图2
J ri2mi
i
M轴 0
J11 J22
L1
L2
L J
J1 J2
1 2
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
J11 J 22
J1 J2
1 2
W11（角动量守恒） 22
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
r
dL dt
p
？
dL
d
(r
p)
r dp
dr
p
dt dt
dt dt
dr v, v p 0
角动量 角动量守恒定律
r为力的作用点到 参考点的位置矢量
20
2) 力对定轴的力矩
z
Mz
o
d
F F //
r
F
M r F r ( F// F ) r F// r F
第一项
力F对O点的力矩 （F不在转动平面内）：
M1 r F//
dL 可得 M r F dt
对 N 个质点 m1, m2 ,, mN 组成的质点系，由
dL1 r1 F1外 F1内 M 1外 M 1内 dt 两边求和得 dL2 r2 F2外 F2内 M 2外 M 2内 dL总 d dt Li dt i dt M i 外 M i内 dLN i i 24 rN FN外 FN内 M N外 M N内 dt
z
vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
6
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
11
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
角动量守恒定律和动量守恒定律
角动量守恒定律和动量守恒定律角动量守恒定律和动量守恒定律是物理学中两个重要的守恒定律，它们在描述物体运动过程中起着关键作用。
我们来了解一下角动量守恒定律。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与物体的转动惯量和角速度有关。
当一个物体不受外力或外力矩的作用时，其角动量守恒。
简单来说，这意味着物体的角动量在运动过程中保持不变。
例如，在没有外力作用下，一个旋转的陀螺会保持自己的角动量，即使它的方向和速度发生改变。
接下来，我们来了解一下动量守恒定律。
动量是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
当一个系统不受外力作用时，其总动量守恒。
简而言之，这意味着系统中各个物体的动量之和在运动过程中保持不变。
例如，在碰撞过程中，两个物体之间的动量可以相互转移，但总动量保持不变。
角动量守恒定律和动量守恒定律是基于牛顿力学的基本原理推导而来的。
牛顿第一定律指出，当一个物体受到的合力为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。
而牛顿第二定律则表明，物体的加速度与作用在其上的力成正比，与物体的质量成反比。
基于这两个定律，我们可以推导出角动量守恒定律和动量守恒定律。
在物理学中，守恒定律是描述自然界中一些重要物理量保持不变的规律。
角动量守恒定律和动量守恒定律是这些守恒定律中的两个重要的例子。
它们不仅在经典力学中有广泛应用，而且在其他领域，如量子力学和相对论中也有重要的意义。
角动量守恒定律和动量守恒定律的应用非常广泛。
在物理学中，它们被用于解释各种运动现象，如行星的运动、天体的自转、杠杆原理等。
在工程学中，它们被用于设计和优化各种机械系统，如汽车发动机、航天器姿态控制系统等。
在生物学中，它们被用于研究动物的运动机制和人体的运动生理学。
在化学和物理化学中，它们被用于解释分子反应和化学平衡等现象。
角动量守恒定律和动量守恒定律是描述物体运动过程中重要的守恒定律。
它们在物理学的各个领域都有广泛的应用。
通过研究和理解这两个定律，我们可以更好地理解和解释自然界中的各种现象。
大学物理 角动量 角动量守恒定律
z L mv
r
注意
L r mv
角动量 L在直角坐标系中各坐标轴的分量：
1. 质点的角动量与质点对固定点的矢径有关；同一质 点对不同的固定点角动量不同。 2. 讲角动量必须指明对哪一个固定点而言。
Lx ypz zp y Ly zpx xpz
角动量的单位：
例2.17 一质量为 m的质点t=0时位于 ( x1 , y1 )处，速度为 v0 v x 0 i v y 0 j ，质点受到恒力 f = f i 的作用，（1） 求t=0时相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力 的力矩（2）求2s后相对于原点的角动量的变化中木块在水平面内只受指向O点的 弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v 2 与OB方向成θ角，则有
l0 (m M ) v1 l (m M ) v2 sin
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M ) v1 (m M ) v2 k (l l0 ) 2 2 2 2
( x1mv y 0 y1mv x 0 )k
作用在质点上的力的力矩为
M 0 r0 f ( x1i y1 j ) ( f i )
y1 f k
t t （2） L Mdt (r f )dt t0 t0 f f f 2 a i x x1 vx 0t t m m 2m
k (l l0 ) 2 m2 2 v2 v0 (m M ) 2 mM
arcsin
l0 mv0
2 l m 2 v0 k (l l0 ) 2 (m M )
例 . 在光滑的水平桌面上有一小孔O，一细绳穿过小孔，其一端系 一小球放在桌面上，另一端用手缓慢拉绳，开始时小球绕孔运动， 半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径变为 r2 时,求小球的速率 v2？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
20
角动量守恒现象举例
图1
图2
J ri2mi
i
M轴 0
J11 J22
L1
L2
L J
J1 J2
1 2
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 跳水运动员跳水
J11 J 22
J1 J2
若 M 0，则 L J =常量
or : J22 J11
19
M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
讨论
L J =常量
守恒条件 M 0
若 J 不变，不变；
J 22 J11
若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中M in M exL 常量
碰撞后的瞬间：
M+N+板转动：
N
C
Bl
M+N具有相 u l
同的线速度： 2
M
h A
l/ 2
25
冲击前： vM (2gh)1 2
冲击后：u l
2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu l 2
M
1 ml2 1 ml2
12
2
质点：
L
r
4-3 角动量 角动量守恒定律
1
问题：
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
（角冲量）
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
角动量引入
2
问题：
一圆盘, 绕过质心的固定轴转动，则由于圆盘 质心速度为零，所以，系统总动量为零;
系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜用
i
ex
d( dt
M
M
ex
d( J )
in 0
mi ri
dL
2
)
d(J
dt
)
dt dt
z
定轴刚体M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
O
ri
mi
v i
角动量定理的微分形式
17
2、定轴刚体角动量定理
微分形式
M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
方向: 与转轴平行
mv
大 小L rmvsin
L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg·m2·s-1
zL
v
rm
xo
y
L
v
r
L pr sin
pr
m
p
r
r
o
4
L r p r mv
2)、圆运动： L mrv
L
p
o
m r
L rp sin rmv sin
O ri
v i
对定轴转动的刚体
mi
M Mi
M
in i
Miex
d dt
Li
mi ri2
(mi ri 2 )
16
M
Mi
Miin
Miex
d dt
(mi ri 2 )
刚体
Mi
M
M
dt dt
t2
t1
Mdt
J 22
J11
若 M 0，则 L J =常量 or : J22 J11
29
dL
dt
t2
L2
Mdt dL
t1
L1
质点的角动量定理的积分形式
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2
t1
Fdt
p2
p1
冲量矩(角冲量):
t2
M
dt
t1
角动量增加=质点合力矩对时间的积分(冲量矩).
8
质点的角动量定理
微分形式
M
dL
M
mv
N
C
h A
圆：LM LN rmv
B
l
l/2
定轴刚体 L J
26
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu l 1 ml 2 1 ml2
2 12
2
或：mvM
l 2
J
(J板
JM
J N )
[ 1 ml2 12
2m( l )2]
dt dt v p 0
dL
dt r dp
r
F
M
dt
dt
M
dL
dt
6
2、质点的角动量定理
微分形式
M
dL
dt
F
dp
dt
质点: 角动量对时间的变化率 = 合力的力矩
M
r
F
L
r
p
r
mv
7
M
不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动
量和角速度． 重力对O有力矩
M
dL
dt
L mRv mR2
11
解
小球受力
P
、FN
作用,
FN
的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcosdt mgRcos dt d
设跷板：l，m 演员M，N质量：m 板可以绕支点c竖直 平面转动.
完全非弹性碰撞
h u2 2g
u l
2
h
M
h
N
C
A
B
l
l/2
1、M:自由落体：vM
(2gh)1
2
2、M+N+板:转动：M外 0
角动量守恒
24
解: 碰撞前M落在 A点的速度
vM (2gh)1 2
完全非弹性碰撞．
1)、椭圆运动： L rmv sin
vL
m r
L mr 2 J
3)、直线飞行： L rmv
r
r
o
v
5
问题:
dp dt
F，
L
r
dL dt
p
？
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt
dtdr v ,
1 2
W11（角动量守恒） 22
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
宏观微观均成立
23
例4 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
2
M
JM
mr 2
m( l )2 2
h
N
C
A
B
l
l/2
JN
mr 2
m( l )2 2
27
mvM
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
vM (2gh)1 2
解得
mvMl ml 2 12
2 ml 2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员N以u起跳，竖直上抛运动, 达到的高度：
h u2 l 2 2 ( 3m )2 h u l
2g 8g m 6m
2
28
小结
1、M质点d：L
dt
L
r
p
r
mv
（角动量定义）
t2 t1
Mdt
L2
L1
M 0, L 恒矢量
2、定轴刚体 L J
M d(J) dL
mgRcos 1 d
d
dL mgRcosθdθ
12
dL mgRcosθdθ 圆周运动质点: L mRv mR2 mR 2dL (mR 2 )mgR cosθdθ
得 LdL m2 gR3 cos θdθ
L LdL m2 gR3
cosd
0
0
动量来量度转动物体的机械运 动。 *引人与动量 p 对应的角量 L —角动量
R Om
1. 质点的角动量 L r p r mv
大小：
质点 m
p
L rp sin rmv sin
方向：右手螺旋法则
or
参考点
3
1 质点的角动量
L
r
p
r
h Rsin