角动量守恒定律
角动量守恒定律
角动量守恒定律角动量守恒定律，也称转动动量守恒定律，是描述旋转系统中物体角动量守恒的物理定律。
它是在伽利略与牛顿的基础上，由欧拉和拉格朗日等人发展起来的。
它表明，在无外力矩作用下，一个封闭系统的总角动量守恒。
在物理学中，角动量是描述物体旋转运动的物理量。
一个物体的角动量等于其自转角速度和惯性矩的乘积。
考虑一个刚性物体，其围绕某个轴心旋转。
此时，物体的角动量L等于其自转惯性矩I和角速度ω的积，即L=Iω。
这个公式可以用来描述物体的旋转状态。
在没有外力矩作用的情况下，物体的角动量守恒。
也就是说，在这种情况下，刚体自身的角速度和惯性矩不会发生改变。
这个定律可以由牛顿第二定律的角动量形式推导出来。
当一个刚体受到外部力矩时，他的角动量就会发生变化。
这个变化量等于力矩与旋转时间的积。
一个封闭系统中的物体，在没有外部力矩作用时，总角动量守恒，即所有物体的角动量的代数和不变。
如果物体中有某一个物体受到外部力矩，那么这个物体的角动量就会发生变化，但是，由于总系y运中的总力矩为零，所以其他物体的角动量将以相反的方式发生变化，以保证总角动量守恒。
一个典型的例子是一个旋转跳板启动一个跳跃者，高度和角速度的变化取决于跳板和跳跃者的质量和形状。
在这个过程中，跳板和跳跃者的角动量守恒，因为在计算角速度和角动量时，两个物体的总和是不变的。
总之，角动量守恒定律是一种重要的动力学基本定律。
它说明，封闭系统中的角动量总和保持不变。
在硬物体的运动中往往非常有用，可以帮助计算速度、加速度和其他涉及运动的数值。
在工程学和物理学中，它被广泛地应用于旋转系统、制药生产，以及其他需要涉及转动的领域。
角动量定理 角动量守恒定律
量守恒。
13
第3章动量与角动量
例2 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行 星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一
质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。 求 θ角及着陆滑行的初速度。 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒
m
r0
v0
v
R
OM
质点的动量矩守恒 1 GMm 1 2 GMm 2 mv 0 mv 2 r0 2 R
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
d1
m v
d3
d2
解
4
LA d1mv LB d1mv LC 0
第3章动量与角动量
B
C
二、力对定点的力矩 定义 为力对定点O的力矩 M r F 大小： M r F sin
方向：垂直 r , F 组成的平面 M ML2T 2 SI Nm 量纲：
r r r M r F 0
L
r L mvrsin m rsin t 1 r r rsin S 2 2m 2m t t
12
r r r L r m C
r r F
r
m
掠面 速度
行星对太阳的位矢在相等 的时间内扫过相等的面积
i i
L Li ri Pi
P2 r2 o
P 1
r1
质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参 考点的动量矩的矢量和
dLi 2. 质点系的动量矩定理 M i dt i i M M i ri Fi ri fi
角动量 角动量守恒定律
h
vN2 2g
1 2g
3mvM m 6m
2
h
3m m 6m
2
19
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P104例3 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心
O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于
水l/4平处位, 置并时背,离有点一O只向小细虫杆以的速端率点vvA0 0垂爬直行落. 设在小距虫点与O细为杆
14
4-3 角动量 角动量守恒定律
比较 动量
F
dP dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
F
P
mv
力 动量
t2
Fdt 力的冲量
t1
第四章 刚体转动
角动量
M
dL dt
t2
Mdt ΔL
t1
LMMrrp0F角L力动矩量0或或角动力量矩
其角速度为ω, 求齿轮啮合后两圆盘的角速度.
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2)
J11 J22
(J1 J2 )
16
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P103例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.
R
x
26
dP
F dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
§2-5角动量定理 角动量守恒定律
太原理工大学物理系
L r P
在直角坐标系中
L ( xi yj zk ) ( Px i Py j Pz k )
L x y z
i j k p x p y p z
太原理工大学物理系
L
v
方向：垂直 r ，P 组成的平面
太原理工大学物理系
r
讨论: 1) 同一质点相对于不同的点，角动量不同。 2) 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个 点而言的。
3）质点以角速度作半径为r的圆运动，相对 圆心的角动量
L = mvr
L
p
mr J
2
o r
2）在具体的坐标系中，角动量在各坐标轴的分 量称作对轴的角动量。力矩在各坐标轴的分量， 称作对轴的力矩。
L Lx i Ly j Lz k L 是质点对o点的角动量
Lx Ly Lz
分别是质点对x、y、z轴的角动量.
M M x i M y j M z k M 是力对o点的力矩
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt dt dt
dr 由速度定义 v dt
v p 0 dL dp d r (r p) dt dt dt
i
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
矩
太原理工大学物理系
可以证明：内力对定点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
角动量角动量守恒定律
dr r
l
I r dm
2 m
R2
R1
2 l r dr
3
l
2
4 ( R2 R14 )
m 圆筒的体密度 2 , R2 R, I m R2 2 若R1 R2 R, I m R2
1 2 I m( R2 R12 ) 2
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某 注意： 一时刻而言，它们都不是时间的累积效应。 b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们 是相对于哪个轴或哪个点。 强调：对于刚体的定轴转动，我们只能用角动量来 描述，而不能用动量来描述。
8
3.转动惯量 1 .定义 刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至 转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
I ( Δmiri2 )
I是描述刚体转动惯性大小的物理量。
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。 在（SI）中，I 的单位：kgm2 量纲：ML2
9
2 .转动惯量的计算
Δmiri2 ) Ii 分立质点系 I (
质量连续分布的刚体
10
例2：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求转动惯量I。 解：分割质量元 dm圆环上各质量元到轴的距离相等，
M
I
0
R dm R
2
2 M 0
2 dm MR M
绕圆环质心轴的转动惯量为
o
R
dm
I MR
2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。 解：由转动惯量的定义
5.5 角动量守恒定律
例题1 ： 一粒子弹水平射入一静止悬杆的下端，穿出 后速度损失 3 / 4，求子弹穿出后棒的角速度 。已知轴处自由 。
解：以 f 代表杆对子弹的阻力，对子弹有: fdt m(v v0 ) 3mv0 / 4
子弹对杆的冲量矩为：
l f dt J f ldt
若 M 0 ，则
L J 常量
——刚体定轴转动的角动量守恒定律
讨论
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中
M内 M外 L 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 刚体（或刚体组系统）角动量守恒的三种情况： ①J 不变（刚体），角速度ω的大小和方向均不变 ②J 可变（质点系），ω亦可变，但Jω乘积不变 ③刚体组的角动量守恒
a
v
m
3mva 2 2 m' l 3ma
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
o
30
a
1 1 2 2 2 ( ml ma ) 2 3 l mga(1 cos 30) mg (1 cos 30) 2
2 2 v g (2 3 )( m l 2ma )( m l 3ma ) 6 ma
质点系的角动量定理：
t
t0
Mdt L L0
质点系的角动量定理：
t
t0
Mdt L L0
O
ri
mi
z
该矢量式向固定转轴（如 z轴） 的投影，得一个标量式，即
vi
t
t0
M z dt Lz L0 z
相对某固定轴，质点系所受的角冲量等于系统 角动量的增量。——质点系对定轴的角动量定理。
§2-3 角动量守恒定律
γ
v lz r
O
）
θ
M z = M cos γ
= r F sin θ cos γ
y
3
x
二、
角动量和角动量定理
z
1、角动量 (angular momentum) 设质点的质量、位矢、速度 v v p v r、 v、 。 和动量分别为 m 、 质点相对参考点O的角动量定义为
v mv
v r
）
）
4
θ
v v w r1 , r2 , L , rn
v L = v li =
质点系的角动量为所有质点的角动量的矢量之 和，即
∑
n
i =1
∑
n
i =1
v v ri × m i v i
10
对每个质点，根据角动量定理列方程 v v v v v dln d l1 v dl2 M1 = ,M 2 = , ⋅ ⋅⋅ , M n = dt dt dt
即
v l = 恒矢量
若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零, 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。 注意： (1)这也是自然界普遍适用的一条基本规律。 v v v v v (2) M = 0，可以是r = 0,也可以是F = 0, 还可能是r 与F 同向或反向，例如有心力情况。 8
如果作用于质点的合力矩不为零，而合力矩沿Oz 轴的分量为零,则
v 当 ∑M =0 时
v L = 恒矢量
如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零， 那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化。 当
∑M
z
= 0 时 Lz = 恒量
上式称为质点系对轴的角动量守恒定律。
12
观察发现, 宇宙中存在着大大小小各种层次的天体 系统, 它们都具有旋转的盘状结构, 并且系统中的天体 基本上都朝同一方向转动, 无论是太阳系、银河系以 及众多的河外旋涡星系都是如此，这种现象的形成是 天体系统遵从角动量守恒定律的必然结果。
角动量守恒
角动量守恒角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。
角动量守恒定律是物理和自然界的一条重要定律。
它在日常生活、天体物理、微观物理和工程中都有广泛的应用。
例如，角动量守恒定律可以很好地解释开普勒天体运行第二定律、陀螺效应等。
当一个质点绕原点运动时，它的角动量L=RP。
这里，R是质点相对于原点的位置向量；P是质点的线性动量；而表示矢量积。
具有一定质量的物体绕一固定轴转动，它的角动量L可表示为这个物体的惯性矩I和它的角速度向量w的乘积，即L=Iw。
角动量又称为动量矩，是一个矢量，是位矢叉乘于动量。
定理也称动量矩定理。
表述角动量与力矩之间关系的定理。
对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
对于质点系，由于其内各质点间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零。
利用内力的这一特性，即可导出质点系的角动量定理：质点系对任一固定点O的角动量对时间的微商等于作用于该质点系的诸外力对O点的力矩的矢量和。
由此可见，描述质点系整体转动特性的角动量只与作用于质点系的外力有关，内力不能改变质点系的整体转动情况。
定理应用角动量守恒定律是物理和自然界的一个重要定律，它在日常生活、天体物理、微观物理和工程等许多方面都有广泛的应用。
例如：当滑冰者手臂收缩时，自我旋转滑冰者的转动速度就会加快。
用角动量守恒定律也可解析中子星有很高的转动速率等。
另外，角动量守恒定律也是陀螺效应的原因。
角动量守恒定律反映了质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。
如一质量为 m的质点受指向固定中心O的向心力F的作用，因力F对O点的力矩为零，根据牛顿第二定律可推得质点对O点的角动量守恒，Lo=rmv=常矢量，此常矢量决定于运动的起始条件，r为质点对于O点的矢径,v为质点的速度。
如将太阳看成固定中心，行星看成质点，则角动量守恒表明行星轨道必在一平面上。
矢径在相等的时间内扫过的面积相等，这就是开普勒行星运动三定律之一—开普勒第二定律角动量守恒也是微观物理学中的重要基本规律。
角动量守恒定律
0 L v0 ; L v 2 2
得：
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆 质点 质点 柔绳无切向力 （1） o • 水平方向： Fx =0 ， px 守恒
v0
l
m (2)
Fy
M
L • 对 o 点：M 0 ，
m v 0l = ( m + M ) v l
m v 0= ( m + M ) v
守恒
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
v0
m
l
轴作用力不能忽略，动量不守恒， 但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒
M
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3
v l
回顾习题
P84 4 -10
F
O
m M
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
角动量守恒定律： 当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢 量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量 守恒。
注意
1.与动量守恒定律对比
当 F外 0 时，
当 M外 0 时，
2.守恒条件 能否为
p 恒矢量 L 恒矢量
或
?
彼此独立
M外 0
M轴 0
M 外 dt 0
m 以速度v 0 撞击 m 2 ，发生完全非弹性碰撞
求：撞后m 2的速率 v ?
解1：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
A
解2： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒
角动量守恒定律
Mdt dL
Mdt 为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得
t2
Mdt L2 L1
t1
质点的角动量定理：对同一参
考点，质点所受的冲量矩等于质点 角动量的增量。 成立条件：惯性系
四、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，
v
L
L＝r mv＝恒矢量
二、角动量
概念：一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐
标原点O的位置矢量为 r，定义质点对坐标原点O的角 动量L为该质点的位置矢量与动量的矢量积 L
L r P r mv
大小：L＝rmvsin 方向：右手螺旋定则判定 单位：kgm2/s 量纲：ML2T-1 o
P m r θ
说明
角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为
零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。 外力矩为零有两种情况： a、质点所受的外力为零； b、质点所受的外力不为零，但是在任意时刻外力对于固定参考 点的合力矩为零。 特例： •在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的； •匀速直线运动。 例题2.17 有心力场中质点的运动(P.81-82)
•角动量是自然界最基本最重要的概念之一，它不仅在经典 力学中很重要，而且在近代物理中的运用更为广泛。 •角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。 •作圆周运动的质点的角动量 的角动量L保持不变。 P
L＝mrv
•质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量r变化，但是质点
L
o
r
三、质点的角动量定理
设质点的质量为m，在合力F的作用下，运动方程
§2-7 角动量守恒定律
一、力矩
力对点的力矩
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第四节 角动量守恒定律
一、角动量
1. 质点对定点的角动量
（1）v m r p r L ⨯=⨯= (力矩：F r M ⨯=)
（2）说明：r 指质点相对于固定点O 的位置矢量；p 指质点的动量；v 指质点的速度
（3）大小：=L αsin rmv ，
（4）方向：（右手法则）v r ⨯向
（5）单位：12-s
kgm （6）量纲：12-T
ML 2. 刚体对定轴的角动量 （将刚体分解为质点组）∑∑=⋅⋅∆==⇒⋅⋅∆=⋅⋅∆=ωI w r m L L w r m v r m L i i i oz i i i i i i 22
ω I L =
此式对质点也适用
3. 角动量定理：
（1） 公式：dt
dL dt I d dt d I
I M ====)(ωωβ 或dL dt M =⋅ （2）文字表述：刚体对某一给定转轴或点的角动量对时间的变化率等于刚体所受到的对同一转轴或点的和外力矩的大小。
（3）说明：dt M ⋅称冲量矩，表示力矩的时间积累效果，单位：牛·米·秒 若何外力矩M=0,则L=IW=恒量
4. 转动定律的普遍形式 dt
dI dt d I dt L d M ωω +== 二、角动量守恒
1、角动量守恒的条件：质点所受相对于参考点的力矩的矢量和等于零；在有心
力作用下，质点相对于力心的角动量守恒。
2、应用：
例1：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快；再如：跳水运动员的“团身--展体”动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。
3、习题：
1．质点做直线运动时，其角动量( )（填一定或不一定）为零。
答案: 不一定
2．一质点做直线运动，在直线外任选一点O为参考点，若该质点做匀速直线运动，则它相对于点O的角动量( )常量；若该质点做匀加速直线运动，则它相对于点O的角动量( )常量，角动量的变化率( )常量。
（三空均填是或不是）答案: 是; 不是; 是。
3．一质点做匀速圆周运动，在运动过程中，质点的动量( )，质点相对于圆心的角动量( )。
（两空均填守恒或不守恒）
答案：不守恒；守恒。
4．一颗人造地球卫星的近地点高度为h
1 ,速率为υ
1
，远地点高度为h
2,
已知地
球半径为R.求卫星在远地点时的速率υ
2..
解：因为卫星所受地球引力的作用线通过地球中心，所以卫星对地球中心的角动量守恒。
根据角动量守恒定律得
r
1 mυ
1
= r
2
mυ
2
且r
1=R+ h
1
r
2
=R+ h
2
解得υ
2
=（R+ h
1
/R+ h
2
）υ
1。