3.1平行射影(人教A版选修4-1)
3.1、3.2、3.3 平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
6－2 2，
A′B2＋A′C2－BC2 6－ 3 cos ∠BA′C＝ ＝ . 3 2A′B· A′C
[例2]
如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们
与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆 柱的斜截面相切，切点分别为F1、F2. 求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1、F2为焦 点的椭圆．
[思路点拨]
线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a、b异
面矛盾，所以③错，故正确答案：①②④.
答案：①②④
2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α 上的射影是____________． 解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯
形ABCD在α上的射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线 的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯 形ABCD在平面α上的射影仍是梯形． 答案：一条线段或梯形
知PF1＝PK1，PF2＝PK2，
所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2. 由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．
(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin
双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的
形状． (2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点 引球的切线，切线长都相等)．
为A沿l的方向在平面α上的平行射影．
一个图形上各点在平面α上的平行射影 所组成的图形，叫 做这个图形的平行射影．
3．正射影与平行射影的联系与区别 正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行
的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光
线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜 交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般 平行射影的面积要小于原投影图形的面积．
高二数学之数学人教A版选修4-1课件：3.1 平行射影
归纳总结平行射影的性质: (1)直线的平行射影是直线或一个点,线段的平行射影是线段或一 个点; (2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线或两个点; (3)平行于投影面的线段,它的平行射影与这条线段平行且等长; (4)与投影面◆平全书行优质的试题随平意编面辑 图◆ 课形堂教,学它流程的完美平展示行◆射独家影研发与错题组这卷系个统 图形全等; (5)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行射影(不是点)的 比等于这两条线段的比.
答案:B
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航 UUUBBIBAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
HISHI SHHHIUSIHLSIHI SI HSHUULILI HONGNAN JVJHHIAOOONNGGNNAANNJJVVJJIIAAONOLI TOUXI IIAANNLLUIITTITOOAUUNXXGIIYANLIAN
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航 UUUBBIBAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG
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例如,如图,直线l与平面α所成的角是45°,交点为A.在l上取不同 于点A的一点B,过点B作BC⊥α,垂足为C.则l在平面α上的正射影是 直线AC.当投影方向与l相同时,l在平面α上的平行射影是一个点,即 点A;当投影方向垂直于平面α时,l在平面α上的平行射影是直线AC, 此时平行射影和正射影是相同的.
3.1 平行射影 课件(人教A选修4-1)
[研一题] [例1] P为△ABC外一点且PA＝PB＝PC.
求证：P在面ABC内的射影为△ABC的外心．
分析：本题考查射影的概念，解答本题需先作出 点P在面ABC内的射影，然后证明该射影为△ABC的 外心．
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证明：如图．过P作PO⊥面ABC于O. 则O为P在面ABC内的射影，
∵PA＝PB，PO＝PO，
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[命题立意]
本题考查点是正射影的应用及几何图
形正射影形状的确定问题，考查学生的空间想象能力及 抽象思维能力． 解：①是四边形在平面ABB′A′或CDD′C′上的投影； ②是四边形在平面ADD′A′或BCC′B′上的投影；③是四 边形在平面ABCD或A′B′C′D′上的投影．
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解析：四边形BFD1E在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的射 影均为②图，四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1 上的射影均为图③，四边形BFD1E在平面ABB1A1和平面
DCC1D1上的射影均为②，故正确的为②和③.
答案：②③
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本课时考点常与立体几何相结合考查线面位置关
与CD平行，而CD与平面ABC不垂直，所以F点在平面
ABC上的正射影不在直线BE上，从而只有B图形成立． 答案：B
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[悟一法] 确定一个几何图形的正投影，其实质是确定其边界 点的正投影的位置．在解决此类问题时，一定要全面考 虑，否则极易出错．
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[通一类]
3．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中 心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下 图中的________． (要求：把可能的图的序号都填上)
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高中数学人教A版选修4-1几何证明选讲第三讲一平行射影教学设计
高中数学人教A版选修4-1几何证明选讲第三讲一平行射影
教学设计
【名师授课教案】
1教学目标
本节课的主要任务是根据第一讲中已经讨论过的正射影的概念,推广得出平行射影的概念,并以圆为例探究其平行射影。
让学生体验从一般概念出发认识事物的过程,体会辩证唯物主义观点。
引导学生用联系的观点理解有关内容,通过回顾椭圆的概念和平面几何证明的有机结合,使学生体会知识之间的联系。
本节课是前两讲学习内容的自然延伸,也是后续圆锥曲线性质探讨的一个前奏和准备。
根据教材内容和学生的实际情况,本节课的教学目标设定如下:
1.通过回顾正射影,推广得出平行射影的概念。
2.从平行射影的概念出发,探究用一个平面去截圆柱所得的截面形状问题。
3.通过探究、展示、交流,养成良好的学习品质,增强合作意识。
2学情分析
学生已初步理解了正射影的概念,具备一定的推理证明能力,这为理解平行射影概念提供了知识准备。
但学生空间想象能力较差,平面几何证明不够熟练,这些都给学生学习本节内容造成一定困难。
3重点难点
重点:平行射影的概念,平面截圆柱所得的截面形状
难点:理解椭圆是圆柱的一种截面
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】复习回顾，提出问题
1.复习回顾。
人教新课标A版选修4-1数学3.1平行射影同步检测 Word版含解析
3.1平行射影同步检测一、选择题1. △ABC在平面α上的正射影是（）A.三角形B.直线C.线段D.三角形或线段答案：D解析：解答：当△ABC所在平面垂直于α时,△ABC在α上的正射影是一条线段,否则是三角形.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质分析即可2. 两条异面直线m和n在平面α上的平行射影是（）A.一条直线和直线外一个点B.两条相交直线C.两条平行直线D.以上都有可能答案：D解析：解答：当m和n中有一条直线与投影方向平行时,它们的平行射影是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质分析即可3. 下列说法正确的是（）A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影B.投影线与投影平面有且只有一个交点C.投影方向可以平行于投影平面D.一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的答案：B解析：解答：正射影是平行射影的特例,本质是相同的,故选项A错误;投影线与投影平面只能相交,选项B是正确的,选项C是错误的;一个图形在一个平面上的平行射影与投影方向有关,方向改变了,就可能得到不同的平行射影,故选项D错误分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给选项分析即可4. 如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形,则下列结论正确的是（）A.内心的平行射影还是内心B.重心的平行射影还是重心C.垂心的平行射影还是垂心D.外心的平行射影还是外心答案：A解析：解答：三角形的平行射影仍是三角形,但三角形的形状可能会发生变化,此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化,其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点会随着发生变化,而中位线上三等分点的等分比例性质不变,内心射影前后相对的位置关系不变.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合三角形的性质分析即可5. 线段AB,CD在同一平面内的正射影相等,则线段AB,CD的长度关系为（）A.AB>CDB.AB<CDC.AB=CDD.无法确定答案：D解析：解答：由于线段AB,CD与平面所成的角未定,虽然正射影相等,但线段AB,CD的长度无法确定,故它们的长度关系也无法确定.故选D.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影一个图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置有关6. 一个图形的正射影是一条线段,这个图形不可能是（）A.线段B.圆C.梯形D.长方体答案：D解析：解答：当线段、圆、梯形所在的平面与投影面垂直时,它们的正射影都是一条线段,很明显长方体的正射影不可能是一条线段分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给几何图形分析即可7. 下列说法正确的是（）A.平行射影是正射影B.正射影是平行射影C.同一个图形的平行射影和正射影相同D.圆的平行射影不可能是圆答案：B解析：解答：正射影是平行射影的特例,则选项A不正确,选项B正确;对同一个图形,当投影线垂直于投影面时,其平行射影就是正射影,否则不相同,则选项C不正确;当投影线垂直于投影面,且圆面平行于投影面时,圆的平行射影是圆,则选项D不正确分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的原理分析即可8. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的（）A．B．C．D．答案：A解析：解答：点D在平面ADD1A1上的正射影是它本身;点M在平面ADD1A1上的正射影是AA1的中点;点N在平面ADD1A1上的正射影是AD的中点,则阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为选项A中的图形.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给选项分析即可9. 直线l在平面α上的正射影是（）A.点B.线段C.直线D.点或直线答案：D解析：解答：当l⊥α时,正射影是一个点,否则是一条直线分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给直线分析即可10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是（）A.四边形ABCDB.线段ABC.△ABCD.线段A1B1答案：B解析：解答：由于平面A1ABB1⊥平面ABCD,则四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是线段AB分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给长方体的性质分析即可11. 两条相交直线的平行射影是（）A.两条相交直线B.一条直线C.一条折线D.两条相交直线或一条直线答案：D解析：解答：两条相交直线确定一个平面,若这个平面与投影方向不平行,则两条相交直线的平行射影为两条相交直线.若这个平面与投影方向平行,则两条相交直线的平行射影为一条直线.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合直线相交的关系分析即可12. 下列结论中正确的是（）①圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的平行射影不可能是圆;②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形;③两条平行线段之比等于它们的平行射影（不是点）之比;④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然.A.①②B.②③C.③④D.②③④答案：C解析：解答：由于平面图形的平行射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影,只是投影方向相反罢了,因而①是错误的,④是正确的.当平行四边形所在平面平行于投影方向时,平行四边形的平行射影是一条线段,故②错误.很明显③正确.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给几何图形分析即可13. Rt△ABC的斜边BC在平面α内,则△ABC的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是（）A.一条线段B.一个锐角三角形或一条线段C.一个钝角三角形或一条线段D.一条线段或一个钝角三角形答案：D解析：解答：①当顶点A在平面α内的正射影A'在BC所在直线上时,两条直角边在平面α内的正射影是一条线段,与斜边组成的图形是线段,如图①.②当顶点A在平面α内的正射影A'不在BC所在直线上时,如图②.∵AA'⊥α,∴AA'⊥A'B,AA'⊥A'C.∴A'B<AB,A'C<AC.在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2,∴BC2>A'B2+A'C2.∴A'B2+A'C2-BC2<0.∴∠BA'C为钝角,∴△A'BC为钝角三角形.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给几何关系分析即可14. 已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a,b在α上的射影有可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.在上面的结论中,正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案：C解析：解答：如图,不垂直的异面直线DC1,AB在平面A1B1C1D1上的射影是平行直线;DC1与BB1在平面A1B1C1D1上的射影是一条直线及其外一点;A1E与DC1在平面A1B1C1D1上的射影是两条互相垂直的直线,故①②④正确.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给直线关系构造模型分析即可15. Rt△ABC的直角边AB在平面α内，顶点C在平面α外，则直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形是（）A.线段或锐角三角形B.线段与直角三角形C.线段或钝角三角形D.线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形答案：B解析：解答：若平面ABC与α垂直，则直角边BC、斜边AC在平面α上的射影即为线段AB，若平面ABC与α不垂直，令直角边BC在平面α上的射影BC′，由三垂线定理可得BC′⊥AB；故直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形为直角三角形故选B.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是由已知中Rt△ABC的直角边AB在平面α内，顶点C在平面α外，我们分平面ABC与α垂直和平面ABC与α不垂直两种情况，分别讨论直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形，即可得到答案二、填空题16. 一个等腰直角三角形在平面内的正投影可能是．答案：线段或三角形解析：解答：当直角三角形和平面垂直的时候，其投影为一条线段，当直角三角形与平面的夹角不为90°时，其投影为三角形．故答案为：线段或三角形分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影性质结合三角形的位置分情况探讨各线段的投影即可17. 如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则线段DO的长等于．答案：3解析：解答：连接OC，∵圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，∴CD⊥BD，设圆半径为r，在Rt△ODC中，CD=4，OD=8﹣r，OC=r，∴16+（8﹣r）2=r2，解得r=5．∴线段DO=8﹣5=3．故答案为：3．分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影连接OC，由圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，知CD⊥BD，设圆半径为r，在Rt△ODC中，则16+（8﹣r）2=r2，解得r=5．由此能求出线段DO的长．18. 如图，一个广告气球被一束入射角为α的平行光线照射，其投影是一个长半轴为5 m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是．答案：100πcos2αm2解析：解答：∵长半轴为OA=5，∠AOB=α，设气球半径为r，则r=5cosα，∴S=4πr2=100πcos2αm2．故答案：100πcos2αm2．分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影根据平行投影的性质，我们可得气球与投影所得椭圆之间的关系为：椭圆的短轴长等于球半径，椭圆的长轴长等与球半径除以cosα，根据椭圆的长半轴为5 m，我们易求出广告气球的半径，进而得到球的表面积，即制作这个广告气球需要的面料．19. 如图,点E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是.（要求:把可能的图的序号都填上）答案：②③解析：解答：对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到,并且对于图形要考虑所有点的正射影,又知线段由两个端点唯一确定,故考查四边形BFD1E的射影,只需同时考查点B,F,D1,E在各个面上的正射影即可.四边形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均为图②;四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均为图③.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给选项分析即可20. 梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在平面α内,则它在平面α上的平行射影是.答案：一条线段或一个梯形解析：解答：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向,则梯形ABCD在平面α上的平行射影是一条线段.如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向,由于平行线的平行射影仍是平行线,不平行的直线的平行射影仍不平行,则梯形ABCD在平面α内的平行射影仍是梯形.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给线面关系分析即可21. 关于直角∠AOB在平面α内的平行射影有如下判断:①可能是0°的角;②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是180°的角,其中正确判断的序号是.答案：①②③④⑤解析：解答：设直角∠ABC所在平面为β,当β与投影方向平行时,直角∠AOB在平面α内的平行射影为一条射线或一条直线;当β与投影方向不平行时,直角∠AOB在平面α内的平行射影为一个角,并且该角可以是锐角、直角或钝角.因而①②③④⑤都对.分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的原理结合所给选项分析即可22. 如图,设C是线段AB上任意一点,点C',A',B'分别是点C,A,B沿直线l的方向在平面α上的平行射影.若AC=4,CB=6,则A'C'C'B'=.答案：2 3解析：解答：∵AA'∥l,BB'∥l,CC'∥l,∴AA'∥BB'∥CC'.由平行线分线段成比例定理,得A'C'AC42 C'B'CB63===分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给条件运用平行线分线段成比例定理分析即可三、解答题23. 已知P为△ABC外一点,且PA=PB=PC.求证:点P在平面ABC内的射影为△ABC的外心.答案：解答：如图,过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接OA,OB,OC,则点O为点P在平面ABC内的射影.∵PA=PB,PO=PO,∴Rt△PAO≌Rt△PBO,∴AO=BO.同理可得BO=CO,∴AO=BO=CO,∴点O为△ABC的外心,即点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心.解析：分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的原理结合所给几何关系，分析即可24. 如图,已知DA⊥平面ABC,△ABC是斜三角形,点A'是点A在平面BCD上的正射影,求证:点A'不可能是△BCD的垂心.答案：解：假设点A'是△BCD的垂心,则A'B⊥CD.∵AA'⊥平面BCD于点A',则AB⊥CD.又∵DA⊥平面ABC,则AB⊥AD,∴AB⊥平面ADC,∴AB⊥AC,这与条件△ABC是斜三角形矛盾,故点A'不可能是△BCD的垂心解析：分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合直接证明有困难,利用反证法证明25. 如图,△ABC是边长为2的正三角形,BC∥平面α,点A,B,C在α的同侧,它们在α内的射影分别为点A',B',C'.若△A'B'C'为直角三角形,BC与α间的距离为5,求点A到α的距离.答案：解答：由条件可知,A'B'=A'C',∴∠B'A'C'=90°.设AA'=x,在直角梯形AA'C'C中,A'C'2=4-（5-x）2.由A'B'2+A'C'2=B'C'2,得2×[4-（5-x）2]=4,解得2解析：分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给选项分析即可。
数学人教A版选修4-1课后训练：3-1平行射影 含解析 精
课后训练1．下列结论中正确的是()．①圆的平行射影可以是椭圆，但椭圆的平行射影不可能是圆②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形③两条平行线段之比等于它们的平行射影(不是点)之比④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影，反之亦然A．①②B．②③C．③④D．②③④2．两条相交直线的平行投影是()．A．两条相交直线B．一条直线C．一条折线D．两条相交直线或一条直线3．线段AB、CD在同一平面内的正射影相等，则线段AB、CD的长度关系为()．A．AB＞CD B．AB＜CDC．AB＝CD D．无法确定4．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是()．A．内心的平行投影还是内心B．重心的平行投影还是重心C．垂心的平行投影还是垂心D．外心的平行投影还是外心5．有下列4个命题：①矩形的平行射影一定是矩形；②矩形的正射影一定是矩形；③梯形的平行射影一定是梯形；④梯形的正射影一定是梯形，其中正确的命题的个数是()．A．0 B．1 C．3 D．46．已知a，b为不垂直的两异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的平行射影可能是________．①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点7．关于直角∠AOB在平面α内的平行射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角，其中正确判断的序号是__________．8．P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的正射影．(1)若P点到△ABC的三个顶点等距离，那么O点是△ABC的什么心？(2)若P点到△ABC的三边距离相等，且O点在△ABC的内部，那么O点是△ABC的什么心？(3)若P A、PB、PC两两互相垂直，O点是△ABC的什么心？两条相交直线的平行射影还是相交直线吗？如果不相交，那它的形状是什么样子？同理，两条平行直线的平行射影还是平行直线吗？它的情形有哪些？分析：两条直线相交，可以确定一个平面，当投射线与两直线所确定的平面平行时，此两直线的平行射影是一条直线；当投射线与两直线确定的平面不平行时，此两直线的平行射影仍是两条相交直线．在考虑时一定要周全，避免漏掉特殊情况．所以两条相交直线的平行射影是两条相交直线或一条直线．同理，可以考虑两条平行直线在同一个平面上的射影，当两条平行线与投射线平行时，它们的平行射影是两个点；当两条平行直线确定的平面与投射线平行时，它们的平行射影是一条直线；当两条直线确定的平面与投射线不平行时，它们的平行射影是两条平行直线．参考答案1.答案：C解析：∵平面图形的平行射影具有可逆性，即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时，该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影，只是投影方向相反罢了，∴①是错误的，④是正确的．当平行四边形所在平面平行于投影方向时，平行四边形的平行射影是一条线段，故②错误．很明显③正确．2.答案：D解析：两条相交直线确定一个平面，若这个平面与投射方向不平行时，两条相交直线的平行射影为两条相交直线．若这个平面与投射方向平行时，两条相交直线的平行投影为一条直线．3.答案：D解析：由线段AB，CD与平面所成的角来确定，虽然射影相等，但线段AB，CD的长度无法确定，故它们的长度关系也无法确定．4.答案：A解析：如果三角形的平行投影仍是三角形，但三角形的形状通常将发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，所以仍是新三角形的内心．5.答案：A解析：利用正射影与平行射影的定义及有关性质进行求解．同时应充分考虑各种不同的位置关系及投影方向的变化．矩形的平行射影可以是矩形、平行四边形或线段，因而①不成立．矩形的正射影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，因而②不正确．梯形的平行射影可以是梯形、线段，因而③不正确．梯形的正射影也可能是梯形、线段，因而④不正确，故选A．6.答案：①②④7.答案：①②③④⑤解析：设直角∠ABC所在平面为β，当β与投影方向平行时，直角∠AOB在平面α上的平行射影为一条射线或一条直线；当β与投影方向不平行时，直角∠AOB在平面α上的平行射影为一个角，并且该角可以是锐角、直角或钝角．因而①②③④⑤都对．8.解：(1)若P A＝PB＝PC，O为P在平面ABC上的正射影．故有OA＝OB＝OC，∴O 为△ABC的外心．(2)由P到△ABC的三边距离相等，故有O到△ABC的三边距离相等，∴O为△ABC的内心．(3)PO⊥平面ABC，P A⊥BC，∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心．9.解：两条相交直线的平行射影是两条相交直线或一条直线；两条平行直线的平行射影是两个点或一条直线或两条平行直线．。
数学人教A版选修4-1学案：课堂探究 第三讲一 平行射影 含解析 精品
课堂探究
探究一对平行射影的理解
图形的平行射影与两个因素有关：一个是投影方向，一个是投影平面．正确地理解平行射影的有关概念，是解决平行射影问题的关键．
【典型例题1】如图，点E，F分别为正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是____________．(要求：把可能的图的序号都填上)
解析：对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到，并且对于图形要考虑所有点的正射影，又知线段由两个端点唯一确定，故考查四边形BFD1E的射影，只需同时考查点B，F，D1，E在各个面上的正射影即可．
四边形BFD1E在平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均为图(2)；四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均为图(3)．答案：(2)(3)
点评判断平行射影的形状时，常常先确定图形中各顶点的射影，再依次连接各顶点的射影即可；同一图形在平行平面上的平行射影是相同的．
探究二平行射影的应用
对于一个图形在平面上的平行射影，要根据图形与平面的位置来决定平行射影是一个怎样的图形．
【典型例题2】在梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α内，则它在平面α上的平行射影是________．
思路分析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在平面α上的平行射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的平行射影仍是平行线，不平
行的线的平行射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的平行射影仍是梯形．。
数学人教A版选修4-1课后训练：第三讲一平行射影 含解析 精品
平行射影练习1直线l在平面α上的正射影是( )A．点 B．线段 C．直线 D．点或直线2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是( )A．四边形ABCDB．线段ABC．△ABCD．线段A1B13两条相交直线的平行射影是( )A．两条相交直线B．一条直线C．一条折线D．两条相交直线或一条直线4下列结论中正确的是( )①圆的平行射影可以是椭圆，但椭圆的平行射影不可能是圆；②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形；③两条平行线段之比等于它们的平行射影(不是点)之比；④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影，反之亦然．A．①② B．②③ C．③④ D．②③④5(能力拔高题)Rt△ABC的斜边BC在平面α内，则△ABC的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是( )A．一条线段B．一个锐角三角形或一条线段C．一个钝角三角形或一条线段D．一条线段或一个钝角三角形6用平面α截圆柱OO′，当OO′与平面α所成的角等于__________时，截面是一个圆．7如图所示，设C是线段AB上任意一点，C′，A′，B′分别是C，A，B沿直线l的方向在平面α上的平行射影．若AC＝4，CB＝6，则A CC B''=''__________.8设P为△ABC所在平面外一点，点O为P在平面ABC上的正射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心．9如图所示，已知A，B，C三点在平面α上沿直线l的平行射影分别为A′，B′，C′，且C是AB的中点．求证：C′是线段A′B′的中点．10如图所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，点A′是点A在平面BCD上的正射影，求证：点A′不可能是△BCD的垂心．参考答案1 答案：D 当l⊥α时，正射影是一个点，否则是一条直线.2答案：B 由于平面A1ABB1⊥平面ABCD，则四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是线段AB.3答案：D 两条相交直线确定一个平面，若这个平面与投影方向不平行，则两条相交直线的平行射影为两条相交直线.若这个平面与投影方向平行，则两条相交直线的平行射影为一条直线.4答案：C 由于平面图形的平行射影具有可逆性，即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时，该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影，只是投影方向相反罢了，因而①是错误的，④是正确的.当平行四边形所在平面平行于投影方向时，平行四边形的平行射影是一条线段，故②错误.很明显③正确.5答案：D (1)当顶点A在平面α内的正射影A′在BC所在直线上时，两条直角边在平面α内的正射影是一条线段，与斜边组成的图形是线段，如图(1).(2)当顶点A在平面α内的正射影A′不在BC所在直线上时，如图(2).∵AA′⊥α，∴AA′⊥A′B，AA′⊥A′C.∴A′B＜AB，A′C＜AC.在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，∴BC2＞A′B2＋A′C2.∴A′B2＋A′C2－BC2＜0.∴∠BA′C为钝角，∴△A′BC为钝角三角形.6 答案：90°7答案：23∵AA′∥l，BB′∥l，CC′∥l，∴AA′∥BB′∥CC′.由平行线分线段成比例定理，得4263A C ACC B CB''===''.8答案：外连接AO，BO，CO，则AO，BO，CO分别为PA，PB，PC在平面ABC内的正射影.又PA=PB=PC，由射影长定理，则OA=OB=OC，故O为△ABC的外心.9答案：证明：∵AA′∥l，BB′∥l，CC′∥l，∴AA′∥BB′∥CC′.∵C是AB的中点，∴由平行线等分线段定理，得C′是A′B′的中点.10答案：分析：直接证明有困难，利用反证法证明.证明：假设点A′是△BCD的垂心，则A′B⊥CD.因为AA′⊥平面BCD于点A′，则AB⊥CD.又因为DA⊥平面ABC，则AB⊥AC，这与△ABC是斜三角形的条件矛盾，故点A′不可能是△BCD 的垂心.。
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平行射影的概念： 直线 l 与平面α相交------ l的方向称投影方向。 点的平行射影：过点A作平行于 l 的直线（称
投影线）必交α于一点A´,称点A´为A沿 l 的方向 在平面 α上的平行射影。
l
A
平行射影两个因素： 投影方向， 投影平面.
A
图形的平行射影： 一个图形上各点在平面 α上的平行射影所 组成的图形，叫做这个图形的平行射影。 正射影是平行射影的特例。
平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键 点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确
定平面图形的正射影．
1. Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在 平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内 的射影与BC边组成的图形是（ B） A.一条线段或一个锐角三角形 B.一条线段或一个钝角三角形 C.一个钝角三角形 D.一个锐角三角形
用一个平面去截一个圆柱，
当平面与圆柱两底面平行时，截面是一个圆；
当平面与两底面不平行时，截面是一个椭圆。
对平行投影概念的理解
下列说法正确的是（
B
）
A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影
B.投影线与投影平面有且只有一个交点
C.投影方向可以平行于投影平面
D.一个图形在某个平面的平行射影是唯一的
注：平行射影的两个因素： 投影方向，投影平面.
思考：
1.两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？ 2.两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？ 3.将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水，水 面是一个圆；如果将玻璃杯倾斜一定角度呢？
定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长 的点的轨迹叫做椭圆。
D
H
G E P Q F C
A
B
EF>AD
EF>PQ
答案：D
3．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一 个平面，则a、b在α上的射影有可能是： ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线； ③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面的结论中，正确的结论是______(写 出所有正确结论的序号)．
解析：如图所示，由图可知①②④正确，而对于③两 直线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a、b异面 矛盾，∴③错．
3.1 平 行 射 影
1．理解平行射影概念．通过圆柱与平面的位置 关系，了解平行投影. 2．理解平行射影基本定理．
复习回顾
A
A A´ 点在直线上的正射影
B
Mபைடு நூலகம்
N
M
A´
B´
N
线段在直线上的正射影
拓展延伸
A
A´ 点在平面上的正射影 图形在平面上的正射影
思考
一个圆所在的平面β与平面α平行时，该 圆在α上的正射影是什么图形？ 当β与α不平行时，圆在α上的正射影是什 么图形？ 如果 β与α垂直，圆在α上的正射影又是 什么图形？
圆 2. 一平面截球面产生的截面形状是________ ；
圆或椭圆 它截圆柱面产生的截面形状是________.
2. 线段AB、CD在同一平面内的正射影相
等，则线段AB、CD的长度关系为( A．AB>CD )
B．AB<CD
C．AB＝CD
D．无法确定
解析：由于线段AB、CD与平面所成的角未定，虽然射 影相等，但线段AB、CD的长度无法确定，故它们的长度关 系也无法确定．
[例2] 如果椭圆所在平面与投影面平行， 则该椭圆的平行射影是( A．椭圆 ) B．圆
C．线段
[思路点拨]
D．射线
要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看
投影面与椭圆所在平面的位置关系． [解析] 因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平
行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．
[答案]
A
4．若一直线与平面的一条斜线在此平面 上的射影垂直，则这条直线与这条斜线的位置 关系是( D ) A．垂直
C．相交
B．异面
D．不能确定
4 3 5．已知平面上直线l的方向向量e＝ , ，点O(0,0)和 5 5 点A(1，－2)在l上的射影分别是O′和A′，则 O＝ Aλ e，其中λ＝
(
)
D
11 B．－ 5 D．－2
A. 11 5 C．2
1．从正射影的定义推广到平行射影，并加强对于具 体图形的相对位置关系与射影的关系，考虑问题一定要全 面，并注意图形的射影的形成是由点线的射影所形成的．
2．用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底
面平行时，截面是一个圆；当平面与圆柱的两底面不平行 时，截面是一个椭圆；平面与两底面垂直(或平面与母线平 行)时，截面为两条平行的直线．