西安交通大学2009年硕士研究生入学考试初试试题高等数学与线性代数

西安交通大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目代码：818 科目名称：高等代数
一 （20分）计算行列式：
000000000000n D αβαβαβαβαβ00
αβαβαβ+++=++K K K M M M O M M K K
二 （20分）已知，是线性方程组
12(0,1,0),(3,2,2)T αα==−T 112312312321
34x x x x x x ax bx cx d
−+=−⎧⎪
++=⎨⎪
++=⎩ 的两个解，求此方程组的全部解．
三 （20）当t 取什么值时，下面二次型是正定的：
222
123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++
四（15分）设3阶实对称矩阵A 有特征值1231,1λλλ=−==，A 的属于特征值-1的特征向量，矩阵1(0,1,1)T ξ=32B A A E =−+，其中E 为3阶单位阵（下同），问：
（1） 1ξ是否为B 的特征向量？求B 的所有特征值和特征向量； （2） 求矩阵B ．
五（15分）设，
1200000,,,,00,,,00a c x W a a b c R W y x y z R c b z z ⎧⎫⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥=∈=⎨⎬⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎫⎪
∈⎬⎪⎭
22（1） 求；
1W W +（2） 记，试求空间使得1W W W =+3W 33()M R W W =⊕（其中3()M R 为实数域
上3阶矩阵全体），并说明理由．
六（15分）设向量组12,,,r ααK α线性无关，而12,,,,,r αααβK γ线性相关．证明：
要么β与γ中至少有一个可被12,,,r ααK α线性表出，要么12,,,,r αααK β与
12,,,,r αααK γ等价．
七（15分）设A 为阶常数矩阵，(1n n ×+)X 为(1)n n +×阶未知数矩阵．试证明矩阵方程AX E =有解的充要条件为()r A n =．
八（10）若12,αα是数域上的二维线性空间的基，F 2()V F σ和τ是上的线性变换，且满足
2()V F 11221212121,,(),()2σαβσαβτααββτααββ==+=+−=−
试证：στ=．
九（10）设A 和B 是两个n 阶实正交矩阵，并且det()det()A B =−．证明
()r A B n +<．
十（10分）证明A 可与一个对角矩阵相似的充要条件是：对于A 的任意特征值i λ，方程组
2()0i E A X λ−=()0i E A X 与=
λ−是同解的，其中11(,,,)n n X x x x =K ．。