计算方法21-非线性方程

区间,如此反复,直到求出满足精度要求的近似根.
具体步骤如下：
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令 (a, b) (a0 , b0 )
取a0 , b0 中点 x0
a0 b0 2
将其二分，
这时有三种情况： 若 f x0 0 , 则 x x0 ; 否则， x f a f x 0 , 则 a , x0 , 令 a1 a , b1 x0 ; 若 0
1 1 b2 a2 (b1 a1 ) 2 (b a ) , 2 2 ba bk ak k 2
ak bk 区间 ak , bk 的中点 xk 形成一个序列 x0 , x1 ,, xk ,, 2
显然有 lim x k x .
k
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实际计算中，对于给定的根的允许误差 0 ,
5
求方程根的近似值，需要解决的问题：
⑴ 根的存在性. ⑵ 根的隔离. 要判断方程有没有根，有几个； 找出有根区间，使得在较小的区间内
方程只有一个根，以得到根的近似值.
⑶ 根的精确化. 利用合适的数值计算方法，逐步 把根精确化，直至满足精度要求.
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二、逐步搜索法
假设f(x)在有根区间[a,b]单值连续，且f(a)<0.
一般步骤：
取合适的步长
y
ba h , n
f(x) 0 a x* b x
从x0=a出发，按步长逐步向右跨进行搜索，
若发现f(xk)与f(a)异号，则确定一个缩小的有根区间
[ xk 1 , xk ], 其宽度等于步长h.
特别地，若f(xk)=0,则xk就是所求的根.
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例 对方程f (x)=x3-x-1=0 搜索有根区间.
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重复上述步骤,反复二分下去,可能会在某一步得到方程
根的精确值， 否则,便得到一组不断缩小的有根区间：
a0 , b0 a1 , b1 a2 , b2 ak , bk
1 b1 a1 (b0 a0 ) , 2
从而ak , bk 的长度为
解 如图，可看出
x2 f x sin x与 f x 除原点外只有 4 一个交点， 横坐标介于 1.5 与 2 之间，
o
x 2
x
故方程只有一个非零实根 x 1.5 ,2 . 2 1.5 由 k 1 10 2 k 5 用二分法计算结果如下表： 2
4
又 f ( x) 1 cos x 0, x (0,1)
'
所以，f (x)在[0,1]内有且只有一个根.
1 而 x xk k 1 (b a ) 10 4 , 2 2
*
1
lg(1 0) 4 k 13.82. lg 2
所以要二分14次.
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二分法的计算步骤：
1.89328925 1.89328921 1.89328920 1.89328920
+
6
15
, 其误差为 若取 x x6 2.1015625 1 x x6 7 3 2 0.0078125 2 （可求得根的精确值为 x 2.0945515 ）。 x2 0 的非零实根的近似值, 例2 用二分法求方程 f x sin x 4 y 2 使其误差不超过10 。
bk a k b a x xk k 1 2 2

只要
ba k 1 2
就可确定得到满足精度要求的近似根,
同时也得到所需二分次数k.
lg(b a) lg ba ba k 1 k 1 由 x x k k 1 得 2 ， lg 2 2
k k k



即序列{ xk }的极限x*就是方程 f (x)=0的根.
这种求方程近似根的方法称为简单迭代法（逐次迭代法）.
其中： x 称为迭代函数； x0 称为根的初始近似值
xk 称为根的k次近似值；xk 称为迭代序列
xk 1 xk k 0 ,1,2 , , 称为迭代公式或迭代过程
2 ( 1) 0.75 ,向右搜索,得 从 x 1出发,取步长 h 4
x
-1
-0.25
0.5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.25
2
f (x) -2.3 0.484 0.55 -0.0219 1.75 在 (-1 , -0.25) ,(0.5 , 1.25) ,(1.25 , 2)各区间内有 且只有一个根.
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取初始近似根 x0 ,代入右端，
进行迭代计算 x1 ( x0 ) , x2 ( x1 ) , 依次得到一个序列 x k ,
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如果这个序列有极限，则称迭代算法是收敛的，否则发散.
x lim xk 1 lim xk lim xk x
f ( x) ( x x ) g( x), g( x ) 0.
* m *
则称x*是方程f (x)=0的m重根，m=1时称为单根.
3
重根的判断方法
设函数f (x)有m阶连续导数，x*是f(x)=0的m重根
的充要条件是
f ( x* ) f ' ( x* ) f ( m1) ( x* ) 0, f ( m ) ( x* ) 0.
迭代的收敛速度 迭代的加速
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一、迭代原理 迭代法是一种逐次逼近的方法，用某种固定格式 反复校正根的近似值，使之逐步精确，最后得到 满足精度要求的结果. 1、一般形式（具体做法）： ( x ) 连续. 方程 f (x)=0化为等价形式的方程 x ( x )，
构造迭代公式 xk 1 ( xk ) , k 0,1,2,
用二分法计算结果如下表：
k
0 1 2 3 4 5
ak
2 2 2 2
bk
3 2.5 2.25 2.125
xk
2.5 2.25
f xk +
2.125
2.0625
+ +

2.0625 2.09375
2.09375
2.125 2.125
2.109375
2.09375 2.109375
2.1015625
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有根区间：
若方程f (x)=0在区间[a , b]内至少有一根，
则称[a , b]为有根区间.
有根区间的判断： 定理2-1： 设函数f (x)在[a ,b]上连续，且 f (a) f (b)<0, 则 f (x)=0在(a , b)内至少有一个根. 定理2-2： 设f (x)在[a ,b]上单调连续，且 f (a) f (b)<0, 则 f (x)=0在(a , b)内有且只有一个根.
第二章
非线性方程的数值解法
§2.1 初始近似值的搜索 §2.2 迭代法 §2.3 牛顿迭代法（切线法） §2.4 弦截法（割线法）
1
§2.1

初始近似值的搜索
方程的根 逐步搜索法 区间二分法

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一、方程的根
对于一元非线性方程f(x)=0 , 若存在数x*, 使得
f x* 0

则称x*是方程的解或根,也称x*是函数f(x)的零点或根. 单根与重根 若函数f (x)能分解为：
由于f (x)是连续函数， f(0)= -1<0，f(2)>0，故 方程至少有一正实根.
解
设从x=0 出发，取步长h=0.5，逐步右跨搜索，得
x f(x) 0 0.5 1.0 1.5 ― ― ― +
可见在(1,1.5)内有根.又
f ( x) 3 x 2 1 0 (1 x 1.5)
0.00496228
0.0404208
0.156014 0.00536340
所以可取 x 1.93 .
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例3 证明非线性方程f(x)=1-x-sinx=0在[0,1]内有一根. 用二分法求误差不大于 1 2 10 的根要二分多少次? 解：f (x)是连续函数，且 f(0)>0, f(1)<0
（ 1 ） 找 出 f ( x ) 0 的 有 根 区 间 (a, b) ， 即 确 定 a ， b 使 得
f (a) f (b) 0 ，并计算 f (a) ， f (b) 。
（2）计算
f(
ab ab ab f ( ) 0 f ( ) f ( a ) 0 （3）若 ，计算停止；若 ，用 2 代替 b ； 2 2 ab ab f ( ) f ( b ) 0 若 以 2 代替 a 。 2 ，
所以f (x)在区间(1,1.5)内单调连续，因而在(1,1.5)内有 且仅有一个实根，故可取[1 ,1.5]上任一点做初始近似根.
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例
求方程 x 3 1.8 x 2 0.15x 0.65 0 的有根区间.
解 函数f (x)=x3-1.8x2+0.15x+0.65连续，且 f(-1)<0， f(2)>0，故方程在(-1,2)内至少有一个根.
三、区间二分法
原理：函数f (x)在[a ,b]上单调连续，且f (a) f (b)<0， 则方程 f (x)=0在区间(a , b)内有且仅有一个实根x*. 基本思想 (1)把有根区间二分为两个小区间，然后 判断根在哪个小区间，舍去无根的小区间;(2)再把 有根的小区间一分为二,再判断根属于哪个更小的
如：验证x=0是方程f (x)=e2x-1-2x-2x2=0的三重根.
解： f(0)=0.
f ' ( x) 2e 2 x 2 4 x, f '' ( x ) 4e 2 x 4, f ''' ( x) 8e 2 x ,