2008年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
考研数一08真题
考研数一08真题2008年考研数学一真题中，试题主要分为两个部分：选择题和填空题。
选择题部分包括20道选择题，填空题部分包括10道填空题。
本文将以试题题号为标记逐一解析各道题目。
选择题部分解析：题目1：设A是n阶方阵，且满足A^2 = A，则下列结论正确的是（）A. A = 0B. A = E（单位矩阵）C. A是对称方阵D. A的秩为1这道题目考察了对方阵幂运算的理解。
根据A^2 = A，我们可以发现A作为方阵必然有两种可能：A是零矩阵或者A是单位矩阵。
因此，选项B“A = E”为正确答案。
题目2：设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的零点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3这道题目考察了对函数的导数与零点的关系的理解。
f'(x)是f(x)的导函数，即f'(x) = 3x^2 - 3。
根据函数导数存在零点的性质，当f'(x) = 0时，f(x)存在极值点或转折点。
解方程3x^2 - 3 = 0，得到x = ±1。
因此，f'(x)的零点有2个，选项C“2”为正确答案。
填空题部分解析：题目1：若a是方程x^4 - x^3 - x + 1 = 0的一个实根，则a^3 - a^2 -a + 1的值等于________。
这道题目考察了对方程实根的运算。
首先，我们可以将方程x^4 -x^3 - x + 1 = 0进行变形，得到x(x^3 - x^2 - 1) + 1 = 0。
因为a是方程的一个实根，所以该式等于0，即a(a^3 - a^2 - 1) = -1。
因此，a^3 - a^2 -a + 1 = (-1)/a，即填空的值为-1/a。
题目2：设f(x) = (cosx + sinx)^2，g(x) = (cosx - sinx)^2，则f(x) -g(x)的最小值是________。
这道题目考察了对函数最小值的求解。
我们先展开f(x)与g(x)：f(x) = cos^2 x + 2sinx cosx + sin^2 xg(x) = cos^2 x - 2sinx cosx + sin^2 x再计算f(x) - g(x)：f(x) - g(x) = 4sinx cosx则f(x) - g(x)的值不为负数，且取最小值0，因此填空的答案为0。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题答案
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查： 一、选择题二、填空题三、解答题 （15）16（16）2222(1)[ln(1)1]d y t t dx =+++（17）21416π+（18）19ln 24+ （19）1()()2x xf x e e -=+（20）略（21）最大值为72，最小值为6 （22）（Ⅰ）略；（Ⅱ）10,(1)n a x n a≠=+；（Ⅲ）0,(0,1,0,,0)(1,0,,0)T Ta x k ==+L L ，其中k 为任意常数（23）（Ⅰ）略；（Ⅱ）1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)【答案】()D【解析】()()()()()()22221212494f x x x x xx x x x x x '=--+-+-=-+令()0f x '=，则可得()f x '零点的个数为3. （2）【答案】()C【解析】()()()()aa a xf x dx xdf x af a f x dx '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx⎰为曲边梯形的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积。
（3）【答案】()D【解析】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++可知其特征根为12,31,2i λλ==±.故对应的特征方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+，即32440λλλ-+-=所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=, 选()D . （4）【答案】()A【解析】()f x 的间断点为1,0x =，而0lim ()0x f x →+=，故0x =是可去间断点；1lim ()sin1x f x →+=，1lim ()sin1x f x →+=-，故1x =是跳跃间断点故选()A 。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.【答案】()B【考点】可去间断点，积分上限函数及其导数【难易度】★★ 【详解】解析：()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点.（2）如图，曲线方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续导 数，则定积分'()axf x dx ⎰等于（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.【答案】()C【考点】定积分的分部积分法，定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★ 【详解】 解析：()()()()aa a xf x dx xdf x af a f x dx '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形ACD 的面积.（3）已知24(,)x y f x y e+=则 ( )()A (0,0),(0,0)x y f f ''都存在 ()B (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在()C(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 ()D (0,0),(0,0)x y f f ''都不存在【答案】()C【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：2400011(0,0)limlim 00xx x x x ee f x x +→→--'==-- 00011lim lim 100xx x x e e x x →+→+--==--，001lim 10x x e x -→--=-- 000011lim lim 00xx x x e e x x -→+→---≠--，所以偏导数不存在. 24200011(0,0)limlim 000y y y y y ee f y y +→→--'===-- 所以偏导数存在。
2008考研数一真题及解析
(x2 y2 )dxdy
x2 y2 4
2 x2 y2 4
1
2
d
2 r3dr 4 。
20
0
（高斯公式）
P d
yd z Qd zd x Rd xd
y
P x
Q y
R z
d xd
ydz；
P cos Q cos R cos
d S=
P Q R x y z
dx d ydz 。
(13) 设 A 为 2 阶矩阵，1,2 为线性无关的 2 维列向量，A1 0, A2 21 2 ，则 A 的非零特征值为
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.
【答案】1
【详解】
A(1,
2
)
(
A1
,
A
2
)
(0,
21
2
)
(1
,2
)
0 0
2 1
,记
P
(1
,2
)
，
B
0 0
2 1
，
则 AP PB ，因为1,2 线性无关，所以 P 可逆. 从而 B P1AP ，即 A 与 B 相似。
2
由| E B |
( 1) 0 ，得 0 及 1为 B 的特征值，
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 微分方程 xy y 0 满足条件 y 1 1的解是 y .
【答案】1 x
【详解】由 dy y ，两端积分得 ln y ln x ln | C | ，所以 1 C x ，又 y(1) 1 ，所以 y 1 。
【答案】 B
D 若 f (xn ) 单调，则xn 收敛.
2008年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．设函数
f
(x)
sin x 1
x2 1
，则（
）。
A．x＝－1 为可去间断点，x＝1 为无穷间断点
B．x＝－1 为无穷间断点，x＝1 为可去间断点
D． ex f (1 ex )dx
【答案】D
【
解
析
】
dy df (1 ex ) f (1 ex )(1 ex )dx ex f (1 ex )dx 。
3．设函数 f (x) 连续， F (x)
0 x2
f (t)dt
，则 F (x) ＝（
）。
A． f (x2 )
B． f (x2 )
C． 2xf (x2 )
由期望和方差的性质可得
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
9．函数 f (x) ex ex 2 的极小值为______。
【答案】－2
【解析】令 f (x) ex e 0 可得 x＝1， f (x) ex , f (1) e 0 ，根据
6 / 15
极值的第二充分条件可得 x＝1 为函数 f (x) ex ex 2 的极小值点，极小值为 f (1) 2 。
lim
x1
sin(x 1) x 1
lim x1
1 x 1
1 2
所以 x＝1 为可去间断点。
2．设函数 f (x) 可微，则 y f (1 ex ) 的微分 dy ＝（ ）。
A． (1 ex ) f (1 ex )dx
B． (1 ex ) f (1 ex )dx
2008考研数二真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数( )()A 0()B 1 ()C 2()D 3(2) 如图，曲线段方程为()y f x =， 函数在区间[0,]a 上有连续导数，则 定积分()axf x dx '⎰等于( )()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(3) 在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )()A 440y y y y ''''''+--=. ()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.(4) 判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( ) ()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点yC (0, f (a )) A (a , f (a ))y =f (x )O B (a ,0) xD(5) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是( )()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.(6) 设函数f 连续. 若()()2222,uvD f x y F u v dxdy x y+=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂( ) ()A ()2vf u()B ()2vf u u ()C ()vf u()D ()v f u u(7) 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3A O =，则( )()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.(8) 设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为( ) ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) ()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =(10) 微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是y =O xvx 2+y 2=u 2 x 2+y 2=1 D uvy(11) 曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (12) 求函数23()(5)f x x x =-的拐点______________. (13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)_______z x ∂=∂. (14) 矩阵A 的特征值是,2,3λ，其中λ未知，且248A =-，则λ=_______.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16) (本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题 020|0xt dx te dtx -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解. 求22d y dx .(17)(本题满分9分)计算212arcsin 1x x dx x-⎰(18)(本题满分11分)计算{}max ,1,Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =. 对于任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)(本题满分11分)(I) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；(II) 若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足，32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ''<使得.(21)(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(22)(本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ ，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 证明行列式()1nA n a =+(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x (III) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解(23)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关； (II) 令()123,,P ααα=，求1P AP -2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 由于()f x '是三次多项式，三次方程()0f x '=的实根不是三个就是一个，故D 正确.(2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是440y y y ''''''-+-=(4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 111ln lim ()lim lim sin sin11x x x xf x x x --+→→→=⋅=--所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.(6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vu uf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂(7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．(8) 【答案】D 【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==---- 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f =(10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx xx x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰(11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得01x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)--(13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)2(ln 21)2z x ∂=-∂(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=3|2|2||A A = 32648λ∴⨯=- 1λ⇒=-三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d ye x dx=+(17)【详解】 方法一：由于221arcsin lim 1x x x x-→=+∞-，故212arcsin 1x x dx x-⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122222000arcsin sin cos 2cos sin ()cos 221x x t t t t t dx tdt t tdt dt t x πππ===--⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+ 方法二：212arcsin 1x x dx x -⎰1221(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈12222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx t tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两 个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx π=⎰，侧面积202()1()tS f x f x dx π'=+⎰，由题O 0.5 2 xD 1D 3 D 2设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx '=+⎰⎰上式两端对t 求导得 22()()1()f t f t f t '=+， 即 21y y '=- 由分离变量法解得 21l n (1)y y t C +-=+， 即 21t y y C e +-=将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e +-=，1()2tt y e e -=+ 于是所求函数为 1()()2tt y f x e e -==+(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得 1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6.(22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a a a a A r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a a a a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为 ()()10000100,TTk k + 为任意常数．(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。
2008年考研数学数学一真题答案解析
2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+ò，则()f x ¢的零点个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【答案】应选(B). 【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x ¢=+×=+．显然()f x ¢在区间(,)-¥+¥上连续，且(1)(1)(2ln3)(2ln3)0f f ¢¢-·=-·<，由零点定理，知()f x ¢至少有一个零点．又2224()2ln(2)02x f x x x¢¢=++>+，恒大于零，所以()f x ¢在(,)-¥+¥上是单调递增的．又因为(0)0f ¢=，根据其单调性可知，()f x ¢至多有一个零点．故()f x ¢有且只有一个零点．故应选(B). （2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于【】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j-【答案】应选(A). 【详解】因为222211f y y x x x y y ¶==¶++．222221xf x y x y x y y -¶-==¶++．所以(0,1)1fx ¶=¶，(0,1)0f y ¶=¶，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A). （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【】(A) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢+--=. (B) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢+++=. (C) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢--+=. (D) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢-+-=.【答案】应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11l =，2,32i l =±，故对应的特征值方程为，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i l l l l l -+-=-+3244l l l =+-- l l l 3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ¢¢¢¢¢¢-+-=．应选(D). （4）设函数()f x 在(,)-¥+¥内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B). 【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-¥+¥内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}nf x 收敛．故应选(B). （5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】 则下列结论正确的是：则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆. (C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C). 23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C). （6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z æöç÷=ç÷ç÷èø在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B). 【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y za c+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B). （7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max {,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()max{,}F z P Z z P X Y z =£=£()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =££==．故应选(A)．（8）设随机变量XN (0,1), (1,4)YN , 且相关系数1XY r =，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY r =，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)XN ，(1,4)Y N ，得，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =´+，1b =．从而排除(B).故应选故应选(D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y ¢+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1yx =．【详解】由dy ydx x=-，得dy dx y x =-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则，则1(,)cos()1x F x y y xy y x -=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F ¢=-=¢． 故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数(2)nn n a x ¥=+å在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数0(2)nn n a x ¥=-å的收敛域为的收敛域为. 【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知(2)nnn a x ¥=+å的收敛域为(4,0]-，则0nnna x ¥=å的收敛域为(2,2]-．所以(2)nn n a x ¥=-å的收敛域为(1,5]．(12)设曲面S是224z x y=--的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy S++=òò.【答案】 4p ．【详解】作辅助面1:0z S =取下侧．则由高斯公式，有取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx x dxdy S++òò122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy åå=++-++òòòò2224x y ydV x dxdy W+£=+òòòòò．2222410()2x y x y dxdy +£=++òòd r rdr p q p p 22200116424=·==òò． (13) 设A 为2阶矩阵，12,a a 为线性无关的2维列向量，10A a =，2122A a a a =+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A a a a a a a a a æö==+=ç÷èø．记12(,)P a a =，因12,a a 线性无关，故12(,)P a a =是可逆矩阵．因此是可逆矩阵．因此0201AP P æö=ç÷èø，从而10201P AP -æö=ç÷èø．记0201B æö=ç÷èø，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．相同的特征值．因为2||(1)01E B l l l l l --==--，0l =，1l =．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX==____________．【答案】应填12e. 【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX DX ==．从而由22()DX EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. ) (15)(本题满分10分)求极限[]40sin sin(sin )sin lim x x x x x®- 【详解1】[]40sin sin(sin)sin lim x x x x x®-[]30sin sin(sin )lim x x x x®-= ＝20cos cos(sin )cos lim 3x x x x x®-201cos(sin )lim 3x x x®-= 0sin(sin )cos lim 6x x x x ®=(或2201(sin )2lim 3x x x ®=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x®+=)16=． 【详解2】[]40sin sin(sin)sin lim x x x x x®-[]40sin sin(sin )sin lim sin x x x xx®-= ＝30sin lim t t t t ®-201cos lim 3t t t ®-=2202lim 3t tt ®=（或0sin lim 6t t t ®=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)p的一段．的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò20[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx p=+-ò20sin 2x xdx p=ò200cos 2cos 22x x x xdx pp=-+ò20cos 22x xdx pp =-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp=-+-ò22p =-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)p 到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域围成的区域12sin 22(1)L Lxdx x ydy ++-ò2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y éù¶-¶=--êú¶¶ëûòò4Dxydxdy =-òòsin 004xxydydx p=-òò22sin x xdxp=-ò(1cos 2)x x dx p=--ò20cos 22xx xdx pp=-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp =-+-ò22p =-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydyxdx p+-==òò故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò22p =-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy=+-ò212sin 222LLxdx ydy x ydy I I=-+=+ò对于1I，记sin 2,2P x Q y==-．因为P P y x ¶¶==¶¶，故1I 与积分路径无关．与积分路径无关．1sin 20I xdxp==ò．对于2I ，222222sin cos sin 2LI x ydyx x xdxx xdx pp===òòò200cos 2cos 22x x x xdx pp=-+ò2cos 22x xdx pp =-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp =-+-ò22p =-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò22p =-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ì+-=í++=î求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．点．构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z l m l m =++-+++-，由222220,20,220,43.,350xy zL x L y L z z x y z x y z l m l m l m ¢=+=ìï¢=+=ïï¢=-++-=++==íïïïî 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=ìíî解得5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-æö+-=ç÷èø下的最大值点和最小值点．值点．构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x yx y l l æö=+++-+-ç÷èø， 由222520.422(5)0,9422(5)0,93xy L x x x y L y x x y y y y x l l ìæö¢=+-+-=ïç÷èøïïïæö¢=+-+-=+-íç÷èøæö+-=ç÷èøïïïïî得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得解得5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî 根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得2cos ,2sin .x z y z q q ì=ïí=ïî 代入35x y z ++=，得，得532(cos sin )z q q =++所以只要求()z z q =的最值．的最值． 令()252(sin cos )()032(cos sin )z q q q q q -+¢==++，得cos sin q q =，解得5,44p p q =．从而．从而5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî 根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数，是连续函数，（I ）利用定义证明函数0()()xF x f t dt =ò可导，且()()F x f x ¢=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，为周期的周期函数时，证明函数证明函数2()2()()xG x f t dt xf t dt=-òò也是以2为周期的周期函数．为周期的周期函数．（I ）【证明】000()()()()()lim lim x xxx x f t dt f t dtF x x F x F x xx+D D ®D ®-+D -¢==D D òò0()lim x xxx f t dtx+D D ®=D ò00()lim lim ()()x x f x f f x x x x D ®D ®D ===D【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim lim x xxx x f t dt f x x xx+D D ®D ®+D =D D ò．(II) 【证法1】根据题设，有】根据题设，有2220(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +¢éù¢+=-+=+-êúëûòòò， 22000()2()()2()()xG x f t dt x f t dt f x f t dt ¢éù¢=-=-êúëûòòò．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而从而 (2)()G x G x ¢¢+=．因而．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故，故 (2)()0G x G x +-=．即2()2()()xG x f t dt xf t dt=-òò是以2为周期的周期函数．为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+òò，222222()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--òòòò．对于22()x f t dt +ò，作换元2tu =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有，则有22()(2)()()x xxxf t dt f u du f u du f t dt +=+==òòòò，因而因而 222()()0x xf t dt xf t dt +-=òò．于是于是200(2)2()()()xG x f t dt xf t dt G x +=-=òò．即20()2()()xG x f t dt xf t dt =-òò是以2为周期的周期函数为周期的周期函数【证法3】根据题设，有】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+òò，2222()2()()2()xx xf t dt f t dt xf t dt f t dt +=+--òòòò2222()()2()2()xx xf t dt xf t dt f t dt f t dt +=-+-òòòò()22()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-òò．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有为周期的周期函数时，必有22()()x xf t dt f t dt +=òò．事实上事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=ò，所以所以22()x f t dt C +ºò．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +º=òò．所以所以200(2)2()()()xG x f t dt xf t dt G x +=-=òò．即20()2()()xG x f t dt xf t dt =-òò是以2为周期的周期函数为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x p =-££展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n -¥=-å的和．的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n ==．0a =22(1)d x x pp-ò2213p æö=-ç÷èø． 02()cos n a f x nxdx p p =ò2002cos cos nxdx x nxdx pp p p éù=-êúëûòò 220cos x nxdxp pp éù=-êúëûò202sin 2sin x nxx nx dxn npppéù-=-êúëûò1222(1)n n p p--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx p -¥¥===-=+=--+åå，0x p ££．令x=0x=0，有，有n n f n p 2121(1)(0)143-¥=-=-+å又(0)1f =，所以n n n p 1221(1)12-¥=-=å．（20）(本题满分10分)设,a b 为3维列向量，矩阵T T A aa bb =+，其中,T Ta b 分别是,a b 得转置．证明：得转置．证明： （I ） 秩()2r A £；（II ）若,a b 线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r aa bb aa bb a b =+£+£+£． 【证法2】因为T TA aa bb =+，A 为33´矩阵，所以()3r A £． 因为,a b 为3维列向量，所以存在向量0x ¹，使得，使得0,0TTa xb x ==于是于是 0TTA x aa x bb x =+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A £．【证法3】因为TT A aa bb =+，所以A 为33´矩阵．矩阵．又因为()00TTTT A a aa bb abb æöç÷=+=ç÷ç÷èø， 所以|||0|00T TaA abb ==故 ()2r A £．（II ）【证法】由,a b线性相关，不妨设k a b=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk ra ab b b b b=+=+££<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中，其中2222212121212a a a a a A a a a a æöç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷èø，12n x x x xæöç÷ç÷=ç÷ç÷èø，b 100æöç÷ç÷=ç÷ç÷èø．（I ）证明行列式||(1)nA n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aaD A aa aa ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立．，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得按第一行展开得nn n aa aaD aD aa aa 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故(1)nA n a=+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aDa D --==-得，2211221()()n n nnn n n D aDa D aD aD aD a ------=-==-=．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aaA aa aa =22122213121212212na a aa r ar aa aa -3222221301240123321212na a ar ara aaa aa -=n n n a a an r ar n n a n n a n1213012401130111----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ¹时，方程组系数行列式0n D ¹，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aaaaD na a a a a aa aa ---===所以，11(1)n n D ax Dn a -==+． （III ）【详解】【详解】 当0a =时，方程组为时，方程组为12101101001000n n x x x x -æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()01100TTx k =+，其中k 为任意常数．为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为密度为1,01,()0,Yy f y 其它其它..£<ì=íî记Z X Y =+．（I ） 求102P Z X æö£=ç÷èø；（II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】 解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y æöæö£==+£=ç÷ç÷èøèøæöæö=£==£=ç÷ç÷èøèø解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z XP X P Y X P Y P X æö+£=ç÷æöèø£==ç÷=èøæö£=ç÷æöèø==£=ç÷=èø（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{} =P{X+Y z,X=-1}+P{X+Y z,X=0}+P{X+Y z,X=1} =P{Y z+1,X=-1}+P{Y z,X=0}+P{Y z-1,X=1} =P{Y z+1}P{X=-1}+P{Y z}P{X=0}+P{Y z-1}P{X=1}1=[{Y z+1}P{Y 3=£=+£££££££££££+£Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P{Y z-1}]1=[(1)()(1)]3 ()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+£+++-=ì-<<ï=+++-=éùíëûïî解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-ì-<<ï=+++-=éùíëûïîå其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N m s 的简单随机样本，记å==ni i X n X 11，2211()1ni i S X X n ==--å，221TX S n=-．（1）证明T 是m 2的无偏估计量；的无偏估计量； （2）当m s 0,1==时，求.DT . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次是统计量．其次221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nn ns m s =+-=+-2m =对一切,m s 成立．因此T 是2ˆm 的无偏估计量．的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次是统计量．其次()()22111111n ni j k i j k n T X X X X n n n n n =¹=-=---åå，()()1n j k j kn ET E X EX n ¹=-å2m =，对一切,m s 成立．因此T 是2ˆm 的无偏估计量．的无偏估计量． （2）解法2．根据题意，有(0,1)nXN ，22(1)nXc ，22(1)(1)n Sn c --．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n Sn -=-．所以221()D T D XS n æö=-ç÷èø()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n n n =+-=--。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】2()[ln(2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点又2224()2ln(2)02x f x x x''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞） 所以()f x '只有一个零点.(2)【答案】A【详解】因为2211x yf x y '=+，2221y x y f x y-'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '= 所以 (0,1)10f =⋅+⋅=grad i j i(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有x e 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是440y y y y ''''''-+-=(4)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．(6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为2222221x y z a b c'''--=，即二次型的标准型为222222x y z f a b c'''=--，而标准型的系数即为A 的特征值.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+=01,a b ⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D二、填空题 (9) 【答案】1x 【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1C x y=，又(1)1y =，所以1y x =.(10) 【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得01x dydx ==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(11)【答案】(1,5]【详解】幂级数(2)nn n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即nn n a t∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-. 则(3)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x-<-≤得15x <≤，即幂级数0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5](12)【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰ 1122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y ydxdydz x dxdy x y dxdy Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22300142d r dr πθπ==⎰⎰(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭记12(,)P αα=，0201B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则AP PB = 因为12,αα线性无关，所以P 可逆. 从而1B P AP -=，即A 与B 相似. 由2||(1)001E B λλλλλ--==-=-，得0λ=及1λ=为B 的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A 的非零特征值为1.(14)【答案】12e【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！三、解答题(15) 【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ (16) 【详解】 方法一：（直接取x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）22202220000sin 22(1)[sin 22(1)sin cos ]sin 21cos 2cos 2sin 2sin 222222Lxdx x ydyx x x x dx x xdxx x x x xdx x xdx ππππππππ+-=+-⋅==-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰方法二：（添加x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L 为x 轴上从点(,0)π到点(0,0)的一段，D 是由L 与1L 围成的区域112220sin 2000022000sin 22(1)sin 22(1)sin 22(1)14sin 24cos 22sin 21(1cos 2)sin 2sin 22222LL L L xDxdx x ydyxdx x ydy xdx x ydyxydxdy xdx dx xydy x x xdx x x x x dx x xdx πππππππππ++-=+--+-=--=--=-=--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三：（将其拆成2sin 222LLxdx ydy x ydy -+⎰⎰，前者与路径无关，选择沿x 轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）2212sin 22(1)sin 222LLLxdx x ydy xdx ydy x ydy I I +-=-+=+⎰⎰⎰对于1I ，因为0P Qy x∂∂==∂∂，故曲线积分与路径无关，取(0,0)到(,0)π的直线段积分10sin 20I xdx π==⎰22222002200022122sin cos sin 2cos 221111cos 22cos 2sin 222221111sin 2cos 22222LI x ydy x x xdx x xdx x d x x x x xdx xd xx x x ππππππππππ====-=-+=-+⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式212π=-(17) 【详解】点(,,)x y z 到xOy 面的距离为||z ，故求C 上距离xOy 面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数2H z =在条件22220x y z +-=与35x y z ++=下的最大值点和最小值点.令 2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y zλμλμ=++-+++- 所以 22220(1)20(2)2430(3)20(4)35(5)xy zL x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪++=⎪⎩ 由(1)(2)得x y =，代入(4)(5)有 220235x z x z ⎧-=⎨+=⎩，解得555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(18)【详解】(I) 对任意的x ，由于f 是连续函数，所以0000()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x xx+→→-+-=⎰⎰0()()limlimlim ()x x xx x x f t dt f xf xxξξ+→→→===⎰ ，其中ξ介于x 与x x +之间 由于0lim ()()x f f x ξ→=，可知函数()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=.(II)方法一：要证明()G x 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有(2)()G x G x +=，()(2)()H x G x G x =+-，则()()()()()()()()22222()2(2)22(2)2()0x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dtf x f t dt f x f t dt +'''=-+--=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为 ()()()22(0)(2)(0)2200H G G f t dt f t dt =-=--=⎰⎰所以 ()0H x =，即(2)()G x G x +=方法二：由于f 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有()()()()222(2)()2(2)2x x G x G x f t dt x f t dt f t dt x f t dt ++-=-+-+⎰⎰⎰⎰()()()()22202002x x f t dt f t dt f t dt f t dt +⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()()()()000222[2]0x x xf t dt f u du f t f t dt ⎡⎤=-++=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰即()G x 是以2为周期的周期函数.(19)【详解】 由于 220022(1)23a x dx πππ=-=-⎰212024(1)cos (1)1,2,n n a x nxdx n nππ+=-=- =⎰所以 210211(1)()cos 14cos 023n n n n a f x a nx nx x n ππ+∞∞==-=+=-+ ≤≤∑∑ 令0x =，有 2121(1)(0)143n n f n π+∞=-=-+ ∑ 又(0)1f =，所以 1221(1)12n n n π+∞=- =∑(20)【详解】(I) ()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤(II) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=. 于是()2()()(1)()12T T T r A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<(21)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤={1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++- 所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】 (I) 因为2(,)XN μσ，所以2(,)XN nσμ，从而2,E X DX nσμ= =．因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n =- 221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+ 因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n ==，()221E X DX E X n=+=所以2242222()()()()()E X D X E X D D X E X ⎡⎤=+=++⎣⎦2221()D D X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭ ()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==--，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=-- 所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n=- (注意X 和2S 独立)222222221111(1)(1)DX DS D D n S n nn n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n n n n n n =⋅+⋅⋅-=--。
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lim
x 1
sin(x 1) x2 1
所以 x＝－1 为无穷间断点；
lim
x 1
sin(x 1) x2 1
lim
x 1
sin(x 1) (x 1)(x 1)
lim
x 1
sin(x 1) x 1
lim
x 1
1 x 1
1 2
所以 x＝1 为可去间断点．
2．设函数 f (x) 可微，则 y f (1 ex ) 的微分 dy ＝（ ）.
【解析】令 f (x) ex e 0 可得 x＝1. f (x) ex , f (1) e 0 ，根据极值的第二 充分条件可得 x＝1 为函数 f (x) ex ex 2 的极小值点，极小值为 f (1) 2 .
10． 2 e x (1 x)dx ＝____. 2
【答案】 2e2 2 【解析】
0
1 x
dy f (x, y)dx dx 2 f (x, y)dy
0
2 y2
2 0
5．设 1，，2 3 为 3 维列向量，矩阵 A (1，，2，，3 2) B (，2 1 2 3 ). 若行 列式|A|＝3，则行列式|B|＝（ ）.
A．6 B．3 C．－3 D．－6 【答案】D 【解析】根据行列式的性质有
3．设函数 f (x) 连续， F (x)
0 x2
f
(t)dt
，则 F (x)
＝（
）.
A． f (x2 )
B． f (x2 )
C． 2xf (x2 )
D． 2xf (x2 )
【答案】C
0
【解析】由于 F (x) x2 f (t)dt ，则
F(x) ( 0 f (t)dt) ( x2 f (t)dt) f (x2 ) (x2 ) 2xf (x2 )
x2
0
1
0
4．设函数 f (x, y) 连续，交换二次积分次序得 dy f (x, y)dx ＝（ ）.
0
2 y2
0
1 x
A． dx 2 f (x, y)dy
2
0
B．
0
0
dx
2
1 x
f
(x, y)dy
2
2
1 x
C． dx 2 f (x, y)dy
0
0
2
0
D．
dx
0
1 x
f (x, y)dy
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11．曲线 sin（xy）＋1n（y－x）＝x 在点（0，1）处的切线方程是____. 【答案】y＝x＋1 【解析】方程 sin（xy）＋1n（y－x）＝x 两边对 x 求导得
【答案】D
【解析】X 服从参数为 n，p 的二项分布，因此
E( X ) np, D( X ) np(1 p)
由期望和方差的性质可得
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在题目中的横线上． 9．函数 f (x) ex ex 2 的极小值为____. 【答案】－2
【答案】C
【解析】ABD 三项，由于
根据线性相关的定义可知，这三项是线性相关的. C 项，可以根据定义证明它是线性无关的. 设 整理得 由于向量组 1，，2 3 线性无关，所以
此线性方程组的系数矩阵
由于
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所以方程组
只有零解， 即
由线性无关的定义可性无关.
7．设 A1，A，2 A3 为 3 个随机事件，下列结论中正确的是（ ）. A．若 A1，A，2 A3 相互独立，则 A1，A，2 A3 两两独立 B．若 A1，A，2 A3 两两独立，则 A1，A，2 A3 相互独立 C．若 P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 )P( A3 ) ，则 A1，A，2 A3 相互独立 D．若 A1 与 A2 独立， A2 与 A3 独立，则 A1 与 A3 独立 【答案】A 【解析】若 A1，A，2 A3 相互独立，由相互独立的性质可知
1．设函数 f (x) x2 1 ，则（ ）. A．x＝－1 为可去间断点，x＝1 为无穷间断点
B．x＝－1 为无穷间断点，x＝1 为可去间断点
C．x＝－1 和 x＝1 均为可去间断点
D．x＝－1 和 x＝1 均为无穷间断点
【答案】B
f (x) sin(x 1)
【解析】函数
x2 1 在点 x＝±1 没有定义，而
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台
2008 年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内．
sin x 1
A． (1 ex ) f (1 ex )dx B． (1 ex ) f (1 ex )dx C． ex f (1 ex )dx D． ex f (1 ex )dx
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【答案】D
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【解析】 dy df (1 ex ) f (1 ex )(1 ex )dx ex f (1 ex )dx ．
由此可得 A1，A，2 A3 两两独立.
8．设随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，则（ ）.
A． E(2X 1) 2np B． E(2X +1) 4np
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C．
D(2X
1)
2np(1
台
p)
D． D(2X 1) 4np(1 p)
2
【答案】A
【解析】积分区域 D 如下图所示.由于
D {(x, y) | 0 y 1, 2 y 2 x 0} {(x, y) | -2 x 0, 0 y 1 x } 2
所以
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1
0
6．已知向量组 1，，2 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）. A． 1 22，2，2 3 3 1
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B． 1 22，， 22 3 3 1
C． 21 2，， 2 23 3 1
D． 1 2，，22 23 3 1