2008年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
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6．已知向量组 1，，2 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）. A． 1 22，2，2 3 3 1
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B． 1 22，， 22 3 3 1
C． 21 2，， 2 23 3 1
D． 1 2，，22 23 3 1
A． (1 ex ) f (1 ex )dx B． (1 ex ) f (1 ex )dx C． ex f (1 ex )dx D． ex f (1 ex )dx
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【答案】D
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【解析】 dy df (1 ex ) f (1 ex )(1 ex )dx ex f (1 ex )dx ．
由此可得 A1，A，2 A3 两两独立.
8．设随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，则（ ）.
A． E(2X 1) 2np B． E(2X +1) 4np
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C．
D(2X
1)
2np(1
台
p)
D． D(2X 1) 4np(1 p)
只有零解， 即
由线性无关的定义可知，向量组 21 2，， 2 23 3 1 线性无关.
7．设 A1，A，2 A3 为 3 个随机事件，下列结论中正确的是（ ）. A．若 A1，A，2 A3 相互独立，则 A1，A，2 A3 两两独立 B．若 A1，A，2 A3 两两独立，则 A1，A，2 A3 相互独立 C．若 P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 )P( A3 ) ，则 A1，A，2 A3 相互独立 D．若 A1 与 A2 独立， A2 与 A3 独立，则 A1 与 A3 独立 【答案】A 【解析】若 A1，A，2 A3 相互独立，由相互独立的性质可知
0
1 x
dy f (x, y)dx dx 2 f (x, y)dy
0
2 y2
2 0
5．设 1，，2 3 为 3 维列向量，矩阵 A (1，，2，，3 2) B (，2 1 2 3 ). 若行 列式|A|＝3，则行列式|B|＝（ ）.
A．6 B．3 C．－3 D．－6 【答案】D 【解析】根据行列式的性质有
【解析】令 f (x) ex e 0 可得 x＝1. f (x) ex , f (1) e 0 ，根据极值的第二 充分条件可得 x＝1 为函数 f (x) ex ex 2 的极小值点，极小值为 f (1) 2 .
10． 2 e x (1 x)dx ＝____. 2
【答案】 2e2 2 【解析】
x2
0
1
0
4．设函数 f (x, y) 连续，交换二次积分次序得 dy f (x, y)dx ＝（ ）.
0
2 y2
0
1 x
A． dx 2 f (x, y)dy
2
0
B．
0
0
dx
2
1 x
f
(x, y)dy
2
2
1 x
C． dx 2 f (x, y)dy
0
0
2
0
D．
dx
0
1 x
f (x, y)dy
3．设函数 f (x) 连续， F (x)
0 x2
f
(t)dt
，则 F (x)
＝（
）.
A． f (x2 )
B． f (x2 )
C． 2xf (x2 )
D． 2xf (x2 )
【答案】C
0
【解析】由于 F (x) x2 f (t)dt ，则
F(x) ( 0 f (t)dt) ( x2 f (t)dt) f (x2 ) (x2 ) 2xf (x2 )
2
【答案】A
【解析】积分区域 D 如下图所示.由于
D {(x, y) | 0 y 1, 2 y 2 x 0} {(x, y) | -2 x 0, 0 y 1 x } 2
所以
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2008 年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内．
sin x 1
1．设函数 f (x) x2 1 ，则（ ）. A．x＝－1 为可去间断点，x＝1 为无穷间断点
B．x＝－1 为无穷间断点，x＝1 为可去间断点
C．x＝－1 和 x＝1 均为可去间断点
D．x＝－1 和 x＝1 均为无穷间断点
【答案】B
f (x) sin(x 1)
【解析】函数
x2 1 在点 x＝±1 没有定义，而
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11．曲线 sin（xy）＋1n（y－x）＝x 在点（0，1）处的切线方程是____. 【答案】y＝x＋1 【解析】方程 sin（xy）＋1n（y－x）＝x 两边对 x 求导得
【答案】D
【解析】X 服从参数为 n，p 的二项分布，因此
E( X ) np, D( X ) np(1 p)
由期望和方差的性质可得
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在题目中的横线上． 9．函数 f (x) ex ex 2 的极小值为____. 【答案】－2
lim
x 1
sin(x 1) x2 1
所以 x＝－1 为无穷间断点；
lim
x 1
sin(x 1) x2 1
lim
x 1
sin(x 1) (x 1)(x 1)
lim
x 1
sin(x 1) x 1
lim
x 1
1 x 1
1 2
所以 x＝1 为可去间断点．
2．设函数 f (x) 可微，则 y f (1 ex ) 的微分 dy ＝（ ）.
【答案】C
【解析】ABD 三项，由于
根据线性相关的定义可知，这三项是线性相关的. C 项，可以根据定义证明它是线性无关的. 设 整理得 由于向量组 1，，2 3 线性无关，所以
此线性方程组的系数矩阵
由于
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所以方程组
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B． 1 22，， 22 3 3 1
C． 21 2，， 2 23 3 1
D． 1 2，，22 23 3 1
A． (1 ex ) f (1 ex )dx B． (1 ex ) f (1 ex )dx C． ex f (1 ex )dx D． ex f (1 ex )dx
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【答案】D
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【解析】 dy df (1 ex ) f (1 ex )(1 ex )dx ex f (1 ex )dx ．
由此可得 A1，A，2 A3 两两独立.
8．设随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，则（ ）.
A． E(2X 1) 2np B． E(2X +1) 4np
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C．
D(2X
1)
2np(1
台
p)
D． D(2X 1) 4np(1 p)
只有零解， 即
由线性无关的定义可知，向量组 21 2，， 2 23 3 1 线性无关.
7．设 A1，A，2 A3 为 3 个随机事件，下列结论中正确的是（ ）. A．若 A1，A，2 A3 相互独立，则 A1，A，2 A3 两两独立 B．若 A1，A，2 A3 两两独立，则 A1，A，2 A3 相互独立 C．若 P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 )P( A3 ) ，则 A1，A，2 A3 相互独立 D．若 A1 与 A2 独立， A2 与 A3 独立，则 A1 与 A3 独立 【答案】A 【解析】若 A1，A，2 A3 相互独立，由相互独立的性质可知
0
1 x
dy f (x, y)dx dx 2 f (x, y)dy
0
2 y2
2 0
5．设 1，，2 3 为 3 维列向量，矩阵 A (1，，2，，3 2) B (，2 1 2 3 ). 若行 列式|A|＝3，则行列式|B|＝（ ）.
A．6 B．3 C．－3 D．－6 【答案】D 【解析】根据行列式的性质有
【解析】令 f (x) ex e 0 可得 x＝1. f (x) ex , f (1) e 0 ，根据极值的第二 充分条件可得 x＝1 为函数 f (x) ex ex 2 的极小值点，极小值为 f (1) 2 .
10． 2 e x (1 x)dx ＝____. 2
【答案】 2e2 2 【解析】
x2
0
1
0
4．设函数 f (x, y) 连续，交换二次积分次序得 dy f (x, y)dx ＝（ ）.
0
2 y2
0
1 x
A． dx 2 f (x, y)dy
2
0
B．
0
0
dx
2
1 x
f
(x, y)dy
2
2
1 x
C． dx 2 f (x, y)dy
0
0
2
0
D．
dx
0
1 x
f (x, y)dy
3．设函数 f (x) 连续， F (x)
0 x2
f
(t)dt
，则 F (x)
＝（
）.
A． f (x2 )
B． f (x2 )
C． 2xf (x2 )
D． 2xf (x2 )
【答案】C
0
【解析】由于 F (x) x2 f (t)dt ，则
F(x) ( 0 f (t)dt) ( x2 f (t)dt) f (x2 ) (x2 ) 2xf (x2 )
2
【答案】A
【解析】积分区域 D 如下图所示.由于
D {(x, y) | 0 y 1, 2 y 2 x 0} {(x, y) | -2 x 0, 0 y 1 x } 2
所以
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一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内．
sin x 1
1．设函数 f (x) x2 1 ，则（ ）. A．x＝－1 为可去间断点，x＝1 为无穷间断点
B．x＝－1 为无穷间断点，x＝1 为可去间断点
C．x＝－1 和 x＝1 均为可去间断点
D．x＝－1 和 x＝1 均为无穷间断点
【答案】B
f (x) sin(x 1)
【解析】函数
x2 1 在点 x＝±1 没有定义，而
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11．曲线 sin（xy）＋1n（y－x）＝x 在点（0，1）处的切线方程是____. 【答案】y＝x＋1 【解析】方程 sin（xy）＋1n（y－x）＝x 两边对 x 求导得
【答案】D
【解析】X 服从参数为 n，p 的二项分布，因此
E( X ) np, D( X ) np(1 p)
由期望和方差的性质可得
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在题目中的横线上． 9．函数 f (x) ex ex 2 的极小值为____. 【答案】－2
lim
x 1
sin(x 1) x2 1
所以 x＝－1 为无穷间断点；
lim
x 1
sin(x 1) x2 1
lim
x 1
sin(x 1) (x 1)(x 1)
lim
x 1
sin(x 1) x 1
lim
x 1
1 x 1
1 2
所以 x＝1 为可去间断点．
2．设函数 f (x) 可微，则 y f (1 ex ) 的微分 dy ＝（ ）.
【答案】C
【解析】ABD 三项，由于
根据线性相关的定义可知，这三项是线性相关的. C 项，可以根据定义证明它是线性无关的. 设 整理得 由于向量组 1，，2 3 线性无关，所以
此线性方程组的系数矩阵
由于
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所以方程组