高数下第十章复习题

第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一、对弧长的曲线积分 例1．计算⎰+Ly x ds e22, 其中L 为圆周)0(222>=+a a y x , 直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。

(07)解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA 、弧AB 、线段OB 。

线段OA ：y = 0，0 ≤ x ≤ a ，112='+x y ，1022-==⎰⎰+aaxOAy x e dx eds e；弧AB ：x =a cos t ，y =a sin t ，40π≤≤t ，a y x t t ='+'22，44022ππaa ABy x ae adt e ds e==⎰⎰⋂+；线段OB ：y=x ，20a x ≤≤，212='+x y ，1220222-==⎰⎰+a axOBy x e dx eds e。

所以，⎰+Ly x ds e22=2)42(-+πa e a 。

例2．ds y L⎰2，其中L 为摆线的一拱)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -= （π≤≤t 0）(05)解:)cos 1(t a dt dx -=, t a dtdy sin = 原式=⎰+-⋅-π222222sin )cos 1()cos 1(dt t a t a t a =⎰+-⋅-π231cos 21)cos 1(dt t t a=dt t a ⎰-π253)cos 1(2=151283a 例3．计算⎰Γyzds x 2，其中Γ 为折线ABCD ，这里A , B , C , D 四点的坐标依次为点(0, 0, 0), (0, 0, 2), (1 ,0 , 2),(1,3,2)；解：所求积分的曲线可分为三段：线段AB 、线段BC 、线段CD 。

线段AB ：x = 0，y = 0，0 ≤ z ≤ 2，1122='+'+z z y x ，02=⎰AByzds x ；线段BC ：y = 0，z = 2，0 ≤ x ≤ 1，1122='+'+x x z y ,02=⎰BC yzds x；线段CD ：x = 1，z = 2，0 ≤ y ≤ 2，1122='+'+y y z x , ⎰⎰==20292ydy yzds x BC；所以，⎰Γyzds x 2= 9。

二、对坐标的曲线积分 曲面积分时候加根号倒例1．⎰Lxydx ，其中L 为圆周 (x – a )2 + y 2 = a 2 (a >0)，及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；解：将圆周ABO ：(x – a )2 + y 2 = a 2用参数方程表示：⎩⎨⎧=+=t a y ta a x sin cos （t 从0变到π）； x 轴上的一线段OA 为：y =0，（ x 从0变到2a ）；则：⎰Lxydx 0=+=⎰⎰ABOOAxydx xydx +⎰-+π)sin (sin )cos (dt t a t a t a a ⎰+-=π023sin)cos 1(tdt t aOBA x2a ay xoABxo y a a ⎰⎰--=ππ2323sin cos sin tdt t a tdt a 023--=a π32a π-=。

例2．⎰+--+Lyx dyy x dx y x 22)()(，其中L 为圆周x 2 + y 2 = a 2 (按逆时针方向饶行)；解：积分曲线L 的参数方程为：⎩⎨⎧==t a y ta x sin cos （t 从0变到2π）；则⎰+--+Ly x dyy x dx y x 22)()(dt t a t a t a t a t a t a a)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1202---+=⎰πππ220-=-=⎰dt例3．⎰+-Γydz dy dx ,其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里A , B , C 三点的坐标依次为点(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)；解：由A , B , C 三点的坐标可得有向线段AB , BC , CA 的参数方程及参数t 的变化范围为:⎪⎩⎪⎨⎧==-=01z ty t x t 由0变到1；⎪⎩⎪⎨⎧=-==t z t y x 10 t 由0变到1；⎪⎩⎪⎨⎧-===t z y t x 10 t 由0变到1； 则，⎰+-ABydz dy dx =⎰⋅+--100dt t dt dt = –2；⎰+-BC ydz dy dx =⎰-+--⋅10)1()(0dt t dt dt =⎰-=-1212)2(dt t ； ⎰+-CAydz dy dx =1)(001=-⋅+⋅-⎰dt dt dt ； 所以，⎰+-Γydz dy dx =21。

三、两类曲线积分之间的联系例. 将对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:沿上半圆周x 2 + y 2 = 2x 从点(0, 0)到点(1, 1)。

解：由于L 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22xx y xx , x 从0变到1, 则∴--=},21,1{2x x x T 22cos x x -=α,)1(cos x -=β, 故⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰-+-Lds y x Q x y x P x x )),()1(),(2(2。

四、格林公式例1. 利用曲线积分, 求星形线x = a cos 3 t ，y = a sin 3 t 所围成的图形的面积。

解：画积分曲线如图，则所求面积为A =⎰-L ydx xdy 21⎰-⋅⋅-⋅⋅=π202323)]sin (cos 3sin cos sin 3cos [21dt t t a t a t t a t a=⎰π20222cos sin 23tdt t a =832a π。

例2. 设平面曲线12:22=+y x C 取正向，则曲线积分=+-⎰Cy x ydxxdy 22 。

（06） 解：2222 , y x P Q x y x y -==++ 2222222(0)()y x y x P Q x y x y -==+≠+ 。

取1C ：cos , sin , : 02x y θθθπ==→，则22C xdy ydx x y -+⎰ ＝11222222()C C C xdy ydx xdy ydx xdy ydxx y x y x y ----++++⎰⎰⎰＝122C xdy ydxx y-+⎰＝222220cos sin 2cos sin d πθθθπθθ+=+⎰ 。

例2﹡. 设平面曲线2)1(:22=+-y x C 取逆时针方向，则曲线积分=+-⎰C y x ydxxdy )(222解 )(222y x y P +=, )(222y x x Q +-=. 当x 2+y 2≠0时y P x Q ∂∂-∂∂0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周 l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π), 在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰-+d x d y yPx Q Q d y P d x D l L ε, 即 ⎰⎰⎰+=+-=+-lL ldy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .因此 ⎰⎰+-=+-l L y x xdy ydx y x xdy ydx )(2)(22222⎰--=πθεθεθε20222222cos sin d ⎰-=-=ππθ2021d 例3. 证明：⎰=+Ly xdy dx e π22，其中L 是x y x8422=+正向一周。

(07)解：因曲线为封闭曲线，P ,Q 满足Green 公式条件，从而直接应用Green 公式有：原式＝⎰⎰⎰⎰-=∂∂-∂∂D Dy dxdy ye dxdy y P x Q )21()(2＝⎰⎰⎰⎰-D D y dxdy ye dxdy 22＝021-⋅⋅π＝π2 例4.设L 为圆周9)4()1(22=-+-y x ，取顺时针方向，则⎰=-+-Ldy y x dx x y )3()2(（ B ）（05）(A) π18；(B) π18-；(C) π36；(D) π36- 例5. 计算曲线积分()()⎰-+-Lx xdy y e dx y y e8cos 8sin ，其中L 是由点A （a ，0）到点O （0，0）的上半圆周 )0,0(22>≥=+a y axy x （02）解：这里()()8cos ,8sin -=-=y e x Q y y e x P x x，得到8=∂∂-∂∂yP xQ ，由格林公式⎰⎰⎰⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-=+OA D OAOAL dxdy y P x Q I 208a dxdy Dπ=-=⎰⎰ 例6. 计算曲线积分⎰++++cdy y x x dx x y )2()21(22，其中C 是由x y x 222=+的上半圆周由点A（2，0）到点B （0，0）的弧段。

（06）解：加补直线段BA ，则 AB 与BA 构成封闭曲线的正向，记其所围成区域为D 。

显然， , Q Px y∂∂∂∂ 在D 内具有一阶连续偏导数，由格林公式有：22(12)(2)[(22)(21)]2DDAB BAy x dx x x y dy x x dxdy dxdy π+++++=+-+==⎰⎰⎰⎰⎰在BA 上，0 , 0y dy ==，因此 22(12)(2)0BAy x dx x x y dy ++++=⎰故22(12)(2)022ABy x dx x x y dy ππ++++=-=⎰五、曲线积分与路径无关的等价条件 例1. 计算曲线积分()⎰+--Ldy y x dx y x 22sin )(，其中L 是在圆周22x x y -=上由点O （0，0）到点A （1，1）的一段弧 解：这里()())sin (,22y x x Q y x x P +-=-=，得到yP xQ ∂∂=∂∂ ，故积分与路径无关()⎰+--Ldy y x dx y x 22sin )(=6742sin )sin 1(12102-=+-+⎰⎰dy y dx x 例 2. 验证2232(38)(812)yx y xy dx x x y ye dy ++++在整个xoy 面内为某一函数),(y x u 的全微分，并求出这样一个),(y x u 。

（04）解: 这里2283xy y x P += ，yye y x x Q 12823++=则xy x yP1632+=∂∂=x Q ∂∂ 因为xQy P ∂∂=∂∂,所以Qdy Pdx +在整个xoy 面内为某一函数),(y x u 的全微分. 且),(y x u ⎰+=),()0,0(y x Qdy Pdx ⎰⎰+++=x yy dy ye y x x dx 023)128(0yy ye yey x y x 0223]12124[-++=1212124223+-++=y y e ye y x y x例3. 验证下列曲线积分与路径无关，再求积分值dy xy x dx y xy )4()32(32)1,2()0,1(4-++-⎰（03）解： P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且342y x xQ y P -=∂∂=∂∂,所以在整个xOy 面内积分与路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy ⎰⎰=++-=102135)1(2)41(dx x dy y .例 4. 证明曲线积分⎰--+---),()1,1(1cos )1cos (sin ππππdy xx dx xyxx x 与路径无关，并计算积分值（05）解：因为xx x x yPx Q 1cos sin ---=∂∂=∂∂π，所以积分与路径无关。