高三数学教学质量抽测试题(理科)

广州市高三教学质量抽测试题数 学（理 科） .1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：事件A 发生的条件下事件B 的概率为()()()P AB P B A P A =．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,8 2．函数()1f x x =-A ．(][),11,-∞-+∞ B ．(],1-∞ C ．()1,1- D ．[]1,1-3．在等差数列中，686a a +=，则数列的前13项之和为A ．239B ．39C ．1172D ．784．命题“,x x e x ∃∈>R ”的否定是A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,x x e x ∃∈≤R}{n a }{n a5．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是A ．12B ．22+C ．23+D ．66．设是6212x x ⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是A ．(),5-∞B ．(],5-∞C ．()5,+∞D ．7．圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为A ．22(1)(2)5x y -+-=B ．22(2)(1)5x y -+-=C ．22(1)(2)25x y -+-=D ．22(2)(1)25x y -+-=8．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第项2010a 满足A ．20101010a <<B ．20101110a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ．201010a >二、填空题： 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．复数512i+-（i 是虚数单位）的模等于 ． 10．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为 ．11．已知函数()cos 3()2f x x x =+∈ ⎪⎝⎭R ，给出如下结论： ①函数)(x f 的最小正周期为23π； 2 ②函数)(x f 是奇函数； ③函数)(x f 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称： ④函数)(x f 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）)(x f mx x f ≤)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22m [)+∞,5 主视图侧视图俯视图12．在平面区域(){}2,2,0x y y xx y ≤-+≥且内任意取一点P ，则所取的点P 恰是平面区域(){},,2,0x y y x x y y ≤+≤≥且内的点的概率为 ．13．在实数的原有运算法则中，定义新运算2a b a b ⊗=-，则()()113x x x x ⊗-+-⊗>的解集为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（《几何证明选讲》选做题）如图，在△ABC 中，60A ∠=，70ACB ∠=，CF 是△ABC 的 边AB 上的高，FP BC ⊥于点P ，FQ AC ⊥于点Q ，则CQP ∠的 大小为 ． 15．（《坐标系与参数方程》选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线sin cos 1sin 2x y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的交点的直角坐标是 ．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设向量()3,3OA =-，(cos ,sin )OB θθ=，其中02πθ≤≤．（1）若13AB =，求tan θ的值； （2）求△AOB 面积的最大值． 17．（本小题满分12分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选． （1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．18．（本小题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =．（1）证明：当点E 在棱AB 上移动时，11D E A D ⊥；（2）在棱AB 上是否存在点E ，使二面角1D EC D --的平面角1A 1B1C A1D D为6π？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）已知两点(1,0)M -、(1,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN NP MN MP ⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点，(,0)K m 是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆22(2)4x y +-=的位置关系．20．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()()2f x x x a =-．（1）若函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a ； （3）对（2）中的()h a ，若关于a 的方程()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，求实数m 的取 值范围．21．（本小题满分14分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}2n b 的前n 项和8918n T <． ()m f q =广州市高三教学质量抽测数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 910．1- 11. ①②③ 12．3413. ()(),01,-∞+∞14．50 15．()1,1- 简答或提示：7．解1：设圆心为2,(0)a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则r =≥=当且仅当1a =时等号成立.当r 最小时，圆的面积2S r π=最小，此时圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=，选A . 解2：画图可得，当直线20x y m ++=与曲线2(0)y x x=>相切时，以切点为圆心，切点到直线210x y ++=的距离为半径的圆为所求.设切点为000(,)(0)P x y x >，因为22'y x =-，所以2022x -=-，解得001,2x y ==，r =22(1)(2)5x y -+-=为所求，选A .8．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a =，选B ．12．22012132()4(2)P A x x dx ⨯⨯==-+⎰．14．由FP BC ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠()180A C =-∠+∠()180607050=-+=．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（1）解：依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-，…………………………………2分 所以()(222cos 3sin ABθθ=-++136cos 13θθ=-+=，……………………………………………………………4分3cos θθ=． 因为cos 0θ≠，所以tan θ=6分（2）解：由02πθ≤≤，得6AOB πθ∠=+．…………………………………………………………8分所以1sin 2AOB S OA OB AOB∆=∠ 11sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………………10分所以当3πθ=时，△AOB 12分 17．（本小题满分12分）（1）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．………………………………………………………………1分依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 124236C C 1(2)C 5P ξ===． ∴ξ的分布列为∴ 1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………………………6分 （2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()2536C 1C 2P A ==，()1436C 1C 5P AB ==， ……………………………………………………………10分 ∴()()()25P AB P B A P A ==．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………………12分 解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C ，从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为25C 10=，…………………………………8分 男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为14C 4=，……………………………………………………10分∴()1425C 42C 105P C ===． 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………………12分18．（本小题满分14分） 方法1：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ．………1分设0(1,,0)E y ()002y ≤≤．…………………………………2分 （1）证明：∵()101,,1D E y =-，()11,0,1A D =--． 则()()1101,,11,0,10D E A D y =---=，………………4分∴11D E A D ⊥，即11D E A D ⊥． ……………………………4分 （2）解：当2AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π．…………………………………5分 ∵0(1,2,0)EC y =--，()10,2,1D C =-，……………………………………………………………6分 设平面1D EC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则10110,(2)0,20.0.EC x y y y z D C ⎧=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-==⎩⎪⎩n n …………………………………………………………………8分取1y =，则()102,1,2y =-n 是平面1D EC 的一个法向量．…………………………………………9分 而平面ECD 的一个法向量为()20,0,1=n ，……………………………………………………………10分 要使二面角1D EC D --的平面角为6π，则121212coscos 62(2π=<>===⋅n n n ,n n n ， (12)分 解得02y =()002y ≤≤． ∴当2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为6π．……………………………………………14分 方法2：（1）证明：连结1AD ，在长方体1111ABCD A B C D -中，∵BA ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，∴1A D AE ⊥．…………………………………1分 ∵11AD AA ==，则四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥．…………………………………2分 ∵1AEAD A =，∴1A D ⊥平面1AD E ．………………3分∵1D E ⊂平面1AD E ，∴11D E A D ⊥．…………………4分（2）解：当2AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π．…………………………………………………………………5分 连结DE ，过D 作DH EC ⊥交EC 于点H ，连结1D H ．…………………………………………6分1A在长方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，∴1D D ⊥EC ．……………………………………………………………………………………………7分 ∵1DHD D D =，∴EC ⊥平面1D DH ．……………………………………………………………8分∵1D H ⊂平面1D DH ，∴EC ⊥1D H ．………………………………………………………………9分 ∴1D HD ∠为二面角1D EC D --的平面角，即16D HD π∠=．……………………………………10分设AE x =()02x ≤≤，则2EB x =-，进而EC =11分 在△DEC 中，利用面积相等的关系有，EC DH CD AD ⨯=⨯， ∴DH =．…………………………………………………………………………………12分在Rt △1D DH 中，∵16D HD π∠=，∴1tan6D DDHπ=．……………………………………………13分=，解得2x =-()02x ≤≤．故当23AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．……………………2分 由||||MN NP MN MP ⋅=⋅，得2(1)x =+，…………………………………………………………………………4分 化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．……………………………………………………………………5分（2）解：由点(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ．………………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．……………7分 当4m ≠时，直线AK 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=，………………8分圆心(0,2)到直线AK的距离d =，令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-. ………………………………………………1分 ∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．…………2分 即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，……………………………………………………………………………3分 3321223x <⨯=，∴1a ≥． 故实数a 的取值范围为[)1,+∞．…………………………………………………………………………4分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．…………………………………5分 ①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数， 所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >． 所以()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数．所以()324327h a f a a ⎛⎫==-⎪⎝⎭．………………………………………………………………………8分 ④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数． 所以()()284h a f a ==-．……………………………………………………………………………9分综上所述，函数()f x 在区间[]1,2的最小值()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩………………………10分 （3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不相等的实数解， 即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个 不同的交点．…………………………………………………………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．…………………………14分21．（本小题满分14分） （1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得．……………………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．……………………………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=．∵m 为常数，且0m >，∴11n n a m a m-=+()2n ≥．……………………………………………………3分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比为1m m+的等比数列．…………………………………………………4分 （2）解：由（1）得，1m m =+，1122b a ==． …………………………………………5分 ∵()1111n n n n b b f b b ---==+，………………………………………………………………………………6分 11=a ()m f q =∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥．……………………………………………………………7分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列．…………………………………………………………8分 ∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（∈n N *）．…………………………………………9分 （3）证明：由（2）知221n b n =-，则()22421n b n =-．……………………………………………10分 所以2222123n n T b b b b =++++ ()2444492521n =++++-，…………………………………11分当2n ≥时，()()24411222121n n n nn <=----，……………………………………………………12分 所以()2444492521n T n =++++-41111114923341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4011899218n =+-<．……………………………………………………………………………14分。