试卷、试题—--2000年2012年考研数学(一)真题
2012年考研数学一真题及答案详解
（7） 设随机变量 x 与 y 相互独立， 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布， 则 px y （）
( A) 1 5 ( B) 1 3 (C ) 2 5 ( D) 4 5
（ 8 ）将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（） 1 1 ( A) 1 ( B) (C ) ( D) 1 2 2 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置 ．．． 上. （9）若函数 f ( x) 满足方程 f '' ( x) f ' ( x) 2 f ( x) 0 及 f ' ( x) f ( x) 2e x ，则 f ( x) =________。 （10） x 2 x x 2 dx ________。
x2 x y 2 x 1 渐近线的条数为（） （1）曲线
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】 ：C
x2 x lim 2 x 1 x 1 【解析】 ： ，所以 x 1 为垂直的 lim x2 x 1 x x 2 1 ，所以 y 1 为水平的，没有斜渐近线 故两条选 C
2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 y （A）0 （D）3
x2 x 渐近线的条数为（） x2 1
（B）1
（C）2
列向量组线性相关的是（ （A） 1 , 2 , 3
） （C） 1 , 3 , 4 （D）
（B） 1 , 2 ,4
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2012考研数学一真题及其解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解析：C由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线 由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）（2）设函数2()(1)(2)x x nx f x e e e n =--…（-），其中n 为正整数，则(0)f '=（ ）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ）（3）如果函数(,)f x y 在（0，0）处连续，那么下列命题正确的是（ ）（A ）若极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微（B ）若极限2200(,)limx x f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微 （C ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限2200(,)limx x f x y x y→→+存在解析：(B)2200(,)limx y f x y k x y→→=+ (0,0)0(,)(0,0)00()f z f x y f x y ορ=⎧⇒⎨∆=-=⋅+⋅+⎩ (,)f x y ⇒在(0,0)处可微.（4）设20k x k I eπ=⎰sin (1,2,3)xdx k =则有（ ）（A ）123I I I << (B)321I I I << (C)231I I I << (D)213I I I <<解析： D22222111sin |sin |.x x I I e xdx I e x dx I ππππ=+=-<⎰⎰2223312|sin |sin .x x I I e x dx e xdx ππππ=-+⎰⎰而2232()2sin sin x t e xdxx t etdt ππππππ+=+-⎰⎰2222()|sin ||sin |.x x ex dx e x dx πππππ+=>⎰⎰31312..I I I I I ∴>∴>>(5)设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）（A ）α1, α2, α3 （B ）α1, α2, α 4（C ）α1, α3, α4 （D ）α2, α3, α4解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例. 1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或13413411,,0110c c c ααα-=-= 134,,ααα∴线性相关，选C（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=(α1, α2, α3)，1223(,,).Q αααα=+则Q -1AQ =( )(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭(C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：（B ）1223100()110001Q P αααα⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭+，，111100100110110001001Q AQ P AP ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100110011101110100120012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P {x <y }=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45解析：(A)~(1)X E ，,0~(4)()0,0x x e x Y E f x x -⎧>⇒=⎨≤⎩.4,40()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩.,X Y ∴独立.44,0,0(,)0,x y e e x y f x y --⎧>>∴=⎨⎩其他 ()(,)x yP X Y f x y d δ<<=⎰⎰404x y x dx e e dy +∞+∞--=⎰⎰ 40(4)xy xe dx e d y +∞+∞--=⎰⎰ 40x x e e dx +∞--=⋅⎰ 50x e dx +∞-=⎰15=.（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ）(A) 1 (B) 12 (C) 12(D) 1-解析：设一段长X ,另一段1Y X =-，由ρ=(1)DX D X DY =-=cov(,)(1)(1)X Y EX X EX E x =---2()[1]E X X EX EX =--- 22()EX EX EX EX =-+ 22()EX EX DX =-+=-1ρ∴=，选项D二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）若函数f (x )满足方程()()2()f x f x f x "'+-=及()()2x f x f x e '+=，则f (x )=_________.解析：212202,1λλλλ+-=⇒=-=212()()2()0(),x x f x f x f x f x C e C e -"+'-=⇒=+代入12()()20, 1.x f x f x e C C '+===得()x f x e ∴=（10）20________=⎰解析：2π[22(1)1(1)x x =-+-⎰⎰111(22x π--=+===⎰⎰⎰.（11）(2,1,1)_______z grad xy y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解析：{1，1，1}21,,z z grad xy y x y y y ⎛⎫⎧⎫+=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ (2,1,1){1,1,1}z grad xy y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（12）设{(,,)|1,0,x y z x y z x y z =++=≥≥≥∑，则2y d s ∑=⎰⎰_____ .解析:12.1,:1(0,0) z x y D x y x y=--+≤≥≥11222002xDy ds y dx y dyδ-==⎰⎰⎰⎰⎰1134(1)(1)31212x dx x=-=--=⎰（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E T-XX的秩为_________.解析：2.设2,TA E XX A A=-=()() 3.r A r E A⇒+-=()()()1Tr E A r XX r X-===() 2.r A∴=（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11(),(),23P AB P C==则CP AB（）=_________.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC =∅ ，ABC ∴=∅. 1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上.（15）（本题满分 分）证明x ln 11x x+-+cos x ≥1+22x (-1<x <1)证明：令21()ln cos 1.(0)0.12x x x x x x ϕϕ+=+--=- ϕ’212()ln sin 11x xx x x x x +=+---- 2211ln sin 11x x x x x x++=+--- 01x <<时. 1ln 01xx+>-,2211x x x x +≥-，又sin x x ≤. ()0x ϕ∴>’；10x -<<时，1ln 01xx+<-，2211x x x x +≤-,又sin x x ≥. ()0x ϕ∴<’.0x ⇒=为()x ϕ在（-1，1）内最小点，而ϕ（0）=0∴当-1<x<1时. ϕ()0x ≥，即 21ln cos 112x x x x x ++≥+-(16)（本题满分 分） 求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值解析：由22'2222'2(1)0x y x x y y f x e f xye +-+-=-==-=⎧⎪⎨⎪⎩得10x y =-⎧⎨=⎩及10x y =⎧⎨=⎩ 222222''32''22''22(3)(1)(1)x y xx x y xy x y yy f x x ef y x e f x y e+-+-+-=-=--=-当1x y =-⎧⎨=⎩时，11222,0,.A e B C e --=== 20AC B -> 且0A >，10x y =-⎧∴⎨=⎩为极小点.极小值为12(1,0).f e --=-当1x y =⎧⎨=⎩时，11222,0,,A e B C e --=-==- 2100,0x AC B A y =⎧-><∴⎨=⎩ 且为极大点 极大值为12(1,0)f e -=（17）（本题满分 分） 求幂级数0n ∞=∑244321n n n +++x 2n的收敛域及和函数解：由1lim1n x na a +→∞=得R =1. 当1x =±时. 2443()21n n n n ++→∞→∞+1x ∴=±时级数发散.收敛域为（-1,1）令220443()21nn n n S x x n ∞=++=+∑202(21)21n n n x n ∞=⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦∑ =2200(21)221nn n n xn x n ∞∞==+++∑∑ 22100221n n n n x x n ∞∞+==⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑∑’21122212()2()1(1)x x S x S x x x +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭’当x =0时，S (0)=3.当x ≠0时，xS 1(x )=21021n n x n +∞=+∑[]2121()1nn xS x x x ∞===-∑’ 111111()ln ,()ln .2121x xxS x S x x x x++=∴=--223,0()111ln ,110(1)1x S x x xx x x x x =⎧⎪∴=++⎨+-<<≠⎪--⎩且（18）(本题满分 分)已知曲线L ：()cos x f t y t=⎧⎨=⎩（0≤t <2π），其中函数f (t )具有连续导数，且f (0)=0，()f t '>0(0<t <2π)，若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点距离值恒为1，求函数f (t )的表达式，并求此曲线L 与x 轴无边界的区域的面积. 解析： ①/sin ./()dy dy dt t k dx dx dt f t -==='切线为sin cos ()0ty t x f t y f t ==--=⇒'()（），令 ())cot x f t f t t =+'(⋅,切线与x 轴交点为f t f t t +'.由题意222()cot cos 1f t t t '+=⇒242sin ().cos tf t t'= 2sin ()0.()sec cos .cos tf t f t t t t'>∴'==-()ln |sec tan |sin f t t t t C =+-+(0)0,()ln |sec tan |sin f f t t t t =∴=+-②220cos ()A ydx t f t dt ππ==⋅'⎰⎰22201sin .224t I πππ===⋅=⎰（19）（本题满分 分）已知L 是第一象限中从点（0，0）沿圆周222x y x +=到点（2，0），再沿圆周224x y +=到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分233(2)LI x ydx x x y dy =++-⎰解析： 补充012:0(2,0)L L L L x y y I +====-⎰⎰22(313)L L Dx x d +=+-σ=⎰⎰⎰2Dd dx σ=-⎰⎰⎰而0144ππ=⋅=⎰122ππ=⋅=⎰（依据定积分几何意义）.22L L πππ+∴=-=⎰2(2) 4.L y dy ∴=-=⎰⎰4.2I π∴=-（20）（本题满分 分）已知A =10010101,00100010a a a a β⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥- ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（1）计算行列式|A|；（2）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.解析：（I ）534A 1(1)1a a a =+-⋅=-（II ）当1a =及1a =-时，A x=β有无穷多个解. 当1a =时，A =11 0 01⎛⎫ ⎪0 1 1 0 -1⎪ ⎪0 0 1 1 0 ⎪1 0 0 1 0⎝⎭ →10012010110011000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭通解为12111010x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1a =-时.A 1100110010011010101100110001101001000000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭通解为10111010x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（21）（本题满分11分）已知110111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x x T T =A A 的秩为2， （1） 求实数a 的值；（2） 求正交变换x=Qy 将f 化为标准型. 解析：A T A=1010010111a a -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭110111001a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭22201011113a a a a a a -⎛⎫ ⎪=+-⎪ ⎪--+⎝⎭T T (A A)x x 秩为2. ∴T T (A A)2((A A)(A)2)r r r ===也可以利用 ⇒T A A 01a =⇒=- ( T 22A A (3)(1)a a =++) (II)令T 202A A =B =022224⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由E λ-20-2λ-B =0λ-2-2-2-2λ-4=λ(λ-2)(λ-6)=0 解0,2,6123λ=λ=λ=当λ=0时,由(0)0E A x -=即0Ax =得1111-⎛⎫ ⎪ξ=- ⎪ ⎪⎝⎭. 当2λ=时,由(2)0E A x -=⇒1102-⎛⎫ ⎪ξ= ⎪ ⎪⎝⎭. 当6λ=时,由(6)0E A x -=⇒1123⎛⎫ ⎪ξ= ⎪ ⎪⎝⎭. 取1r231111,1,1.102r r --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭令2223.026Q f x x x Qy y y T⎛ = ⎝=B = +（22）（本题满分11分）设二维离散型随机变量X 、Y 的概率分布为（Ⅰ）求{2}P X Y =；（Ⅱ）求cov(,).X Y Y - 解析：(1)11(2)(0,0)(1,2)044P X Y P X Y P X Y ====+===+= (2)cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y -=-EXY EXEY DY =-- 012012~,~.1111112312333X X Y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的边缘分布 12212,136333EX EY ∴=+==+=2221152()12113333DY EY EY =-=⨯+⨯-=-=1114211223123123EXY =⨯⨯+⨯⨯=+=2222cov(,)13333X Y Y -=-⨯-=-.（23）（本题满分 分）设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ与2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且σ>0。
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)lim x y f x y x y→→+存在(4)设2sin (1,2,3)k xK exdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1QAQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15(B) 13(C)25(D)45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B)12(C) 12-(D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)20x =⎰(11)(2,1,1)()|z grad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p A B P C p A B C ===三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 证明21ln cos 1(11)12x xx x x x++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n xn ∞=+++∑的收敛域及和函数(18) 已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2000年-年考研数学一历年真题完整版(word版)
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nn n un ∞=-∑(B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示(C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价(D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x x z f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydxI x y -=+⎰,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sx f x d y d zx y f xd z d x z d x d y --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,xy a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则 (A)(0,0)|3dz dx dy =+(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设111140001111000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为(A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e exxdx ⎰.四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21a r c t a n 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LI y z d x z x d y x y d z =-+-+-⎰,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立. (2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x . (1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP . (2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________. (2)已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim=∞→n n u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0ex t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}ex y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y y x dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n n n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e xy y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x =1c o s 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为其中θ(02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立(B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin e e e e y x y x LLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰.(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ,⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ--x x θ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ. (3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )e x xf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n na收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化. (22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有 (A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xzxy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2. (1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它 求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面z (01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P AB P A =(D)()()P AB P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ<(B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x=+-展开成x 的幂级数. (18)(本题满分12分)设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1-(B)1(D)1-(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =-- (B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f =(B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dx Γ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)yxz f x y =,则zx∂∂=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e xy y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵01000010********⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值. (18)(本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中 ∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=. (20)(本题满分10分) 设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+(2)求()y x 的表达式. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度.(24)(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ. (2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.。
2000年-2012年考研数学一历年真题
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a=_____________.(5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S在第一卦限中的部分,则有(A)14SS xdS xdS=⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS=⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS=⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1n n u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nnn u n∞=-∑(B)21n n u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示(C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价(D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Yξ=+与X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x xz f xy g y y=+,其中f具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.z x y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydx I x y -=+⎰,其中L 是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sx f x d y d zx y f x d z d xz d x d y --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分)求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A的伴随矩阵*10000100,1010038⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________. (5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A)(B)(C)(D)(2)设),(y x f 在点(0,0的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则(A)(0,0)|3dz dx dy =+(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)2(1cos )limh f h h →-存在(B)0(1e )lim h h f h→-存在(C)20(sin )limh f h h h→-存在(D)h h f h f h )()2(lim 0-→存在(4)设1111400011110000,1111000011110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A与B(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y相关系数为(A) -1(B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e e xx dx ⎰.四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21a r c t a n 010x x x xx +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n nn的和.六、(本题满分7分) 计算2()(LI y z =-+⎰,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为tt h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,sβββ也为=A X O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .(1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率.(2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续,③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在.则有: (A)②⇒③⇒①(B)③⇒②⇒①(C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设≠n u ,且1lim=∞→nn u n,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为 (A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B))(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D))(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分)已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分)计算二重积分22max{,}e xy Ddxdy⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yx dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰,(1)证明曲线积分I与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分)设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X的概率密度为()f x = 1c o s 0220 xx x≤≤其它对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为其中θ(02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 .(3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立(B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→li m 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点(B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点(4)设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关(B)当s r >时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为nm ⨯矩阵,现有4个命题:① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③ (C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则(A)2~()Y n χ(B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .(1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分)将函数xxx f 2121arct an)(+-=展开成x的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D的正向边界.试证:(1)sin sin sin sin e e e e y x y x LLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰.(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性.(2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分) 设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分) 设总体X的概率密度为()f x =2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤ 其中0>θ是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ(1)求总体X的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )ex xf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为__________ .(5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B=__________ .(6)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >=__________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xxx ⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,,(B)βγα,,(C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na 发散(C)若级数∑∞=1n n a收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n n a发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f(C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D)α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==n i iX n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σn n Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1nn x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.(2)X 和Y的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量.(2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程xx y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222zy x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u ∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从X,,2,1 中任取一个数,记为Y, 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有(A)2222yux u ∂∂-=∂∂(B)2222y u x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ(B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A的第1列与第2列得*B(B)交换*A的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b ==(B)0.4,0.1a b ==(C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn(D)2122(1)~(1,1)nii n XF n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 (16)(本题满分12分)求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n nn x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l与2l 分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx yφ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx y φ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分) 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形.(3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A的第一行是cb ac b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x<<<<其它 求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X .(2)YX Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.(2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .(5)设矩阵2112⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足2=+BA B E ,则B= .(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆(B)0y dy <∆<(C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1n n a∞=∑收敛,则级数(A)1n n a∞=∑收敛(B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A >(B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A =(D)()()P A B P B =(14)设随机变量X服从正态分布211(,)N μσ,Y服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ<(B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分)设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.(16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算11lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.(17)(本题满分12分)将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分)设函数()()0,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z z x y∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=.(2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式.(19)(本题满分12分)设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有(,)(,)0Ly f x y d xx f x y d y -=⎰. (20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A .(2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T T=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T =Q AQ A .(22)(本题满分9分) 随机变量x的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y的概率密度()Y f y .(2)1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1-(B)ln1(D)1-(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0(B)1(C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()()xF x f t dt=⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F = (C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =-- (4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x →存在,则(0)0f =(B)若0()()lim x f x f x x→+- 存在,则(0)0f = (C)若0()limx f x x → 存在,则(0)0f '=(D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '= (5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dxΓ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是(A),,122331---αααααα(B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X与Y不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y的概率密度,则在Y y =的条件下,X的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(11)31211e x dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y x z f x y =,则z x∂∂=______.(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32exy y y -+=的通解为y =____________.(14)设曲面:|||x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵0100001000010000⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分) 计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得()()f g ξξ''''=.(20)(本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+(2)求()y x 的表达式.(21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.(22)(本题满分11分) 设3阶实对称矩阵A的特征向量值12311,2,2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的。
2012考研数学一真题及详解
2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。
1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。
2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。
解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。
故答案为（A ）。
3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。
2000—2012年考研数学(一)真题及答案解析
2000年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、 填空题(1)³.【答】.4S【详解】2201sin cos 4dxx t tdt SS³³³（2）曲面2222321x y z 在点 1,2,2 的法线方程为 . 【答】122146x y z. 【详解】 令 222,,2321F x y z x y z ， 则有'1,2,2'1,2,2'1,2,21,2,222,1,2,248,1,2,2612.|||x yz F x Fy F z因此所求法线方程为：122146x y z（3）微分方程'''30xy y 的通解为 . 【答】 212C y C x. 【详解】 令'p y ，则原方程化为'30,p p x其通解为 3.p Cx 因此，3221122,22C C C y Cx dx C x C C x §·¨¸©¹³（4）已知方程组12312112323120x a x a x ªºªºªº«»«»«» «»«»«»«»«»«» ¬¼¬¼¬¼无解，则a . 【答】 -1.【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有1211121112112323011011120023100313a a a a a a a a ªºªºªº«»«»«» o o «»«»«»«»«»«» ¬¼¬¼¬¼######### 可见。
2012全国研究生考试数学(一)(二)(三)真题合集及答案解析-免积分
2012全国研究生考试数学(一)(二)(三)真题合集及答案解析-免积分2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C 【解析】：221lim 1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直的22lim 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xx nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!n n --（C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn -【答案】：C【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---L L L L所以'(0)f =1(1)!n n --（3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ）（A ）若极限0(,)lim x y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限22(,)lim x y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限0(,)lim x y f x y x y→→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)lim x y f x y x y→→+存在 【答案】：【解析】：由于(,)f x y 在()0,0处连续，可知如果22(,)lim x y f x y x y→→+存在，则必有00(0,0)lim (,)0x y f f x y →→==这样，22(,)lim x y f x y x y→→+就可以写成2200(,)(0,0)limx y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆，也即极限2200(,)(0,0)limx y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆存在，可知limx y ∆→∆→=，也即(,)(0,0)00f x y f x y o∆∆-=∆+∆+。
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代收付业务◆判断题1.委托单位可以使用在交通银行开立的单位结算账户作为资金清算账户。
(对)2.委托单位同一签约账户在不同渠道发起的代付业务采用同一累计次数和累计限额。
（对）3.委托单位批量代付资金的退回必须遵循“原出原进”原则，即单位批量代付资金的余额必须退回原出账账户。
（对）4.交通银行存折、借记卡若余额不足或遇账户状态为冻结、质押等止付状态时，代收允许成功。
（错）◆单选题1.委托单位批量代付资金的退回必须遵循( A )原则。
A.原出原进B.先进先出C.后进先出D.原进原出2.批量开户业务仅支持（B ）。
A.单位自助发起B. 银行受托发起C.个人客户自助发起D.银行自助发起3.对使用单位结算账户作为清算账户的委托单位，差错资金留存至（A ）。
A.单位结算账户B.单位备用金账户C.指定清算账户D.内部暂时账户◆多选题1.批量开户账户类型支持（ABCD）。
A.活期储蓄存款B.整存整取储蓄存款C.卡下整存整取储蓄存款D.定活两便储蓄存款2.手续费收费类型分为（ABC ）。
A.按金额比例B.按批次C.按笔数D.按客户等级3.批量开户支持开立( ABC )。
A.活期存折B.定期存单C.借记卡D.贷记卡保管箱业务◆判断题1.开箱介质挂失期间，所有主租人和代理人均不可开箱存取物品。
（对）2.保管箱被查封后，租用人或代理人不可在我行办理保管箱开箱业务。
（对）3.租用人被冻结后，代理人不可以在我行办理任何保管箱开箱业务。
（错）4.移动式保管箱均采用双锁设计，可提供非自助式服务或半自助式服务。
（对）5.全自动保管箱操作自动化、管理无人化，可提供非自助式服务、半自助式服务和全自助式服务。
（错）6.双人租用保管箱除办理保管箱开户和退租需双人在场，其余业务可由两人中任一人办理，但不得委托他人。
（错）7.联名租用保管箱在办理保管箱开户和退租业务时必须双人同时到场，办理其余各项保管箱业务时可由两人中任意一人办理，但均不得委托他人。
（对）8.双人代理办理被授权的保管箱业务时均须同时在场。
（对）9.退租时若为联名租用或双人租用的保管箱，两个租用人必须同时到场。
若为双人代理时，两个代理人必须同时到场。
（对）◆单选题1.保管箱租用对象为个人时，身份验证方式必须有（A）A.证件B.密码C.印鉴D.借记卡2.保管箱租用对象为单位时，身份验证方式必须有（C）A.证件B.密码C.印鉴D.借记卡3.移动式保管箱是将箱体(B)安装在可移动的由六面体防护壁构成的保管箱库内的保管箱设备。
A.移动B.固定C.以上都对D.以上都不对4.(A)是因租用人或代理人挂失而发生的凿箱、换锁、修缮行为，要求租用人和银行双方共同在场。
A.挂失凿箱B.清户凿箱C.强制凿箱5.(C)是因有权机关依法查冻扣引起的凿箱行为，银行应按法律程序在司法部门或公证部门监督下进行，并共同登记箱内物品。
A.挂失凿箱B.清户凿箱C.强制凿箱6.单人租用保管箱续租交易，租用人或代理人提出续租申请，若租约及相关的文本格式发生变化或客户改变租期的，应由（A）至柜面办理。
A.租用人本人B.代理人C.租用人和代理人同时D.租用人或代理人7.联名租用或双人租用的保管箱，租用人或代理人提出保管箱业务续租申请，若租约及相关的文本格式发生变化或客户改变租期的，应由（A）到场办理。
A.两个租用人同时B.任一租用人C.授权人D.代理人8.保管箱租用人若想增加、修改或取消代理人，需启用(B)交易。
A.保管箱换箱B.保管箱授权C.保管箱变更D.以上都不对多选题1.保管箱的租用对象有（ABCD）A.个人B.单位C.社会团体D.以上都是2.个人租用包括(ABC)A.单人租用B.双人租用C.联名租用D.代理租用3.保管箱代理方式包括(AB)A.单人代理B.双人代理C.授权代理D.以上都是4.保管箱服务方式按开箱是否需要银行人员参与，分为(ABCD)A.非自助式服务B.半自助式服务C.全自助式服务D.以上都对5.保管箱根据安装方式及库房形态，分为(ABCD)A.固定式保管箱B.移动式保管箱C.全自动保管箱D.以上都对6.保管箱身份验证方式包括(ABCDE)A.证件B.指纹C.密码D.印鉴E.借记卡7.保管箱挂失分为(AB)A.身份验证方式挂失B.开箱介质挂失C.箱体挂失D.以上都对8.保管箱凿箱包括(ABC)A.挂失凿箱B.强制凿箱C.清户凿箱D.冻结凿箱9.租用人办理新增授权委托手续时，(AB)需到场并出示有效合法实名制身份证件。
A.租用人B.新增代理人C.原代理人D.以上都是国债◆判断题1.凭证式国债发行期内，客户可办理提前兑取。
（对）2.柜员可通过代销购物车为客户认购储蓄国债。
（对）◆单选题1.储蓄国债和凭证式国债的发行对象（ A ）A.个人B.机构C.企事业单位D.社会团体2.储蓄国债存期（ A ）A.从发行起日至到期日B.从购买日至到期日C.从发行止日至到期日D.从购买日至期限对年对月对日3.凭证式国债存期（ D ）A.从发行起日至到期日B.从购买日至到期日C.从发行止日至到期日D.从购买日至期限对年对月对日4.531中储蓄国债和凭证式国债发行户、上划户、应付户、预付户设置在（ C ）A.总行B.分行C.网点D.以上都不是5.以下交易属于储蓄国债不属于凭证式国债的有（ D ）A.国债认购B.国债提兑C.到期兑付D.非交易过户◆多选题1.国债中统一纳入签约购物车的交易有（ AB ）A．储蓄国债开销托管账户 B．储蓄国债更改客户资金账户C．储蓄国债开销托管账户本 D．储蓄国债认购确认书补打银保通◆判断题1.个人客户可通过现金和开立在我行的个人结算账户（含太平洋借记卡和储蓄存折）购买保险产品。
（对）2.银保通业务应使用保险公司和总行规定的业务单证，分行可以根据需要变更和修改单证内容和格式。
（错）3.投保人本人于投保当日凭本人有效身份证件和正本保险单、正本保险费发票和客户回单等资料，至任意投保网点办理退保。
（错）4.交通银行存折、借记卡若余额不足或遇账户状态为冻结、质押等止付状态时，银保通批量代收允许成功。
（错）◆单选题1.新保缴费时发生主机记账成功，银保通系统记账失败的情况，经办柜员可以通过( )交易进行主机抹账处理。
( A )A.内部管理-对帐-单边账-银保通B.内部管理-手续费分润-银保通C.内部管理-调账D.公共抹帐◆多选题1.代理保险业务涉及保险公司的（）等重要凭证，纳入银行重要空白凭证管理。
（ ABC ）A.保险单B.发票C.标志D.收据基金◆判断题1.机构投资者只能指定一个按规定在我行开立的本地资金结算账户作为基金交易的资金结算账户。
( 对)2.个人投资者可以指定多个在我行开立的本人太平洋借记卡账户作为基金交易的资金结算账户。
（错）3.基金认申购业务可以通过“中间业务-代销购物车”交易购买。
（对）4.投资者当天申请的基金认/申购、组合投资、基金赎回、多笔赎回、基金转换、转托管等交易，可在申请当天正常交易时间内（一般15:00点前）在不同的交易网点申请撤销。
（错）◆单选题1.对公投资人在数据移植过程中，因为客户资料与核心客户账户不匹配的缘故造成换卡失败的，需要通过（）交易强行将投资人的交易账号状态置为差错卡。
（ A ）A．客户服务-基金-对公差错卡换卡B．客户服务-基金-对公差错户销户C．客户服务-基金-对公交易卡转置D．客户服务-基金-对公差错卡销卡2.基金在柜台通过（）交易购买。
（ A ）A.中间业务-代销购物车B.中间业务-基金C.中间业务-基金-认申购D.中间业务-基金-代销购物车◆多选题1.基金业务的开业时间为每个基金交易日的（），日切时间为当日( )（ AD ）A.9:30B.11:30C.13：00D.15:002.投资者的资金结算账户在柜台签约渠道约后，除在基金代销网点提交交易申请外，还可通过( )签约渠道进行基金交易申请。
（ABC）A.网上银行B.手机银行C.自助多媒体终端D.电话银行3.“客户服务-签约-对私购物车”中包括（）等基金签约业务。
（ CDE ）A.定期赎回B.预约赎回C.定期定额申购D.电子签名约定书E.快溢通4.基金转托管包括（ ABCD ）A.转出至非交行销售网点B.从非交行销售网点转入C.LOF基金转至交易所D.从交易所转入（确权）借记卡5.判断题1.个人联名账户所有人每人可申请开一张借记卡。
（对）2.单人授权方式只能为共同人授权一人为被授权人。
（错）3.个人联名账户借记卡可以开立卡储账户。
（错）4.推广期内个人联名账户借记卡不收工本费，但要收取年费。
（错）5.531上线后，个人联名账户借记卡支持POS渠道和线上支付。
（错）6.单选题1.531上线后，个人联名账户借记卡卡介质为“磁条卡”或（ A ）。
A.“磁条+IC卡”B.“IC卡”C.“新标准IC卡”2.个人联名账户的支取方式分为共同支取和（ B ）。
A.双人授权B.单人授权C.无需授权3.个人联名账户约定账户所有人最少为（ B ）。
A.1人B.2人C.3人4.个人联名账户约定账户所有人最多为（ C ）。
A.3人B.4人C.5人5.联名客户号户名为（ A ）。
A.全体联名账户所有人姓名B.由系统随机生成C.由客户指定◆简答题1．请简述联名账户的定义？答：指联名账户所有人为实现对经营资金、家庭财产等多人共管的需要，在交通银行以联名的方式申请开立的资金共管账户。
2．请简述531上线后个人联名借记卡开立的流程？答：联名账户客户号开立-联名账户开卡-联名账户支取方式设置。
集中清算◆判断题1.在总对总清算模式下，商户结算手续费分润和外部清算手续费支出由总行直接拆分至收单分行和发卡分行。
（错）2.手续费拆分与清算实现参数化管理，银行卡跨行业务手续费轧差记账。
（对）3.531后，在商户待清算账户下按商户账号设不同的卡片账户。
（错）4.系统每次进行“暂收款项-商户待清算户（清算户）”发生额与该户下卡片账的发生额进行比对（总分核对）时如两者相符，则进行商户资金清算。
（错）5.手续费内扣:是指向商户清算的资金中，已扣除我行应收手续费，只能采用前收费模式（同步扣收）。
（对）6.我行与银联、外卡组织的资金清算实现总对总清算。
（对）7.商户清算模式分为自动清算与非自动清算。
（对）8.我行与外卡公司的清算模式有两种，分别为集中式清算和受理机具清算。
（错）9.531后，我行银行卡清算实现全行银行卡跨行交易总行集中清算处理。
（对）10.531后系统自动将银行卡业务相关的手续费收入和支出直接核算至最小经营单位--网点。
（对）◆单选题1.收单商户清算采用每个分行设立一个商户待清算账户，该账户下按（ B ）设卡片账核算的模式。
A. 商户账号B. 商户编号C. 业务种类D. 商户名称2.当发生POS消费，核心系统进行账务处理时，（ A ）交易将交易资金记入“暂收款项-商户待清算分户（联机户）”下该商户编号对应的卡片账中。