高考数学总复习2.6

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高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程习题理

§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) ．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0 实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解：y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知函数f (x )＝2x＋x 3－2单调递增，∵f (0)＝1－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f (x )在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B .(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象．如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1.故选B .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.(2014·苏锡模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．解：由f (x 2)＋f (k －x )＝0得f (x 2)＝－f (k －x )，因为f (x )是奇函数，有－f (k －x )＝f (x －k )，故有f (x 2)＝f (x －k )，又f (x )是R 上的单调函数，所以方程x 2＝x －k 即x 2－x ＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k ＝14，故填14.类型一判断函数零点所在的区间(2014·北京)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．(2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)解：∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B .类型二零点个数的判断(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数即为函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )交点个数及函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )交点个数之和，而y ＝1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜x ≤1，7－x 2，x ≥2，x 2－1，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )有两个交点，又y ＝－1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0＜x ＜1，5－x 2，x ≥2，x 2－3，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a ，b ]上满足f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．(2014·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．解：当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，解法一：令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：f ′(x )＝2＋1x，由x ＞0知f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4＜0，f (e)＝2e －5＞0，f (1)f (e)＜0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f (x )的零点个数是2.故填2.类型三已知零点情况求参数范围(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期[0，3)上的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．(2015·河南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2， x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .方程－x ＋2＝0的解为x ＝2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为x ＝－1或－2.若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2，即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D .1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．函数y ＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一坐标系内分别做出y 1＝x ，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B .2．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .3．(2013·天津)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：判断函数f (x )的零点个数可转化为判断方程f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0的根的个数，由此得到|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B .4．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解：由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上，f (x 1)<f (x 0)＝0；在(x 0，＋∞)上，f (x 2)>f (x 0)＝0.故选B .5．(2014·黄冈九月质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33cos2x 在区间[－3，3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：令g (x )＝1＋x －x22＋x33，则g ′(x )＝1－x ＋x 2＞0，故g (x )在R 上单调递增，而g (－3)g (3)＜0，故g (x )在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y ＝cos2x 在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C .6．(2015·浙江模拟)函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：作出两函数的大致图象如图所示．两函数图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，故所有交点的横坐标之和为6.故选B .7．设f (x )＝2x－x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .解：∵x 0是函数f (x )的一个正数零点，即f (x 0)＝2x 0－x 0－4＝0，知f (2)＝22－2－4＜0，f (3)＝23－3－4＞0，∴x 0∈(2，3)，再由y ＝2x与y ＝x ＋4在(0，＋∞)上只有一个交点知a 值惟一．又∵a ∈N ，∴a ＝2.故填2.8．(2014·安庆六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋2m ＝0，则f (x )＝－2m ，由图象知，当1≤－2m ＜2，即－1＜m ≤－12时，直线y ＝－2m 与y ＝f (x )的图象有三个交点．故填⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，求函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点构成的集合．解：先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1. 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.故所求为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.10．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围．解：f (x )在(0，1)上恰有一个零点，显然a ≠0. ∴有两种情形：①f (0)f (1)＜0，得(－1)·(2a －2)＜0⇒a ＞1；②Δ＝0且方程f (x )＝0的根在(0，1)内，令Δ＝0⇒1＋8a ＝0⇒a ＝－18，得f (x )＝－14(x 2＋4x ＋4)，此时f (x )＝0的根x 0＝－2∉(0，1)．综上知a ＞1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c . ∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2，当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2.∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0，即g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝||x cos （πx ），则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解：原问题可转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上的交点个数问题．由题意知函数f (x )为偶函数，且周期为2.当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，g (x )≥0，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上两函数图象有6个交点，故选B .。

函数与方程-高考真题复习-高考复习

设m(x)=-x3+3xx2+a1x-a,x∈(0,1),1a>0x,
则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,
又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,
∴m(x)在(0,1)上有零点,
则h(x)在(0,1)上有零点.
因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
2.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 ( )
A.
0,
1 2
B.
1 2
,1
C.(1,2)
D.(2,+∞)
答案 B f(x)=
x 3
1, x,
x如图2,,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= x 2.
同时要满足
y
(x
2)在2 , x>2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令
y b2 x2
h(x)=x2-5x+8-b,需
h(2) 0,
即
h
5 2
0,
2 b 解 0得, <b<2.
8
25 4
b
0,
7 4
综上所述,满足条件的b的取值范围是 <b<2,故7选D.
4
y 2 x,
则
Δ1
Δ2Байду номын сангаас
a2 a2
4a 8a
∴04,<a<8. 0,
情况二:
则

2023版高考数学一轮总复习2-6函数与方程及函数的综合应用习题

2.6 函数与方程及函数的综合应用基础篇固本夯基考点一函数的零点1.(2021云南顶级名校检测,4)函数f(x)=lnx-3x 的零点所在的区间是( ) A.(1,2) B.(2,e) C.(e,3) D.(3,+∞) 答案 C2.(2022届湖北襄阳五中10月月考,3)下列函数在(0,+∞)上单调递增且存在零点的是( )A.y=x 2-x-3 B.y=-0.2xC.y=sin2xD.y=x-1x 答案 D3.(2020四川石室中学月考,7)已知函数f(x)=(13)x-log 2x,设0<a<b<c,且满足f(a)·f(b)·f(c)<0,若实数x 0是方程f(x)=0的一个解,那么下列不等式中不可能成立的是( )A.x 0<aB.x 0>cC.x 0<cD.x 0>b 答案 B4.(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)={e x ,x ≤0,ln x ,x >0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是( ) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)答案 C5.(2022届黑龙江八校期中联考,11)已知f(x)=e -x-lnx-2x,若x 0是函数f(x)的一个零点,则x 0+lnx 0的值为( )A.0B.1e -1 C.1 D.e+1 答案 A6.(2021辽宁铁岭一模,6)若关于x 的方程√2x -x 2-mx-3=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( ) A.(-∞,-43)B.(-∞,-32]∪(-43,+∞) C.(-32,-43]D.[-32,-43) 答案 D7.(2021河南焦作二模,15)若函数f(x)=|e x-a|-1有两个零点,则实数a 的取值范围是 . 答案 (1,+∞)8.(2020宁夏石嘴山三中三模,16)已知函数f(x)={x 2+2x -3,x ≤1,2x ,x >1,则函数y=f(f(x))的图象与直线y=4的交点个数为 . 答案 3考点二函数模型及应用1.(2021全国甲,4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(√1010≈1.259)( )A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6 答案 C2.(2021合肥质监,6)2019年1月1日起,我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数据确定,计算公式为:个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为:应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中,“基本减除费用”(免征额)为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表:级数全年应纳税所得额所在区间税率(%)速算扣除数1 [0,36000] 3 02 (36000,144000] 10 25203 (144000,300000] 20 169204 (300000,420000] 25 319205 (420000,660000] 30 52920若某人全年综合所得收入额为249600元,专项扣除占综合所得收入额的20%,专项附加扣除是52800元,依法确定其他扣除是4560元,则他全年应缴纳的个人所得税应该是( ) A.5712元 B.8232元C.11712元D.33000元答案 A3.(2020课标Ⅲ,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=x1+e-0.23(x-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln19≈3)()A.60B.63C.66D.69答案 C4.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:x1 (x+x)2+x2x2=(R+r)x1x3.设α=xx .由于α的值很小,因此在近似计算中3x3+3x4+x5(1+x)2≈3α3,则r的近似值为( )A.√x 2x 1RB.√x22x 1R C.√3x 2x 13R D.√x23x 13R答案 D5.(2022届云南大理统测,4)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型:t=-1x ·lnx -x 0x 1-x 0(t 为时间,单位为分钟,θ0为环境温度,θ1为物体初始温度,θ为冷却后温度),假设一杯开水温度θ1=90℃,环境温度θ0=10℃,常数k=16,大约经过分钟水温降为40℃(参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1)( ) A.8 B.7 C.6 D.7 答案 C6.(2020陕西咸阳二模,15)为了抗击新型冠状病毒肺炎,某医药公司研究出一种消毒剂,据实验表明,该药物释放量y(mg/m 3)与时间t(h)的函数关系为y={xx ,0<x <12,1xx,t ≥12,如图所示,实验表明,当药物释放量y<0.75(mg/m 3)时对人体无害. (1)k= ;(2)为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间. 答案 (1)2 (2)407.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W=f(t),用-x (x )-x (x )x -x的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t 1,t 2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ②在t 2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ③在t 3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中,在[0,t 1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是 . 答案 ①②③综合篇知能转换考法一判断函数零点所在区间和零点的个数1.(2021山西吕梁一模,9)函数f(x)=2x+14x-5的零点x 0∈[a -1,a],a∈N *,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C2.(2021江西八所重点中学4月联考,6)定义在R 上的函数y=f(x)满足f(6-x)=f(x),(x-3)f'(x)>0(x≠3),若f(0)·f(1)<0,则函数f(x)在区间(5,6)内( ) A.没有零点 B.有且仅有1个零点 C.至少有2个零点 D.可能有无数个零点答案 B3.(2021东北三省四市教研联合体二模,11)若函数f(x)={|2x -1|,x <2,3x -1,x ≥2,则函数g(x)=f[f(x)]-2的零点个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B4.(2022届四川攀枝花统考一,7)方程f(x)=f'(x)的实数根叫做函数f(x)的“新驻点”.如果函数g(x)=lnx+2的“新驻点”为a,那么a 的取值范围是( ) A.(0,12) B.(12,1) C.(1,32) D.(32,2) 答案 B5.(2022届兰州西北师大附中期中,12)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=(√22)x-1,则在区间(-2,6)上关于x 的方程f(x)-log 8(x+2)=0的解的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 B6.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lgx|-kx-2,给出下列四个结论:①当k=0时,f(x)恰有2个零点; ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点; ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点; ④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是 . 答案 ①②④考法二已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围) 1.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a=( )A.-12B.13C.12D.1答案 C2.(2020天津,9,5分)已知函数f(x)={x 3,x ≥0,-x ,x <0.若函数g(x)=f(x)-|kx 2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k 的取值范围是( ) A.(-∞,-12)∪(2√2,+∞) B.(-∞,-12)∪(0,2√2) C.(-∞,0)∪(0,2√2) D.(-∞,0)∪(2√2,+∞) 答案 D3.(2022届山西长治第八中学阶段性测评,10)已知函数f(x)={e x -x,x ≤0,ln x -x ,x >0,函数y=f(x)+2x+a 有且只有两个零点,则a 的取值范围为( ) A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 答案 B4.(2022届河北衡水第一中学调研一,8)定义在R 上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)={e x -1,0≤x ≤1,x 2-4x +4,1<x ≤2.若关于x 的不等式m|x|≤f(x)的整数解有且仅有9个,则实数m 的取值范围为( ) A.(e -17,e -15] B.[e -17,e -15] C.(e -19,e -17] D.[e -19,e -17]答案 C5.(2020吉林延边自治州4月模拟,12)已知函数f(x)={|log2(x-1)|,1<x≤3,x2-8x+16,x>3,若方程f(x)=m有4个不同的实根x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则(1x1+1x2)(x3+x4)=( )A.6B.7C.8D.9答案 C6.(2022届赣州十七校期中联考,15)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=e x(x+1),若关于x的方程f(x)=m有三个不同的实数根,则实数m的取值范围为.答案(-1e2,1 e2)7.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)={x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是______.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)8.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=√1−(x-1)2,g(x)={x(x+2),0<x≤1,-12,1<x≤2,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.答案[13,√24)应用篇知行合一应用函数模型的实际应用1.(2020新高考Ⅰ,6,5分模型应用)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案 B2.(2021昆明质量检测二,11生活实践情境)饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为,将受到法律处罚.检测标准:“饮酒驾车:车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 的驾驶行为;醉酒驾车:车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml 的驾驶行为.”据统计,停止饮酒后,血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg/100ml,若经过n(n∈N *)小时,该人血液中的酒精含量小于20mg/100ml,则n 的最小值为(参考数据:lg2≈0.3010)( )A.7B.8C.9D.10 答案 B3.(2021河北衡水五校模拟,4模型应用)要测定古物的年代,可以用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性14C,动植物死亡后,停止新陈代谢,14C 不再产生,且原有的14C 会自动衰减.经科学测定,14C 的半衰期为5730年设14C 的原始量为1,经过x 年后,14C 的含量f(x)=a x,即f(5730)=12.现有一古物,测得14C 为原始量的79.37%,则该古物距今约年参考数据:√123≈0.7937,√125730≈0.9998( )A.1910B.3581C.9168D.17190 答案 A4.(2022届长春重点高中第一次月考,9生活实践情境)2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据:取ln0.6≈-0.511,ln0.9≈-0.105)( ) A.4 B.5 C.6 D.7答案 C5.(2022届山东潍坊安丘等三县10月测试,6生活实践情境)某投资机构从事一项投资,先投入本金a(a>0)元,得到的利润是b(b>0)元,收益率为xx (%),假设在第一次投资的基础上,此机构每次都定期追加投资x(x>0)元,得到的利润也增加了x 元,若使得该项投资的总收益率是增加的,则( )A.a≥bB.a≤bC.a>bD.a<b 答案 C6.(2022届山东德州期中,6生活实践情境)声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时,所产生的压力变化(简称声压,单位为N/m 2).已知声音大小y 与声压x 的关系式为y=10×lg (x2×10-5)2,且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定,在居民区内,户外白昼噪声容许标准为50分贝,夜间噪声容许标准为40分贝,则居民区内,户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的( )A.√10 倍B.2√10 倍C.10倍D.20倍答案 A7.(2021北京西城一模,15生活实践情境)长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=水库实际蓄水量÷水库总蓄水量×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:(1)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100]; (2)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低; (3)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.记x 为调度前某水库的蓄满指数,y 为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y 关于x 的函数解析式:①y=-120x 2+6x;②y=10√x ;③y=10x50;④y=100sin π200x.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 . 答案 ②④8.(2022届河南期中联考,21生产生活)如图所示是一个长方体容器,长方体的上、下底面为正方形,容器顶部有一个圆形的盖子,圆与上底面四条边都相切,该容器除了盖子以外的部分均用铁皮制作,共使用铁皮的面积为16dm 2.假设圆形盖子的半径为rdm,该容器的容积为Vdm 3,铁皮厚度忽略不计. (1)求V 关于r 的函数关系式;(2)该容器的高AA 1为多少分米时,V 取最大值?解析 (1)设AA 1=adm.由题意得(2r)2-πr 2+(2r)2+8ar=16,可得a=16+(π-8)x 28x,所以V=(2r)2a=8r+(π2-4)r 3.由a>0,得16+(π-8)x 28x>0,解得0<r<√8−π.因此V=8r+(π2-4)r 3,r∈(0√8−π).(2)V'=8+3(π2-4)r 2,令V'>0,得0<r<√3(8−π);令V'<0,得√3(8−π)<r<√8−π,所以V 在(0√3(8−π))上单调递增,在(√3(8−π)√8−π)上单调递减,所以当r=√3(8−π)时,V 取最大值,此时a=√3(8−π)3,即该容器的高AA 1为√3(8−π)3dm 时,V 取最大值.9.(2022届山东鱼台一中月考,21生活实践情境)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为km 2),这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m 2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m 2,凤眼莲的覆盖面积y(单位:m 2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=p x 12+k(p>0,k>0)可供选择. (1)试判断哪个函数模型更适合,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)11解析 (1)函数y=ka x (k>0,a>1)与y=p x 12+k(p>0,k>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x 的增加,函数y=ka x (k>0,a>1)的值增加得越来越快,而函数y=p x 12+k 的值增加得越来越慢,由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,因此选择模型y=ka x (k>0,a>1)符合要求.根据题意可知当x=2时,y=24;当x=3时,y=36, 所以{xx 2=24,xx 3=36,解得{x =323,x =32.故该函数模型的解析式为y=323·(32)x ,1≤x≤12,x∈N *. (2)元旦放入凤眼莲的覆盖面积是323m 2,由323·(32)x >10×323,得(32)x >10,∴x>log 3210=lg10lg 32=1lg3−lg2≈5.7,∵x∈N *,∴x≥6.即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.。

高考北师大版数学总复习课件：2.6指数与指数函数

第六节
指数与指数函数
考纲解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考向预测 1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同时考查分类整合思想和数形结合思想． 2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数交汇命题．
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n n 次方根是一个负数，这时， a 的 n 次方根用符号 a 表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反 n 数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方 n n 根用符号－ a 表示．正负两个 n 次方根可以合写为 ± a (a>0)．
7．若函数 f(x)＝ (a2－ 1)x 在 (－∞，＋∞ )上是减函数，求 a 的取值范围．
[解析] ∵0<a2－ 1<1，∴1<a2<2， ∴－ 2< a<－ 1 或 1<a< 2. 即 a 的取值范围是(－ 2，－1)∪(1， 2)．
幂式的化简与求值
[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算性质进行运算．
1 C. － 1， 2
的单调递增区间是
B． [2，＋∞)
1 D. ， 2 2
[答案] D
[解析] 令 t＝－ x2＋ x＋ 2≥ 0，得函数定义域为 [－1,2]，所以 t＝－ x
2
1 1 ＋ x＋ 2 在－ 1，上递增，在， 2上递减．根据“同 2 2 1 的单调递增区间是， 2. 2

2022版新高考数学总复习真题专题--函数的零点与方程的根(解析版)

2022版新高考数学总复习--§2.6 函数的零点与方程的根— 五年高考 —考点函数的零点1.(2020天津,9,5分)已知函数f (x )={x 3,x ≥0,-x ,x <0.若函数g (x )=f (x )-|kx 2-2x |(k ∈R )恰有4个零点,则k 的取值范围是( )A.(-∞,-12)∪(2√2,+∞) B.(-∞,-12)∪(0,2√2) C.(-∞,0)∪(0,2√2) D.(-∞,0)∪(2√2,+∞) 答案 D2.(2019天津文,8,5分)已知函数f (x )={2√x ,0≤x ≤1,1x , x >1.若关于x 的方程f (x )=-14x +a (a ∈R )恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为 ( )A.[54,94] B.(54,94]C.(54,94]∪{1} D.[54,94]∪{1} 答案 D3.(2019浙江,9,4分)设a ,b ∈R ,函数f (x )={x , x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax , x ≥0.若函数y =f (x )-ax -b 恰有3个零点,则 ( )A.a <-1,b <0B.a <-1,b >0C.a >-1,b <0D.a >-1,b >0 答案 C4.(2017山东理,10,5分)已知当x ∈[0,1]时,函数y =(mx -1)2的图象与y =√x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是 ( )A.(0,1]∪[2√3,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,√2]∪[2√3,+∞)D.(0,√2]∪[3,+∞)答案B5.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a= ()A.-12B.13C.12D.1答案C6.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:①若k=0,则f(x)有两个零点;②∃k<0,使得f(x)有一个零点;③∃k<0,使得f(x)有三个零点;④∃k>0,使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是.答案①②④7.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=√1-(x-1)2,g(x)={k(x+2),0<x≤1,-12,1<x≤2,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.答案[13,√2 4)以下为教师用书专用(1—8)1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)={2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案 A 由已知条件可得g (x )=3-f (2-x )={|x -2|+1,x ≥0,3-x 2, x <0.函数y =f (x )-g (x )的零点个数即为函数y =f (x )与y =g (x )图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y =f (x )与y =g (x )的图象如图所示.由图可知函数y =f (x )与y =g (x )的图象有2个交点,所以函数y =f (x )-g (x )的零点个数为2,选A . 2.(2014北京文,6,5分)已知函数f (x )=6x -log 2x.在下列区间中,包含f (x )零点的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)答案 C ∵f (1)=6-log 21=6>0, f (2)=3-log 22=2>0,f (4)=64-log 24=32-2<0,∴包含f (x )零点的区间是(2,4),故选C . 3.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f (x )=e x+4x -3的零点所在的区间为 ( )A.(-14,0)B.(0,14)C.(14,12)D.(12,34)答案 C 显然f (x )为定义域R 上的连续函数.如图作出y =e x与y =3-4x 的图象,由图象知函数f (x )=e x+4x -3的零点一定落在区间(0,34)内,又f (14)=√e 4-2<0, f (12)=√e -1>0.故选C .评析本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题. 4.(2016山东文,15,5分)已知函数f (x )={|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 .答案 (3,+∞)解析 f (x )的图象如图所示,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,只需4m -m 2<m ,解之得m >3或m <0,又m >0,所以m >3.方法总结分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决. 评析本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题. 5.(2016天津文,14,5分)已知函数f (x )= {x 2+(4a -3)x +3a ,x <0,log a (x +1)+1, x ≥0(a >0,且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f (x )|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 . 答案 [13,23)解析 ∵函数f (x )在R 上单调递减,∴{-4a -32≥0,0<a <1,3a ≥1,解得13≤a ≤34.在同一直角坐标系下作出函数y =|f (x )|与y =2-x3的图象,如图所示.方程|f (x )|=2-x3恰有两个不相等的实数解等价于y =|f (x )|的图象与y =2-x3的图象恰有两个交点,则需满足3a <2,得a <23,综上可知,13≤a <23.易错警示 (1)f (x )在R 上单调递减,需满足{-4a -32≥0,0<a <1,3a ≥1,缺少条件是失分的一个原因;(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方法.评析本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.6.(2015湖南理,15,5分)已知函数f (x )={x 3,x ≤a ,x 2,x >a .若存在实数b ,使函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,则a 的取值范围是 . 答案 (-∞,0)∪(1,+∞)解析当a <0时,若x ∈(a ,+∞),则f (x )=x 2,当b ∈(0,a 2)时,函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,分别是x 1=-√b ,x 2=√b .当0≤a ≤1时,f (x )的图象如图所示,易知函数y =f (x )-b 最多有一个零点. 当a >1时, f (x )的图象如图所示,当b ∈(a 2,a 3]时,函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,分别是x 1=√b 3,x 2=√b .综上,a ∈(-∞,0)∪(1,+∞).7.(2015北京理,14,5分)设函数f (x )={2x -a , x <1,4(x -a )(x -2a ), x ≥1.①若a =1,则f (x )的最小值为 ;②若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .答案 ①-1 ②[12,1)∪[2,+∞)解析 ①当a =1时, f (x )={2x -1,x <1,4(x -1)(x -2),x ≥1,其大致图象如图所示:由图可知f (x )的最小值为-1. ②当a ≤0时,显然函数f (x )无零点;当0<a <1时,易知f (x )在(-∞,1)上有一个零点,要使f (x )恰有2个零点,则当x ≥1时, f (x )有且只有一个零点,结合图象可知,2a ≥1,即a ≥12,则12≤a <1;当a ≥1时,2a >1,由二次函数的性质可知,当x ≥1时, f (x )有2个零点, 则要使f (x )恰有2个零点,则需要f (x )在(-∞,1)上无零点,则2-a ≤0,即a ≥2. 综上可知,满足条件的a 的取值范围是[12,1)∪[2,+∞).8.(2015湖北文,13,5分)函数f (x )=2sin x sin (x +π2)-x 2的零点个数为 .答案 2解析 f (x )=2sin x cos x -x 2=sin 2x -x 2,函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1=sin 2x 与y 2=x 2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y 1=sin 2x 与y 2=x 2的图象如图所示:由图可知两函数图象有2个交点,则f (x )的零点个数为2.— 三年模拟 — A 组考点基础题组考点函数的零点1.(2019广东汕头达濠华侨中学,东厦中学第二次联考,12)设函数f (x )是定义在R 上周期为2的函数,且对任意的实数x ,恒有f (x )-f (-x )=0.当x ∈[-1,0]时, f (x )=x 2,若g (x )=f (x )-log a x 在x ∈(0,+∞)上有且仅有三个零点,则a的取值范围为 ( )A.[3,5]B.[4,6]C.(3,5)D.(4,6) 答案 C2.(2020湖南长沙明德中学3月月考,10)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2-x )=f (2+x ),当x ≤2时, f (x )=x e x,若关于x 的方程f (x )=k (x -2)+2有三个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是 ( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-e ,0)∪(0,e ) D.(-e ,0)∪(e ,+∞) 答案 A3.(多选题)(2021辽宁沈阳市郊联体一模,12)已知函数f (x )={2x +2,-2≤x ≤1,lnx -1,1<x ≤e ,若关于x 的方程f (x )=m 恰有两个不同解x 1,x 2(x 1<x 2),则(x 2-x 1)f (x 2)的取值可能是 ( ) A.-3 B.-1 C.0 D.2 答案 BC4.(2021福建三明三模,15)函数f (x )=ln x +2x -6零点的一个近似值为 .(误差不超过0.25,自然对数的底数e ≈2.72)答案 2.45(可填(2.36,2.54)中的任一实数)5.(2021湖北九师联盟2月质量检测,15)若函数f (x )={x 3-3x +1-a ,x >0,x 3+3x 2-a ,x ≤0恰有3个零点,则实数a 的取值范围为 . 答案 (-1,0)∪[1,4)B 组综合应用题组时间:30分钟分值:35分一、单项选择题(每小题5分,共15分)1.(2020河北新时代NT 教育模拟自测)已知函数f (x )={|lnx |,x >0,x 2+2x +2,x ≤0,若f (x )=kx 有两个不等实根,则实数k 的取值范围是 ( )A.2-2√2<k <0或k =1e B.k <2-2√2C.2-2√2<k <0D.k <2-2√2或k =1e 答案 D2.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知函数f (x )=2x ,函数g (x )与p (x )=1+ln (-2-x )的图象关于点(-1,0)对称,若f (x 1)=g (x 2),则x 1+x 2的最小值为 ( ) A.2 B.ln2-12C.12ln 2 D.ln 2答案 C3.(2019河北衡水中学第二次调研,12)已知函数f (x )={x 2+4x ,x ≤0,xlnx ,x >0,g (x )=kx -1,若方程f (x )-g (x )=0在x ∈(-2,e 2)上有3个实根,则k 的取值范围为 ( )A.(1,2]B.(1,32]∪{2} C.(1,32)∪(32,2) D.(1,32)∪(32,2+1e 2)答案 B二、多项选择题(每小题5分,共10分)4.(2021湖南衡阳联考(一),12)已知函数f (x )=e sin|x |+e|sin x |,以下结论正确的是 ( )A. f (x )是偶函数B. f (x )的最小值为2C. f (x )在区间(-π,-π2)上单调递减 D.g (x )=f (x )-2πx 的零点个数为5 答案 ABD5.(2021山东日照一模,11)已知函数f (x )对于任意x ∈R ,均满足f (x )=f (2-x ).当x ≤1时, f (x )={lnx ,0<x ≤1,e x,x ≤0,若函数g (x )=m |x |-2-f (x ),则下列结论正确的为 ( ) A.若m <0,则g (x )恰有两个零点 B.若32<m <e ,则g (x )有三个零点 C.若0<m ≤32,则g (x )恰有四个零点 D.不存在m 使得g (x )恰有四个零点答案 ABC三、填空题(每小题5分,共10分)6.(2021山东济南十一学校联考,16)如果两个函数存在零点,分别为α,β,且满足|α-β|<n ,则称两个函数互为“n 度零点函数”.若f (x )=ln (x -2),g (x )=ax 2-ln x 互为“2度零点函数”,则实数a 的取值范围为 .答案 (0,12e]7.(2020山东淄博实验中学模拟,16)已知函数f (x )=(2-a )·(x -1)-2ln x.若函数f (x )在(0,12)上无零点,则a 的最小值为 . 答案 2-4ln 2— 一年原创 —1.(2021 5·3原创题)已知x 0是函数f (x )=x 2e x -2+ln x -2的零点,则下列结论错误的是( )A.ln x 0=2-x 0B.e 2-x 0+ln x 0=2C.x 0∈(1,2)D.ln x 0-1x 0>0 答案 D2.(2021 5·3原创题)已知函数f (x )={|x +2|,x ≤0,log 2x ,x >0.关于x 的方程[f (x )]2=mf (x )+1有4个不同的实数根,则实数m 的取值范围为( )A.(-32,1) B.(-∞,32] C.(1,32] D.(-∞,-32) 答案 B3.(2021 5·3原创题)已知f (x )={lnx ,x ≥1,x 2,x <1,若g (x )=f 2(x )+mf (x )+2有5个零点,则实数m 的取值范围为( )A.(-∞,-2√2)B.(-∞,-3)C.(-∞,-3]D.(-2√3,-3) 答案 B4.(2021 5·3原创题)已知函数F (x )=(x 3+x2)3+x 3+x2-2x ,设x 1,x 2(x 1<x 2)是函数的两个非零零点,则函数y =2(x 1+2x 2)t +2(2x 1+x 2)t+1(t ∈R )的最小值为( )A .2√2B .0C .1D .4 答案 A5.(2021 5·3原创题)已知函数f (x )=|x |(x +1),若函数g (x )=f (x )+2f (x )+m 有四个不同零点x 1,x 2,x 3,x 4,则实数m 的取值范围是 ;若x 1<x 2<x 3<x 4,则f (x 1)f (x 2)f (x 3)f 3(x 4)的值是 .答案 (-∞,-334);8 6.(2021 5·3原创题)函数f (x )=|cos x |-m sin x -3m 无零点,则m 的取值范围是 . 答案 (-∞,0)∪(√24,+∞)11 / 11 7.(2021 5·3原创题)已知f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x >0时,f (x )={3x -7,0<x ≤2,|x -5|-1,x >2.g (x )=f (x )-a. (1)若函数g (x )恰有三个不相同的零点,求实数a 的值;(2)记h (a )为函数g (x )的所有零点之和.当-1<a <1时,求h (a )的取值范围.解析 (1)作出函数f (x )的图象,如图,由图象可知,当且仅当a =2或a =-2时,直线y =a 与函数y =f (x )的图象有三个不同的交点,∴当且仅当a =2或a =-2时,函数g (x )恰有三个不相同的零点.(2)由f (x )的图象可知,当-1<a <1时,g (x )有6个不同的零点.设这6个零点从左到右依次为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6. 则x 1+x 2=-10,x 5+x 6=10,x 3是方程-3-x +7-a =0的解,x 4是方程3x-7-a =0的解. ∴h (a )=-10-log 3(7-a )+log 3(7+a )+10=log 37+a7-a .∵当-1<a <1时,7+a 7-a =147-a -1∈(34,43),∴h (a )∈(1-2log 32,2log 32-1).∴当-1<a <1时,h (a )的取值范围为(1-2log 32,2log 32-1).技巧点拨遇到函数零点求和时,往往要结合函数的图象,注意函数图象的对称性,理清零点间的关系再求和.。

高中数学新高考复习试卷讲义第2章 §2.6 二次函数与幂函数

1．已知p ：f (x )是幂函数，q ：f (x )的图象过点(0,0)，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2．(2023·保定检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b3．(2023·厦门模拟)函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一平面直角坐标系内的图象可以是( )4．已知函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a ，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,3]C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．[3，＋∞) 5．(多选)幂函数f (x )＝()22657m m m x－－＋在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是( )A ．m ＝3B ．函数f (x )在(－∞，0)上单调递增C ．函数f (x )是偶函数D ．函数f (x )的图象关于原点对称6．(多选)若二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 等于( )A ．－13 B.13C ．－5D ．5 7．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[1，＋∞)，则1a ＋4c的最小值为________．9．已知幂函数f (x )＝(2m 2－m －2)242m x－(m ∈R )为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－2(a －1)x ＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a 的值．10．设二次函数f (x )满足：①当x ∈R 时，总有f (－1＋x )＝f (－1－x )；②函数f (x )的图象与x轴的两个交点为A ，B ，且|AB |＝4；③f (0)＝－34. (1)求f (x )的解析式；(2)若存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ](m >1)，就有f (x ＋t )≤x －1成立，求满足条件的实数m 的最大值．11.已知幂函数y ＝x a 与y ＝x b 的部分图象如图所示，直线x ＝m 2，x ＝m (0<m <1)与y ＝x a ，y ＝x b 的图象分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |＝|CD |，则m a ＋m b 等于( )A.12B ．1 C. 2 D ．212．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．13．已知函数f (x )＝2ax 2－2 022x －2 023，对任意t ∈R ，在区间[t －1，t ＋1]上存在两个实数x 1，x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥1成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－1,1]C ．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 14．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋1，设1≤x 1<x 2<x 3<…<x n ≤4，若|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|≤M ，则M 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6。

高考数学一轮总复习专题2.6对数及对数函数练习(含解析)文(2021年整理)

专题2.6 对数及对数函数真题回放1. 【2017高考天津文第6题】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】【考点】1。

指数，对数；2.函数性质的应用【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题,属于基础题型,首先根据奇函数的性质和对数运算法则，，再比较比较大小。

2.【2017高考全国卷文第9题】已知函数,则 A ．在(0，2）单调递增B ．在（0，2）单调递减C ．y =的图像关于直线x =1对称D ．y =的图像关于点(1，0）对称【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，,所以的图象关于直线对称,C 正确，D 错误；又（),在上单调递增，在上单调递减，A ，B 错误，故选C ．【考点】函数性质【名师点睛】如果函数，，满足，恒有 ()f x R0.8221(l o g ),(l o g 4.1),(2)5a f b f cf =-==,,abca b c <<b a c <<c b a <<c a b <<C()2l o g5a f =0.822l o g 5,l o g 4.1,2()l nl n (2)fx x x =+-()f x ()f x ()f x ()f x (2)l n (2)l n()fx x x f x -=-+=()f x 1x =112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--02x <<(0,1)[1,2)()f x x D ∀∈x D ∀∈()()fa x fb x +=-，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．3。

【2017高考全国卷文第8题】函数的单调递增区间是 A 。

B. C 。

D.【答案】D4。

【2015高考上海卷文第8题】方程的解为。

【答案】2【解析】依题意,所以，令，所以,解得或，当时，，所以，而，所以不合题意，舍去；当时，，所以，，，所以满足条件，所以是原方程的解. 【考点定位】对数方程。

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数学案文-人教版高三全册数学学案

2．6 对数与对数函数[知识梳理]1．对数2．对数函数的概念、图象与性质3．反函数概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．4．对数函数与指数函数的关系指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．(1)对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，而对数函数的函数值y恰好是指数函数的自变量x，即二者的定义域和值域互换．(2)由两函数的图象关于直线y＝x对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致．特别提示：底数a对函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．(3)作直线y ＝1与所给图象相交，交点的横坐标为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系．[诊断自测] 1．概念思辨(1)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.( ) (2)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) (3)函数f (x )＝lgx －2x ＋2与g (x )＝lg (x －2)－lg (x ＋2)是同一个函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 72例8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c答案 D解析解法一：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c .故选D.解法二：由对数运算法则得a ＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，∵log 27>log 25>log 23>0，∴1log 27<1log 25<1log 23，即log 72<log 52<log 32，故a >b >c .故选D.(2)(必修A1P 75T 11)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 答案 1解析原式＝(lg 5)2＋lg 2·[lg (2×52)] ＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1. 3．小题热身(1)(2017·衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9答案 C解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C.(2)(2018·郑州模拟)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0，∴a ＝1b，又g (x )＝－log b x ＝log 1bx ＝log a x (x >0)，∴函数f (x )与g (x )的单调性相同．故选B.题型1 对数的运算典例1 (2017·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a＋1b的值为( ) A ．36 B ．72 C ．108D.172对数式转化成指数式．答案 C解析设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab＝6k 2k －23k －3＝6k 2k 4×3k 27＝6k6k 108＝108.故选C.典例2 (2018·镇江模拟)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645.换底公式．解因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是 log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.方法技巧对数运算的一般思路1．对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解．见典例2.2．在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算．对于连等式，注意设等式为k ，见典例1.冲关针对训练1．已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2答案 C解析因为3a＝4b＝12，所以a ＝log 312，b ＝log 412， 1a＝log123，1b ＝log 124，所以1a ＋1b＝log12 3＋log124＝log1212＝2.故选C.2．(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 54解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23＝log 322·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3 12 ·3 13 ＝32lg 2lg 3·56lg 3lg 2＝54. 题型2 对数函数的图象及应用典例 (2018·长春模拟)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)数形结合法，排除法．答案 B解析解法一：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，a ＞22，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫22，1.故选B. 解法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有4 12 ＝2，log 1212＝1，显然4x＜log a x 不成立，排除选项A.故选B.[条件探究] 若本典例变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a12，解得a ≥116，所以116≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. 方法技巧利用对数函数的图象可求解的两类热点问题1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．冲关针对训练1．(2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )答案 B解析由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.故选B. 2．(2017·青岛统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞解析对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min ，由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图象(如图)可知，当x ＝12时，f (x )取最大值，f (x )max ＝14；因为g (x )＝|x －k |＋|x －1|≥|x －k －(x －1)|＝|k －1|，所以g (x )min ＝|k －1|，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54，故答案为k ≤34或k ≥54.题型3 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小典例 (2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c利用指数函数、对数函数的单调性，结合不等式的性质比较大小；也可用特值法．答案 C解析解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ， ∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a logbc <b log a c ，故C 正确．故选C.解法二：依题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 均是错误的，只有C 正确．故选C.角度2 解对数不等式典例 (2017·江西名校联考)设函数f (x )＝log 12 (x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0,2]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 利用函数的奇偶性、单调性，结合换元法解不等式．答案 B解析 ∵f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t ＝log 2x ，则log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1.又∵f (1)＝log 12 2＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，∴－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1,1]，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.故选B. 角度3 对数函数性质的综合应用典例已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．运用复合函数的单调性“同增异减”．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 方法技巧对数函数的性质及应用问题的常见题型与解题策略1．对数型函数定义域的求解列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围．2．比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．3．解对数不等式，形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．4．对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如y ＝log a f (x )的复合函数的单调区间，其一般步骤为：①求定义域，即满足f (x )>0的x 的取值集合；②将复合函数分解成基本初等函数y ＝log a u 及u ＝f (x )；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y ＝log a f (x )为增函数，若一增一减，则y ＝log a f (x )为减函数，即“同增异减”．冲关针对训练1．(2018·河南模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a答案 B解析 ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.2．(2017·南昌调研)a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( )A.16≤a <14或a >1 B ．a >1C.18≤a <14D.15≤a ≤14或a >1 答案 A解析 ∵a >0，a ≠1，令g (x )＝|ax 2－x |⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠0，x ≠1a 作出其图象如右：∵函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数，若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12a≥4，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1a <3，a >1，解得a >1；若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧12a≤3，1a >4，解得16≤a <14.故选A.题型4 指数函数、对数函数的综合应用典例1(2018·西安模拟)设方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0<x 1x 2<1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2数形结合法．答案 B解析由方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，log 12 x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，分别画出左右两边函数的图象，如图所示．由指数与对数函数的图象知：x 1>1>x 2>0，于是有log 2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x2<log 12x 2，得x 1<1x 2，所以0<x 1x 2<1.故选B.典例2设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，函数y ＝f [f (x )]－1的零点个数为________．分类讨论法．答案 2解析当x ≤0时，y ＝f [f (x )]－1＝f (2x)－1＝log 22x－1＝x －1，令x －1＝0，则x ＝1，表明此时y ＝f [f (x )]－1无零点．当x >0时，分两种情况：①当x >1时，log 2x >0，y ＝f [f (x )]－1＝f (log 2x )－1＝log 2(log 2x )－1，令log 2(log 2x )－1＝0，即log 2(log 2x )＝1，log 2x ＝2，解得x ＝4；②当0<x ≤1时，log 2x ≤0，y ＝f [f (x )]－1＝f (log 2x )－1＝2log2x －1＝x －1，令x －1＝0，解得x ＝1，因此函数y ＝f [f (x )]－1的零点个数为2.方法技巧解指数函数与对数函数综合题的方法1．首先考虑函数的定义域，见典例2. 2．注意联想数形结合思想．见典例1. 冲关针对训练1．(2018·天津模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12答案 B解析 ∵f (x )＝ln (x 2＋1)在[0,3]上单调递增，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m 在[1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (0)＝0，g (x )min ＝g (2)＝14－m .又∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)， ∴f (x )min ≥g (x )min ，即14－m ≤0，∴m ≥14.故选B.2．设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln (2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2B ．2(1－ln 2)C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)答案 B解析根据函数y ＝12e x和函数y ＝ln 2x 的图象可知两函数图象关于直线y ＝x 对称，故要求|PQ |的最小值可转化为求与直线y ＝x 平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y ＝12e x 上的切点为A (m ，n )，则A 到直线y ＝x 的距离的2倍即所求最小值．因为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e x ′＝12e x ，则12e m＝1，所以m ＝ln 2，切点A 的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y ＝x 的距离为d ＝|ln 2－1|2＝1－ln 22，所以2d ＝2(1－ln 2)．故选B.1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N最接近的是1093.故选D.2．(2018·山西模拟)函数y ＝ln sin x (0<x <π)的大致图象是( )答案 C解析因为0<x <π，所以0<sin x ≤1，所以ln sin x ≤0.故选C.3．(2018·江西九江联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，4)∪[2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．故选D.4．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1<a ≤2.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·安阳检测)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1D ．(a 2,2b )答案 D解析当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上．故选D.2．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( ) A ．[4,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，132D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.故选B.3．(2018·太原调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0答案 C解析作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x和y ＝log 2x 的图象，如图．由图可知有0<x 1<x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x1>log 2x 1.即⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x1－log 2x 1>0. ∴f (x 1)>0.故选C.4．(2017·河南二模)函数y ＝2xln |x |的图象大致为( )答案 B 解析函数y ＝2x ln |x |的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，故排除A ；∵f (－x )＝－2xln |x |＝－2xln |x |＝－f (x )，∴排除C ；当x ＝2时，y ＝4ln 2>0，故排除D.故选B. 5．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析解法一：函数f (x )的定义域为(－1,1)，任取x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2>0，所以f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.解法二：同解法一知f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln 2－(1－x )1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1.∵y ＝21－x (x ∈(0,1))是增函数，y ＝ln x 也是增函数，∴f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.6．已知函数f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D ．(－∞，－1]答案 B解析 f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，说明内层函数μ(x )＝x 2－ax －a 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是减函数且μ(x )>0成立，只需对称轴x ＝a 2≥－12且μ(x )min ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，∴解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.故选B.7．(2017·安徽安庆二模)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 12 4)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∵b ＝f (log 12 4)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B.8．(2017·广东模拟)若函数f (x )＝(e x－e －x)x ，f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)，则x的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )(x ∈R )，∴函数f (x )是偶函数． ∵f ′(x )＝(e x－e －x)＋x (e x ＋e －x)>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．(2017·河北五校质检)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92答案 D解析由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m＝n ＝23时等号成立，所以2m ＋1n 的最小值为92.故选D.10．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝504(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝lne x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴504(a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2015e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＝12×(2×2016)＝2016，∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8.故选B. 二、填空题11．(2018·禅城区月考)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则2a ＋b 的取值范围是________．答案 [22，＋∞)解析画出y ＝|lg x |的图象如图： ∵0<a <b ，且f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |且0<a <1，b >1，∴－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴2a ＋b ≥22ab ＝2 2. 当2a ＝b 时等号成立， ∴2a ＋b ≥2 2.12．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案－14解析显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，取“＝”，故f (x )min＝－14.13．(2017·山西质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.14．(2017·辽宁沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________.答案 9解析 ∵f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，∴m <1<n ，－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，从而n ＝3，此时log 3n ＝1，符合题意，则n m ＝3÷13＝9.若log 3n ＝2，则n ＝9，从而m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不符合题意．三、解答题15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12 x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12 (－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12 (－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．16．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13 ，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13 )－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32 ＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。

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对数式的化简与求值
+lg2·lg50+lg25；【例1】(1)计算：(lg2)2+lg2·lg50+lg25； (1)计算：计算 (2)已知log 2=m， 3=n， (2)已知loga2=m，loga3=n，求a2m+n；已知
4.已知f(x)=log x(a>0， a≠1)满足f(9)=2,则满足f(9)=2, 4.已知f(x)=logax(a>0，且a≠1)满足f(9)=2,则f(3a)= 已知 ____________. 解析】由已知得：【解析】由已知得：loga9=2,∴a2=9=32, 又a>0且a≠1,∴a=3. a>0且故f(3a)=log333=3. 答案：答案：3
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对数函数的图像与性质
【例2】(2011·宝鸡模拟)已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1) (2011·宝鸡模拟)已知f(x)=log 宝鸡模拟 (1)求f(x)的定义域； (1)求f(x)的定义域；的定义域 (2)讨论函数f(x)的单调性. (2)讨论函数f(x)的单调性. 讨论函数f(x)的单调性【审题指导】(1)本题求f(x)的定义域，但由于在条件中已审题指导】(1)本题求f(x)的定义域，本题求f(x)的定义域知函数的解析式，所以，在求解方法上，知函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的真数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，但由于在条 .(2)本题求f(x)的单调性件中已知函数为复合函数，所以在解题方法上，件中已知函数为复合函数，所以在解题方法上，可用复合函数求其单调性. 数求其单调性.
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【规律方法】对数式化简求值的基本思路规律方法】
n (1)利用换底公式及尽量地转化为同底的和、 (1)利用换底公式及 loga N = log a N 尽量地转化为同底的和、 m
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x (3)已知：lgx+lgy=2lg(2x-3y)，求 log 3 . (3)已知：lgx+lgy=2lg(2x-3y)，已知 y 2
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【审题指导】(1)本题是对对数式化简、求值，实际上是利用审题指导】(1)本题是对对数式化简、求值，本题是对对数式化简对数的运算法则及运算律进行运算与化简. 对数的运算法则及运算律进行运算与化简.注意公式成立的条件；(2)本题已知对数值，而求指数值，实际上是指数式与对 (2)本题已知对数值，而求指数值，本题已知对数值数式的互化，注意互化的公式；(3)本题求对数值，数式的互化，注意互化的公式；(3)本题求对数值，实际上只本题求对数值
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自主解答】(1)使 1)有意义有意义，【自主解答】(1)使f(x)=loga(ax-1)有意义，则 1>0， >1， ax-1>0，即ax>1，当a>1时，x>0； a>1时 x>0；当0<a<1时，x<0； 0<a<1时 x<0； ∴当a>1时，函数的定义域为{x|x>0}； a>1时函数的定义域为{x|x>0}； {x|x>0} 当0<a<1时，函数的定义域为{x|x<0}. 0<a<1时函数的定义域为{x|x<0}. (2)当a>1时 (2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2， ∴0<ax1-1<ax2-1， 1)， ∴loga(ax1-1)<loga(ax2-1)， ∴f(x1)<f(x2)，
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1.2log510+log50.25=( (A)0 (B)1 (C)2
) (D)4
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m n
差、积、商的运算；商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、 (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化利用对数的运算法则倍数运算，为对数真数的积、为对数真数的积、商、幂再运算；幂再运算； (3)利用约分、合并同类项，尽量的求出具体值. (3)利用约分、合并同类项，尽量的求出具体值. 利用约分提醒: 提醒:对数的运算性质以及有关公式都是在式子中的所有对数符号有意义的前提下才成立. 符号有意义的前提下才成立.
【解析】解析】
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的值即可. 要求出 x 的值即可.
y
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【自主解答】自主解答】
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【解析】选C.2log510+log50.25 解析】 25=2，故选C. =log5100+log5 1 =log525=2，故选C.
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2.当0<a<1时在同一坐标系中，函数y=a 2.当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图像是( )
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