江苏省南京市2018届高三9月学情调研考试数学试题

精心整理南京市2018届高三年级学情调研数学2017.09参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q ＝▲． 2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为▲．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽 取的学生人数为▲．4．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为，则输入x 的值为▲．5．记函数f (x )＝的定义域为D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为▲． 6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离为▲．7．已知实数x ，y 满足条件则z =3x －2y 的最大值为▲．8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为▲cm 2. 9．若函数f (x )＝A sin(?x ＋?)(A ＞0，?＞0，|?|＜?)的部分图象如图所示，则f (－?)的值为▲．10．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m 的值为▲．11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是▲．12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120?，＝λ．若·＝－，则实数λ的值为▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的xO y(第9题）?2对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为▲．14．已知函数f (x )＝若存在唯一的整数x ，使得＞0成立，则实数a 的取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证：（1）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （2）A 1C //平面AB 1E ． 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝． （1）若c ＝2a ，求的值； （2）若C －B ＝，求sin A 的值． 17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2． （1）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （2）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为,2)，且过点(1，,2))．过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值． 19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ， 且3T n ＝S n 2＋2S n ，n ∈N *．A 1B 1C 1 ABCE(第15题）（1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．南京市2018届高三年级学情调研卷数学附加题2017.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ， DA ＝DC ．求证：CA ＝3CB ．B ．选修4—2：矩阵与变换设二阶矩阵A ＝． （1）求A －1；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C ：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），圆C 的参数方程为（θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲 解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD ＝1．（1）若直线PB 与CD 所成角的大小为，求BC 的长； （2）求二面角B －PD －A 的余弦值．23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；DPADAB CO （第21A 题）（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望．南京市2018届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.） 1．{0，2}2．73．164．－5． 6．37．68．18?9．－110．611．(－∞，2]12．13．－14．[0，2]∪[3，8]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1?平面ABC ．因为AE ?平面ABC ，所以CC 1?AE ．……………2分因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ?BC ． 因为BC ?平面B 1BCC 1，CC 1?平面B 1BCC 1， 且BC ∩CC 1＝C ，所以AE ?平面B 1BCC 1．………………5分 因为AE ?平面AB 1E ，所以平面AB 1E ?平面B 1BCC 1.……………………………7分 （2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以F 为A 1B 的中点．……………………………9分又因为E 是BC 的中点，所以EF ∥A 1C ．……………………………11分 因为EF ?平面AB 1E ，A 1C ?平面AB 1E ，所以A 1C ∥平面AB 1E .……………………………14分16．（本小题满分14分） 解：（1）解法1在△ABC 中，因为cos B ＝，所以＝．………………………2分 因为c ＝2a ，所以＝，即＝，所以＝,10)．……………………………4分 又由正弦定理得＝，A 1B 1C 1ABCE(第15题）F所以＝,10)．……………………………6分解法2因为cos B＝，B∈(0，?)，所以sin B＝＝．………………………2分因为c＝2a，由正弦定理得sin C＝2sin A，所以sin C＝2sin(B＋C)＝cos C＋sin C，即－sin C＝2cos C．………………………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sin C＞0，解得sin C＝,5)，所以＝,10)．………………………6分（2）因为cos B＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．…………………………8分又0＜B＜π，所以sin B＝＝，所以sin2B＝2sin B cos B＝2××＝．…………………………10分因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，所以sin A＝sin(－2B)＝sincos2B－cossin2B………………………………12分＝,2)×－(－,2))×＝,50)．…………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为t1＝，………………………2分t2＝＝，………………………4分所以f(x)＝t1＋t2＝＋，………………………5分定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．………………………6分（2）f(x)＝1000(＋)＝10[x＋(100－x)](＋)＝10[10＋＋]．………………………10分因为1≤x≤99，x∈N*，所以＞0，＞0，所以＋≥2?)＝6，…………………12分当且仅当＝，即当x＝75时取等号．…………………13分答：当x＝75时，f(x)取得最小值．………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C的离心率为,2)，所以a2＝4b2．………………………2分又因为椭圆C过点(1，,2))，所以＋,b2)＝1，………………………3分解得a2＝4，b2＝1．所以椭圆C的方程为＋y2＝1．………………………5分（2）解法1设P(x0，y0)，－2＜x0＜2，x0≠1，则＋y02＝1．因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)，所以2－x0＝m．………………………7分由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝(x＋2)，令x＝m，得y＝，即M(m，)．因为PB⊥MB，所以k PB·k MB＝－1，所以k PB·k MB＝·,m－1))＝－1，………………………10分即＝－1．因为＋y02＝1．所以＝1．………………………12分因为x0＝2－m，所以化简得3m2－10m＋4＝0，解得m＝,3))．………………………15分因为m＞2，所以m＝,3))．………………………16分解法2①当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件．………………………6分②设AP斜率为k，则AP：y＝k(x＋2)，联立＋y2＝1，,y＝k(x＋2)，))消去y得(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0．因为x A＝－2，所以x P＝，所以y P＝，所以P(，)．………………………8分因为PN的中点为B，所以m＝2－＝．(*)……………………10分因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m＋2))，因为直线PB与x轴不垂直，所以≠1，即k2≠，所以k PB＝,－1))＝，k MB＝．因为PB⊥MB，所以k PB·k MB＝－1，所以·＝－1．（**）………………………12分将(*)代入（**），化简得48k4－32k2＋1＝0，解得k2＝,12))，所以m＝＝,3))．………………………15分又因为m＞2，所以m＝,3))．………………………16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率k＝f′(0)＝6a，所以6a＝3，所以a＝．………………………2分（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12ln x对任意x∈(0，+∞)恒成立，所以－(a＋1)≥．………………………4分令g(x)＝，x＞0，则g?(x)＝．令g?(x)＝0，解得x＝．当x∈(0，)时，g?(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递增；当x∈(，＋∞)时，g?(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g()＝，………………………6分所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，所以a的取值范围为(－∞，－1－]．………………………8分（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．令f′(x)＝0，则x＝1或a．………………………10分f(1)＝3a－1，f(2)＝4．①当1＜a≤时，当x∈(1，a)时，f?(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f?(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4．因为h?(a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0，所以h(a)在(1，]上单调递减，所以当a∈(1，]时，h(a)最小值为h()＝．………………………12分②当＜a＜2时，当x∈(1，a)时，f?(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f?(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1．因为h?(a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0．所以h(a)在(，2)上单调递增，所以当a∈(，2)时，h(a)＞h()＝．………………………14分③当a≥2时，当x∈(1，2)时，f?(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5，所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．综上，h(a)的最小值为．………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．因为a1＞0，所以a1＝1．………………………2分（2）因为3T n＝S n2＋2S n，①所以3T n＋1＝S n＋12＋2S n＋1，②②－①，得3a n＋12＝S n＋12－S n2＋2a n＋1．因为a n＋1＞0，所以3a n＋1＝S n＋1＋S n＋2，③………………………5分所以3a n＋2=S n＋2＋S n＋1＋2，④④－③，得3a n＋2－3a n＋1＝a n＋2＋a n＋1，即a n＋2＝2a n＋1，所以当n≥2时，＝2．………………………8分又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a22－2a2＝0．因为a2＞0，所以a2＝2，所以＝2，所以对n∈N*，都有＝2成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，n∈N*．………………………10分(3)由(2)可知S n＝2n－1．因为S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，所以(S k－S1)2＝S1(S t－S k)，即(2k－2)2＝2t－2k，………………………12分所以2t＝(2k)2－3?2k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－3?2k－2＋1(*)．由于S k－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．当k＝2时，2t＝8，得t＝3．………………………14分当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－3?2k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3?2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．综上，k＝2，t＝3．………………………16分南京市2018届高三年级学情调研数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接OD ，因为DA =DC ，所以∠DAO =∠C ．………………………2分 在圆O 中，AO =DO ，所以∠DAO =∠ADO ， 所以∠DOC =2∠DAO =2∠C ．………………………5分因为CD 为圆O 的切线，所以∠ODC =90°， 从而?DOC ＋?C ＝90°，即2?C ＋?C ＝90°， 故∠C ＝30°，………………………7分 所以OC ＝2OD ＝2OB ，所以CB ＝OB ，所以CA ＝3CB ．………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）根据逆矩阵公式，可得A －1＝,－))．………………………4分（2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ?(x ?，y ?)，则＝＝，所以……………………8分因为(x ?，y ?)在曲线C ?上，所以6x ?2－y ?2＝1，代入6(x ＋2y )2－(3x ＋4y )2＝1， 化简得8y 2－3x 2＝1，所以曲线C 的方程为8y 2－3x 2＝1．………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由直线l 的参数方程为，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0．………………………2分由圆C 的参数方程为，得圆C 的普通方程为(x －a )2+(y －2a )2＝1．………………………4分因为直线l 与圆C 相切，所以)＝1，………………………8分 解得a ＝1±．所以实数a 的值为1±．………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：(1)当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2；……………………2分(2)当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解；……………4分DAB CO （第21A 题）(3)当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3；……………………6分 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞).…………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ． 因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．设C (1，y ，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y ，0)．…………………………2分因为直线PB 与CD 所成角大小为， 所以|cos ＜，＞|＝|?,∣∣?∣∣)|＝， 即×)＝，解得y ＝2或y ＝0（舍）， 所以C (1，2，0)，所以BC 的长为2．………………………5分 （2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．因为＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)， 则，,，))即令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)．………………………7分 因为平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝＝,3)，所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为,3)．………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）两个球颜色不同的情况共有C ?42＝96(种).………………………3分（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝,96)＝，………………………5分 P (X ＝1)＝?C,96)＝， P (X ＝2)＝?C,96)＝， P (X ＝3)＝?C,96)＝．所以随机变量X 的概率分布列为：………………………8分所以E (X )＝0?＋1?＋2?＋3?＝．………………………10分X 0123PCDPBA（第22题）xy z。