2012高考数学一轮复习--导数的应用(2)(文) ppt
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高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_4指数函数课件理新人教A版
a当n为奇数且n∈N*时，
±n a 当n为偶数且n∈N*时.
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*)．
a，n为奇数，
②n
an＝
|a|
＝a，a≥0， －a，a＜0，
n为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：
＝ n am
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d 与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图 象越高(低)，其底数越大．
3．注意事项 (1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平 移、对称、翻折变换得到其图象． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合 观察两曲线动与不动及动的范围求解．
(2)若不等式 1＋2x＋4x·a>0 在 x∈(－∞，1]时恒成立，则实数 a 的取值范围
是
．
解析：从已知不等式中分离出实数 a，得 a>－14x＋12x. 因为函数 y＝14x 和 y＝12x 在 R 上都是减函数，所以当 x∈(－∞，1]时，14x≥14，12 x≥12，
跟踪训练 (1)(2017·江西三校联考)化简4 16x8y4(x＜0，y＜0)的结果为( )
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
答案：D
答案：85
考点二|指数函数的图象及应用 (思维突破) 【例2】 (1)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件理
第六页，共42页。
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
第七页，共42页。
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
第八页，共42页。
第九页，共42页。
故②正确；③
＝ ＝ 2；④ 4 －24＝2；⑤当 a≠0 时，由(1＋a2)m＜(1
＋a2)n 可知 m＜n，当 a＝0 时不成立．
答案：②
第十五页，共42页。
3
考点疑难突破
第十六页，共42页。
指数(zhǐshù)幂的化简与求值
计算：
第十七页，共42页。
【解】 (1)原式＝
－ 51－0 2＋1＝
第二十页，共42页。
[自 主 演 练]
1．化简 4 16x8y4(x＜0，y＜0)得( A．2x2y C．4x2y
) B．2xy D．－2x2y
解析： 4 16x8y4＝(16x8y4) ＝[24(－x)8·(－y)4] ＝
＝
2(－x)2(－y)＝－2x2y.
答案：D
第二十一页，共42页。
2．(2017 届四川绵阳一诊)计算：2 3×3 1.5×6 12＝________. 解析：原式＝
【答案】 C
第三十三页，共42页。
角度三 探究指数型函数的性质
(1)函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)函数 f(x)＝
的单调减区间为________．
第三十四页，共42页。
【解析】 (1)因为 x∈[－3,2]， 所以令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.
高考数学一轮复习-《导数及应用》第3课时-导数的应用(二)—极值与最值课件
x>2
f′(x)>0
x<2
，解得c＝6
授人以渔
题型一 利用导数研究函数极值
例1
已
知函数
f(x)＝
ax3－
3x2＋
3 1－a(a∈
R且
a≠
0)，
求函数f(x)的极大值与极小值．
2 【解析】 由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax(x－a)．
2 令f′(x)＝0得x＝0或x＝a.
• 当a>0时，随x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下:
(2)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3 个不同的零点，则实数a
的取值范围是(
)
A． (－ 2,2)
B． [－ 2,2]
C． (－ ∞，－ 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．(1，＋∞)
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.三
次 函数 f(x)＝ 0有 3个根
⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0 ∴x＝－1为极大值点， x＝1为极小值点．
2
43
f(x)极小值＝f(a)＝－a2－a＋1.
• 探究1 掌握可导函数极值的步骤: • (1)确定函数的定义域． • (2)求方程f′(x)＝0的根． • (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干
个小开区间，并形成表格． • (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)
• 解析 y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
• 4.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函 数在[－2,2]上的最小值是( )
2012届高考数学(文)一轮复习课件5函数的定义域与值域(人教A版)
答案:B
2019/4/12
5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )
A.[-2,2]
C.[0,4]
B.[-4,0]
D.[-1,1]
答案:A
2019/4/12
类型一
函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分
的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这
2019/4/12
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其
对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
2019/4/12
考点陪练
2019/4/12
2019/4/12
考点陪练
1.(2010 湖北)函数 3 A. ,1 4 C.(1, )
2019/4/12
⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已
知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1 得出x的范围即为所求.
2019/4/12
【典例 1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x
∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,
解得-1≤x≤1.
∴f(x2)的定义域为[-1,1].
2019/4/12
②由0≤ x 1≤1得1≤ x≤2.1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为1, 4 2 f lg x 1 的定义域为 0,9 , 0≤x≤9,1≤x 1≤10, 0≤lg x 1 ≤1 f x 的定义域为 0,1.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. f 2 x 的定义域为 , 0 .
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件 文 北师大版
_奇__函__数____
__非__奇__非__偶_ __函__数_____
__奇__函__数___
函数
单调 性
y＝x
y＝x2
y＝x3
在__(_－__∞__，__0_) _
_在__R_上__单___ 上__单__调__递__减__，_ _在__R__上__单__ 调__递__增___ 在__(_0_，__＋__∞__)上_ _调__递__增____
2
D.
52－1，2
【解析】 因为函数 y＝x21的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于 2mm2＋＋m1≥－01，≥0， 2m＋1>m2＋m－1。
解 2m＋1≥0，得 m≥－12；
－ 解 m2＋m－1≥0，得 m≤
25－1或 m≥
52－1。
解 2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，
1
(2)幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1 的图像与性质
函数
y＝x
定义域
R
值域
R
奇偶性 _奇__函__数____
y＝x2 R
_{_y_|y_≥__0_}_
_偶__函__数Biblioteka __y＝x3y＝x－1
R
__{x_|_x_≥__0_}_ _{_x_|x_≠__0_}__
R
__{_y|_y_≥__0_} __{_y_|y_≠__0_}_
解析 正确。由幂函数的图像可知。
(6)关于
x
的不等式
ax2＋bx＋c>0
a>0， 恒成立的充要条件是b2－4ac<0。
( × )解析 错误。当 a＝0，b＝0，c>0 时也恒成立。ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒
高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值
可导函数求极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定 义域分成若干个小开区间，并形成表格． (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的 符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不 可缺少，f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
聚焦中考——语文 第五讲
表达方式与记叙的顺序
• （2013·荆门）阅读下文，完成习题。 • ①那天下午6点多，该上公交车的人早已上了车，唯独有个小女孩，在车
门边来回徘徊。眼看着司机就要开车了，我在想，这小女孩肯定是没钱 上车。 ②“小姑娘，上车吧，我帮你交车票钱。”当看到我为她刷完卡后，她 随即上了车，说了声“谢谢阿姨”，一时脸蛋儿全红了。近距离一看， 才发现，小女孩左侧脸上有颗小痣。几天前的一幕不由浮现眼前—— ③送走远方的朋友，我从火车站迎着风雨赶到就近的公交车站台，已是 下午5点多。这时正是下班高峰期，来了几辆公交车，我总也挤不上去。 雨还在急速地下着，人还在不断地涌来。当又一辆10路公交驶来后，我 和许多人一起先往前门挤，但挤不上去。等司机发话后，才从后门好不 容易挤上车。车内人头攒动，人满为患。这人贴人的，身体若要移动一 下都难。正感叹着，我突然感觉好像有一件事还没做。是什么事呢？哦， 对了，没买车票。本想挤到前面去交车钱，可大伙儿都好像没事人一样 在原地一动不动，根本挤不过去。见此情形，司机也没说什么，这样， 我也就心安理得地和大家一样坐了一次免费的公交车。
本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题 的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．
【互动探究】 1．(2011 届广东台州中学联考)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，
将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确 的是( D )
考点2 导数与函数的极值和最大(小）值
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
第2讲 导数在函数中的应用
考纲要求
考纲研读
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用 1.用导数可求函数的单 导数研究函数的单调性，会求函数的单调 调区间或以单调区间为 区间(对多项式函数一般不超过三次)． 载体求参数的范围．
(新课标)高考数学一轮复习-第二章 函数、导数及其应用 第4讲 指数与指数函数课件
[答案] (1)A (2)b∈[－1,1] [解析] (1)由已知得0＜a＜1，b＜－1，故选A. (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图 象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x ＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满 足的条件是b∈[－1,1].
指数函数的性质及应用
(1)(2015·山东)设 a＝0. 60. 6，b＝0. 61. 5，c＝1. 50.
m
an
＝___n _a____(a＞0，m，n∈N＋，n＞1).
②正数的负分数指数幂的意义是
1
m
a－ n
m
＝___a_n____＝ n
1 (a＞0，m，n∈N＋，n＞1). am
③0 的正分数指数幂是___0_____,0 的负分数指数幂无意义.
(2)有理指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋__s ________(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)sa＝rs__________(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)ra＝rb_r _________(a＞0，b＞0，r∈Q). (3)无理指数幂 一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个___确__定_的 实数，有理指数幂的运算法则____同__样__适__用于无理指数幂.
(1)(2015·安庆模拟)已知函数 f(x)＝ (x－a)·(x－b)(其中 a＞b)，若 f(x)的图象 如图所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象是 导学号 25400269 ( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值 范围是________. 导学号 25400270
值域
_(_0_，__＋__∞_)__
性 单调性 在R上_____递__减___
在R上____递__增____
指数函数的性质及应用
(1)(2015·山东)设 a＝0. 60. 6，b＝0. 61. 5，c＝1. 50.
m
an
＝___n _a____(a＞0，m，n∈N＋，n＞1).
②正数的负分数指数幂的意义是
1
m
a－ n
m
＝___a_n____＝ n
1 (a＞0，m，n∈N＋，n＞1). am
③0 的正分数指数幂是___0_____,0 的负分数指数幂无意义.
(2)有理指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋__s ________(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)sa＝rs__________(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)ra＝rb_r _________(a＞0，b＞0，r∈Q). (3)无理指数幂 一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个___确__定_的 实数，有理指数幂的运算法则____同__样__适__用于无理指数幂.
(1)(2015·安庆模拟)已知函数 f(x)＝ (x－a)·(x－b)(其中 a＞b)，若 f(x)的图象 如图所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象是 导学号 25400269 ( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值 范围是________. 导学号 25400270
值域
_(_0_，__＋__∞_)__
性 单调性 在R上_____递__减___
在R上____递__增____
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2013年8月5日星期W
①②Leabharlann 也可以这样求： 2 比较f ( 2)、f ( )、f ( 4)、f (1)，可求出所要的最大值 与最小值！ 3
导数的应用举例 1
1 设 f(x)=x3- 2 x2-2x+5. (1)求函数 f(x) 的单调递增、递减区间; (2)当 x[-1, 2] 时, f(x)<m 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 解: (1)由已知 f(x)=3x2-x-2, 2 <x<1; 令 f(x)>0 得 x<- 2 或 x>1. 令 f(x)<0 得 - 3 3 ∴y=f(x) 的单调递减区间是 (- 2 , 1); 3 2 单调递增区间是 (-∞, - 3 ) 和 (1, +∞). (2)命题等价于 f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值小于 m. 2 令 f(x)=0 得 x=- 3 或 1. 22 2 1 1 ∵f(-1)=5 2 , f(- 3 )=5 27 , f(1)=3 2 , f(2)=7, ∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7. ∴7<m. 故实数 m 的取值范围是 (7, +∞).
导数的应用举例 3
导数的应用举例 4
已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函 数, 求实数 a 的取值范围; (2)若 x=- 1 是 f(x) 的极值点, 求 f(x) 3 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b, 使得 函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点, 若存在, 求出实数 b 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 解: (1)由已知 f(x)=3x2-2ax-3. ∵f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函数, ∴在 [1, +∞) 上恒有 f(x)≥0, 即 3x2-2ax-3≥0 在 [1, +∞) 上恒成立. 则必有 a≤1 且 f(1)=-2a≥0， 解得 a≤0. 3 故实数 a 的取值范围是 (-∞, 0].
导数的应用举例 5
(2)(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1)=x4+(2-)x2+2-. ∴(x)=4x3+2(2-)x =2x(2x2+2-). ∵(x) 在 (-∞, -1) 内为减函数, ∴(x) ≤0 在 (-∞, -1) 内恒成立. 即 2x2+2-≥0 在 (-∞, -1) 内恒成立. ∴-2≤2x2 在 (-∞, -1) 内恒成立. ∵当 x(-∞, -1) 时, 2x2>2(-1)2=2, ∴-2≤2. ∴≤4. ① 又∵(x) 在 (-1, 0) 内为增函数,∴(x) ≥0 在 (-1, 0) 内恒成立. 即 2x2+2-≤0 在 (-1, 0) 内恒成立. ∴-2≥2x2 在 (-1, 0) 内恒成立. ∵当 x(-1, 0) 时, 2x2<2(-1)2=2, ∴-2≥2, ∴≥4 ② 由 ①, ② 知 =4. 故存在实数 = 4, 使 (x) 满足题设条件.
导数的应用举例 2
已知函数 f(x)=x5+ax3+bx+1 仅当 x=-1, x=1 时取得极值, 且极大值比极小值大 4, 求 a, b 的值. 解: ∵f(x)=5x4+3ax2+b, 又当 x=-1, x=1 时 f(x) 取得极值, ∴f(1)=f(-1)=0. 即 5+3a+b=0. ∴b=-3a-5. ① 代入 f(x) 得, f(x)=5x4+3ax2-3a-5=(x+1)(x-1)[5x2+(3a+5)] 又∵仅当 x=-1和x=1 时 f(x) 取得极值, ∴5x2+(3a+5)0 恒成立. ∴3a+5>0. ∴a>- 5 . 3 又当 x<-1 或 x>1 时, f(x)>0; 当 -1<x<1 时, f(x)<0. ∴当 x=-1 时, f(x) 取得极大值; 当 x=1 时, f(x) 取得极小值. ∵函数 f(x) 的极大值比极小值大 4, ∴f(-1)-f(1)=4. 即 (-1-a-b+1)-(1+a+b+1)=4. 整理得 a+b=-3. ② 由 ①, ② 得 a=-1, b=-2. 故 a, b 的值分别为 -1, -2.
导数的应用举例 7
要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场, 现在铁丝网长为 l m, 只围 三边, 另一边为一道墙, 问长和宽为多少时, 才能使所围养鸡场 面积最大? y x
导数的应用举例 7
要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场, 现在铁丝网长为 l m, 只围 三边, 另一边为一道墙, 问长和宽为多少时, 才能使所围养鸡场 面积最大? 解: 设长为 x 米, 宽为 y 米，则 x+2y=l ∴y= l -x . 2 由 x, y 均为正数得, 0<x<l. ∴面积 S=xy=x∙ l -x =- 1 x2+ l x. y 2 2 2 S=-x+ l . 由 S=0, 得 x= l . x 2 2 ∵0<x<l, S 在 (0, l ) 内递增, 在 ( l , l ) 内递减, 2 2 l 时, S 取得极大值, 也是最大值. 此时, y= l . ∴x= 2 4 1( l )2+ l l l2 即 Smax=- 2 2 2 2= 8 . 故长, 宽分别为 l 米, l 米 时, 养鸡场面积最大. 2 4
已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函 数, 求实数 a 的取值范围; (2)若 x=- 1 是 f(x) 的极值点, 求 f(x) 3 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b, 使得 函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点, 若存在, 求出实数 b 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 解: (2)由题设 f(- 1 )=0, 即 1 + 2 a-3=0. 解得 a=4. 3 3 3 ∴f(x)=3x2-8x-3. 令 f(x)=0 得 x=- 1 或 3. 3 在 [1, 4] 上, 当 x 变化时, f(x), f(x) 的变化情况如下表:
x f(x) f(x) 1 -6 (1, 3) 3 0 -18 (3, 4) + 4 -12
导数的应用举例 4
∴f(x) 在 [1, 4] 上的最大值是 f(1)=-6.
已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函 数, 求实数 a 的取值范围; (2)若 x=- 1 是 f(x) 的极值点, 求 f(x) 3 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b, 使得 函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点, 若存在, 求出实数 b 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 解：(3)函数 g(x) 与 f(x) 的图象恰有三个交点, 即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有三个不等实根. ∵x=0 是方程的一个根, ∴方程 x2-4x-3=b 即 x2-4x-(3+b)=0 有两个非零不等实根. ∴△=16+4(3+b)>0 且 3+b0. 解得 b>-7 且 b-3.
导数的应用举例 6
某厂生产某种产品, 已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品 的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p=24200- 1x2, 且生产 x 吨的 5 成本为 R=50000+200x 元. 问该厂每月生产多少吨产品才能使 利润达到最大? 最大利润是多少?(利润=收入-成本) 解: 设每月生产 x 吨的利润为 y 元, 则 x≥0, 且 1 2 y=(24200- 5x )x-(50000+200x) =- 1 x3+24000x-50000. 5 3x2+24000=0 得 x=200(-200舍去). 由 y=- 5 ∵在 [0, +∞) 上有唯一零点 x=200， 使 y=0, ∴此点即为最大值点, 且最大值为ymax = 1 - 52003+24000200-50000=3150000(元). 故每月生产 200 吨产品时利润最大, 最大利润是 315 万元.
故实数 b 的取值范围是 (-7, -3)∪(-3, +∞).
导数的应用举例 4
已知 f(x)=x2+c, 且 f[f(x)]=f(x2+1). (1)设 g(x)=f[f(x)], 求 g(x); (2)设 (x)=g(x)-f(x), 试问: 是否存在实数 , 使 (x) 在(-∞, -1)内为减函数, 且在 (-1, 0) 内是增函数. 解: (1)∵f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c, f(x2+1)=(x2+1)2+c. 由 f[f(x)]=f(x2+1) 得, c=1. ∴f(x)=x2+1, g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2. (2)由(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1)=x4+(2-)x2+2-. ∴(x)=4x3+2(2-)x =2x(2x2+2-). ∵(x) 在 (-∞, -1) 内为减函数, ∴(x) ≤0 在 (-∞, -1) 内恒成立.
注: 本题亦可用二次函数知识解答.
已知某厂生产 x 件产品的成本为 C=25000+200x+ 1 x2(元), 40 问: (1)要使平均成本最低, 应生产多少件产品? (2)若产品以 500 元/件售出, 要使利润最大, 应生产多少件?
①②Leabharlann 也可以这样求： 2 比较f ( 2)、f ( )、f ( 4)、f (1)，可求出所要的最大值 与最小值！ 3
导数的应用举例 1
1 设 f(x)=x3- 2 x2-2x+5. (1)求函数 f(x) 的单调递增、递减区间; (2)当 x[-1, 2] 时, f(x)<m 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 解: (1)由已知 f(x)=3x2-x-2, 2 <x<1; 令 f(x)>0 得 x<- 2 或 x>1. 令 f(x)<0 得 - 3 3 ∴y=f(x) 的单调递减区间是 (- 2 , 1); 3 2 单调递增区间是 (-∞, - 3 ) 和 (1, +∞). (2)命题等价于 f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值小于 m. 2 令 f(x)=0 得 x=- 3 或 1. 22 2 1 1 ∵f(-1)=5 2 , f(- 3 )=5 27 , f(1)=3 2 , f(2)=7, ∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7. ∴7<m. 故实数 m 的取值范围是 (7, +∞).
导数的应用举例 3
导数的应用举例 4
已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函 数, 求实数 a 的取值范围; (2)若 x=- 1 是 f(x) 的极值点, 求 f(x) 3 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b, 使得 函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点, 若存在, 求出实数 b 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 解: (1)由已知 f(x)=3x2-2ax-3. ∵f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函数, ∴在 [1, +∞) 上恒有 f(x)≥0, 即 3x2-2ax-3≥0 在 [1, +∞) 上恒成立. 则必有 a≤1 且 f(1)=-2a≥0， 解得 a≤0. 3 故实数 a 的取值范围是 (-∞, 0].
导数的应用举例 5
(2)(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1)=x4+(2-)x2+2-. ∴(x)=4x3+2(2-)x =2x(2x2+2-). ∵(x) 在 (-∞, -1) 内为减函数, ∴(x) ≤0 在 (-∞, -1) 内恒成立. 即 2x2+2-≥0 在 (-∞, -1) 内恒成立. ∴-2≤2x2 在 (-∞, -1) 内恒成立. ∵当 x(-∞, -1) 时, 2x2>2(-1)2=2, ∴-2≤2. ∴≤4. ① 又∵(x) 在 (-1, 0) 内为增函数,∴(x) ≥0 在 (-1, 0) 内恒成立. 即 2x2+2-≤0 在 (-1, 0) 内恒成立. ∴-2≥2x2 在 (-1, 0) 内恒成立. ∵当 x(-1, 0) 时, 2x2<2(-1)2=2, ∴-2≥2, ∴≥4 ② 由 ①, ② 知 =4. 故存在实数 = 4, 使 (x) 满足题设条件.
导数的应用举例 2
已知函数 f(x)=x5+ax3+bx+1 仅当 x=-1, x=1 时取得极值, 且极大值比极小值大 4, 求 a, b 的值. 解: ∵f(x)=5x4+3ax2+b, 又当 x=-1, x=1 时 f(x) 取得极值, ∴f(1)=f(-1)=0. 即 5+3a+b=0. ∴b=-3a-5. ① 代入 f(x) 得, f(x)=5x4+3ax2-3a-5=(x+1)(x-1)[5x2+(3a+5)] 又∵仅当 x=-1和x=1 时 f(x) 取得极值, ∴5x2+(3a+5)0 恒成立. ∴3a+5>0. ∴a>- 5 . 3 又当 x<-1 或 x>1 时, f(x)>0; 当 -1<x<1 时, f(x)<0. ∴当 x=-1 时, f(x) 取得极大值; 当 x=1 时, f(x) 取得极小值. ∵函数 f(x) 的极大值比极小值大 4, ∴f(-1)-f(1)=4. 即 (-1-a-b+1)-(1+a+b+1)=4. 整理得 a+b=-3. ② 由 ①, ② 得 a=-1, b=-2. 故 a, b 的值分别为 -1, -2.
导数的应用举例 7
要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场, 现在铁丝网长为 l m, 只围 三边, 另一边为一道墙, 问长和宽为多少时, 才能使所围养鸡场 面积最大? y x
导数的应用举例 7
要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场, 现在铁丝网长为 l m, 只围 三边, 另一边为一道墙, 问长和宽为多少时, 才能使所围养鸡场 面积最大? 解: 设长为 x 米, 宽为 y 米，则 x+2y=l ∴y= l -x . 2 由 x, y 均为正数得, 0<x<l. ∴面积 S=xy=x∙ l -x =- 1 x2+ l x. y 2 2 2 S=-x+ l . 由 S=0, 得 x= l . x 2 2 ∵0<x<l, S 在 (0, l ) 内递增, 在 ( l , l ) 内递减, 2 2 l 时, S 取得极大值, 也是最大值. 此时, y= l . ∴x= 2 4 1( l )2+ l l l2 即 Smax=- 2 2 2 2= 8 . 故长, 宽分别为 l 米, l 米 时, 养鸡场面积最大. 2 4
已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函 数, 求实数 a 的取值范围; (2)若 x=- 1 是 f(x) 的极值点, 求 f(x) 3 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b, 使得 函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点, 若存在, 求出实数 b 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 解: (2)由题设 f(- 1 )=0, 即 1 + 2 a-3=0. 解得 a=4. 3 3 3 ∴f(x)=3x2-8x-3. 令 f(x)=0 得 x=- 1 或 3. 3 在 [1, 4] 上, 当 x 变化时, f(x), f(x) 的变化情况如下表:
x f(x) f(x) 1 -6 (1, 3) 3 0 -18 (3, 4) + 4 -12
导数的应用举例 4
∴f(x) 在 [1, 4] 上的最大值是 f(1)=-6.
已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函 数, 求实数 a 的取值范围; (2)若 x=- 1 是 f(x) 的极值点, 求 f(x) 3 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b, 使得 函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点, 若存在, 求出实数 b 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 解：(3)函数 g(x) 与 f(x) 的图象恰有三个交点, 即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有三个不等实根. ∵x=0 是方程的一个根, ∴方程 x2-4x-3=b 即 x2-4x-(3+b)=0 有两个非零不等实根. ∴△=16+4(3+b)>0 且 3+b0. 解得 b>-7 且 b-3.
导数的应用举例 6
某厂生产某种产品, 已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品 的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p=24200- 1x2, 且生产 x 吨的 5 成本为 R=50000+200x 元. 问该厂每月生产多少吨产品才能使 利润达到最大? 最大利润是多少?(利润=收入-成本) 解: 设每月生产 x 吨的利润为 y 元, 则 x≥0, 且 1 2 y=(24200- 5x )x-(50000+200x) =- 1 x3+24000x-50000. 5 3x2+24000=0 得 x=200(-200舍去). 由 y=- 5 ∵在 [0, +∞) 上有唯一零点 x=200， 使 y=0, ∴此点即为最大值点, 且最大值为ymax = 1 - 52003+24000200-50000=3150000(元). 故每月生产 200 吨产品时利润最大, 最大利润是 315 万元.
故实数 b 的取值范围是 (-7, -3)∪(-3, +∞).
导数的应用举例 4
已知 f(x)=x2+c, 且 f[f(x)]=f(x2+1). (1)设 g(x)=f[f(x)], 求 g(x); (2)设 (x)=g(x)-f(x), 试问: 是否存在实数 , 使 (x) 在(-∞, -1)内为减函数, 且在 (-1, 0) 内是增函数. 解: (1)∵f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c, f(x2+1)=(x2+1)2+c. 由 f[f(x)]=f(x2+1) 得, c=1. ∴f(x)=x2+1, g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2. (2)由(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1)=x4+(2-)x2+2-. ∴(x)=4x3+2(2-)x =2x(2x2+2-). ∵(x) 在 (-∞, -1) 内为减函数, ∴(x) ≤0 在 (-∞, -1) 内恒成立.
注: 本题亦可用二次函数知识解答.
已知某厂生产 x 件产品的成本为 C=25000+200x+ 1 x2(元), 40 问: (1)要使平均成本最低, 应生产多少件产品? (2)若产品以 500 元/件售出, 要使利润最大, 应生产多少件?