高级中学高中数学(北师大版)必修二：1.7.3球的表面积和体积 导学案
北师大版数学高一必修二 球的表面积和体积
节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面
目
开
积问题．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 柱、锥、台体的体积公式
问题 1 我们已经学习了正方体、长方体的体积计算公式，
它们的体积公式是什么？
答 V 正方体＝a3，V 长方体＝abc.
本 课
问题 2 取一摞纸张放在桌面上(如下图所示)，并改变它们的
V 柱体＝Sh—S′——＝→S V 台体＝13h(S＋ SS′＋S′)—S′——＝→0 V 锥体＝13Sh.
本 课
2．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角
时 栏
三角形，进行相关计算．
目 开
3．解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体
关
的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
已知螺帽的底面六边形边长是 12 mm，高是
10 mm，内孔直径是 10 mm，这一堆螺帽约
有多少个(铁的密度是 7.8 g/cm3，π≈3.14)?
本 解 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆
课 时
柱的体积的差．
栏 目
因为
V
正六棱柱＝6×12×12×(12×sin
60°)×10＝3×122×
和体积．
本 解 过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D.△ABC 以 AB 所
课 时
在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面
栏 目 开 关
重合的圆锥，如图所示， 这两个圆锥高的和为 AB＝5，底面半径 DC＝ACA·BBC＝152， 故 S 表＝π·DC·(BC＋AC)＝854π.
V＝13π·DC2·AD＋13π·DC2·BD＝13π·DC2·(AD＋BD)＝458π.
北师大版必修二球的表面积和体积
四、巩固深化
1: 3 3 ，表面积之 1、正方体的内切球和外接球体积比为___ ___ 比为1：3。
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别 2 2 为49 cm 和400 cm ，求球的表面积。 答案：2500 cm 2
3、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍. ___ 4、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来 的__4_倍.
例题
例4.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三 分之二； (2)球的表面积与圆柱的侧面积 相等.
O
证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R. 4 V球 R 3 3 2 3 R O V圆 柱 R 2R 2 R
S' 0
1 锥体V Sh 3
一、创设情境
1、在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个 星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星 球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体， 那么如何进行计算呢？ 2、球队大小是与球的半径有关，如何用球半径来表 示球的体积和表面积？
二、探究新知
思考：如何求球的体积？
五、课堂小结
1、了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 2、熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 ①V R 3 2 ②S 4R
基本计算问题
2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来 的________倍. (2)把球的半径扩大到原来的2倍，则表面积扩大为原来 的_______倍. (3)三个球的半径之比为1:2:3，则它们的表面积之比为 _________. (4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的半径之比为 ________.
数学必修2导学案1.3.2球的体积和表面积
研卷知古今；藏书教子孙。
1.3.2球的体积和表面积一、学习目标:知识与技能:⑴通过对球的体积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法，知道祖暅原理。
⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。
培养空间想象能力。
过程与方法:通过球的体积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式的方法，情感与价值观:通过学习，使我们对球的表面积、体积公式的推导方法有了一定的了解，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二、学习重难点:学习重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
学习难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三、使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，认真阅读教材内容，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、小班完成A,B,C 全部内容；实验班完成B 级以上；平行班完成A~B.（其中A 、B 级问题自主完成；C 级问题可由合作探究方式完成）四、知识链接:什么是球？球的半径？球的直观图怎样画？球的半径，截面圆的半径，球心与截面圆心的距离间有何关系？五、学习过程:B 问题1：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？（阅读32页了解球的体积的推导即可，球的表面积的推导不要求了解）B 问题2：球的表面积的公式怎样？球的体积怎样？A 例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的32；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积；A 例2：已知：钢球直径是5cm,求它的体积.B (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)六、达标训练一、选择题A1一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ） A. 3π B. 4π C. 2π D. πB2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）A B C DB3正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.B4已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）（A）（B（C（D二、填空题A5、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.B6、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.B7、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.7.3 球
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一 柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱V 柱体＝ShS —柱体底面积 h —柱体的高棱柱 锥体圆锥V 锥体＝13ShS —锥体底面积 h —锥体的高 棱锥 台体圆台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下—台体的上、下底面面积，h —高棱台【预习评价】简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 提示 表面积变大了，体积不变. 知识点二 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一 柱体、锥体、台体的体积【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3). 答案 83π(2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解 如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M －ABCD ＝12V .所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC .而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.(4)台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【训练1】 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A【训练2】 四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解 ∵C (2，1)，D (0，3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π. ∵B (1，0)，C (2，1)，∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1. ∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.【训练3】 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知PDAQ 为直角梯形. 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D .所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高. 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.题型二 球的表面积和体积【例2】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________.(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.解析 (1)设圆锥的底面半径为R ， 由题意知球的半径为R2， V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3，h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ， 圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案 (1)52(2)33π【例3】 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B.210C.13D.310解析 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直.△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，BC 1＝52＋122＝13，所以球的直径为13.答案 C【迁移1】 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 【迁移2】 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【迁移3】 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为（32）2－（12×6）2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R为球的半径).课堂达标1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.答案 C2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34解析 S 底＝12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以V 三棱锥B 1－ABC ＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.答案 D3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案 3π4.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18(m 3).答案 9π＋185.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 解 如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.基础过关1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 答案 B2.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x (x >0)，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2，3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm. 答案 45.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2. 答案 12－π26.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a . 7.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝（6）2＋（3）2＝9＝3(cm)，r ＝ 3 (cm).故几何体的表面积为 S ＝πrl ＋πr 2＋2πrAD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝πr 2AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).能力提升8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4 解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析 作出该球的轴截面图如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3). 答案 A10.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.答案 8 411.已知三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析 如图，构造正方体ANDM －FBEC .因为三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM －FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A －BCD 的外接球就是正方体ANDM －FBEC 的外接球，所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 答案 3π12.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积.解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.∵球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示).设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴rR ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，① 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. 13.(选做题)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .。
新课标高中数学必修二全册导学案及答案
1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。
（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。
学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规*作答，不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A 、B 类问题。
3、A 类是自主探究，B 类是合作交流。
四、知识:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A 问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A 问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B 问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C 问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C 问题5：质疑答辩，排难解惑1． 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2． 棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A 例1：如图，截面BCEF 把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是 （ ）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A B CD A 1 B 1 C 1 D 1E FA ．正方体B ．正四棱锥C ．长方体D ．直平行六面体 B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ）A ．3B ．23C ．33D ．43B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ）A ．279cm 2B ．79cm 2C ．323cm 2D ．32cm 2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ）A ．必须都是直角三角形B ．至多只能有一个直角三角形C ．至多只能有两个直角三角形D ．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。
1.7.3球的表面积和体积 学案(高中数学必修2北师版)
7．3 球的表面积和体积球是最常见的几何体之一．从小学到初中，教材就介绍了球的表面积和体积，而且关于球的表面积和体积的计算在社会生活中有着重要的作用．(1)球能象多面体和圆柱、圆锥、圆台一样展开在一个平面上吗？ (2)两个半径不相等的球，体积会相等吗？ 【提示】 (1)不能．(2)不相等．1．球的表面积公式：S 球面＝4πR 2(R为球半径)2．球的体积公式：V球＝43πR 3(R为球半径)12πcm 2，试求此球的表面积．【思路探究】 利用球的截面性质求球的半径．【自主解答】 如图，设截面圆的圆心为O 1，OA 为球的半径， ∵12π＝π·O 1A 2，∴O 1A 2＝12， 在Rt △OO 1A 中，OA 2＝OO 21＋O 1A 2，即R 2＝(12R )2＋12，∴R ＝4(cm)，∴S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π(cm 2)．1．用一个平面去截球，截面总是圆面．2．球的截面圆的半径、圆心到球心的距离和球的半径构成直角三角形．此性质是解决球的表面积和体积问题的重要工具．本例中，若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．【解】 如图，由题意可知： OO 1＝1.设截面圆的半径为r ，则π＝πr 2， ∴r ＝1， 即O 1A ＝1. 在Rt △OO 1A 中，球半径R ＝OA ＝O 1O 2＋O 1A 2 ＝12＋12＝ 2.∴球的表面积S 球＝4πR 2＝8π， 球的体积V 球＝43πR 3＝823π.一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？【思路探究】 先设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，则水面下降，减少的体积就是球的体积，建立一个关系式来解决．【自主解答】 设△P AB 所在平面为轴截面，AB 为水平面，设球未取出时，水面高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x ，如图所示．∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥的容积为 V 圆锥＝13πAC 2·PC＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3. 球取出后水面下降到EF ，水的体积为 V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan 30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r . 故球取出后水面的高为315r .1．画出截面图是解答本题的关键．2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清是涉及体积问题还是涉及表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？【解】 设取出小球后，容器中水面下降h cm ，两个小球的体积为V 球＝2×43π×(52)3＝125π3，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V ＝π×52×h ，所以125π3＝π×52×h ，所以h ＝53(cm)．即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53cm.【思路探究】 欲求正四面体P —ABC 的内切球的体积，首先必须求出内切球的半径r ，显然半径在正四面体的高h 上，因由正四面体中心O 至各个顶点的连线与正四面体各面围成四个体积相等的正三棱锥，这些棱锥的底是正四面体的面，高是O 到各面的距离(即r )，它们的体积各为正四面体体积的14，于是可以求得r 与h 的关系，然后在正四面体中，由棱长a 求得高，进而得到内切球的半径．【自主解答】 如图(1)所示，设O 为内切球的球心，连接OA 、OB 、OC 、OP ，则正四面体的体积可以化为四个三棱锥的体积之和．即V P —ABC ＝V O —ABC ＋V O —PBC ＋V O —P AB ＋V O —P AC ， 设正四面体各面的面积为S ，正四面体的高为h ， 则V P —ABC ＝13Sh ，又V O —ABC ＝V O —PBC ＝V O —P AB ＝V O —P AC ， ∴13Sh ＝4·13Sr ， ∴r ＝h 4，作PH ⊥平面ABC (如图(2))，连接CH ，延长后交AB 于D ，连接PD ，则CD ⊥AB ，PD ⊥AB ，因为正四面体的棱长为a ， 所以PD ＝CD ＝32a ， DH ＝13CD ＝36a ，∴PH ＝PD 2－DH 2 ＝(32a )2－(36a )2＝63a ， ∴r ＝14h ＝14PH ＝612a ，故正四面体的内切球的体积为V ＝43πr 3＝43π(612a )3＝6216πa 3.1．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，充分发挥空间想象能力，做到以下几点：(1)明确切点和接点的位置； (2)确定有关元素间的数量关系； (3)作出合适的截面图．2．一般地，作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素，能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系，于是将立体问题转化为平面问题解决．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．【解】 设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1、R 2、R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a2，2a ＝2R 2，R 2＝22a ， 3a ＝2R 3，R 3＝32a ，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶ 3. ∴S 1∶S 2∶S 3＝R 21∶R 22∶R 23＝1∶2∶3.即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.问题考虑不全致误一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求球的表面积．【错解】如图所示，设OD＝x，由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.设球半径为R，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，∴x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2 500π cm2.【错因分析】本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．【防范措施】遇到情况不确定，不唯一时要分类讨论，考虑到各种情况．【正解】(1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD＝x，则OC＝9－x，设球半径为R，可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，此方程无正数解，即此种情况不可能．综上可知，球的表面积是2 500π cm2.1．球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面都是轴。
1.7.3球球的表面积和体积
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
������ = 3 ������底面积 ⋅ ℎ = 3 ������全面积 ⋅ ������
������底面积 ⋅ ℎ = ������全面积 ⋅ ������
������底面积 ������全面积
没有。一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的5个面相切。 如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
例1：一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2 ������������ ,
则球的表面积是( )
A.8π cm2
B.12 πcm2
C.16 πcm2
D.20 π cm2
解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线, ∴球的半径为
������
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C
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例 6．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是 1、 2、
3，则此三棱锥的外接球的表面积是( )
A．6π
B．12π
C．18π D．24π
解析：由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可使我们想象到 把它补成一个长方体，且长方体的八个顶点都在球面上，它 的长、宽、高分别是 1、 2、 3，它的体对角线是球的直径，
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_1_:_2__2_.
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_1__: _3 _4_.
变式训练
(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的
_2_7_倍.
(2)把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大为原来 的_2__2_倍.
高中数学_空间几何体的表面积与体积单元复习教学设计学情分析教材分析课后反思
空间几何体的表面积与体积单元复习教学设计授课人教材分析本单元复习课选自数学必修二（人教A版）第一章第三单元，本单元是学生接触空间几何知识的量化阶段。
在已经学习《空间几何体结构》的基础上运用简单几何体的表面积与体积公式定量地刻画空间几何体的大小，有利于更好的培养学生转化空间与图形的能力，能“定量”地理解人类生存的几何空间，培养学生的积极探索精神。
这在整个模块学习中起到承上启下的作用，充分体现了数形结合的思想。
学情分析学生在前两节认识了空间几何体的结构，以及几何体的三视图与直观图的基础上，本单元将由认知拓展到运算。
这是引导学生由形到数再到数形结合的过程。
一教学目标1、知识、能力目标：掌握并熟练运用空间简单几何体的表面积与体积的计算公式2、过程方法目标：通过运用空间几何体的表面积与体积公式提高分析解决问题的能力3、情感态度、价值目标：通过应用表面积与体积公式巩固提高学生的空间思维能力，引导他们树立正确的人生观和价值观二教学重点、难点1、重点：能够准确运用公式计算一些组合体空间简单几何体的表面积与体积2、难点：用转化与化归的思想解决空间几何体的表面积与体积问题三教学内容及过程（一）空间几何体的表面积【复习引入】空间几何体的侧面积与表面积的数学概念，注意二者的区分，导出空间简单几何体的表面积的计算公式：2S+=圆柱2S+=圆锥底侧柱表SSS+=底侧锥表SSS+=底侧台表SSS+=）（下上下上圆台22)rlrS++=ππ注意以上公式采取学生默写，老师公布结果，学生通过互批互改强化对公式的记忆【合作交流设计】已知由一个正四棱锥与一个圆柱构成的空间几何体的尺寸如图所示，求其表面积。
222生：审题并思考问题师：提问学生阐述解题思路并总结公式依据 生：根据总结思路运算 师：公布师点拨学生注意求有接触面的几何体表面积时，应正确处理接触面，做到不重不漏【自我检测设计】如图所示求四边形ABCD 绕轴AD 旋转一周所得几何体的表面积生：审题思考，想象几何体的结构 师：引入几何体的结构24rSπ=球表276-2π+答案：锥底柱表锥表表S S S S 2-+=442 24ACD生：板书展示运算过程 师：公布答案生：改正并反思做题过程（二） 空间几何体的体积【复习引入】体积的概念以及空间简单几何体体积公式，引导学生体会由台体到柱体与锥体的公式记忆过程，并熟练计算简单几何体的体积。
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例4.有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
例5.两个球的体积之和为12π，这两个球的大圆周长之和为6π，求大球半径与小球半径之差．
(3)直径为6的球的表面积和体积分别是()
A．144π，144πB．144π，36π C．36π，144π D．36π，36π
(4)若球的表面积膨胀为原来的2倍，则体积变为原来的多少倍？
若一个球的体积为 ，则它的表面积为_____________.
(5)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为_________.
【学后反思】
【练案】
1．正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为()
A．27πB． π
C．36πD． π
2．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()
A．RB．2R
C．3RD．4R
3．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为()
A．2∶1B．2∶3
A．2πB． ＋ π
C． πD． π
7.体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．
8.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 ，则正方体的棱长为________．
9．设四面体的各条棱长都为1，若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上，求球的表面积．
已知球的体积为36 ，则过球的球心的截面圆周长为___________.
合作探究：（对学、群学）
例1.已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为多少．
例2.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为多少．
C．2∶πD．2∶5
4．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()
A． B．16π
C．9πD．
5．球面上四点P、A、B、C，已知PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则球的表面积为()
A．2πa2B．3πa2
C．4πa2D．6πa2
6.一个物体的三视图如图所示，则该物体的体积为()
高二年级理科数学导学案
课题：§7.3球的表面积和体积
【教学目标】
1.了解球的体积、表面积公式.
2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题
【重点难点】
1.利用球的表面积公式和球的体积公式解决几何体的度量问题.
2.球的截面的性质，运用球的表面积和体积公式灵活解决生活中的实际问题.
【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学
【教学课时】2课时
【教学流程】
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
⑴球的表面积公式
=__________________________
⑵球的体积公式
=__________________________
注：①计算球的表面积和体积应把握的关键量是什么？
②通过学习球的表面积公式，分析球的表面积公式有何特点？仅与什么有关？若球的表面积变为原来的2倍，则半径变为原来的多少倍？若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的多少倍？
备注：(教师二次备课栏或学生笔记栏)